8. 8. 전기 전기 - - 기계 기계 결합시스템 결합시스템

8. 전기-기계 결합시스템 (에너지와 힘 I)

8. 8. 전기 전기 - - 기계 기계 결합시스템 결합시스템

( ( 에너지와 에너지와 힘 힘 I) I)

서론 서론

전력시스템 (전압, 전류)

자계시스템 (H, B)

전기에너지 자기에너지

부하

(힘, 토크)

전력시스템

(전압, 전류)

전동기, 발전기

변압기

™여러 ™ 여러 전기 전기 에너지 에너지 변환 변환 시스템들은 시스템들은 전기 전기 에너지를 에너지를 기계 기계 에너지로 에너지로 (예 ( 예 : : 전동 전동 기 기 ), 기계 ), 기계 에너지를 에너지를 전기 전기 에너지로 에너지로 (예 ( 예 : 발전기 : 발전기 ) 그리고 ) 그리고 전기 전기 에너지를 에너지를 전기 전기 에너 에너 지로 지로 (예 ( 예 : 변압기 : 변압기 )로 ) 로 변환 변환 시킬 시킬 수 수 있다 있다 . .

™이들의 ™ 이들의 구조는 구조는 서로 서로 다르지만 다르지만 동작 동작 원리는 원리는 거의 거의 비슷하다 비슷하다 . .

™본 ™ 본 교재에서는 교재에서는 에너지 에너지 변환의 변환의 중간 중간 연결계 연결계 (coupling field)로 (coupling field) 로 자계 자계 시스템을 시스템을

사용하는 사용하는 전기 전기 에너지 에너지 변환 변환 시스템을 시스템을 다룬다 다룬다 . .

에너지 에너지 변환 변환 과정 과정

전기 시스템

전기전기 시스템시스템 연결계연결계연결계 기계기계기계시스템시스템시스템

™그림에서™그림에서 보듯이보듯이전기전기기계적기계적결합은결합은변수변수

i,λ i,

λ

(자계계에서 (

자계계에서

) 또는 )

또는

, v,q , v,q (전계계에서 (

전계계에서

)를 )

를 가진가진전전 기기단자쌍과단자쌍과변수변수

x,f x,f

_ee를를가진가진기계기계단자쌍단자쌍사에에서사에에서일어난다일어난다

. .

™전기기계™전기기계 결합계를결합계를무손실이라고무손실이라고가정가정

.(보존계 .(

보존계

) )

1. 전기1. 전기및및기계기계단자를단자를통해통해계안에계안에공급된공급된에너지는에너지는자계로자계로축적되어지거나축적되어지거나각각의각각의단자를단자를통해통해 완전히

완전히꺼내어꺼내어쓸쓸수수있다있다..

2. 2. 즉즉전기전기시스템에서의시스템에서의권선권선저항저항(R)(R)에에 의한의한ii²²R 손실R 손실, 연결계에서, 연결계에서자계자계철심에서철심에서자계자계변화로변화로인인 해해생기는생기는철손철손, 그리고, 그리고기계기계시스템에서의시스템에서의마찰손마찰손풍손등을풍손등을무시무시..

전계와 전계와 자계에 자계에 저장되는 저장되는 에너지 에너지 (1) (1)

자계계 자계계 자계계

™™자계에자계에축적된축적된에너지를에너지를Wm이라고Wm이라고 하면하면power 보존의power 보존의 법칙에법칙에의해서의해서

)

( dt

f dx dt

i d dt

dW

_m

= λ + −

_e

자계에너지의

자계에너지의시간적시간적변화율변화율 전기시스템으로전기시스템으로들어가는들어가는powerpower 기계시스템으로기계시스템으로들어가는들어가는powerpower

™™양변에양변에dt를dt를 곱하면곱하면에너지에너지보존의보존의법칙이법칙이얻어진다얻어진다..

dx f id

dW

_m

= λ −

^e

전계계 전계계 전계계

)

( dt

f dx dt

v dq dt

dW

_e

= + −

_e

dW

_e

= vdq − f

^e

dx

네개의네개의변수변수(i,(i,λλ,f,f^ee,x) ,x) 중중 두

두변수변수λλ,x,x를를독립독립변수로변수로취함취함..

전계와 전계와 자계에 자계에 저장되는 저장되는 에너지 에너지 (2) (2)

=0 dx

자계계의자계계의예를예를통해통해저장저장에너지를에너지를계산해보도록계산해보도록하겠다하겠다..

™보존계에서는™보존계에서는 적분적분경로를경로를바꾸어도바꾸어도두두점에점에의해의해 서서적분값이적분값이일정하므로일정하므로어떠한어떠한적분적분경로경로(A, B, C, (A, B, C, D)로D)로적분하여도적분하여도결과는결과는마찬가지이다마찬가지이다..

™즉™즉, 계산의, 계산의 편이를편이를위해위해적분이적분이쉬운쉬운경로를경로를선택선택 하면하면된다된다. 여기서. 여기서 두두점은점은a(λa(λ_aa,x,x_aa), b(), b(λλ_bb,x,x_bb) 이다) 이다..

™™적분적분경로경로C를C를선택선택한한경우경우, 우선, 우선 λλ= λ= λa로a로일정일정 한한상태에서상태에서x를x를변화시킨변화시킨후후, x=, x=xbxb로로일정한일정한상태에상태에 서

서λλ로로변화시킨다변화시킨다..

a

b

™λ™λ_aa= 0인= 0인경우경우( 즉( 즉, i, i_aa= 0) f= 0) f^ee(0,x) = 0이므로(0,x) = 0이므로우변우변첫째항첫째항적분은적분은00이이되고되고따라서따라서우변은우변은dλdλ에에대대 한한적분만이적분만이된다된다..

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ −

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ −

=

− ^{( , ) 0}

₌⁰

∫ ^{( , )} ∫ ^{( , ) 0}

₌⁰

) ,

(

b dx

x

x a

e a d

a m b

b m

b

a b

a

d x i

dx x f

x W

x

W

^λ

λ

λ

λ

λ λ

λ λ

∫

=

− W x

^b

i x d

x

W

_m

λ

_{b b m a} ^λ

λ

_b

λ

0

( , )

) , 0 ( )

,

(

전계와 전계와 자계에 자계에 저장되는 저장되는 에너지 에너지 (3) (3)

dW

m

™™자계자계시스템에서시스템에서특정특정x에x에 대한대한쇄교쇄교자속자속λ와λ와 전류전류i 사i 사 이의이의관계가관계가옆의옆의그림과그림과같을때같을때, 쇄교, 쇄교자속이자속이0에서0에서 λλ까지까지 증가할증가할때때자계에자계에저장되는저장되는에너지는에너지는앞앞 페이지의페이지의수식을수식을 통해통해다음과다음과같이같이정의정의할할수수있다있다..

∫

=

^λ

λ λ

λ , )

0

( ' , ) '

( x i x d

W

_m

위

위적분은적분은옆의옆의그림에서그림에서빗금친빗금친부분의부분의전체전체면적을면적을의미한다의미한다..

λ λ

'

전계계에서

전계계에서저장되는저장되는에너지에너지계산은계산은?? q’

x’

q

x

x’ = x dx’ = 0

f^e = 0 dq’ = 0

™™화살표화살표 방향으로방향으로 적분적분 경로의경로의 선택하면선택하면

∫

∫ ^{− +}

=

^{x e q}

e

q x f x dx v q x dq

W ( , )

0

( 0 , ' ) '

0

( ' , ) '

0 0

∫

=

^q

e

q x v q x dq

W ( , )

0

( ' , ) '

에너지에 에너지에 대한 대한 다른 다른 표현식 표현식 (1) (1) - - 전계 전계

™2™2장에서장에서 전계안의전계안의한한점의점의전위는전위는무한대무한대점점(영전위(영전위)으로부터)으로부터 그그점까지점까지단위단위양전하를양전하를이동하이동하 는데는데필요한필요한일이라고일이라고정의하였다정의하였다..

™자유™자유 공간에서공간에서전하전하QQ₁₁과과QQ₂₂가가RR₁₂₁₂의의거리를거리를유지하고유지하고있을있을때때저장되어저장되어있는있는에너지는에너지는, 전하, 전하 QQ₁₁에에의한의한전계에전계에반대하여반대하여무한대로부터무한대로부터거리거리RR₁₂₁₂까지까지전하전하QQ₂₂를를이동하기이동하기위해위해필요한필요한일의일의양양 과과같다같다..

2 2 1

1

12 0

1 2

12 0

2 1

12 0

1 2

2 2

2 1 2

1

4 2

1 4

2 1 4

V Q V

Q

R Q Q

R Q Q

R Q Q

V Q W

_e

+

=

+

=

=

= πε πε πε

™정지™정지 상태에상태에있는있는N개의N개의 이산이산점전하점전하그룹에그룹에저장되어저장되어있는있는에너지의에너지의일반적인일반적인표현은표현은

∑

=

=

^N

k

k k

e

Q V

W

2

1

1

™밀도™밀도 ρρ_vv의의연속연속전하전하분포에분포에대해서는대해서는저장저장에너지는에너지는다음과다음과같은같은식으로식으로표현된다표현된다..

∫

= 2

'

1

e V

V dv

W ρ

에너지에 에너지에 대한 대한 다른 다른 표현식 표현식 (2) (2) - - 전계 전계

∫

∫

∫

=

=

⋅

=

∴

' 2

' 2 '

2 1 2

1

(J) 2

1

V V

e V

D dv dv

E

dv E D W

ε ε

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⋅ +

⋅

=

∇

⋅ +

⋅

∇

=

⋅

∇

∇

⋅

−

⋅

∇

=

⋅

∇

=

=

' '

' '

' '

2 ˆ 1

2 1

) )

( (

2 ) 1

2 ( 1

) 2 (

1 2

1

V S

V V

V e V

dv E D ds

n D V

V D D V

D V dv

V D

dv D V

dv V D dv

V W

∵ ρ

V’ :

^{모든 전하를 포함하는 임의의 체적} Ö반경이 매우 큰 구를 선택해도 무방

. 0

/ 1

. '

.

/ 1 /

1

2

2

된다 이

이면 감소하여

함수로 의

면적분은 첫째항인

우변의

증가한다 함수로

의 면적은

의 경계면

하지만 감소한다

빨리

함수로 의

과 각각

크기는 의

변위 전기

와 전위 하면

로

∞

→

⇒

∞

→

R R

R S

R R

D V

R

ε ε

2 2

) 1 (J/m 2

1

_{3 2}

D

²

E E

D

w

_e

= ⋅ = =

Electrostatic energy density :

에너지에 에너지에 대한 대한 다른 다른 표현식 표현식 (3) (3) - - 자계 자계

™6™6장에서장에서 언급하였듯이언급하였듯이정전계와정전계와정자계는정자계는다음과다음과같은같은상사상사(相似(相似) 관계가) 관계가 있다있다..

∫

∫

∫

=

=

⋅

=

∴

'

2 '

2 '

2 H 1 2

1

(J) 2

1

V V

m V

dv B dv

dv B H W

μ μ μ μ

2 2

) 1 (J/m 2

1

_{3 2}

B

²

H B

H

w

_m

= ⋅ = =

Magnetic energy density :

정전계정전계 정자계정자계

E B

D H

ε 1 / μ

™™위의위의유사유사관계를관계를이용하여이용하여BB와와HH의의형태로형태로자계에자계에저장되어저장되어있는있는에너지를에너지를정의하면정의하면..

9. 전기-기계 결합시스템 (에너지와 힘 II)

9. 9. 전기 전기 - - 기계 기계 결합시스템 결합시스템

( ( 에너지와 에너지와 힘 힘 II) II)

에너지와 에너지와 힘과의 힘과의 관계 관계 (1) (1)

™자계계 ™ 자계계

의의예에서예에서저장되어저장되어있는있는미소미소에너지에너지dWdW_mm은은 다음과다음과 같이같이λ와λ와 x의x의 함수로함수로정의정의 됨을됨을알았다알았다..

™식™식(2)(2)를를 다시다시미소미소에너지에너지dWdW_mm으로으로나타내면나타내면두두변수를변수를매개로매개로해서해서나타낼나타낼수수있다있다. .

dx f id

dW

_m

= λ −

^e

™따라서™따라서 저장되어저장되어있는있는전체전체에너지는에너지는λ와λ와 x의x의 함수가함수가된다된다..

) , ( x W

W

_m

=

_m

λ

x dx d W

dW

_m

W

^{m m}

∂ + ∂

∂

= ∂ λ

λ

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

0 ( W

^m

) (

^e

W

^m

)

i d f dx

λ x λ

∂ ∂

= − − +

∂ ∂

™식™식(3)(3)과과 식식(1)의(1)의 차를차를구하면구하면다음과다음과 같다같다. .

(4) (4)

에너지와 에너지와 힘과의 힘과의 관계 관계 (2) (2)

™식™식(4)는(4)는 각각항이항이dλdλ, , dxdx에에 관계없이관계없이 항상항상0이0이되어야되어야하므로하므로 전류전류i와i와 발생하는발생하는힘힘ff^ee를를 구할구할수수있다있다..

q v W

^e

∂

= ∂

™회전계의™회전계의 경우경우

W

m

i λ

= ∂

∂

e

W

m

f x

= − ∂

∂

™회전계의™회전계의 경우경우 이며이며그그때때발생되는발생되는토크는토크는위의위의과정을과정을 따라가게

따라가게 되면되면다음과다음과같은같은식으로식으로유도유도된다된다. .

θ λ T d id

dW

_m

= −

^e

θ

∂

− ∂

=

^m

e

W

T

™전계계 ™ 전계계

의의경우경우 이며이며전압전압v와v와 발생하는발생하는힘힘ff^ee은은 다음과다음과 같은같은관계를관계를가진다가진다. .

dx f vdq

dW

_e

= −

^e

x f

^e

W

^e

∂

− ∂

= θ

∂

− ∂

=

^e

e

W

T

수반 수반 에너지 에너지 ( ( Coenergy Coenergy ) (1) ) (1)

e

dW

m

= id λ − f dx

( )

^e

dW

m

= d λ i − λ di − f dx

' e

dW

m

= λ di + f dx

™™지금까지지금까지전계나전계나자계의자계의저장저장에너지와에너지와힘을힘을계산하기계산하기위해서위해서전기적인전기적인독립독립변수를변수를 λλ(자계계에서(자계계에서) 또는) 또는

q q(

(전계계전계계)로)로 취했다취했다..

™™그러나그러나단자간의단자간의관계에서관계에서λ와λ와

q를 q

를 측정하기는측정하기는매우매우어렵고어렵고i와i와 v는v는 비교적비교적쉽게쉽게측정측정 할수할수있기있기때문에때문에전기적인전기적인독립독립변수를변수를

i( i

(자계계자계계)와)와

v( v

(전계계전계계)로)로 취할취할경우가경우가 있다있다..

™™자계계에서자계계에서 에너지에너지 보존의보존의 법칙은법칙은 다음과다음과 같다.같다. 자계계에서의

자계계에서의Coenergy와Coenergy와힘과의힘과의관계관계

[ [ 여기서여기서

, λ ,

λ

=λ =

λ

(i,x ( i,x), ), f f

^ee

=f = f

^ee

(i,x) ] (i,x ) ]

™™그리고그리고

d ( λ i ) = λ di + i d λ

이므로이므로이이식을식을식식(1)에(1)에 대입하면대입하면다음과다음과같다같다..

(1) (1)

™™여기서여기서

W

_m

' = λ i − W

_m 로로정의하고정의하고식식(2)에(2)에 대입하면대입하면다음과다음과같다같다..

(2) (2)

∫

=

ⁱ

m

i x i x di

W ' ( , )

0

λ ( ' , ) '

(3) (3) Coenergy

Coenergy

수반 수반 에너지 에너지 ( ( Coenergy Coenergy ) (2) ) (2)

' '

' m m

m

W W

dW di dx

i x

∂ ∂

= +

∂ ∂

전계계에서의

전계계에서의 Coenergy와Coenergy와힘과의힘과의관계관계

™™여기서여기서

W

_m

' = W

_m

' ( i , x )

로로쓸쓸수수있으므로있으므로

' ) (

' ) (

0 x

f W i

W

_{m e m}

∂

− ∂

∂ +

− ∂

= λ

(4) (4)

™™이제이제 식(3)식(3)과과 (4)(4)를를 빼서빼서 정리하면정리하면 다음과다음과 같다.같다.

'

e

W

m

f x

= ∂

∂

'

W

m

λ = ^∂ i

∂

dx f

dv q

dW

_e

' = +

^e

^W

^e

' ( ^v , ^x ) ⁼ ∫

0^v

^q ( ^v ' , ^x ) ^dv '

x f W

v

q W

^{e e e}

∂

= ∂

∂

= ∂ ' '

에너지와 에너지와 수반 수반 에너지의 에너지의 관계 관계 - - 전계 전계 (1) (1)

dx f vdq

dW

_e

= −

^e

∫

=

^q

e

q x v q x dq

W ( , )

0

( ' , ) ' ^W

^e

' ( ^v , ^x ) ⁼ ∫

0^v

^q ( ^v ' , ^x ) ^dv '

에너지 에너지 수반 수반 에너지 에너지

2 0

) 2 (

1

' ' ) ( )

, ( '

v x C

dv v x C x

v

W

_e ^v

=

= ∫

) ( 2 1

' ) ( / ' )

, (

2 0

x C

q

dq x C q x

q

W

_e ^q

=

= ∫

'

1

2

( ) 2

e

W

e

C x

f v

x x

∂ ∂

= =

∂ ∂

' 2

2

1 ( )

2 ( ( ))

e

W

e

q C x

f x C x x

∂ ∂

= − =

∂ ∂

이라는이라는선형성이선형성이유지되면유지되면

v x C x

v

q ( , ) = ( )

dx f

dv q

dW

_e

' = +

^e

에너지와 에너지와 수반 수반 에너지의 에너지의 관계 관계 - - 전계 전계 (2) (2)

™™q=q=C(x)vC(x)v라는라는선형성이선형성이유지된다면유지된다면에너지와에너지와수반에너지는수반에너지는같다같다(a). 그러나(a). 그러나만약만약비선형성이면비선형성이면에너지와에너지와 수반에너지는

수반에너지는같지같지않다않다(b).(b).

( ) A

C x =ε x

' 1 2 1 2

2 2

e

W Cv A v

ε x

= =

2

1 1

2

2 2

e

q x

W q

C ε A

= =

'

2 2

1 2

e

W

e

A

f v

x ε x

= ∂ = −

∂

1 1

2

2

e

W

e

f q

x ε A

= − ∂ = −

∂

™예™예) 평판) 평판커패시터커패시터

에너지와 에너지와 수반 수반 에너지의 에너지의 관계 관계 - - 자계 자계 (3) (3)

에너지 에너지 수반 수반 에너지 에너지

2 0

) 2 (

1

' ' ) ( )

, ( '

i x L

di i x L x

i

W

_m ⁱ

=

= ∫

) ( 2 1

' ) ( / ' )

, (

2 0

x L

d x L x

W

_m

λ

λ λ

λ

^λ

=

= ∫

이라는이라는선형성이선형성이유지되면유지되면

i x L x

i , ) ( )

( =

λ dx f id

dW

_m

= λ −

^e

^dW

_m^'

= λ ^di + ^{f dx}

^e

∫

=

ⁱ

m

i x i x di

W ' ( , )

0

λ ( ' , ) '

∫

=

^λ

λ λ

λ , )

0

( ' , ) '

( x i x d

W

_m

x x L x

L x

f

^e

W

^m

∂

= ∂

∂

− ∂

= ( )

)) ( ( 2 1

2

λ

2

x x i L

x f

^e

W

^m

∂

= ∂

∂

= ∂ ( )

2 1

'

₂

에너지와 에너지와 수반 수반 에너지의 에너지의 관계 관계 - - 자계 자계 (4) (4)

자기자기회로를회로를이용하면이용하면mmf와mmf와릴럭턴스로릴럭턴스로자속을자속을표현할표현할수수있다있다. . R

R _{c c}는는코어의코어의릴럭턴스이다릴럭턴스이다..

S y

N I

L N

S y

I N

c c

0 2

0 2

/ 2

/ 2

N

μ λ μ

+

= ℜ

= Φ

+

= ℜ Φ

NI

ℜ

c

= S y

0

2 μ

) /

2 2 (

1 ) ( 2 1

0 2

2

S y y

W

_m

₌ L λ _{= Φ ℜ}

_c

₊ μ

/ 2 2

) 1 2 (

' 1

0 2 2 2

S y

I I N

y L W

c

m

= = ℜ + μ

y S

F W

^m

= − Φ

²

/ μ

₀

∂

− ∂

=

S

S y

I N S

y F W

c m

0 2

2 0 2 2

0

/

) /

2 (

1 '

μ

μ μ

Φ

−

=

+

− ℜ

∂ =

= ∂

/ 2 y

₀

S

NI

c

+ μ

= ℜ

Φ

10. 에너지 변환 이론과 운동 방정식

10. 10. 에너지 에너지 변환 변환 이론과 이론과

운동 운동 방정식 방정식

운동 운동 방정식 방정식 – – Magnetic plunger system (1) Magnetic plunger system (1)

™그림에서와™그림에서와같은같은magnetic field system에서의magnetic field system에서의전기전기단자쌍단자쌍 과과기계기계단자상에서의단자상에서의관계를관계를알아보도록알아보도록하겠다하겠다. .

™전기회로는™전기회로는 키르히호프의키르히호프의전압전압법칙이나법칙이나전류전류법칙을법칙을만족만족 해야

해야하며하며기계회로는기계회로는뉴튼의뉴튼의제제2법칙을2법칙을 만족해야만족해야한다한다..

™가정™가정

(1) 자기(1) 자기회로에서회로에서철심의철심의투자율은투자율은아주아주크다크다.. (2) g<<w, x<<2w.

(2) g<<w, x<<2w. 따라서따라서프린징프린징효과가효과가없다없다.. (3) 누설(3) 누설자속이자속이없다없다..

(4) plunger

(4) plunger는는x방향으로만x방향으로만움직인다움직인다..

™

™11번번 라인을라인을 따라따라 암페어암페어 주회주회 법칙을법칙을 적용하면적용하면 다음과다음과 같다.같다.

Ni x H g

H

₁

+

₂

=

(1)(1)

™Plunger™Plunger를를둘러싸는둘러싸는임의의임의의폐표면을폐표면을생각하고생각하고자속자속보존의보존의 법칙을법칙을적용하면적용하면다음과다음과같다같다..

0 ) 2 ( )

2

(

_{0 2}

1

0

H wd − μ H wd =

μ

₍₂₎₍₂₎

™식™식(1)(1)과과(2)(2)를를결합하면결합하면

x g H Ni

H

₁

=

₂

= +

(3)(3) H

H₁₁ H H₂₂

11

운동 운동 방정식 방정식 – – Magnetic plunger system (2) Magnetic plunger system (2)

™따라서™따라서plunger 밑면을plunger 밑면을통과하는통과하는자속은자속은다음과다음과같다같다..

™™N턴N턴감긴감긴권선에권선에쇄교하는쇄교하는자속은자속은다음과다음과같다같다..

™™λ는λ는 와와같은같은선형선형관계가관계가유지되므로유지되므로

™수반™수반에너지는에너지는다음과다음과같다같다..

x g

Ni wd wd

H = +

=

_{0 2}

2

⁰

) 2

( μ

μ φ

g x

i i L

x L W

_m

/ 1 2 ) 1

2 ( ' 1

2 2 0

= +

=

x g

i N N wd

= +

=

= φ 2 μ

^{0 2}

λ

i x L x

i, ) ( )

( =

λ

x g

N x wd

L = 2 +

^{0 2}

)

( μ

™따라서™따라서plunger가plunger가받는받는힘은힘은..

2 2 0

) / 1 ( 2 1 '

g x g

i L x

f

^e

W

^m

− +

∂ =

= ∂

(4)(4)

(5)(5)

(6) (6)

(7)(7)

(8) (8)

운동 운동 방정식 방정식 – – Magnetic plunger system (3) Magnetic plunger system (3)

™전기단자 쌍에서의 키르히호프 전압 방정식.

™전기단자 ™ 전기단자 쌍에서의 쌍에서의 키르히호프 키르히호프 전압 전압 방정식 방정식 . .

dt dx x

g

i N wd

dt di x

g

N Ri wd

t x x t

i Ri i

dt Ri d

v

_s

2 2 0 2

0

) (

2 2

− + + +

=

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

= +

=

μ μ

λ λ

λ

™기계단자 쌍에서의 뉴튼의 제 2법칙.

™기계단자 ™ 기계단자 쌍에서의 쌍에서의 뉴튼의 뉴튼의 제 제 2법칙 2 법칙 . .

) ) (

/ 1

( 2 1 '

2 2 2

2

0

K x l

dt B dx dt

x M d

g x g

i L x

f

^e

W

^m

= + + −

− +

∂ =

= ∂

변압기변압기기전력기전력 (Transformer EMF) (Transformer EMF)

속도속도기전력기전력 (Speed EMF) (Speed EMF)

운동 운동 방정식 방정식 – – smooth smooth - - air air - - gap rotating machine (1) gap rotating machine (1)

Geometry of smooth

Geometry of smooth--airair--gap machine showing distributed gap machine showing distributed windings on stator and rotor of a single

windings on stator and rotor of a single--phase machine.phase machine.

Schematic representation of the inductors Schematic representation of the inductors constituting the rotor and stator winding.

constituting the rotor and stator winding.

운동 운동 방정식 방정식 – – smooth smooth - - air air - - gap rotating machine (2) gap rotating machine (2)

™균일™균일 간극형간극형회전기는회전기는 22개의개의 전기단자쌍과전기단자쌍과 1개의1개의 기계기계 단자쌍을단자쌍을 갖는갖는자계형자계형전기기계전기기계 적적결합을결합을갖고갖고 있다있다..

™전기적인™전기적인 선형성선형성즉, 즉, 고정자고정자 및및 회전자의회전자의 자성자성재료가재료가포화되지포화되지 않는다고않는다고가정한다.가정한다.

™™따라서따라서 인덕턴스를인덕턴스를θ의θ의 함수로함수로표현할표현할수수 있다

있다..

™™균일균일간극이기간극이기 때문에때문에자기자기 인덕턴스인덕턴스(self (self inductance)

inductance)는는 회전자의회전자의 위치에위치에관계없이관계없이 일정하다.일정하다.

™

™결합계의결합계의단자상단자상관계를관계를표현하면표현하면다음과다음과같다같다..

s sr

r r r

r sr

s s s

i L

i L

i L

i L

) (

) (

θ λ

θ λ

+

=

+

=

'

1

2

1

2

2 ( ) 2

m s s sr s r r r

W = L i + L θ i i + L i

'

( )

e m sr

s r

W L

T i i

x

θ θ

∂ ∂

= =

∂ ∂

™L™L_srsr((θ)θ)는는다음식으로다음식으로표현된다표현된다..

1 3 5

( ) cos cos 3 cos 5

L

sr

θ = M θ + M θ + M θ +…

™이유™이유 (1)Cosine

(1)Cosine 함수를함수를 쓰는쓰는이유는이유는θ에θ에 대해서대해서 대칭대칭 성이라는성이라는점이다(점이다(LL_{sr sr}(θ(θ)= )= LL_{sr sr}(-(-θθ))))..

(2)홀수(2)홀수 고조파로고조파로 표현한표현한이유는이유는180도180도 회전한회전한 경우경우부호가부호가역전된다는역전된다는점이다점이다 ((LL_{sr sr}(θ(θ)= )= --LL_srsr (π(π++θθ))))..

운동 운동 방정식 방정식 – – smooth smooth - - air air - - gap rotating machine (3) gap rotating machine (3)

™™고조파항을고조파항을 무시하고무시하고기본기본항만으로항만으로상호상호 인덕턴스를

인덕턴스를단순화단순화하면하면쇄교자속과쇄교자속과토크는토크는 다음과다음과같다같다..

s

L i

s s

M i

r

cos

λ = + θ

r

M i

s

cos L i

r r

λ = θ +

e

sin

T = − i i M

s r

θ

s

s s s

v R i

t λ

= + ∂

∂ v

^r

R i

^{r r r}

t λ

= + ∂

∂

2 2 0 e

m r r r

d

d d dt

T T J B T

dt dt d

dt θ θ θ

+ = + + θ

™전기계 방정식.

™전기계 ™ 전기계 방정식 방정식 . .

™기계계 방정식.

™기계계 ™ 기계계 방정식 방정식 . .

운동 운동 방정식 방정식 – – smooth smooth - - air air - - gap rotating machine (4) gap rotating machine (4)

™본™본 교재의교재의주주목적은목적은 전기적인전기적인에너지를에너지를기계적인기계적인에너지로에너지로또는또는기계적인기계적인에너지를에너지를 전기적인전기적인에너지로에너지로바꾸는바꾸는변환기를변환기를해석하는데해석하는데있다있다. 따라서. 따라서 이이변환이변환이시간적으로시간적으로 평균해서평균해서어떤어떤값을값을가질가질필요가필요가있다있다..

™다시™다시 말하면말하면, 순시적으로, 순시적으로 변환을변환을 하더라도하더라도한한주기주기 또는또는일정일정시간의시간의 변환이변환이0이0이 된된 다면다면변환기로서의변환기로서의의미가의미가없게없게된다된다..

™지금부터는™지금부터는 평균적으로평균적으로power가power가 변환되는변환되는조건조건, 즉, 즉 average power 변환average power 변환 조건에조건에대해대해 알아보도록

알아보도록 하겠다하겠다..

™앞™앞절의절의균일균일간극간극회전기를회전기를예로예로하면하면, , 이상적인이상적인전원은전원은아래와아래와같이같이주어지고주어지고, 회전각도, 회전각도다음과다음과 같이같이일정한일정한각속도각속도((정상상태이므로정상상태이므로)로)로 회전한다고회전한다고하자하자..

( ) sin

s s s

i t = I ω t i t

_r

( ) = I

_r

sin ω

_r

t θ ( ) t = ω

_m

t + γ

( )

^{e e}

m m

P t T d T

dt

θ ω

= = ( cos )

e

sin

s r s r

T i i M θ i i M θ

θ

= ∂ = −

∂

( ) ( sin )( sin )[ sin( )]

m s s r r m m

P t = − I ω t I ω t M ω t + γ ω

™순시적인™순시적인power는power는다음과다음과같다같다..

(9)(9)

ωω_ss ::고정자고정자전류의전류의각속도각속도 ωω_rr ::회전자회전자전류의전류의각속도각속도 ωω_mm ::^{회전자의회전자의기계적기계적각속도각속도}

γγ::고정자축과고정자축과회전자축이회전자축이이루는이루는각각

운동 운동 방정식 방정식 – – smooth smooth - - air air - - gap rotating machine (5) gap rotating machine (5)

™

™삼각함수의삼각함수의공식을공식을이용하면이용하면식식(9)(9)는는다음과다음과같다같다..

™

™위위식을식을한한주기에주기에대해서대해서평균을평균을취하면취하면시간시간(t)(t)의의 함수가함수가아닌아닌항만이항만이00이이아니게아니게된다된다..

™즉™즉, , 이면이면00이이아니게아니게되고되고이것이이것이average power 변환average power 변환 조건이다조건이다..

( ) {sin( ) sin( )

4

sin( ) sin( )}

m

m s r m s r m s r

m s r m s r

P t I I M t t t t t t

t t t t t t

ω ω γ ω ω ω γ ω ω

ω γ ω ω ω γ ω ω

= + + + + + − −

− + + − − + − +

m s r

ω = ± ± ω ω

m s r

ω = − + ω ω

m s r

ω = ω ω +

0

( ) 1 ( sin ) sin

4 4

m T m

m s r s r

P av I I M dt I I M

T

ω γ ω γ

= ∫ − = −

0

( ) 1 sin sin

4 4

m T m

m s r s r

P av I I M dt I I M

T

ω γ ω γ

= ∫ =

™™예예

이면,이면,

이면,이면,

™0™

0

이이아닌아닌

average power average power

를를얻기얻기위해서는위해서는

average power average power

변환변환조건조건

( ) ( )

을을 만족해야만족해야하고하고

sinγ sin

γ가가

0이 0

이 아니어야아니어야한다한다

. .

m s r

ω = ± ± ω ω