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(1)

31장. 패러데이의 법칙 (Faraday’s Law)

31.1 패러데이의 유도 법칙 31.2 운동 기전력

31.3 렌츠의 법칙

31.4 유도 기전력과 전기장 31.5 발전기와 전동기

31.6 맴돌이 전류

(2)

o 이전 까지 :

- 움직이는 전하에 의한 전기장 : 전류 → 자기장 발생

- 자기장의 근원 : 전류 (변화하는 전기장) o Question : 전류가 자기장을 일으킨다면,

자기장도 전류를 발생할 수 있을까?

→ Answer : Yes.

- 미국의 Henry (Joseph Henry 1797 ~ 1878)

- 영국의 Faraday (Michael Faraday 1791 ~ 1867) cf ) Henry가 먼저 발견, 발표는 Faraday가 먼저 발표

→ Faraday's Law

(3)

- 자석을 움직이면 전류가 발생

- 자석을 고정 시킨채 도선을 움직여도 전류가 발생

31.1 패러데이의 유도 법칙

(Faraday’s Law of Induction)

- 1831년 영국의 패러데이(Michael Faraday)와 미국의 헨리 (Joseph Henry)가 수행한 실험들

- 변화하는 자기장에 의해 회로에 기전력(emf;

electromotive force), 전류가 유도될 수 있음

o 유도 전류, 유도 기전력 ;

- 변화하는 자기장에 의해 회로에 전류가 유도될 수 있다.

- 회로를 통과하는 자기선속이 시간에 따라 변할 때 회로에 기전력이 유도된다.

(4)

◈ 패러데이의 유도 법칙

(Faraday’s law of induction) :

"-" sign : Lenz's Law

- 만일, 회로가 같은 면적을 가진

N

개의 고리로 묶여진 코일이고,

Φ

B

고리 하나를 통과하는 자기선속이라면, 기전력은 모든 고리에 의해 유도된다.

- 오른쪽 그림처럼, 면

A

를 둘러싸는 고리 하나가 균일한 자기장

B

안에 놓여 있다고 가정하자.

- 자기장의 크기, 고리의 면적 또 는

및 자기장과

고리면에 수직인 선이 이루는 각도가 변하면 기전력이 유도될 수 있다.

dt d

B

 E 

dt N d

B

 E 

) cos ( BAdt

d

E 

(5)

막대가 받는 자기력은 오른쪽 방향 막대는 가속, 속도 증가, 유도 전류 증가 계의 에너지는 무한대로 증가!  불가능

31.3 렌츠의 법칙

(Lenz’s Law)

- 폐회로에서 유도 전류는 폐회로로 둘러싸인 부분을 통과하는 자기선속 변화를 방해하는 방향으로 자기장을 발생시킨다.

ㆍ유도 전류에 의한 자기장의 방향은

자기장의 변화를 방해하는 방향으로 발생한다.

→ 기전력은 회로의 단면적을 지나가는

자속의 변화를 막으려는 방향으로 유도된다 o 렌츠의 법칙(Lenz’s law) → 에너지 보존 법칙

"-" sign

- 막대를 오른쪽으로 살짝 밀면 시계 반대 방향의 유도 전류가 발생한다. 전류의 방향이 반대, 즉 시계 방향이라면?

dt d

B

E 

(6)

코일에 기전력 유도하기 예제 31.1

도선으로 200회 감긴 코일이 있다. 코일은 각각 한 변의 길이가 d=18cm인 정사각형으로 되어 있고, 코일의 면에 수직으로 균일한 자기장이 가해진다. 0.80초 동안 자기장이 0에서 0.50T로 일정하게 변 한다면, 자기장이 변할 때 코일에 유도되는 기전력의 크기를 구하라.

풀이

) cos ( BAdt

d E 

cf

) 의 해석

 

 

  

dt

BA dA dt

B dA dt A

BA dB dt

d (cos )

cos cos

) cos

(    

E

- 1항 : 시간에 따라 변화하는 자기장, 균일한 면적

A

, 고정된 사이각

θ

- 2항 : 균일한 자기장, 시간에 따라 변화하는 면적

A

, 고정된 사이각

θ

- 3항 : 균일한 자기장, 균일한 면적

A

, 시간에 따라 변화하는 사이각

θ

T V m

t B Nd B

t NA B t

N BA

N t

B f i

0 . sec 4

8 . 0

0 5

. ) 0 18 . 0 ( 200

) (

2

2

 

 

 

 

 

E

(7)

Ex

2항) Area

A

- 변화

) ( 1

0

cos  

  

 

at

m

B d A BA AB e

at at

m at

e AaB e

a AB

e dt AB

d dt

d

 

0 0

0

) ( E

0 max

aAB E

Sol

지수적으로 감소하는 자기장 예제 31.2

Ex 1항) 단면적이 A인 폐회로가 자기장에 수직인 평면에 놓여있다. B 의 크기는 시간에 따라 B=B0 e-at로 변한다. ( B0, a 는 상수) 이 폐회로에 유도되는 기전력의 크기는?

(8)

Ex

3항) 사이각

θ

- 변화

◎ 패러데이 법칙의 몇 가지 응용 (Some Applications of Faraday’s Law) ▶ 누전 차단기(GFI)

▶ 전기 기타(Electric Guitar)의 음을 발생시키는 방법

(9)

- 일정한 자기장 내에서 움직이는 도체에 유도되는 기전력(운동 기전력)에 대해 생각하자.

- 면을 향해 들어가는 균일한 자기장 내에서 길이 ℓ인 직선 도체가 운동하고 있다.

도체가 어떤 외력을 받아 등속도로 자기장에 대해 수직한 방향으로 움직인다면,

도체 내의 전자는 아래 방향으로 자기력을 받는다 - 전자들은 도체의 아래쪽으로 이동하여 쌓이고, 위쪽에는 알짜 양(+)전하가 남게 된다.

이 전하 분리로 인해 전기장

E

가 도체 내부에 발생한다. 평형 상태에서는..

- 도체 양단의 전위차 :

- 도체가 균일한 자기장 내를 움직이는 동안, 도체 양끝의 전위차는 계속 유지된다. 만약 운동 방향이 반대로 되면 전위차의 극성도 반대로 된다.

vB E

qvB

qE   

v B E

V    

31.2 운동 기전력

(Motional emf)

(10)

R v B I  E R  

- 유도 전류 : 도체 막대의 내부저항이

R

이라면

- 막대가 받는 자기력 :

ˆ ) (

2 2

R x v B B

I

m

I     

 

B F

풀이

o 운동하는 도체가 폐회로의 일부로 구성될 경우, - 자속 :

- 자속은 면적의 변화에 기인 (균일한 자속

B

)

- 유도 기전력 (운동기전력) :

) ( BA

d d

m

A Bd

d

m

dA   x   vdt

v dt B

B vdt dt

BdA dt

d

m

   

 

E 

(11)

B I F

F

app

B

 

R R

v v B

B I v

F

app

2 2

2 2

)

(   E

 

P 

- 자기력에 의한 Power (일률) : 역학적 일률

→ 도체 막대의 내부저항 R 에 의한 유도 전류의 Power Loss

= 도체 막대를 계속 움직이기 위한 외부 Power In

- Electric Power (전력)

∴ 같은 결과

v dt F

x F d

x dt F

d dt

dW R

v v B

F v

F

app

     

 

 

 ( )

2 2 2

P P

R v v B

R B v B

R v I B

v IB I

2 2 2

 

 

E P

R v v B

R B v I B

R v R B

R v R B

I

2 2 2

2 2 2 2

2

 

 

 

 

E P

- 에너지 관점에서 살펴보면, 외력이 도체 막대에 일을 하고 있으므로 에너지의 근원을 제공한다. 계의 에너지 변화는 일에 의해 계에 공급된 에너지와 같아야 한다.

- 막대가 등속 운동하려면 막대에 흐르는 전류에 의한 자기력과 외력이 같아야 하므로,

(12)

미끄러지고 있는 막대에 작용하는 자기력 예제 31.3

그림과 같이 도체 막대가 마찰이 없는 두 평행 레일 위를 움직이고, 균일한 자기장이 그 림의 면 안쪽 방향으로 향하고 있다. 막대의 질량은 m 이고 길이는 ℓ 이다. t =0 일 때, 막대의 처음 속도는 오른쪽 방향으로 vi 이다.

(A) 뉴턴의 법칙을 사용하여 시간에 대한 함수로 막대의 속도를 구하라.

Sol

I B

dt m dv ma

F

x

    

R v B B

dt I m dv

2 2

 

mR dt B v

dv 

 

 

22

viv

t

dt mR

B v

dv

0 2 2

mR t B v

n v

i

 

 

 

 

 

2 2

1 

)

/

1

( vv

i

e

t

2

where,

2

l B

mR

- Dragged Motional emf (자기장에서의 직선 도선의 운동 정리)

R v IB

∵ “-” : 유도전류 (왼쪽방향)

시간상수

(감속)

(13)

(B) 같은 결과를 에너지로 접근하여 얻을 수 있음을 보여라.

Sol 고립계로 모형화하면, 막대가 잃는 운동에너지가 저항기에서의 내부 에너지 변화와 같게 된다.

- 유도 전류 :

- 기전력 emf :

( 3 ) E  IRBv

i

e

t/

)

/

2

( v

i

e

t

R

IB

bar resistor

P

P  

 

 

2 2

2 1 mv dt

R d I

dt mv dv dt mv

dv dv

d R

v R B

R R vB

I      

 

  )

2

( 1

2

2 2 2 2

2

 

mR dt B v

dv 

 

 

2

2 (A)에서 구한 결과와 같다.

(14)

비행기의 양 날개 사이의 전위차 Aside Ex

- 비행기가 서울에서 LA로 향한다 - 비행기의 속도

v

B

(지구 자기장) - 비행기 양 날개 사이의 길이가 70

m

,

속도

v

=1000

km

/

h

라면

s m m

v 280 /

sec 360

10

1000 

3

Sol

지구 자기장

B

=0.5

G

= 0.5×10-4

T

V s

m m

T v

B  0 . 5  10

4

 70  280 /  0 . 98

 

E

cf

) 비행기의 몸체 표면은 도체로 만든다.

→ 만일 부도체로 만들 경우 전하의 대전에 의하여 위험.

cf

) Zeppelin

Heidenburg

)

(15)

균일한 자기장

B

내에서 길이

인 막대가 한끝을 축으로 각속도

ω

로 회전 (선속도

v

=

)

- 미소 길이

dr

에 의한 미소 유도 기전력

Bvdr d

v

B  

 E

E 

cf

) 회전의 중심이 막대의 중심에 있을 경우 :

cf

) 양끝에 같은 극의 전류가 유도된다

→ 이 경우, 중심에 한 전극, 양 끝에 같은 전극을 연결하면 두배가 된다 Sol

회전하는 막대에 유도되는 운동기전력 예제 31.4

2 0

2

0

2 1 2

1 

B r

B

dr Br

Bvdr

  

E

2

0

2

  

Br dr

Bvdr

E

(16)

역선의 자름 Aside Ex

가로

w

, 세로

인 직사각형 모양의 도선이 폭 3

w

인 자기장 (×방향)에 대하여 일정한 속도

v

움직인다면 도선의 위치에 따른 - 자속

Φ

m=

BA

=

Bℓ w

- 유도 기전력 : E =

Bℓ v

- 도선에 작용하는 외력 :

R v B B

I F

m

2 2

 

(17)

31.4 유도 기전력과 전기장

(Induced emf and Electric Fields)

- 변화하는 자기선속이 도선 고리에 기전력과 전류를 유도한다.

결국, 변화하는 자기선속의 결과로서 도체에 전기장이 발생된다.

- 정전하들이 만드는 정전기장과 달리, 이 유도 전기장은 비보존적이다.

- 자속의 변화 → 폐회로에 기전력과 전류를 유도 ∴ 자속에 변하는 도체에 전기장이 형성된다 ⇒ 전자기 유도 법칙 :

자유공간(Free Space)에서 전하가 존재하지 않더라도 변화하는 자속이 있으면

전기장이 형성될 수 있다

→ 이 유도 전기장은 Electrostatic Field (정전기장)과는 여러 가지 다른 성질 o 고리 면과 수직하고 균일한 자기장 내에 놓여진 반지름

r

인 도선 고리를 생각할 때,

자기장의 크기가 변하면 유도 기전력이 고리에 유도된다.

(18)

- 유도 기전력 :

- 유도 기전력에 의하여 유도 전류 발생 - 고리 내부에는 전기장

E

발생

- 고리 내부에서의 전기장

E

는 모든 위치 에서 같은 값을 가진다

- 전기장

E

의 방향은 접선 방향

- 시험 전하

q

가 고리를 한 바퀴 도는 동안 기전력이 한 일은

W

=

q E 이다.

또 고리를 한 바퀴 도는 동안 이 전하를 움직이는데 전기장이 한 일은

W

=

Fℓ

=

qE

(

2πr

)이다.

E r r

qE

q  

) 2 2

( E

E  

dt r dB r dt

r B d r dt

d

E   r

m

    

2 )

( 2

1 2

1 

2

dt d

m

E 

(19)

cf

) 이 구간 내에서 4개의 유사한 Closed Paths를 잡아주면 - 1, 2 에는 동일한 emf 값을 가지나,

- 3은 부분적으로만 emf 값을 가지고

- 4는 emf 값이 0 이다. (∵ 자기장이 걸리지 않는다)

◎ Generalize ! ; 패러데이 법칙의 일반화

- 자기장이 시간에 따라 변화하면 유도 전기장이 생긴다 (유도 전기장을 계산할 수 있다).

- 임의의 폐경로에 대한 기전력은 그 경로를 따라

E

·

dℓ 로 선적분하여 구할 수 있다.

- 자속의 변화에 의한 기전력 :

dt d

m

 E 

  

d E E

cf

) 자기장의 외부 :

r

>

R

) ( R

2

B

m

BA  

r dt

dB r

R dt

R B d r dt

d r

E r

m

1

2 )

( 2

1 2

1 2

2

2

  

 

 

E

(20)

변하는 자기장에 의해 솔레노이드에 유도되는 전기장 예제 31.5

반지름 R 인 긴 솔레노이드가 단위 길이당 n 회씩 도선으로 감겨 있고 사인모양으로 시 간에 따라 변하는 전류 I = Imax cosωt 가 흐르고 있다. Imax는 최대 전류이며 ω 는 교류 전원의 각진동수이다.

(A) 긴 중심축으로 부터 거리 r > R 만큼 떨어진 솔레노이드 바깥 지점에서의 유도 전기 장 크기를 구하라.

Sol

dt

R dB R

dt B d dt

d

B 2 2

) (

) 1

(        

t nI

nI

B   cos 

) 2

( 

0

0 max

t nI

R

dt t nI d

dt R d

B

sin

) (cos )

3 (

max 0

2

max 0

2

 

∴ 유도 기전력에 대한 Faraday's Law ( ; 패러데이 법칙의 일반화) "-" sign : Lenz's Law

- 유도 전기장

E

는 변하는 자기장에 의해서 발생되는 비보존 전기장이다.

dt d d

m

EE

(21)

(B) 중심축에서 거리 r 만큼 떨어진 솔레노이드 내부에서 유도 전기장의 크기를 구하라.

Sol

dt r dB r

dt B d dt

d

B 2 2

) (

) 5

(        

t nI

r

dt t nI d

dt r d

B

sin

) (cos )

6 (

max 0

2

max 0

2

 

t nI

r r

E ( 2  )  

2

0 max

 sin 

) at

( 2 sin

max

0

nI r t r r R

E   

   

( 2 )

) 4

( E d s Er

t nI

R r

E ( 2  )  

2

0 max

 sin 

dt d   d

B

Es

이므로

) at

1 ( 2 sin

2 max

0

r R

t r r

R

EnI  

   

(22)

t BA

B

BA cos   cos 

t NAB

dt t NAB d dt

N d

B

  (cos  )   sin 

 E E

max

NAB

31.5 발전기와 전동기

(Generators and Motors)

o 교류 발전기

(Alternating-Current (AC) Generator)

-o 도선 고리가 자기장 내에서 회전하면, 도선 고리로 둘러싸인 면을 통과하는 자기선속은 시간에 따라 변하며, 이 변화가 패러데이의 법칙에 따라

도선 고리에 기전력과 전류를 유도한다.

(23)

o

직류 발전기

(Direct-Current (DC) Generator)

- 회전하는 코일의 접점에 정류자로 불리는 분할링이 사용되는 차이점만 제외하면, 교류 발전기와 기본적으로 같은 부품으로 되어 있다.

o

전동기

(motor)

- 코일이 자기장 내에서 회전하면, 변하는 자기선속이 코일에 기전력을 유도한다.

이 유도 기전력(역기전력)은 항상 코일에 흐르는 전류를 감소시키는 작용을 한다.

- 전동기의 전원이 켜지는 처음에는 역기전력이 없으므로, 코일의 저항에만 제한 받게되어 전류는 매우 많이 흐르게 된다.

- 전동기가 작동할 때의 전력 수요는 작은 부하일 때보다 큰 부하일 때 더 크다.

(24)

(25)

(26)

31.6 맴돌이 전류

(Eddy Currents)

- 자기장 내에서 운동하는 금속 조각에 맴돌이 전류 (Eddy Currents)라 불리는 회전하는 전류가

유도될 수 있다.

- 금속판이 자기장 속으로 들어감에 따라 변하는 자기선속이 금속판에 기전력을 유도하는데, 이는 금속판 내의 자유 전자들을 움직여 소용돌이치는 맴돌이 전류를 일으키게 한다.

- 렌츠의 법칙에 따라, 맴돌이 전류는 전류를 발생시키게끔 하는 변화를 방해하는 자기장이 발생되는 방향으로 흐른다.

- 이 상황에서 금속판의 운동을 방해하는 반발력이 생긴다(이와는 반대로 상황이 발생했다면 금속판은 가속되고 그 에너지는 매번 흔들릴 때마다 증가하게 되어, 에너지 보존 법칙에 위배된다).

(27)

- 그림의 면 안쪽 방향으로 향하는 자기장

B

가 있는 그림에 표시된 것처럼, 유도되는 맴돌이 전류는 금속판이 위치 1에서 자기장 안으로 들어갈 때

시계 반대 방향이 되는데, 이것은 금속판을 통과하는 그림의 면 안쪽 방향의 외부 자기선속이 증가하기 때문이다. 따라서 렌츠의 법칙에 의해, 유도 전류는 그림의 면 바깥 방향의 자기장을 만들어야만 한다.

- 금속판이 자기장을 벗어나는 위치 2에서는 그 반대가 되며, 맴돌이 전류는 시계 방향이다.

유도되는 맴돌이 전류는 금속판이 자기장 안으로 들어가거나 나올 때 항상 자기적 저항력 FB 를 만들기 때문에, 금속판은 결국 정지하게 된다.

- 많은 지하철과 고속 주행 차량의 제동 장치는 전자기 유도와 맴돌이 전류를 이용한다.

- 맴돌이 전류는 역학적 에너지를 내부 에너지로 변환시키기 때문에 때때로 달갑지 않은 현상이 될 수도 있다. 이 경우, 큰 고리 전류를 막고 전류를 각 층에 작은 고리 전류로 가두기 위해 도체 일부에 박막을 입히기도 한다.

(28)

※ 맥스웰 방정식

(Maxwell's Equations)

- Gauss’s Law :

⇒ 전기 선속의 세기는 폐곡면내의 순전하

q

in에 의존한다.

- : No Magnetic Monopole ! (폐굑면내의 알짜 순자속은 없다.) - Faraday’s Law :

⇒ 유도 기전력의 크기는 자속의 시간 변화율에 의존한다.

“-” sign : Lenz’s Law → 유도 기전력의 방향은 자속의 변화를 방해하는 방향 - Ampere’s Law :

⇒ (유도) 자기장의 세기는 전류의 크기와 전기 선속의 시간 변화율에 의존한다.

cf

) 전자기파의 속도는 빛의 속도와 같다.

(∴ 전자기파 = 빛)

in0

dA q E

B d A 0

E d A d dt

m

B d s

0

I

In

0

0

d dt

E

8

2

2 0

0

m/sec 10

1  c  3 

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