Ch. 6 라플라스 변환 ( Laplace Transforms)

(1)

Ch. 6 라플라스 변환

Ch. 6 라플라스 변환 ( Laplace Transforms)

z 제어 시스템 해석, 설계 등 미분방정식을 풀 수 있는 도구로 공학전반에 널리 이용

z

라플라스 변환(Laplace Transform)방법

• 상미분방정식을 라플라스 변환하여 보조방정식으로 변환

• 대수적인 연산을 통하여 보조방정식을 푼다.

• 보조방정식의 해를 역변환하여 상미분방정식의 해를 구한다.

z

장점

• 비제차 상미분방정식의 해를 구할 때, 제차 상미분방정식의 일반해를 따로 구할 필요가 없다.

• 초기값은 보조방정식을 만드는 과정 중에서 자동적으로 고려된다.

• 불연속성, 순간적인 충격량, 또는 복잡한 주기함수를 입력으로 갖는 상미분방정식도 쉽게 해를 찾을 수 있다.

(2)

< Time domain과 s-Domain과의 관계>

(3)

Ch. 6 라플라스 변환 6.1 라플라스 변환. 역변환. 선형성 그리고 s-이동

z 라플라스 변환(Laplace Transform) :

z

역변환(Inverse Transform) :

6.1 라플라스 변환. 역변환. 선형성 그리고 s-이동

(Laplace Transform. Inverse Transform. Linearity. s-Shifting)

( ) s ( ) f e f ( ) t dt F ⁼ ⁼

^∞

∫

⁻^st

0

L

( ) F = f ( ) t

L−1

Ex.1 일 때t≥0 f

( )

t =1 이라 하자. 를F

( )

s 구하라.

( ) ( )

1 1

(

0

)

1

0 0

>

=

−

=

− ∞

∞ −

∫

^e ^dt _s^e _s ^s

f L ^st ^st

L

Ex.2 일 때^t^≥⁰ ^f

( )

^t =^e^at 이라 하자. 를L

( )

f 구하라.

( )

¹ ⁽ ⁾ ¹

0 e 0 s a

s dt a

e e

eât ^st ât ^s â^t

= −

=^∞

∫

⁻ ⁻ ⁻ ^∞

L

(4)

z 라플라스 변환의 선형성 : 라플라스 변환은 선형연산이다.

( ) ( )

( af t bg t ) a L ( f ( ) t ) b L ( ) g ( ) t

L + = +

Ex.3 쌍곡선 함수 ^cosh^at 와 ^sinh^at의 라플라스 변환을 구하라.

(

êât ê ât

)

^at

(

êât ê ât

)

at= + ⁻ = − ⁻

2 sinh 1 2 ,

cosh 1

( ) ( )

a e s

a,

e^at s ^at

= +

= − ⁻ 1

1 L L

( ) [ ( ) ( ) ]

₂ ₂

2 2

1 1

2 1 2

sinh 1

1 1

2 1 2

cosh 1

a s

a a

s a e s

e at

a s

s a

s a e s

e at

at at

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

= −

−

=

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

= − +

=

⇒

−

L L

L

L L

L

(5)

z 제 1이동정리(First Shifting Theorem), s-이동

( )

(

f t

)

=F

( )

s ⇒ L

(

e^atf

( )

t

)

=F

(

s−a

)

, e^atf

( )

t =L^-¹

{

F

(

s−a

) }

L

Ex.3

위의 관계식을 사용하여, 다음 식에 대한 라플라스 역변환을 구하라.

(

^cos

)

₂ ₂

(

^cos

) ₍ ₎

₂ ₂

ω ω ω ω

+

−

= − + ⇒

= s a

a t s

s e

t s L ^at

L

(

^sin

)

₂ ₂

(

^sin

) ₍ ₎

₂ ₂

ω ω ω

+

= − + ⇒

=

a s t s e

t L ^at

L

( )

2 401

137 3

2+ +

= −

s s f s L

( )

( ) ( ) ( )

e

(

t t

)

s s

f s ^t 3cos20 7sin20

400 1

7 20 400 1

3 1 400 1

140 1 3

2 1

2

1 ⎟⎟= −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

− +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

=L⁻ + L⁻ L⁻ ⁻

6.1 라플라스 변환. 역변환. 선형성 그리고 s-이동

(6)

z 라플라스 변환의 존재정리

함수 가 영역 상의 모든 유한구간에서 구분적 연속인 함수.

어떤 상수 와 에 대해

모든 에 대해 의 라플라스 변환 가 존재

( ) t Me

^kt

f ≤

( ) t

f t ≥ ⁰

k M

⇒ _s > _k f ( ) t L ( ) f

(7)

6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식

(Transform of Derivatives and Integrals. ODEs)

z 도함수의 라플라스 변환 : L ( ) f ' = s L ( ) ( ) f − f 0 , L ( ) f '' = s

²

L ( ) f − sf ( ) 0 − f ' ( ) 0

( ) f

( )ⁿ

= s

ⁿ

L ( ) f − s

ⁿ⁻¹

f ( ) 0 − s

ⁿ⁻²

f ' ( ) 0 − L − f

⁽ⁿ⁻¹⁾

( ) 0 L

Ex.1 라 하자. 의 변환^f

( )

^t =^tsinω^t f

( )

t L

( )

f 을 구하라.

( )

f

( )

t t t t f

( )

f

( )

t t t t

f 0 =0, ' =sinω +ω cosω , ' 0 =0, '' =2ωcosω −ω² sinω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

² ²

)

²

2 2

sin 2

2

''

ω

ω ω ω ω

ω − = ⇒ = = +

= +

⇒

s t s t f

f s s f

f s L L L L

L

6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식

(8)

Ch. 6 라플라스 변환 6.2 도함수와 적분의 변환. 상미분방정식

z 적분의 라플라스 변환 : ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

= ^F ^s ∫ ^f ^d _s ^F ^x ^, ∫ ^f ^d _s ^F ^x

t

f

^-

t

1 1

¹

0 0

L L

L

τ τ τ τ

Ex.3 과^s

(

^s²¹⁺^ω²

)

의 역변환을 구하라.

(

^s

)

^d

⁽

^t

⁾

t s s

t ω

τ ω ω

ωτ ω ω

ω

ω ¹ ^cos

1 sin

1 1sin

1

2 0

2 2 1 2

2

1 ⎟⎟⎠= = −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⇒ +

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ ⁻

∫

− L

L

(

² ²

)

2

1 ω + s s

(

² ²

)

² ₀

⁽ ⁾

² ³

2

1 sin

cos 1 1

1

ω ω τ ω

ω ωτ ω

t d t

s s

t

−

=

−

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

∫

L−

(9)

z 미분방정식, 초기값 문제

•

1단계 보조방정식(Subsidiary Equation)의 도출 : 로 표기

•

2단계 대수학적인 방법에 의한 보조방정식의 풀이 전달함수(Transfer Function) :

보조방정식의 해 :

•

3단계 역변환하여 해 구하기

( ) , ( ) 0

₀

, ' ( ) 0

₁

'

'' ay by r t y K y K

y + + = = =

( ) y R ( ) r Y =

L

, =

L

( ) ( )

[ s

²

Y − sy 0 − y ' 0 ] + a [ sY − y ( ) 0 ] + bY = R ( ) s

( s

²

+ as + b ) Y = ( s + a ) ( ) y 0 + y ' ( ) ( ) 0 + R s

( )

2 2 2

4 1 2

1 1 1

a b a b s

as s s

Q

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + + =

= +

( ) ( s [ s a ) ( ) y y ( ) ] Q ( ) ( ) ( ) s R s Q s

Y = + 0 + ' 0 +

(10)

Ex. 4 다음 초기값 문제를 풀어라.

Step 1 보조방정식

Step 2 전달함수

Step 3 역변환

( )

⁰ ¹^, ^'

( )

⁰ ¹

,

''−y=t y = y = y

( ) ( )

₂

( )

² ₂

2 1

1 1

1 0

'

0 s Y s s

Y s y sy Y

s − − − = ⇒ − = + +

1 1

2−

= s Q

( ) ( )

^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+ −

= − + −

−

= + +

+

= ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 1₂

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

s s

Q s Q s

s Y

( ) ( )

e t t

s s

Y s t

y ⎟= ^t + −

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

= ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ 1 sinh

1 1 1

1

2 1 2

1 1

1 L L L

L

(11)

Ch. 6 라플라스 변환 6.3 단위계단함수. t-이동

6.3 단위계단함수. t-이동(Unit Step Function. t-Shifting)

z 단위계단함수의 라플라스 변환

•

단위계단함수( Heaviside 함수) :

•

단위계단함수의 라플라스 변환 :

( ) ( )

( )

⎩ ⎨

⎧

>

= <

− t a

a a t

t

u 1

0 ( )

{ }

s a e

t u

−as

=

− L

z 제 2이동정리( Second Shifting Theorem ), t -이동

( )

( ^f ^t ) ⁼ ^F ( ) ^s ^⇒ L ( ^f ( ^t ⁻ â ) ( û ^t ⁻ â ) ) ⁼ ê

⁻^as

^F ( ) ^s ^, ^f ( ^t ⁻ â ) ( û ^t ⁻ â ) ⁼ L

^-¹

{ ^e

⁻^as

^F ( ) ^s }

L

(12)

Ch. 6 라플라스 변환 6.3 단위계단함수. t-이동

Ex.1 아래의 식으로 정의된 함수 를 단위계단함수를 사용하여 표현하고, 그 변환을 구하라.

Step 1 단위계단함수의 식 : Step 2 항별 라플라스 변환

( )

t f

( ) ( )

( )

(

₂

)

cos

1 2 2

1 0 2

2

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<

=

π π t

t t t

t t

f

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

− +

−

= π π

2 cos 1

2 1 1

2 1 1 1

2 u t t² u t u t t u t

t f

( ) ( ) ( ) ( )

( )

₂ ²

2 2 2 3 2 2

2

2 3 2 2

0 1 2

1 2

sin 1 2

cos 1

2 8 1 2

1 8

2 1 2 2

1 2 1 2

1 2

1

2 1 1 1 1

2 1 1 2 1

1 1 2

1

s

s s

s e t

u t

t u t

s e s t s

u t

t t

u t

s e s t s

u t

t t

u t

π

π π

π

π π π

π π π π

π

−

− +

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + − +

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ −

L L

( )

₃ ₂ ₃ ₂ ² ² ₂ ²

0 1 8

2 1 2

1 1 1 2

2 ^s ^s ^s e ^s

e s s s e s

s s e s

s f s

L ₋ ₋ π π ⁻^π ⁻^π

− +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+

−

=

⇒

(13)

Ex. 2 다음의 라플라스 역변환 를 구하여라.

( ) ( )

²

3 2

2 2 2

2 + +2

+ +

= +⁻ ⁻ ⁻

s e s

e s

s e F

s s

s

π π

( )

t f

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

^{( )}

( )

( ) ( )

( )

^{( )}

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

−

<

−

<

=

−

− +

−

− +

−

=

⇒

−

3 t 3

3 t 2 0

2 t 1 sin

1 t 0 0

3 3

2 2

1sin 1 1

1sin

3 2

t

e t

t

t u e t t

u t t

f

π π

π π π π

π π π

t s

sin 1

2 2

1 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + L−

(

s

)

^te ^t

s t

2 2

1 2

1

2 1

1 ₋ ₋

− ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⇒ +

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ L

L (제 1이동정리)

6.3 단위계단함수. t-이동

(14)

Ch. 6 라플라스 변환 6.4 짧은 충격(Short Impulse). Dirac의 델타함수

6.4 짧은 충격. Dirac의 델타함수

(Short Impulses. Dirac’s Delta Function. Partial Fractions)

z Dirac 의 델타함수의 라플라스 변환

•

Dirac 의 델타함수 또는 단위충격함수 :

•

Dirac ^의 ^{델타함수의} ^라플라스 ^변환 ^:

( ) ( )

( )

⎩ ⎨

⎧ ∞ =

=

− 0 그 밖의 경우

a a t

δ t

( ) ( )

( a t a k ) ( t a ) f ( t a )

a k t

f

_k

k

⇒ − =

k

−

⎩ ⎨

⎧ ≤ ≤ +

=

− lim

→ 0

0 1 δ

경우 밖의 그

( ) 1 1 ( ) 1

0 0

=

−

⇒

=

− ∫ ∫

∫

⁺ ^∞

∞

dt a t k dt

dt a t f

k a

a

k

δ

( ) [ ( ) ( ( ) ) ]

( )

(

k

) [

^as ⁽^a ^k⁾^s

]

^as ^ks

^{ ⁽ ⁾ ^}

^as

k

e a ks t

e e e

ks e a

t f

k a t u a t k u a t f

− −

− +

−

− = − ⇒ − =

=

−

⇒

+

−

=

−

L

δ

L

1 1

1

(15)

Ch. 6 라플라스 변환 6.4 짧은 충격(Short Impulse). Dirac의 델타함수

Ex. 2. 단일 구형파 대신 에서 단위충격이 가해졌을 때 그 응답을 구하라.

상미분방정식 :

보조방정식 :

=1 t

( )

1,

( )

0 0, '

( )

0 0 2

' 3

''+ y+ y= t− y = y =

y δ

e s

Y sY Y

s² +3 +2 = ⁻

( ) ( )( )

^s ^s ^e ^s^s ^s ^s ^e ^s

Y ⁻

− ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

= + +

= +

2 1 1 1 2

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

⎩⎨

⎧

>

−

<

= <

= ⁻ ₋ ₋ ₋ ₋

1 t

1 t 0 0

1 2 1 1

t

t e

Y e t

y L

(16)

Ch. 6 라플라스 변환 6.5 합성곱. 적분방정식

6.5 합성곱. 적분방정식(Convolution. Integral Equations)

z 합성곱(Convolution):

z

합성곱의 성질

•

교환법칙 :

•

분배법칙 :

•

결합법칙 :

•

합성곱의 특이성질 :

z

합성곱 정리 :

(

f g

)( )

t f

( ) (

τ g t τ

)

dτ

t −

=

∗

∫

0

( f g )

L

( ) ( ) f

L

g

L

∗ =

Ex. 1 에 대한 역변환 를 구하여라.

f g g

f ∗ = ∗

(

g₁ g₂

)

f g₁ f g₂

f ∗ + = ∗ + ∗

(

f ∗g

)

∗v= f ∗

(

g∗v

)

0 0

0= ∗ =

∗ f f

f f ∗1≠

( )

s

[ (

s a

)

s

]

H = 1 − h

( )

t

( )

¹ ¹ ¹

(

¹

)

1 1

1 ,

0 1

1 ⎟= ⇒ = ∗ = • = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− ⁻ ⁻

∫

− at

t a at

at e

d a e e

t s h

a e

s L ^τ τ

L

(17)

Ch. 6 라플라스 변환 6.5 합성곱. 적분방정식

z 적분방정식(Integral Equation)

Ex.6 제 2종 Volterra 적분방정식을 풀어라.

합성곱을 이용

라플라스 변환

( )

t y

( ) (

t

)

d t y

t

=

−

∫

^τ ^sin ^τ ^τ

0

t t y

y− ∗sin =

( ) ( )

₂ ¹₂

1 1

s s s

Y s

Y =

− +

( ) ( )

6 1 1

1 ³

4 2 4

2 t

t t s y

s s s s

Y = + = + ⇒ = +

(18)

Ch. 6 라플라스 변환 6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식

z

변환의 미분 :

6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식

(Differentiation and Integration of Transforms.

ODEs with Variable Coefficients)

( ) ⁼ ( ) ( ) ⁼

^∞

∫

⁻

( ) ^⇒ ( ) ⁼ ⁼ ⁻ ∫

^∞ ⁻

( ) ⁼ ⁻ ( )

0 0

'

e tf t dt tf ds

s dF F dt

t f e t f s

F

L ^st ^st L

( )

( tf t ) = − F ( ) s { F ( ) s } = − tf ( ) t

⇒

L

' ,

L⁻¹

'

(19)

Ex.1 세 개의 공식을 유도해 보자.

6.6 변환의 미분과 적분. 변수계수의 상미분방정식

( )

^f

L ^f

( )

^t

(

^s² ⁺¹^β²

)

² ₂_β¹³

⁽

^sin^β^t⁻^β^t^cos^β^t

⁾ (

^s² ⁺^s^β²

)

² ₂^t_β^sin^β^t

(

² ²

)

²

2

β + s

s

(

βt βt βt

)

β ^sin ^cos 2

1 +

(

sin

)

₂ ₂

β β β

= + t s

L

( )

(

²² ²

)

²

sin β

β β

= + s t s L t

미분에 의하여

(

² ²

)

²

2 sinβ β

β ^⎟⎟_⎠⁼ ₊

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

s t s L t

(

cos

)

₂ ₂

β β

= + s t s

L 미분에 의하여

( ) ( )

( ) (

² ²

)

²

2 2 2 2

2

2 2

cos β

β β

+

= − +

−

− +

=

s s s

s t s

L t

( ) ( ) ( )

(

² ²

)

²

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 1

1sin

cos β

β β

β β β β

β β

+ +

±

= −

± + +

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ±

s s s

s s t s t

L t

(20)

( ) ( ) ( ) ( )

t t s f

d s F s

d s t F

t f

s s

⎭ =

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⇒ ⎧

⎭ =

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

^∞

∫ ^~ ^~

^L⁻¹ ^∞

∫ ^~ ^~

L

Ex.2 제 함수 의 역변환을 구하라.

Case 1) 변환의 미분이용

Case 2) 적분이용

z

변환의 적분 :

2 2 2 2

2

ln 1

ln s

s s

ω ω ⎟⎟⎠= +

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

( )

(

^ln ² ² ^ln ²

)

₂² ₂ ²₂

s s s

s s ds s

d −

= +

−

+ω ω

( ) ( ) ( ( ) )

t tf

( )

t

s s s

s s s F

f s

F ⎟= − =−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= +

⎟⎟ ⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

= ⁻ ⁻ 2 2 2cos 2

' 1

ln ₂ ¹ ¹ ₂ ₂ ₂

2 ω

ω

ω L L

L

( )

t

t t

f −

= −

∴ 2cos 2

ω

2 2 2 2

2

ln 1

ln s

s s

ω ω ⎟⎟⎠= +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + 미분

( )

2 2

( )

₁

( ) (

2 cos 1

)

2

2 − ⇒ = = −

= + g t ⁻ G t

s s

G ω

ω ^L

( ) ( ) (

t

)

t t

t s g

d s

s _sG ω

ω ~ ~ 2 1 cos

1

ln ₂ ¹

2

1 ⎟⎟=− = −

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⁻

∫

^∞

− L

L

(21)

z

변수계수(Variable Coefficient)를 가진 상미분방정식

( ) [ ( ) ]

( ) ^'' [ ( ) ⁰ ^' ( ) ⁰ ] ² ^{( )} ⁰

0 '

2

y

ds s dY sY y

sy Y ds s ty d

ds s dY Y y

ds sY ty d

+

−

=

−

=

−

=

−

=

L L

Ex.3 Laguerre의 상미분방정식, Laguerre 다항식

( )

t y ny

(

n , , , _L

)

ty''+1− '+ =0 =0 1 2

( ) ( ) ( ) ⁽ ⁾

( )

1 2

2 2

1 1

0 1

0 0

0 2

+

= −

⎟ ⇒

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= −

−

− +

=

⇒

=

− + +

⇒

=

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

−

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡− − +

n n

s Y s s ds

n s

ds n s-s

s n Y dY

Y s ds n

s-s dY ds nY

sdY Y y

sY ds y

s dY sY

( )

⁼ ⁻

( )

⁼_⎪⎩^⎪^⎨^⎧

( )

⁻ , ⁼⁼1, 2, L

!

0 1

1

n e dt t

d n e

n , Y

t

l _n _t

n n t

n L

(22)

Ch. 6 라플라스 변환 6.7 연립상미분방정식

6.7 연립상미분방정식(Systems of ODEs)

Ex.3 용수철에 달린 두 물체의 모델

물체의 질량은 각각 1이고, 용수철 자체의 질량은 무시할 수 있으며, 용수철상수는 모두 k이다.

( )

(

₂ ₁

)

₂

2 2

1 2 1 1

2

3 3

kY Y Y k k s Y s

Y Y k kY k s Y s

−

= +

−

− +

−

=

−

( )

(

₂ ₁

)

₂

2

1 2 1 1

'' ''

ky y y k y

y y k ky y

−

=

− +

−

=

( ) ( )

( )

k y

( )

k

y

y y

3 0

, 3 0 '

, 1 0 , 1 0

2 1

−

=

라플라스 변환

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

(

^s^s ^k^k

)

^k^k ^s ^k ^s ^s ^k ^s ^k^k

k Y s

k s

k k

s s k

k s

k s k k s k Y s

3 3 2

3 2

3

3 3 2

3 2

3

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 1

− +

= +

− +

− + +

= −

+ +

= +

− +

− + +

= + 지배방정식 :

초기조건 :

Cramer의 법칙 또는 소거법 적용

( ) ( )

( )

^t

( )

^Y ^k^t ^k^t

y

t k t

k Y

t y

3 sin cos

2 1 2

1 1 1

−

=

+

=

−

L

L 역변환

Ch. 6 라플라스 변환 ( Laplace Transforms)