정답과 해설
Ⅰ . 함수의 극한과 연속
2Ⅱ . 미분
17Ⅲ . 적분
471
-1 ⑴ limx Ú 0- f(x)=1⑵ lim
x Ú 2- f(x)=3
⑶ lim
x Ú 2+ f(x)=0
⑷ lim
x Ú 10+ f(x)=0
1
-2 ⑴ limx Ú 0- f(x)=1⑵ lim
x Ú 1- f(x)=0
⑶ lim
x Ú 1+ f(x)=1
⑷ lim
x Ú 3+ f(x)=3
2
-1 ⑴ limx Ú -1 f(x)=1⑵ lim
x Ú 1- f(x)=-1, lim
x Ú 1+ f(x)=1이므로
lim
x Ú 1- f(x)+ lim
x Ú 1+ f(x) 따라서 lim
x Ú 1 f(x)는 존재하지 않는다.
2
-2 ⑴ limx Ú 1 f(x)=2⑵ lim
x Ú 2- f(x)=1, lim
x Ú 2+ f(x)=0이므로 lim
x Ú 2- f(x)+ lim
x Ú 2+ f(x) 따라서 lim
x Ú 2 f(x)는 존재하지 않는다.
3
-1 ⑴ f(x)=;[%;로 놓으면 함수x y=f{x}
y
O
y=f(x)의 그래프는 오른
쪽 그림과 같고, x의 값이 한 없이 커질 때 f(x)의 값은 0 에 한없이 가까워지므로 lim
x Ú ¦ ;[%;=0
I 함수의 극한과 연속
01 함수의 극한
교과서 개념
확인 테스트
본문 10~11 쪽1
1 -1 ⑴ 1 ⑵ 3 ⑶ 0 ⑷ 0 1 -2 ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ 1 ⑷ 3 2 -1 ⑴ 1 ⑵ 존재하지 않는다.
2 -2 ⑴ 2 ⑵ 존재하지 않는다.
3 -1 ⑴ 0 ⑵ -¦ 3 -2 ⑴ 0 ⑵ ¦ 4 -1 12 4 -2 ⑴ 21 ⑵ 10 5 -1 ⑴ 2 ⑵ ;4!; 5 -2 ⑴ 2 ⑵ ;4!;
6 -1 1 6 -2 ;3!;
⑵ f(x)=112x+12 -x로 놓으
x y
O y=f{x}
면 함수 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커지므로
x limÚ ¦{112x+12 -x}=-¦
3
-2 ⑴ f(x)=112x+23 으로 놓으면x y
O -2 y=f{x}
함수 y=f(x)의 그래프는
오른쪽 그림과 같고, x의 값 이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지 므로
lim
x Ú ¦ 112x+23 =0
⑵ f(x)=2x2-10으로 놓으
-10
y=f{x}
x y
O
면 함수 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커질 때 f(x)의 값은 한없이 커지므로 lim
x Ú -¦(2x2-10)=¦
4
-1 lim x Ú -2{3 f(x)-2 g(x)}= lim
x Ú -23 f(x)- lim
x Ú -22 g(x)
=3 lim
x Ú -2 f(x)-2 lim
x Ú -2 g(x)
=3_2-2_(-3)=12
4
-2 ⑴ limx Ú 1{5 f(x)-4}=limx Ú 15 f(x)-lim
x Ú 14
=5 lim
x Ú 1 f(x)-4
=5_5-4=21
⑵ lim
x Ú 1{ f(x)g(x)}=limx Ú 1 f(x)lim
x Ú 1 g(x)
=5_2=10
5
-1 ⑴ limx Ú 11125xx-12-1 =limx Ú 1
(x+1)(x-1) 1121111x-1
=limx Ú 1(x+1)=2
⑵ lim
x Ú 0
'Äx+4-2 11211x =lim
x Ú 0
('Äx+4-2)('Äx+4+2) 11211111111x('Äx+4+2)
=limx Ú 0
1121112x('Äx+4+2)x
=limx Ú 0
112123'Äx+4+21 =;4!;
2
I. 함수의 극한과 연속1
-1 ⑴ limx Ú 1- f(x)=1⑵ lim
x Ú 2+ f(x)=0
1
-2 ⑴ lim x Ú 1- f(x)=2⑵ lim
x Ú 2+ f(x)=2, lim
x Ú 3- f(x)=2이므로 lim
x Ú 2+ f(x)+ lim
x Ú 3- f(x)=4 기출
기초 테스트
2
본문 12~15 쪽1 -1 ⑴ 1 ⑵ 0 1 -2 ⑴ 2 ⑵ 4 2 -1 ⑴ -1 ⑵ -3 2 -2 ⑴ 2 ⑵ 2 3 -1 존재하지 않는다. 3 -2 2 4 -1 ⑴ 2 ⑵ 0 4 -2 ⑴ 0 ⑵ 2 5 -1 ⑴ 10 ⑵ 8 5 -2 13 6 -1 ⑴ -12 ⑵ -2 6 -2 ⑴ 15 ⑵ 1 7 -1 ⑴ -6 ⑵ -5 7 -2 ⑴ 3 ⑵ -;3@;
8 -1 ⑴ ;2!; ⑵ ;4!; 8 -2 ⑴ ;4!; ⑵ -8 9 -1 ⑴ 2 ⑵ 1 9 -2 ⑴ 2 ⑵ 3 10 -1 a=3, b=2
10 -2 ⑴ a=3, b=2 ⑵ a=-2, b=3
11 -1 a=-1, b=;2!; 11 -2 a=3, b=4 12 -1 ;2!; 12 -2 ;5!;
2
-1 함수 y=f(x)의 그래프는 오x y
-2 O -1 -3
y=f{x}
른쪽 그림과 같다.
⑴ lim
x Ú -2- f(x)=-1
⑵ lim
x Ú -2+ f(x)=-3
2
-2 함수 y=f(x)의 그래프는 오x y=f{x}
y 2
O 1
른쪽 그림과 같다.
⑴ lim
x Ú 1- f(x)=2
⑵ lim
x Ú 1+ f(x)=2
3
-1 함수 y=f(x)의 그래프는 오x y=f{x}
y 1
-1 O 1
른쪽 그림과 같으므로
x limÚ 1- f(x)=-1,
x Ú 1+lim f(x)=1
∴ lim
x Ú 1- f(x)+ lim
x Ú 1+ f(x) 따라서 lim
x Ú 1 f(x)는 존재하지 않는다.
3
-2 함수 y=f(x)의 그래프는 오x O
y 2 1
1 y=f{x}
른쪽 그림과 같으므로
x limÚ 1- f(x)=2,
x limÚ 1+ f(x)=2
∴ lim
x Ú 1 f(x)=2
4
-1 ⑴ f(x)=;[!;+2로 놓으면O x 2 y
y=f{x}
y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 lim
x Ú¦{;[!;+2}=2
⑵ f(x)=11251-x3 으로 놓으면
O x 1 y
y=f{x}
y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 lim
x Ú -¦
11251-x3 =0
4
-2 ⑴ f(x)=1125x-15 로 놓으면O x 1 y
y=f{x}
y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로
x lim Ú -¦
1125x-15 =0
⑵ f(x)=1125x+31 +2로 놓으면
O x 2 -3
y
y=f{x}
y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로
x limÚ ¦{1125x+31 +2}=2
5
-2 ⑴ limx Ú 21121xx22-2x-4 =limx Ú 2
(x+2)(x-2) 1121111x(x-2)
=limx Ú 2
112x+2 x =2
⑵ lim
x Ú 1
'Äx+3-2 112113x-1
=limx Ú 1
('Äx+3-2)('Äx+3+2) 112111111113(x-1)('Äx+3+2)
=limx Ú 1
112111111(x-1)('Äx+3+2)x-1
=limx Ú 1
112123'Äx+3+21 =;4!;
6
-1 limx Ú 1(2x-1)=limx Ú 1 x2=1이므로 함수의 극한의 대 소 관계에 의하여 limx Ú 1 f(x)=1
6
-2 limx Ú ¦11223x+2x+1 = limx Ú ¦
11223x+1x+1 =;3!;이므로 함수의 극한 의 대소 관계에 의하여
x Ú ¦lim f(x)=;3!;
5
-1 ⑴ limx Ú 2 5 f(x)=5 limx Ú 2 f(x)=5_2=10
⑵ lim
x Ú 2{ f(x)-2 g(x)}=limx Ú 2 f(x)-2 lim
x Ú 2 g(x)
=2-2_(-3)=8
5
-2 limx Ú 1111142 f(x)+3g(x)-1 =limx Ú 1{2 f(x)+3}
11111123lim
x Ú 1{ g(x)-1}
=2 lim
x Ú 1 f(x)+3 111111lim
x Ú 1 g(x)-1
=11124 2_5+32-1 =13
6
-1 ⑴ limx Ú 1{(x+5)(x2-3)}=(1+5)(1-3)=-12⑵ lim
x Ú 0
111 5x-6x2+3=122 -63 =-2
6
-2 ⑴ limx Ú 2{(x2-1)(x2+1)}=(22-1)(22+1)=15⑵ lim
x Ú -1
111 2x+4x2+1=11112 (-1)-2+4 2+1 =1
7
-1 ⑴ limx Ú -2 11111 x2-2x-8x+2 = limx Ú -2
(x+2)(x-4) 1111112 x+2
= lim
x Ú -2(x-4)=-6
⑵ lim
x Ú -1
x2-3x-4 11111 x+1 = lim
x Ú -1
(x+1)(x-4) 1111112 x+1
= lim
x Ú -1 (x-4)=-5
7
-2 ⑴ limx Ú 211111 x2-x-2x-2 =limx Ú 2
(x+1)(x-2) 1111112 x-2
=limx Ú 2(x+1)=3
⑵ lim
x Ú -1
x2-1 111 x3+1= lim
x Ú -1
(x+1)(x-1) 111111112 (x+1)(x2-x+1)
= lim
x Ú -1
11112 x2-x+1x-1 =-;3@;
8
-1 ⑴ lim x Ú 1 111 'x-1 x-1 =limx Ú 1
('x-1)('x+1) 111111125 (x-1)('x+1)
=lim
x Ú 1
111111225 (x-1)(x-1'x+1)
=lim
x Ú 1
1122 'x+11 =;2!;
⑵ lim
x Ú 2
'Äx+2-2 111125 x-2
=lim
x Ú 2
('Äx+2-2)('Äx+2+2) 1111251111124 (x-2)('Äx+2+2)
=lim
x Ú 2
1111251111 (x-2)('Äx+2+2)x-2
=lim
x Ú 2
111125 'Äx+2+21 =;4!;
8
-2 ⑴ lim x Ú 4 1115 'x-2 x-4 =limx Ú 4
('x-2)('x+2) 11111112 (x-4)('x+2)
=lim
x Ú 4
11111113 (x-4)(x-4'x+2)
=lim
x Ú 4
111 'x+21 =;4!;
⑵ lim
x Ú -1
x2-1 111125 'Äx+5-2
= lim
x Ú -1
(x2-1)('Äx+5+2) 111111111123 ('Äx+5-2)('Äx+5+2)
= lim
x Ú -1
(x+1)(x-1)('Äx+5+2) 111111111111 x+1
= lim
x Ú -1 {(x-1)('Äx+5+2)}
=-8
9
-1 ⑴ lim x Ú ¦1111 4x2x2+3x2+3 = limx Ú ¦
4+;[#;
1112 2+13 x32
=2
⑵ lim
x Ú ¦("Ãx2+x-"Ãx2-x)
= lim
x Ú ¦
("Ãx2+x-"Ãx2-x)("Ãx2+x+"Ãx2-x) 1111111111111111 "Ãx2+x+"Ãx2-x
= lim
x Ú ¦
11111111 "Ãx2+x+2x"Ãx2-x
= lim
x Ú ¦
11111111 2
®É1+;[!;+®É1-;[!;=1
9
-2 ⑴ lim x Ú ¦1111122 10x5x2+3x-72+2 = limx Ú ¦
10+;[#;- 713 x2 111111
5+13 x22
=2
⑵ lim
x Ú ¦("Ãx2+4x-"Ãx2-2x)
= lim
x Ú ¦
("Ãx2+4x-"Ãx2-2x)("Ãx2+4x+"Ãx2-2x) 11111111111111112 "Ãx2+4x+"Ãx2-2x
= lim
x Ú ¦
111111112 "Ãx2+4x+"Ãx6x 2-2x
= lim
x Ú ¦
111111112 6
®É1+;[$;+®É1-;[@; =3
10
-1 x Ú -1일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므 로 (분자) Ú 0이다.즉 lim
x Ú -1 (x2+ax+b)=0이므로 1-a+b=0
∴ b=a-1
b=a-1을 주어진 식에 대입하면
x limÚ -1
x2+ax+a-1 1111112 x+1 = lim
x Ú -1
(x+1)(x+a-1) 111111113 x+1
= lim
x Ú -1(x+a-1)
=a-2 a-2=1이므로 a=3, b=2
4
I. 함수의 극한과 연속10
-2 ⑴ x Ú -2일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재 하므로 (분자) Ú 0이다.즉 lim
x Ú -2(x2+ax+b)=0이므로 4-2a+b=0
∴ b=2a-4
b=2a-4를 주어진 식에 대입하면
x lim Ú -2
x2+ax+2a-4 1111111 x+2
= lim
x Ú -2
(x+2)(x+a-2) 11111111 x+2
= lim
x Ú -2 (x+a-2)=a-4 a-4=-1이므로 a=3, b=2
⑵ x Ú 2일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므 로 (분자) Ú 0이다.
즉 lim
x Ú 2(x2-x+a)=0이므로 4-2+a=0
∴ a=-2
a=-2를 주어진 식에 대입하면 b=lim
x Ú 2
x2-x-2 11112 x-2
=limx Ú 2
(x+1)(x-2) 1111112 x-2
=lim
x Ú 2(x+1)=3
11
-1 x Ú 2일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이다.즉 lim
x Ú 2('Äx+a-1)=0이므로 'Ä2+a-1=0
∴ a=-1
a=-1을 주어진 식에 대입하면 b=lim
x Ú 2
'Äx-1-1 11112 x-2
=limx Ú 2
('Äx-1-1)('Äx-1+1) 11111111112 (x-2)('Äx-1+1)
=limx Ú 2
111111112 (x-2)(x-2'Äx-1+1)
=limx Ú 2
11112 'Äx-1+11 =;2!;
11
-2 x Ú 1일 때 (분자) Ú 0이고 0이 아닌 극한값이 존 재하므로 (분모) Ú 0이다.즉 lim
x Ú 1('Äx+a-2)=0이므로 'Ä1+a-2=0
∴ a=3
a=3을 주어진 식에 대입하면 b=lim
x Ú 1
11112 'Äx+3-2x-1
=limx Ú 1
(x-1)('Äx+3+2) 11111111112 ('Äx+3-2)('Äx+3+2)
=limx Ú 1
(x-1)('Äx+3+2) 1111111123 x-1
=limx Ú 1('Äx+3+2)=4
01
limx Ú 1- f(x)=2, limx Ú 2+ f(x)=0이므로
x Ú 1-lim f(x)+ lim
x Ú 2+ f(x)=2+0=2
02
⑴ limx Ú -1- f(x)=a+1에서 a+1=3 ∴ a=2⑵ lim
x Ú -1+ f(x)=a-1=2-1=1
03
limx Ú 1- f(x)=0, limx Ú 1+ f(x)=0, lim
x Ú 1+ g(x)=1이므로
x limÚ 1- f(x)+ lim
x Ú 1+ { f(x)g(x)}
= lim
x Ú 1- f(x)+ lim
x Ú 1+ f(x) lim
x Ú 1+ g(x)
=0+0_1=0
04
함수 y=f(x)의 그래프는 오른-1 O 1 3 y
y=f{x}
x
쪽 그림과 같으므로
x Ú -1- lim f(x)=1,
x Ú -1+lim f(x)=3
∴ lim
x Ú -1- f(x)+ lim
x Ú -1+ f(x)
=1+3=4 교과서
기본 테스트
3
본문 16~19 쪽01 ② 02 ⑴ 2 ⑵ 1 03 ③ 04 4 05 ③ 06 ⑴ ¦ ⑵ -¦ 07 ④ 08 ④ 09 b<c<a 10 ⑴ 8 ⑵ 0 11 11 12 ⑴ 4 ⑵ -6 13 ⑤ 14 a=3, b=;6!;
15 1 16 ① 17 5 18 5 19 -2 20 ② 21 2 22 a=-1, b=3
23 f(x)=2x(x+1)
12
-1 limx Ú ¦1112 x2x2+2x2+2= limx Ú ¦
x2+4x+1
111212 2x2+1 =;2!;이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여
x lim Ú ¦ f(x)=;2!;
12
-2 limx Ú ¦1112 5xx2+x2+3= limx Ú ¦
x2+3x+1
111212 5x2+2 =;5!;이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여
x lim Ú ¦ f(x)=;5!;
05
f(x)=à-x+1x-1 (x<-1)(x>-1)함수 y=f(x)의 그래프는 오른
x y
-1 O
2
-2 y=f{x}
쪽 그림과 같으므로 a= lim
x Ú -1- f(x)=2, b= lim
x Ú -1+ f(x)=-2
∴ a+2b=2-4=-2
06
⑴ f(x)=|x-1|111 2 로 놓으면f(x)=
( { 9
-113x-12 113x-12
(x<1) (x>1) 함수 y=f(x)의 그래프는
O 1 x y
y=f{x}
오른쪽 그림과 같으므로 limx Ú 1
111 2
|x-1|=¦
⑵ f(x)=5-15 x12로 놓으면
x 5 y
y=f{x}
O
함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 limx Ú 0{5-15 x12}=-¦
07
limx Ú 1111 'x-1x2-1=limx Ú 1111111132 ((x'x-1)('x+1)2-1)('x+1)=limx Ú 1
(x+1)(x-1)('x+1) 11111111113x-1
=limx Ú 1{(x+1)('x+1)}=4
08
limx Ú -111112 x2x-x-22-1 = limx Ú -11111113 (x+1)(x-1) (x+1)(x-2)= lim
x Ú -1
x-1 112 x-2 =;3@;
09
a=limx Ú 1(x+1)=1+1=2 b= limx Ú -1
x2-1 111 x+1 = lim
x Ú -1
(x+1)(x-1) 1111113 x+1
= lim
x Ú -1(x-1)=-2
c= lim
x Ú ¦
111 x+31 =0
∴ b<c<a
10
⑴ limx Ú ¦ 11111112 (2x+1)(4x-1) x2-x+5 =limx Ú ¦
8x2+2x-1 111112 x2-x+5
=lim
x Ú ¦
8+;[@;- 113 x2 111112
1-;[!;+ 513 x2
=8
⑵ lim
x Ú ¦
2x+1 1112 3x2+5=lim
x Ú ¦
;[@;+ 113 x2 1111
3+13 x52
=0
11
limx Ú ¦ (Á°9x2+x-Á°9x2-4x)= lim
x Ú ¦
(Á°9x2+x-Á°9x2-4x)(Á°9x2+x+Á°9x2-4x) 111211111111111111
Á°9x2+x+Á°9x2-4x
= lim
x Ú ¦
1111111113 5x Á°9x2+x+Á°9x2-4x
= lim
x Ú ¦
111111112 5
®É9+;[!;+®É9-;[$; t=;6%;
따라서 p=6, q=5이므로 p+q=11
12
⑴ limx Ú 0{ f(x)+2 g(x)}=limx Ú 0 f(x)+lim
x Ú 0 2 g(x)
=limx Ú 0 f(x)+2 lim
x Ú 0 g(x)
=-2+2_3=4
⑵ lim
x Ú 0 { f(x)g(x)}=limx Ú 0 f(x)lim
x Ú 0 g(x)
=-2_3=-6
13
x Ú 1일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이다.즉 lim
x Ú 1(x2+ax+b)=0이므로 1+a+b=0
∴ b=-a-1
b=-a-1을 주어진 식에 대입하면 limx Ú 1
x2+ax+b 111122 x-1 =lim
x Ú 1
x2+ax-a-1 1111211 x-1
=limx Ú 1
(x-1)(x+a+1) 111121112 x-1
=limx Ú 1(x+a+1)=a+2 a+2=5이므로 a=3, b=-4
∴ a2+b2=9+16=25
14
x Ú 0일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이다.즉 lim
x Ú 0('Äx+9-a)=0이므로 3-a=0
∴ a=3
6
I. 함수의 극한과 연속a=3을 주어진 식에 대입하면 b=lim
x Ú 0
'Äx+9-3 111123 x
=limx Ú 0
('Äx+9-3)('Äx+9+3) 111121111115
x('Äx+9+3)
=limx Ú 0
11112123 x x('Äx+9+3)
=limx Ú 0
11112 'Äx+9+31 =;6!;
15
limx Ú 0- f(x)= limx Ú 0-(2x2+1)=1x limÚ 0+ f(x)= lim
x Ú 0+k=k 이때 lim
x Ú 0 f(x)가 존재하려면
x limÚ 0- f(x)= lim
x Ú 0+ f(x)이어야 하므로 k=1
16
limx Ú 1- f(x)= limx Ú 1- (x2-3x+2)=0x limÚ 1+ f(x)= lim
x Ú 1+(-x+k)=k-1 이때 lim
x Ú 1 f(x)가 존재하려면
x limÚ 1- f(x)= lim
x Ú 1+ f(x)이어야 하므로 0=k-1 ∴ k=1
17
limx Ú ¦{5-;[!;}=limx Ú ¦{5+;[!;}=5이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여x limÚ ¦ f(x)=5
18
x>0이므로 주어진 부등식의 각 변을 x로 나누면 5x+2111 x É f(x) 1123 x É 5x+3 111 x
x limÚ ¦
5x+2 111 x = lim
x Ú ¦
5x+3
111 x =5이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여
x limÚ ¦
112 f(x)x =5
19
x Ú -¦lim f(x)=1, 즉 limx Ú -¦{112 x+a1 +b}=1이므로 b=1
x=3에서의 극한이 존재하지 않으므로
x limÚ 3- f(x)+ lim
x Ú 3+ f(x)
따라서 a=-3이므로 a+b=-2
20
4 f(x)-2 g(x)=h(x)로 놓으면 g(x)=111111 4 f(x)-h(x) 2 이고 limx Ú ¦h(x)=1이다.
∴ lim
x Ú ¦
f(x)+3 g(x) 11111125 9 f(x)-5 g(x)
= lim
x Ú ¦
f(x)+3_1111114 f(x)-h(x)2 1111112111123 9 f(x)-5_1111114 f(x)-h(x)2
= lim
x Ú ¦
14 f(x)-3 h(x) 11111112 -2 f(x)+5 h(x)
= lim
x Ú ¦
14-3_112 h(x)f(x) 11111125 -2+5_112 h(x)f(x)
=-7 {∵ limx Ú ¦112 h(x)f(x)=0}
21
lim x Ú 011112 'Äx+1-1x =lim x Ú 0111111111123 ('Äx+1-1)('Äx+1+1)x('Äx+1+1)=lim
x Ú 0
x('Äx+1+1) 1111115 x
=lim
x Ú 0('Äx+1+1)=2
22
x Ú 2일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이다.즉 lim
x Ú 2(x2+ax-2)=0이므로 4+2a-2=0
∴ a=-1
a=-1을 주어진 식에 대입하면 b=lim
x Ú 2
x2-x-2 11111 x2-3x+2
=limx Ú 2
(x+1)(x-2) 11111123 (x-1)(x-2)
=limx Ú 2
1125 x+1 x-1=3
23
limx Ú ¦111112 2x2+3x-1f(x) =1에서 f(x)는 이차항의 계수가 2인 이차식이다.limx Ú 0
f(x)
112 x =2에서 x Ú 0일 때 (분모) Ú 0이고 극한 값이 존재하므로 (분자) Ú 0이다.
∴ f(0)=0
즉 f(x)=2x(x+a) (a는 상수)로 놓을 수 있으므로 limx Ú 0
f(x) 112 x =lim
x Ú 0
2x(x+a) 111125 x
=limx Ú 0 2(x+a)=2a 2a=2이므로 a=1
∴ f(x)=2x(x+1)
1
-1 ⑴ limx Ú -2 f(x)=f(-2)=0이므로 f(x)는 x=-2에서 연속이다.
⑵ lim
x Ú 0 f(x)=f(0)=2
이므로 f(x)는 x=0에서 연속이다.
⑶ lim
x Ú 2 f(x)=4, f(2)=2이므로 limx Ú 2 f(x)+f(2)
즉 f(x)는 x=2에서 불연속이다.
1
-2 ⑴ limx Ú 0 f(x)=limx Ú 0(x2+1)=1, f(0)=1에서 limx Ú 0 f(x)=f(0)이므로 f(x)는 x=0에서 연속 이다.⑵ lim
x Ú 1 f(x)=lim
x Ú 1(x2+1)=2, f(1)=0에서
limx Ú 1 f(x)+f(1)이므로 f(x)는 x=1에서 불연속
이다.
2
-1 ⑴ [-2, 3] ⑵ [1, 5)⑶ (-5, 2] ⑷ (4, ¦)
2
-2 ㄱ. [-2, 1] ㄴ. [-2, ¦) 따라서 서로 같은 것은 ㄱ과 ㄹ, ㄴ과 ㄷ이다.3
-1 ⑴ 함수 y='Äx+1 은 x¾-1,즉 반닫힌 구간 [-1, ¦)에서 연속이다.
⑵ 함수 y=131x-3x 는 x+3인 모든 실수,
즉 열린구간 (-¦, 3), (3, ¦)에서 연속이다.
3
-2 ⑴ 함수 y="Ãx2+1 은 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.교과서 개념
확인 테스트
본문 24~25 쪽1
1 -1 ⑴ 연속 ⑵ 연속 ⑶ 불연속 1 -2 ⑴ 연속 ⑵ 불연속
2 -1 ⑴ [-2, 3] ⑵ [1, 5) ⑶ (-5, 2] ⑷ (4, ¦) 2 -2 ㄱ과 ㄹ, ㄴ과 ㄷ
3 -1 ⑴ [-1, ¦) ⑵ (-¦, 3), (3, ¦)
3 -2 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, -2), (-2, 2), (2, ¦) 4 -1 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, 1), (1, ¦)
4 -2 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, ¦)
5 -1 ⑴ 최댓값: 1, 최솟값: 0 ⑵ 최댓값: 1, 최솟값: 없다.
5 -2 ⑴ 최댓값: 4, 최솟값: 0 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: ;4%;
6 -1 연속, >, 사잇값의 정리 6 -2 연속, <, 하나
02 함수의 연속
1
⑴ 감소한다.⑵ lim
r Ú ¦F=lim
r Ú ¦G 113 Mmr2 =0
⑶ F=G 113 Mmr2 에서 r가 감소함에 따라 F가 증가하므 로 만유인력의 크기는 증가한다.
2
⑴ I(1)=4⑵ lim
t Ú 8-I(t)=4
⑶ lim
t Ú 8+I(t)=0이므로 lim
t Ú 8-I(t)+ lim
t Ú 8+I(t) 따라서 lim
t Ú 8I(t)의 값이 존재하지 않는다.
3
⑴ P>0, V>0이므로 k>0O V P
P= k1V
따라서 P=15 Vk의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
⑵ 일정한 온도에서 풍선이 높이 올라가면 압력은 낮아 지므로 부피가 커진다. 따라서 풍선의 크기는 커진다.
⑶ 높이가 올라갈수록 풍선의 크기가 점점 커지다가 일 정한 높이에서 풍선이 더 이상 팽창을 견디지 못해서 터진다.
4
⑴ ㉢⑵ lim
x Ú ¦
111 x
;[!;-1+ lim
x Ú ¦ (-x)
⑶ lim
x Ú ¦ {111 1-xx2 +x}= limx Ú ¦ 1111125 x2+(x-x1-x 2)
= lim
x Ú ¦
1125 1-xx
= lim
x Ú ¦
111 1
;[!;-1=-1 1 ⑴ 감소한다. ⑵ 0 ⑶ 증가한다.
2 ⑴ 4 ⑵ 4 ⑶ 존재하지 않는다.
3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 커진다. ⑶ 풀이 참조 4 ⑴ ㉢ ⑵ 풀이 참조 ⑶ -1, 풀이 참조
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 20~21 쪽8
I. 함수의 극한과 연속⑵ y=1123x2-4x =1311111(x-2)(x+2)x
함수 y=1123x2x-4 는 x+-2, x+2인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, -2), (-2, 2), (2, ¦)에서 연속이다.
4
-1 ⑴ f(x)g(x)=(x2+2)(x-1)에서 두 함수 x2+2, x-1이 모든 실수에서 연속이므로 함수 f(x)g(x)는 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦) 에서 연속이다.⑵ 112g(x)f(x)=1312xx-12+2
함수 112g(x)f(x) 는 x+1인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, 1), (1, ¦)에서 연속이다.
4
-2 ⑴ f(x)+2g(x) =x+1+2(x2+1)=2x2+x+3
이므로 함수 f(x)+2g(x)는 모든 실수, 즉 열린 구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.
⑵ 112g(x)f(x)=1312xx+12+1
모든 실수 x에 대하여 x2+1+0이므로 함수 112f(x)g(x) 는 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.
5
-1 ⑴ f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1 함수 f(x)=-x2+2x는 yx 1 2 O
1 y=f{x}
닫힌구간 [0, 2]에서 연속
이고 이 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.
따라서 f(x)는 x=1에서 최댓값 f(1)=1, x=0 또는 x=2에서 최솟값 f(0)=f(2)=0을 갖는다.
⑵ 함수 f(x)=1312x+13 은 y
x 2
-1 1
5 O
y=f{x}
;2!;
반닫힌 구간 [2, 5)에서
연속이고 이 구간에서 함 수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(x)는 x=2에서 최댓값 f(2)=1을 갖고 최솟값은 없다.
5
-2 ⑴ f(x)=x2-2x+1=(x-1)2 함수 f(x)=x2-2x+1은y
1 x
-1 O 2
1 4
y=f{x}
닫힌구간 [-1, 2]에서 연 속이고 이 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.
따라서 f(x)는 x=-1에서 최댓값 f(-1)=4, x=1에서 최솟값 f(1)=0을 갖는다.
⑵ f(x)=1314x-1x =1314x-11 +1 함수 f(x)=1314x-1x 는 닫 y
x 1 2
2
1 5
O
y=f{x}
힌구간 [2, 5]에서 연속 ;4%;
이고 이 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.
따라서 f(x)는 x=2에서 최댓값 f(2)=2, x=5 에서 최솟값 f(5)=;4%;를 갖는다.
6
-1 f(x)=x3+3x2-1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속 이고f(0)<0, f(1)> 0
이므로 사잇값의 정리 에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한다.
즉 방정식 x3+3x2-1=0은 열린구간 (0, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
6
-2 f(x)=2x3+x-1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속 이고f(0)< 0, f(1)> 0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한다.
즉 방정식 2x3+x-1=0은 열린구간 (0, 1)에서 적 어도 하나의 실근을 갖는다.
기출
기초 테스트
2
본문 26~29 쪽1 -1 ⑴ 연속 ⑵ 불연속 1 -2 ⑴ 불연속 ⑵ 불연속
2 -1 6 2 -2 5
3 -1 ⑴ 연속 ⑵ 불연속 3 -2 ⑴ 연속 ⑵ 불연속 4 -1 연속 4 -2 불연속 5 -1 -3 5 -2 1 6 -1 ⑴ {-¦, ;2#;] ⑵ [-2, 2]
6 -2 ⑴ [2, ¦) ⑵ (-¦, -1), (-1, ¦) 7 -1 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, -2), (-2, ¦) 7 -2 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, 1), (1, ¦)
8 -1 ③ 8 -2 ④ 9 -1 -3 9 -2 11 10 -1 최댓값: 2, 최솟값: -2
10 -2 ⑴ 최댓값: 1, 최솟값: -3 ⑵ 최댓값: ;2#;, 최솟값: ;7#;
11 -1 풀이 참조 11 -2 풀이 참조 12 -1 풀이 참조 12 -2 풀이 참조
1
-1 ⑴ limx Ú -1 f(x)=f(-1)=0이므로 f(x)는 x=-1에서 연속이다.
⑵ lim
x Ú 0 f(x)=1, f(0)=0이므로 limx Ú 0 f(x)+f(0)
즉 f(x)는 x=0에서 불연속이다.
1
-2 ⑴ limx Ú -1- f(x)=0, limx Ú -1+ f(x)=2이므로
x Ú -1-lim f(x)+ lim
x Ú -1+ f(x) 즉 lim
x Ú -1 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는
x=-1에서 불연속이다.
⑵ lim
x Ú 2- f(x)=0, lim
x Ú 2+ f(x)=2이므로
x limÚ 2- f(x)+ lim
x Ú 2+ f(x) 즉 lim
x Ú 2 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=2에 서 불연속이다.
2
-1 Ú x=-2일 때의 함숫값은 f(-2)=-1 x``Ú`-2일 때의 극한값은x Ú -2-lim f(x)= lim
x Ú -2+ f(x)=0이므로
x limÚ -2 f(x)=0 따라서 lim
x Ú -2 f(x)+f(-2)이므로 f(x)는
x=-2에서 불연속이다.
Û x``Ú`-1일 때의 극한값은
x Ú -1-lim f(x)=1, lim
x Ú -1+ f(x)=-1이므로
x Ú -1-lim f(x)+ lim
x Ú -1+ f(x) 따라서 lim
x Ú -1 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=-1에서 불연속이다.
Ü x``Ú`1일 때의 극한값은
x Ú 1-lim f(x)=-1, lim
x Ú 1+ f(x)=1이므로
x limÚ 1- f(x)+ lim
x Ú 1+ f(x) 따라서 lim
x Ú 1 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=1에서 불연속이다.
Ý x=2일 때의 함숫값은 f(2)=-1 x``Ú`2일 때의 극한값은
x Ú 2-lim f(x)= lim
x Ú 2+ f(x)=0이므로
limx Ú 2 f(x)=0 따라서 lim
x Ú 2 f(x)+f(2)이므로 f(x)는 x=2에서 불연속이다.
Ú~Ý에서 x=-1, x=1일 때 극한값이 존재하지 않으므로 a=2
x=-2, x=-1, x=1, x=2일 때 불연속이므로 b=4
∴ a+b=6
2
-2 Ú x``Ú`-1일 때의 극한값은x Ú -1-lim f(x)=1, lim
x Ú -1+ f(x)=-1이므로
x Ú -1-lim f(x)+ lim
x Ú -1+ f(x) 따라서 lim
x Ú -1 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는
x=-1에서 불연속이다.
Û x=0일 때의 함숫값은 f(0)=-1 x``Ú`0일 때의 극한값은
x limÚ 0- f(x)= lim
x Ú 0+ f(x)=0이므로 limx Ú 0 f(x)=0
따라서 lim
x Ú 0 f(x)+f(0)이므로 f(x)는 x=0에서
불연속이다.
Ü 함숫값 f(1)이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=1에 서 불연속이다.
Ú~Ü에서 x=-1일 때 극한값이 존재하지 않으므 로 a=1
x=1일 때 함숫값이 존재하지 않으므로 b=1 x=-1, x=0, x=1일 때 불연속이므로 c=3
∴ a+b+c=5
3
-1 ⑴ x=2에서의 함숫값은 f(2)=0 x``Ú`2일 때의 극한값은 limx Ú 2 f(x)=limx Ú 2 (x-2)=0 따라서 lim
x Ú 2 f(x)=f(2)이므로 f(x)는 x=2에서 연속이다.
⑵ 함숫값 f(2)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=2 에서 불연속이다.
3
-2 ⑴ x=1에서의 함숫값은 f(1)=2 x``Ú`1일 때의 극한값은 limx Ú 1 f(x)=limx Ú 1 (3x2-x)=2 따라서 lim
x Ú 1 f(x)=f(1)이므로 f(x)는 x=1에서 연속이다.
⑵ 함숫값 f(1)이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=1 에서 불연속이다.
4
-1 f(2)=2, limx Ú 2 f(x)=lim
x Ú 2 {13122xx-2 }2-2x =lim
x Ú 2 x=2 따라서 lim
x Ú 2 f(x)=f(2)이므로 f(x)는 x=2에서 연 속이다.
4
-2 limx Ú 2- f(x)= lim
x Ú 2-(1-x)=-1,
x limÚ 2+ f(x)= lim
x Ú 2+(x2-1)=3이므로
x limÚ 2- f(x)+ lim
x Ú 2+ f(x) 따라서 lim
x Ú 2 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=2 에서 불연속이다.
10
I. 함수의 극한과 연속5
-1 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이려면x limÚ -1 f(x)=f(-1)이어야 하므로
x limÚ -1
x2-x-2 131221x+1 = lim
x Ú -1
(x+1)(x-2) 13122111x+1
= lim
x Ú -1(x-2)
=-3
∴ a=-3
5
-2 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 limx Ú 1 f(x)=f(1)이어야 하므로 limx Ú 1a(x2-x) 131221x-1 =lim
x Ú 1
ax(x-1) 1312213x-1
=limx Ú 1 ax
=a
∴ a=1
6
-1 ⑴ 함수 f(x)='Ä3-2x의 정의역은[x|xÉ;2#;]이므로 구간의 기호로 나타내면 {-¦, ;2#;]
⑵ 함수 f(x)=¿¹4-x2의 정의역은
4-x2¾0, (x+2)(x-2)É0, -2ÉxÉ2에서 {x|-2ÉxÉ2}이므로 구간의 기호로 나타내면 [-2, 2]
6
-2 ⑴ 함수 f(x)='Äx-2의 정의역은 {x|x¾2}이므 로 구간의 기호로 나타내면 [2, ¦)⑵ 함수 f(x)=1312x+11 의 정의역은
{x|x+-1인 모든 실수}이므로 구간의 기호로 나타내면 (-¦, -1), (-1, ¦)
7
-1 ⑴ 2f(x)-g(x) =2x2-(x+2)=2x2-x-2
이므로 함수 2f(x)-g(x)는 모든 실수, 즉 열린 구간 (-¦, ¦)에서 연속이다.
⑵ 112g(x)f(x)=131x+2x2
함수 112g(x)f(x) 는 x+-2인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, -2), (-2, ¦)에서 연속이다.
7
-2 ⑴ f(x)g(x)=(-x2+1)(x-1)에서 두 함수 -x2+1, x-1이 모든 실수에서 연속이므로 함수 f(x)g(x)는 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦) 에서 연속이다.⑵ 112g(x)f(x)=13112-xx-12+1
함수 112g(x)f(x) 는 x+1인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, 1), (1, ¦)에서 연속이다.
8
-1 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1 에서도 연속이어야 한다.즉 lim
x Ú 1 f(x)=f(1)이어야 하므로 limx Ú 1
x2+ax-2
13122134x-1 =b yy ㉠
x``Ú`1일 때 (분모)``Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)``Ú`0이다.
즉 lim
x Ú 1 (x2+ax-2)=0이므로 1+a-2=0
∴ a=1 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 b=lim
x Ú 1
x2+x-2 1312214x-1 =lim
x Ú 1
(x-1)(x+2) 13121111x-1 =3
∴ a2+b2=10
8
-2 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=2 에서도 연속이어야 한다.즉 lim
x Ú 2 f(x)=f(2)이어야 하므로 limx Ú 2 1312213412x2+ax+a-1x-2 =b yy ㉠
x``Ú`2일 때 (분모)``Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자)``Ú`0이다.
즉 lim
x Ú 2(x2+ax+a-1)=0이므로
4+2a+a-1=0
∴ a=-1 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 b=lim
x Ú 2
x2-x-2 1312214x-2 =lim
x Ú 2
(x+1)(x-2) 13121111x-2 =3
∴ f(2)+f(3)=3+4=7
9
-1 두 함수 f(x), g(x)가 연속함수이므로 limx Ú 1 f(x)=f(1)=1, limx Ú 1 g(x)=g(1)=-2
∴ lim
x Ú 1{ f(x)+2g(x)}=limx Ú 1 f(x)+2 lim
x Ú 1 g(x)
=1+2_(-2)=-3
9
-2 두 함수 f(x), g(x)가 연속함수이므로 limx Ú 0 f(x)=f(0)=1, limx Ú 0 g(x)=g(0)=-3
∴ lim
x Ú 0+ f(x)=1, lim
x Ú 0+ g(x)=-3
∴ lim
x Ú 0+{2 f(x)-3 g(x)}
=2 lim
x Ú 0+ f(x)-3 lim
x Ú 0+ g(x)
=2_1-3_(-3)=11
10
-1 f(x) =-x2+2x+1 y1 x -1
-2 2 O 2 1
y=f{x}
=-(x-1)2+2 함수 f(x)=-x2+2x+1은 닫힌구간 [-1, 2]에서 연속 이고 이 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(x)는 x=1에서 최댓값 f(1)=2, x=-1 에서 최솟값 f(-1)=-2를 갖는다.
10
-2 ⑴ f(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3 함수 f(x)=x2-4x+1은 y4x O 2
1
-3
y=f{x}
닫힌구간 [2, 4]에서 연속 이고 이 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.
따라서 f(x)는 x=4에서
최댓값 f(4)=1, x=2에서 최솟값 f(2)=-3을 갖는다.
⑵ 함수 f(x)=131x+23 은 닫힌 y
x
-2 O 5
y=f{x}
;7#; ;2#;
구간 [0, 5]에서 연속이고 이 구간에서 함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다.
따라서 f(x)는 x=0에서 최댓값 f(0)=;2#;, x=5 에서 최솟값 f(5)=;7#;을 갖는다.
11
-1 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 f(0)=-1<0, f(2)=1>0이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.
11
-2 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 f(0)=0, f(2)=2, 즉 f(0)+f(2)이므로f(0)<1<f(2)인 1에 대하여 f(c)=1인 c가 열린 구간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.
12
-1 f(x)=x3-2x2-1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구 간 [2, 3]에서 연속이고f(2)=-1<0, f(3)=8>0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (2, 3)에 적어도 하나 존재한다.
즉 방정식 x3-2x2-1=0은 열린구간 (2, 3)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
교과서
기본 테스트
3
본문 30~33 쪽01 ① 02 ④ 03 4 04 ;2#; 05 ② 06 ② 07 ② 08 ;2(; 09 a=-2, b=-3 10 ③ 11 ② 12 (-¦, -1), (-1, 2), (2, ¦) 13 ㄱ, ㄴ, ㄷ 14 ② 15 ④
16 ⑴ 최댓값과 최솟값을 갖는다.
⑵ 최댓값과 최솟값을 갖는다.
17 ㄴ, ㄷ 18 ② 19 4개 20 ④ 21 풀이 참조 22 불연속 23 풀이 참조
01
Ú 함숫값 f(-2)가 존재하지 않으므로 f(x)는 x=-2에서 불연속이다.Û lim
x Ú -1- f(x)=0, lim
x Ú -1+ f(x)=-1이므로
x Ú -1- lim f(x)+ lim
x Ú -1+ f(x) 따라서 lim
x Ú -1 f(x)가 존재하지 않으므로 f(x)는
x=-1에서 불연속이다.
Ü f(2)=1, lim
x Ú 2 f(x)=2이므로
limx Ú 2 f(x)+f(2)
따라서 f(x)는 x=2에서 불연속이다.
Ú ~ Ü에서 함수 f(x)가 불연속이 되는 x의 값은 -2, -1, 2이므로 그 합은 -1이다.
02
함수 f(x)=112x+1x-a 은 x=a에서 정의되지 않으므로 f(x)는 x=a에서 불연속이다.∴ a=2
03
함수 f(x)=11232x+1x+a 은 x=-a에서 정의되지 않으므 로 f(x)는 x=-a에서 불연속이다.즉 -a=1이므로 a=-1
12
-2 f(x)=x3+3x-1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구 간 [0, 2]에서 연속이고f(0)=-1<0, f(2)=13>0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린 구간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.
즉 방정식 x3+3x-1=0은 열린구간 (0, 2)에서 적 어도 하나의 실근을 갖는다.
