정답과 풀이
최상위
수학
중
1
2
기본 도형
1
Ⅰ
도형의 기초
② 4 5 6 ⑤ ⑴ 3개 ⑵ 10개 ⑶ 6개 ⑷ 8개 ③ ③ ⑴ 45 ⑵ 26 ⑤ 25`cm D{ } ②, ④ 1 ③ 45ù 55ù ④ 60ù 160ù 5시 15분, 5시 39 ;1¤1; 분 (가) 180ù (나) 180ù (다) ∠y 20쌍 180ù 56ù ② ⑴ 70ù ⑵ 6`cm ⑶ 5`cm 30ù ⑴ ∠f, ∠i, ∠m ⑵ ∠h, ∠k ⑶ 1 ⑴ 40ù ⑵ 55ù ⑴ ∠x=70ù ,`∠y=140ù ⑵ ∠x=25ù,`∠y=155ù 0ù 3a+b 4 7~15쪽주제별 실력다지기
STEP 한 평면 위의 서로 다른 4개의 점 A, B, C, D 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 직선의 개수를 구해 보자. A B C DA ABê ACê ADê
B BAê BCê BDê C CAê CBê CDê D DAê DBê DCê 두 점을 지나는 직선의 개수 구하기 최상위 NOTE
01
표에서와 같이 한 점에서 그을 수 있는 직선의 개수는 3이고 ABê=BAê, AC ê=CAê, y와 같이 2가지씩 중복이 발생한다. 따라서 서로 다른 4개의 점 A, B, C, D 중 두 점을 지나는 직선 의 개수는 4_(4-1)2 =4_32 =6이다.마찬가지로 생각하면 한 평면 위의 서로 다른 n개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 직선의 개수 는 n(n-1)2 이다.
문제 풀이 ① 점이 움직인 자리는 선이 된다. ② 점이 연속으로 이어져서 직선(길이가 무한함)이 되므로 직선 위의 점의 개수는 무수히 많다. ③ 한 점을 지나는 평면은 무수히 많다. ④ 평면과 평면이 만나면 교선이 생긴다. ⑤ 평면도형은 점과 선으로 이루어져 있다. 직육면체의 꼭짓점의 개수가 교점의 개수이므로 a=8 또, 직육면체의 모서리의 개수가 교선의 개수이므로 b=12 ∴ 2a-b=2_8-12=4 원기둥에서 원 모양의 두 밑면은 평면이고, 직사각형 모양의 옆면은 곡면이다. 따라서 a=2, b=1, c=0, d=2이므로 a+b+c+d=2+1+0+2=5 교점이 없는 도형은 원기둥, 원뿔대, 반구, 구이므로 a=4 평면만으로 이루어진 도형은 사면체, 사각기둥, 삼각뿔, 팔 면체이므로 b=4 평면과 곡면으로 둘러싸인 도형은 원기둥, 원뿔대, 반구이 므로 c=3 곡면만으로 둘러싸인 도형은 구이므로 d=1 ∴ a+b-c+d=4+4-3+1=6 직선 l을 세 점 A, B, C를 사용하여 나타내면
ABê, BAê, ACê, CAê, BCê, CBê이다.
⑴ 오른쪽 그림과 같이 " # $ 3_(3-1) 2 =3(개) ⑵ 오른쪽 그림과 같이 " # $ % & 5_(5-1) 2 =10(개) ⑶ 오른쪽 그림과 같이 " # $ % 4_(4-1) 2 =6(개) 직선의 양 끝은 무한이 연장되므로 직선 위의 두 점을 이용해 같은 직선을 여러 가지로 나타낼 수 있다. ⑷ 오른쪽 그림과 같이 8개 " # $ % & CA³를 수직선 위에 나타내면 " # $ % & ① AB³ " # $ % & ② CD³ " # $ % & ③ BA³ " # $ % & ④ DC³ " # $ % & ⑤ AC³ " # $ % & 따라서 CA³에 포함되는 것은 ③ BA³이다. ① " # $ % & AB³와 CD³를 합한 부분은 AB³이다. ② " # $ % & BA³와 DE³의 공통 부분은 없다. ③ " # $ % & BE³와 CB³의 공통 부분은 BCÓ이다. ④ " # $ % & DE³와 DC³의 공통 부분은 점 D이다. ⑤ " # $ % &
DA³와 BA³의 공통 부분은 BA³이다. ⑴ a= 6_52 =15 b=6_5=30 ∴ a+b=15+30=45 ⑵ 서로 다른 5개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 직선의 개수는 5_42 =10 이고, 오른쪽 그림에서 세 점 A, " # $ % & B, C는 한 직선 위에 있으므로` ABê=ACê=BCê ∴ a=10-2=8 또, 서로 다른 5개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 점을 지나는 반직선의 개수는
5_4=20 이고, 마찬가지로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있으 므로` AB³=AC³`, CB³`=CA³ ∴ b=20-2=18 ∴ a+b=8+18=26 ① " # $ % &
ACÓ와 ADÓ를 합한 부분은 ADÓ이다. ② " # $ % & BCÓ와 BEÓ의 공통 부분은 BCÓ이다. ③ " # $ % & ABÓ와 BCÓ의 공통 부분은 점 B이다. ④ " # $ % & ABÓ와 CDÓ의 공통 부분은 없다. ⑤ " # $ % & BDÓ와 CEÓ의 공통 부분은 CDÓ이다. 점 D는 ABÓ의 중점이므로 DBÓ=;2!; ABÓ=10(cm) 점 E는 ACÓ의 중점이므로 ECÓ=;2!; ACÓ=15(cm) 점 F는 BCÓ의 중점이므로 BFÓ=FCÓ=;2!; BCÓ=5(cm) DFÓ=DBÓ+BFÓ=10+5=15(cm) EFÓ=ECÓ-FCÓ=15-5=10(cm) ∴ DFÓ+EFÓ =15+10 =25(cm) 두 점 A(a), B(b)의 중점 C의 좌표를 구하면 C{ a+b2 } 따라서 A(a), C{ a+b2 }의 중점 D의 좌표는
;2!;{a+ a+b2 }=;2!;{3a+b2 }
= 3a+b4 ∴ D{ 3a+b4 } ① 1 2 3 4 QRÓ는 QP³에 포함되지 않는다. ③ 1 2 3 4 PR³와 QP³의 공통 부분은 PQÓ이다. ⑤ 1 2 3 4 QRÓ와 RSÓ의 공통 부분은 점 R이다. ㄱ. 예각 ㄴ. 직각 ㄷ. 평각 ㅁ. 예각 ㅂ. 0ù+90ù<y-90ù+90ù<90ù+90ù에서 90ù<y<180ù 이므로 각 y는 둔각 따라서 a=2, b=1이므로 a-b=2-1=1 ③ 예각의 크기에 따라 달라진다. 예를 들어 20ù+30ù=50ù인 경우는 (예각)+(예각)=(예각)이 되고, 45ù+45ù=90ù인 경우는 (예각)+(예각)=(직각)이 되며, 60ù+60ù=120ù인 경우는 (예각)+(예각)=(둔각)이 된다. ∠AOC=;4#;∠AOD이므로
∠COD=;4!;∠AOD이고, ∠EOB=;4#;∠DOB이므로
∠DOE=;4!;∠DOB이다. ∴ ∠COE=∠COD+∠DOE
=;4!;∠AOD+;4!;∠DOB =;4!;(∠AOD+∠DOB) =;4!;_180ù=45ù (∠x+∠y=90ù …… ㉠ {∠y+∠z=90ù …… ㉡ 9∠x+∠z=70ù …… ㉢ ㉠+㉡+㉢을 하면 2∠x+2∠y+2∠z=250ù
∠x+∠y+∠z=125ù …… ㉣ 따라서 ㉣-㉢을 하면 ∠y=55ù 다른 풀이 ∠AOC=∠BOD이므로 ∠x+∠y=∠y+∠z=90ù ∴ ∠x=∠z ∠x+∠z=70ù이므로 ∠x=∠z=35ù ∴ ∠y =90ù-∠x=90ù-∠z =90ù-35ù=55ù ④ 7530" =60"_125+30" =125'+30" =60'_2+5'+30" =2ù+5'+30" =2ù5'30" ;6%;_90ù=75ù이므로 ∠a=90ù-75ù=15ù 또, ;2#;_90ù=135ù이므로 ∠b=180ù-135ù=45ù ∴ ∠a+∠b=15ù+45ù=60ù 시침은 1분에 30ù60 =0.5ù, 분침은 1분에 360ù60 =6ù씩 움직인다. 12시를 기준으로 시침까지의 각도는 시침이 2시간만큼 움직이고 40분만큼 더 움직였으므로 30ù_2+0.5ù_40=80ù 또, 12시를 기준으로 분침까지의 각도는 분침이 40분만큼 움직였으므로 6ù_40=240ù 따라서 시침과 분침이 이루는 각 중 작은 각의 크기는 240ù-80ù=160ù 다른 풀이 시침이 움직인 각의 크기는 30ù_(시)+0.5ù_(분), 분침이 움직인 각의 크기는 6ù_(분)이므로 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 |30ù_(시)-5.5ù_(분)| 따라서 2시 40분을 가리키고 있을 때, 시침과 분침이 이루 는 각의 크기는 |30ù_2-5.5ù_40| =|60ù-220ù| =160ù 시침과 분침이 이루는 각의 크기 구하기 시침이 움직인 각의 크기는 30ù_(시)+0.5ù_(분) 분침이 움직인 각의 크기는 6ù_(분)이므로 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 |30ù_(시)-5.5ù_(분)| 5시 x분이라 하면 |30ù_5-5.5ù_x|=67.5ù Ú 150ù-5.5ùx=67.5ù일 때 5.5ùx=82.5ù ∴ x= 82.55.5 =15 Û 5.5ùx-150ù=67.5ù일 때 5.5ùx=217.5ù ∴ x= 217.55.5 =39;1¤1; 따라서 구하는 시각은 5시 15분, 5시 39 ;1¤1; 분이다. ∠x+∠z= 180ù 이고, ∠y+∠z= 180ù 이므로 ∠x+∠z=∠y+∠z ∴ ∠x=∠y 5개의 서로 다른 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞 꼭지각의 개수는 5_(5-1)=20(쌍) 맞꼭지각의 크기는 서로 같 B C D D E E F F G H 으므로 오른쪽 그림에서 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e +∠f+∠g =180ù 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 다음 그림과 같다. ∠x+∠x+3∠x=90ù ± ± ± Y Y Y Z Y Y 5∠x=90ù ∴ ∠x=18ù ∠y+40ù+30ù=90ù ∴ ∠y=20ù ∴ 2∠x+∠y =2_18ù+20ù =56ù
ABÓ⊥CDê, OAÓ=OBÓ일 때, CDê를 ABÓ의 수직이등분 선이라 한다. ⑴ ∠POB=90ù이므로 ∠POD=90ù-20ù=70ù ⑵ PQê가 ABÓ의 수직이등분선이므로 BOÓ=AOÓ=6`cm ⑶ PQÓ=10`cm이고, ABÓ가 PQÓ를 수직이등분하므로 POÓ=QOÓ=5`cm 따라서 점 Q에서 ABÓ까지의 거리는 5`cm이다.
∠AOD=10∠COD이므로
∠AOD=∠AOC+∠COD에서
10∠COD=90ù+∠COD, 9∠COD=90ù ∴ ∠COD=10ù
또, ∠BOE=3∠DOE이므로
∠COB=∠COD+∠DOE+∠BOE에서
90ù=10ù+∠DOE+3∠DOE, 4∠DOE=80ù
∴ ∠DOE=20ù
∴ ∠COE =∠COD+∠DOE
=10ù+20ù =30ù ⑶ ∠c의 동위각은 ∠h, ∠k, ∠p이므로 x=3 ∠b의 엇각은 ∠e, ∠q이므로 `y=2 ∴ x-y=3-2=1 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 세 점 ± ± ± ± ± ± ± ± M N " # $ A, B, C에서 두 직선 l, m에 평 행한 직선을 그으면 평행선과 엇 각의 성질에 의하여 ∠x=20ù+20ù=40ù ⑵ 오른쪽 그림과 같이 세 점 ± Y± ±Y Y ± ±Y Y± Y ± M N Y ± Y ± Y± " # $ ± A, B, C에서 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으 면 평행선과 동위각, 엇각 의 성질에 의하여 35ù ={∠x+20ù-(220ù-3∠x)} +{2∠x-10ù-(∠x+30ù)} =(4∠x-200ù)+(∠x-40ù) =5∠x-240ù 5∠x=275ù ∴ ∠x=55ù ⑴ 접은 각의 크기는 서로 같 # $ % " & ± Y Y Z 으므로 ∠BAC=∠DAC=∠x 따라서 2∠x+40ù=180ù 이므로 2∠x=140ù ∴ ∠x=70ù 또, 평행선과 엇각의 성질에 의하여 ∠y=∠BAD=2∠x ∴ ∠y=2∠x=140ù ⑵ 접은 각의 크기는 서로 같으므로 " # $ & ± % Y Y Y Z ∠CBD=∠ABC=∠x 또, 평행선과 엇각의 성질에 의 하여 ∠ABD=∠BAE=50ù 따라서 2∠x=50ù이므로 ∠x=25ù 또한, ∠ACB=∠CBD=25ù이므로 ∠y=180ù-25ù=155ù 평행선과 엇각의 성질에 의 ± Z Y " # $ % & ' M N 하여 ∠ADC =∠DAF =∠CAD=30ù ∠BAC=∠EAB =;2!;(180ù-∠CAF) =;2!;(180ù-2_∠CAD) =;2!;(180ù-2_30ù)=60ù ∴ ∠x=∠EAB=60ù 또, 평행선과 엇각의 성질에 의하여 ∠y=∠CAF=60ù ∴ ∠x-∠y=60ù-60ù=0ù
3 ㄱ, ㅂ ;1Á8; a+;3!; 56 2시 43 ;1¦1; 분 5시 16 ;1¢1; 분, 5시 38 ;1ª1; 분 48ù 20ù ∠b의 동위각：∠f, ∠i / ∠c의 엇각：∠e, ∠l 10ù 180ù 60ù 80ù 24ù 1`:`2 170ù 50ù 50ù 150ù 60ù 18ù 40ù 55ù 335ù 290ù a+b+2c 4 16~21쪽
실력 높이기
STEP 문제 풀이 ㄱ. 평행한 두 직선이 서로 다른 한 직선과 만날 때, 동위각의 크기는 서로 같다. ㄴ. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다. ㄷ. 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 만나지 않는다. ㄹ. 선분 AB의 길이가 5`cm이면 ABÓ=5`cm이다. ㅅ. 선분의 양 끝 점에서 같은 거리에 있는 점들은 수직이 등분선 위에 있다. 따라서 참인 것은 ㅁ, ㅂ, ㅇ, ㅈ이므로 a=4 거짓인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅅ이므로 b=5 ∴ 2a-b=2_4-5=3 ㄱ. " # $ % ABÓ와 BC³의 공통 부분은 점 B이다. ㅂ. " # $ %AB³와 BA³의 공통 부분은 ABÓ이다.
A½B의 좌표가 a+b2 이므로 (A½B)½C의 좌표는
;2!;{ a+b2 +c}=;2!;{a+b+2c2 }
= a+b+2c4
표현 단계 ABÓ=a이므로 ACÓ=;3!;a이고,
CDÓ=;3!; CEÓ=;3!;(ABÓ-ACÓ-BEÓ) =;3!;{;3@;a-2}=;9@;a-;3@; 변형 단계 ADÓ=ACÓ+CDÓ=;3!;a+;9@;a-;3@;=;9%;a-;3@; 이므로 AMÓ=;2!; ADÓ=;2!;{;9%;a-;3@;}=;1°8;a-;3!; 서술형 풀이 단계 ∴ CMÓ=ACÓ-AMÓ =;3!;a-{;1°8;a-;3!;} =;1¤8;a-;1°8;a+;3!; 확인 단계 =;1Á8;a+;3!; DEê=EFê=DFê이므로 직선의 개수는 6_(6-1) 2 -2=13 ∴ a=13 DE³=DF³, FE³=FD³이므로 반직선의 개수는 6_(6-1)-2=28 ∴ b=28 선분의 개수는 6_(6-1) 2 =15 ∴ c=15 ∴ a+b+c =13+28+15 =56 2시 x분에 시침과 분침이 일직선이 된다고 하면 |30ù_2-5.5ù_x|=180ù 이때 시침보다 분침이 움직인 각도가 더 크므로 5.5ùx-60ù=180ù 5.5ùx=240ù ∴ x=43 ;1¦1; 따라서 구하는 시각은 2시 43 ;1¦1;분이다. 표현 단계 분침은 한 시간에 360ù, 시침은 한 시간에 360ù12 =30ù만큼 움직이므로 한 평면 위의 서로 다른 여러 개의 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으면 두 점을 지나는 직선의 개수와 선분의 개수가 일치한다. 하지 만 한 직선 위에 있는 세 점이 존재하는 경우 두 점을 지나는 직선의 개수 보다 선분의 개수가 더 많음에 유의해야 한다. 서술형
분침은 1분에 360ù60 =6ù, 시침은 1분에 30ù60 =0.5ù 만큼 움직인다. 변형 단계 바늘이 12시일 때를 0ù라 하면 5시 x분일 때 (시침이 움직인 각도) =30ù_5+0.5ùx =150ù+0.5ùx (분침이 움직인 각도)=6ùx 풀이 단계 따라서 5시와 6시 사이에 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 150ù+0.5ùx-6ùx 또는 6ùx-(150ù+0.5ùx)이 다. Ú 150ù+0.5ùx-6ùx=60ù에서 5.5ùx=90ù ∴ x=:»5¼5¼:=:Á1¥1¼:=16 ;1¢1; Û 6ùx-(150ù+0.5ùx)=60ù에서 5.5ùx=210ù ∴ x=;:@5!5):);=:¢1ª1¼:=38;1ª1; 확인 단계 따라서 구하는 시각은 5시 16`;1¢1;`분, 5시 38`;1ª1;`분이다. 맞꼭지각의 크기는 서로 같 Y± Y ± Y ± Y ± Y ± Y Y Y± Y± Z 으므로 오른쪽 그림에서 (∠x+10ù)+(∠x-10ù) +(2∠x-30ù)+3∠x +(∠x+10ù)+(2∠x+10ù) =180ù 10∠x=190ù ∴ ∠x=19ù ∠y=∠x+10ù=19ù+10ù=29ù ∴ ∠x+∠y=19ù+29ù=48ù 표현 단계 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠COD=∠GOH=∠y 변형 단계 즉, ∠AOC=9∠BOC=9∠x이고,
∠COE=9∠COD=9∠y이다.
풀이 단계 ∠AOC+∠COE=180ù이므로 9∠x+9∠y=180ù, 9(∠x+∠y)=180ù 확인 단계 ∴ ∠x+∠y=20ù ∠b와 같은 위치에 있는 각, 즉 동위각은 ∠f, ∠i이고, ∠c와 엇갈린 위치에 있는 각, 즉 엇각은 ∠e, ∠l이다. 표현 단계 lm이므로 ∠CAB+∠ABD=180ù 서술형 서술형 변형 단계 ∠CAB`:`∠ABD=5`:`4이므로 ∠CAB=180ù_;9%;=100ù, ∠ABD=180ù_;9$;=80ù 풀이 단계 lm이므로 ∠x=∠CAD=;2!;∠CAB=;2!;_100ù=50ù ∠y=∠CBD=;2!;∠ABD=;2!;_80ù=40ù 확인 단계 ∴ ∠x-∠y =50ù-40ù=10ù 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 30ù+(∠x+20ù)+90ù=180ù ∴ ∠x=40ù 또, 20ù+∠z+90ù=180ù이므로 ∠z=70ù 평행선과 엇각의 성질에 의하여 ∠y=∠z=70ù ∴ ∠x+∠y+∠z =40ù+70ù+70ù =180ù 접은 각의 크기는 같으므로 " # $ % & %Y Z Z [ ± ± ∠DEC=∠D'EC=∠y △CED'에서 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠y+20ù+90ù=180ù ∴ ∠y=70ù ∠x=180ù-70ù_2=40ù 또, ∠DCE=∠D'CE=20ù이므로 ∠z=90ù-20ù_2=50ù ∴ ∠x+∠y-∠z=40ù+70ù-50ù=60ù 오른쪽 그림의 점 C에서 두 ± ± ± ± M N " $ # Z Z Y 직선 l, m과 평행한 직선을 그으 면 동위각, 엇각, 맞꼭지각의 크기 가 각각 같고, △ABC의 세 내각 의 크기의 합이 180ù이므로 ∠x+60ù+∠y+40ù=180ù ∴ ∠x+∠y=80ù 오른쪽 그림의 두 점 A, B에서 ± ± " ±Z ±Z # M N ± Z Z 두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으면 ∠x=(60ù-∠y)+60ù ∴ ∠x+∠y=120ù 한편 ∠x`:`∠y=3`:`2이므로 ∠x=120ù_;5#;=72ù
∠y=120ù_;5@;=48ù
∴ ∠x-∠y=72ù-48ù=24ù
표현 단계 보조선 OD를 긋고 ∠OCD=∠a라 하자.
변형 단계 $ " # 0 9 ; : % B B B B B B
풀이 단계 CDÓ=OAÓ=ODÓ=OBÓ이므로 △DOC와 △BOD 는 모두 이등변삼각형이다.
한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같으므로
∠ODB=∠OBD=2∠a
BCÓOZÓ이므로
∠BOZ=∠DBO=2∠a(엇각)이고,
∠AOZ=∠OCB=∠a(동위각)
확인 단계 ∴ ∠XOZ`:`∠YOZ =∠a`:`2∠a=1`:`2
다음 그림의 세 점 A, B, C를 지나고 두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으면 M N B C D E ± B C B C D B C D E B " # $ ∠a+∠b+∠c+∠d+10ù=180ù ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d=170ù ABÓCDÓ이므로 C ± ± B # % $ & ' " ± ∠BCD =∠ABC =30ù(엇각) BCÓDEÓ이므로 ∠BCD+∠a=30ù+∠a=70ù(동위각) ∴ ∠a=40ù 또, BCÓDEÓ이므로 ∠b=∠BCD=30ù(엇각) ∴ 2∠a-∠b=2_40ù-30ù=50ù 서술형 ∠FA'B=20ù, " & % # $ $ ) % ( " Y ± ± ± ∠EA'F=90ù이므로 ∠EA'G =180ù-(20ù+90ù) =70ù 또, ∠EGA'=∠HGD'=60ù(맞꼭지각)이고, △EA'G의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+70ù+60ù=180ù ∴ ∠x=50ù 오른쪽 그림의 점 B에서 M N " # $ % & ± Y Z 두 직선 l, m과 평행한 직선을 긋고, ∠DAB=∠a, ∠ECB=∠b 라 하면 평행선에서 엇각의 크기는 서로 같으므로 ∠a+∠b=30ù ∠y =2∠a+2∠b=2(∠a+∠b) =2_30ù=60ù ∠x =3∠a+3∠b=3(∠a+∠b) =3_30ù=90ù ∴ ∠x+∠y=90ù+60ù=150ù △ABC는 정삼각형이므로 " M N ± # $ % & Y Z ∠ABC=60ù ∠DAB=∠ABE(엇각)이므로 ∠x=∠y+60ù ∴ ∠x-∠y=60ù 표현 단계 오른쪽 그림과 같이 $ " # M N O Y 1 B B 3 2 % B B ∠PAD=3∠a, ∠RCD=7∠a라 하 자. 변형 단계 꼭짓점 D를 지나고 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으면
∠ADC=3∠a+7∠a=90ù
즉, 10∠a=90ù이므로 ∠a=9ù ∠PAD=3_9ù=27ù, ∠RCD=7_9ù=63ù 풀이 단계 ABCD는 정사각형이므로 ∠CDB=45ù △CDQ에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 ∠RCD=∠CDB+∠x, 63ù=45ù+∠x 확인 단계 ∴ ∠x=18ù 서술형
lm이므로 엇각의 크기는 서로 같다. 따라서 ∠ABC=30ù+70ù=100ù이고, 2∠ABD=3∠CBD에서 ∠ABD`:`∠CBD=3`:`2 ∴ ∠CBD=100ù_;5@;=40ù △ABD의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠BAD =180ù-(45ù+25ù) =110ù ∴ ∠DAF=;2!;∠BAD=55ù ADÓBCÓ이므로 ∠x=∠DAF=55ù 다른 풀이 ADÓBCÓ이므로 ± ± " # $ % & Y YY ' ± ∠BAE=∠DAE=∠x ∠DBE=∠ADB=25ù 평행사변형에서 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+∠x+45ù+25ù=180ù이다. ∴ ∠x=55ù 표현 단계 보조선을 긋고 각 점을 A~J로 나타낸다. 변형 단계 △ACB에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 서술형 내각의 크기의 합과 같으므로 ∠BCD=∠a+∠b lm이므로 ∠IJA=∠BCD=∠a+∠b 또한, △EGF와 △DHE에서 ∠EDH+∠EHD=∠c+∠d 풀이 단계 M N ± B B C B C C D E F G $ % & ' ( ) * + " # 즉, DHIJ의 내각의 총합은 360ù이므로 ∠a+∠b+25ù+∠c+∠d+∠e+∠f=360ù 확인 단계 ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=335ù 오른쪽 그림의 두 점 F, G를 M N ± ± Y± Z± ± ± ± ± ± " # $ % & ' ( ) ± 지나고 두 직선 l, m과 평행한 직 선을 그으면 △ABC에서 한 외각 의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 ∠ECD=10ù+50ù=60ù ∴ ∠CED=180ù-(60ù+50ù)=70ù 평행선의 성질을 이용하면 위의 그림에서 (∠x-40ù)+(∠y-70ù)=180ù ∴ ∠x+∠y=290ù
15`cm y=2x 4`cm 40ù 12ù 50ù 180ù-4∠a 10ù 360ù 128ù 풀이 참조 270ù 풀이 참조
최고 실력 완성하기
STEP 문제 풀이 주어진 조건을 그림으로 나타내면 다음과 같다. " % & # ' $ AEÓ=2EBÓ이므로 EBÓ=;3!; ABÓ=;3!;_18=6(cm) ACÓ=2BCÓ이므로 BCÓ=ABÓ=18`cm 점 D는 ABÓ의 중점이므로 DBÓ=;2!; ABÓ=;2!;_18=9(cm) 점 F는 ECÓ의 중점이므로 EFÓ=CFÓ=;2!; ECÓ =;2!; (EBÓ+BCÓ)=;2!;_24=12(cm) ∴ EBÓ=BFÓ=BCÓ-CFÓ=18-12=6(cm) DEÓ=DBÓ-EBÓ=9-6=3(cm) ∴ DFÓ =DEÓ+EFÓ=3+12=15(cm) ∠A+∠B=y yy`㉠ ∠CDE+∠DCE=180ù-x이므로 ∠C+∠D=2(180ù-x)=360ù-2x yy`㉡ 그런데 ∠A+∠B+∠C+∠D=360ù이므로 ㉠, ㉡에서 y+360ù-2x=360ù y-2x=0 ∴ y=2xDEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각) 따라서 △DBI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ=3`cm
이때 DEÓ=DIÓ+IEÓ이므로
IEÓ=DEÓ-DIÓ=7-3=4(cm)
또, ∠EIC=∠ICB(엇각)이므로 △EIC는 이등변삼각형 이다. ∴ CEÓ=IEÓ=4`cm 22~25쪽 ∠BEF=∠ABE=60ù(엇각), 2∠BEC=∠CEF이므로 ± M N " # $ % & ' Z Z Y Y ∠y=∠CEF=;3@;∠BEF =;3@;_60ù=40ù 또, ∠BED=180ù-∠BEF=120ù, 2∠AEB=∠AED이므로 ∠x=∠AED=;3@;∠BED =;3@;_120ù=80ù ∴ ∠x-∠y=80ù-40ù=40ù 오른쪽 그림의 두 점 B, C에 " & # $ M N Y Y % ±Y ±Y Y Y 서 두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으면 (108ù-∠x)+(108ù-2∠x) =180ù 216ù-3∠x=180ù, 3∠x=36ù ∴ ∠x=12ù 접은 각의 크기는 서로 같으므로 ∠BDC=∠BDE yy`㉠ 또, 평행선에서 엇각의 크기는 서로 같으므로 ∠BDC=∠EBD yy`㉡
㉠, ㉡에서 ∠BDE=∠EBD이므로 △EBD는 이등변삼 각형이고, 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠BDE=∠EBD =;2!;(180ù-80ù)=50ù 오른쪽 그림과 같은 정오각형 " & # $ M N C C % ±B ±C B B ABCDE에서 lm일 때, ∠a와 ∠b에 대 하여 (108ù-∠a)+(108ù-∠b)=180ù 216ù-∠a-∠b=180ù ∴ ∠a+∠b=36ù 즉, ∠a와 ∠b의 크기의 합은 36ù로 항상 일정하다.
△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ACB=∠ABC=∠a 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 ∠CAD=2∠a 또, △CAD는 ACÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠a ACÓDEÓ이므로
∠EDF=∠CAD=2∠a`(동위각)
따라서 ∠ADC+∠CDE+∠EDF=180ù이므로
2∠a+∠CDE+2∠a=180ù ∴ ∠CDE=180ù-4∠a ADÓBCÓ이므로 ∠DEF=∠EFB=50ù`(엇각) 또, 접은 각의 크기는 같으므로 ∠BEF=∠DEF=50ù 따라서 △BEF에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠EBF=180ù-(50ù+50ù)=80ù ∴ ∠ABE =∠ABF-∠EBF
=90ù-80ù =10ù 삼각형의 한 외각의 크기는 B C F D E F M N " # E F C D $ 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크 기의 합과 같다. 오른쪽 그림에서 △ABC의 세 내 각의 크기의 합은 180ù이므로 (180ù-∠a)+(180ù-∠b-∠c)+(180ù-∠d-∠e) =180ù 540ù-∠a-∠b-∠c-∠d-∠e=180ù ∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=360ù 다음 그림과 같이 두 직선 l, m과 평행한 세 직선을 그으면 Y± ± ± ±Y Y± Y± M N ± ± ± ±Y ± Y± ± Y± Y Z ∠y+(∠x-50ù)+70ù=180ù ∴ ∠x+∠y=160ù 따라서 ∠x`:`∠y=3`:`2이므로 ∠x=160ù_;5#;=96ù ∠y=160ù_;5@;=64ù ∴ 2∠x-∠y =2_96ù-64ù =128ù ;1¦5;(바퀴)=;1¦5;_360ù=168ù, 720ùÖ360ù=2(바퀴), ;8&;(바퀴)=;8&;_360ù=315ù, 22.5ùÖ360ù=;1Á6;(바퀴), 1;9$;(바퀴)=:Á9£:_360ù=520ù 오른쪽 그림에서 지구 " # $ ∠" ∠# ∠$ ±이므로 (△"#$의 내각의 크기의 합) ± 의 위도와 경도는 항상 수직 이므로 ABÓ⊥BCÓ, ACÓ⊥BCÓ이다. 따라서 ∠A=∠B=∠C=90ù 이므로 △ABC의 내각의 크기의 합은 270ù이다. 지도 상의 거리를 환산한 것은 두 지점의 거리를 평면 위의 거리로 생각한 것이고, 실제 거리는 둥근 지구 표면을 따라 움직인 곡선의 거리이다. 따라서 실제 거리는 지도 상 의 거리를 환산한 것보다 항상 크게 된다. 또, 지구 위의 두 지점 사이의 거리는 실제로는 직선이 아니라 곡선이므로 두 지점을 차를 타고 이동한 거리는 실제로는 ‘곡선’이다.
위치 관계
2
ㄴ,`ㅁ ㄱ,`ㅁ,`ㅅ cd ⑴ BEÓ,`CFÓ ⑵ ADÓ,`BEÓ ⑶ ABÓ,`ADÓ,`BCÓ,`CFÓ ⑷ ADÓ, DEÓ, DFÓ ⑸ ACÓ, ADÓ, CFÓ, DFÓ DFÓ ② ㄴ,`ㅁ,`ㅇ ⑴ 3 ⑵ 3 17 ⑴ ABÓ,`DCÓ,`EFÓ,`HGÓ ⑵ 면 AEHD,`면 BFGC ⑶ 면 AEFB,`면 EFGH ⑷ 면 EFGH,`면 BFGC ⑸ 4`cm ⑹ 90ù ④ ③, ⑤ ⑴ 3 ⑵ 2 5 ⑴ 면 ABCD,`면 EFGH ⑵ 6`cm 8개 ⑴ 면 DEFM ⑵ 면 FKLM, 면 GHIJ ㄴ,`ㅁ,`ㅅ,`ㅇ ㄷ,`ㅁ,`ㅂ,`ㅊ 27~33쪽주제별 실력다지기
STEP 오른쪽 그림을 보면 두 평면이 오직 한 점에 서만 만나는 것처럼 보인다. 하지만 두 평면 이 오직 한 점에서만 만나는 것은 실제로는 불가능하다. 평면의 범위는 무한하다. 최상위 NOTE02
평면을 나타낼 때는 단지 시각적인 이해를 위해 평행사변형으로 나타내지만 사실은 무한히 뻗어 나간다. 그래서 그림을 정확히 그 리면 두 평면은 한 점에서만 만나는 것이 아니라 한 직선에서 만 나게 된다.문제 풀이 ㄴ. 점 B는 직선 m에 속하지 않고, 두 직선 l, n에 속한다. ㅁ. 직선 l과 직선 m의 공통 부분은 점 A이다. ㄴ. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 1개이다. ㄷ. 서로 다른 세 점을 지나는 직선은 없을 수도 있다. ㄹ. 한 직선과 두 점에서만 만나는 직선은 없다. ㅂ. 한 직선 위에 있지 않은 점을 지나고, 이 직선에 수직인 직선은 1개이다. 한 평면 P 위에 4개의 직선 a, b, B C D E 1 c, d가 있을 때, ab, bc이면 ac 이고, ad이므로 cd이다.
⑷ BCÓ와 만나는 모서리 ABÓ, BEÓ, CAÓ, CFÓ와 BCÓ와 평행한 모서리 EFÓ를 제외한 ADÓ, DEÓ, DFÓ는 꼬인 위 치에 있다.
⑸ BEÓ와 만나지 않는 모서리는 BEÓ와 평행한 모서리 ADÓ, CFÓ와 BEÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리 ACÓ, DFÓ이다. 주어진 전개도로 삼각뿔을 만들면 " $ & # % ' 오른쪽 그림과 같다. 따라서 ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리 는 DFÓ이다. ①, ③ l⊥m, l⊥n이면 직선 m과 직선 n은 만나거 나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ④, ⑤ lm, l⊥n이면 직선 m과 직선 n은 수직이거나 꼬 인 위치에 있다. ㄱ. 서로 만나지도 평행하지도 않은 두 직선은 꼬인 위치에 있으므로 한 평면 위에 있지 않다. ㄷ, ㅂ, ㅅ. 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 평 면을 하나로 결정한다. ㄹ. 평행하거나 한 점에서 만나는 두 직선이 평면을 하나로 결정한다. ⑴ 오른쪽 그림과 같이 한 평면 M O N 위에 있지 않고, 서로 평행한 세 직 선 l, m, n에 대하여 이들 중 두 직선을 포함하는 평면은 직선 l과 직선 m을 포함하는 평면, 직선 l과 직선 n을 포함하는 평면, 직선 m과 직선 n을 포함하는 평면으로 평면의 개수는 3이다. ⑵ 오른쪽 그림과 같이 한 평면 위에 있지 M N O 않은 세 직선 l, m, n이 한 점에서 만날 때, 이들 중 두 직선을 포함하는 평면은` 직선 l과 직선 m을 포함하는 평면, 직선 l과 직선 n을 포함하는 평면, 직선 m과 직선 n을 포함하는 평면으로 평면의 개수는 3이다. Ú 4개의 점 A, B, C, D로 만들 수 있는 평면의 개수： 1 Û 평면 위의 4개의 점 중 2개와 점 E 또는 점 F로 만들 수 있는 평면의 개수： 4_32 _2=12 Ü 평면 위의 4개의 점 중 1개와 두 점 E, F로 만들 수 있 는 평면의 개수：4 Ú, Û, Û에서 평면의 개수는 1+12+4=17 직선과 평면이 수직이려면 직선은 평면과 한 점에서 만나고, 그 점을 지나는 평면 위의 최소한 2개의 직선과 동 시에 수직이어야 한다. 즉, BEÓ⊥DEÓ, BEÓ⊥EFÓ
직선과 평면이 수직이려면 직선은 평면과 한 점에서 만나고, 그 점을 지나는 평면 위의 최소한 2개의 직선과 동
시에 수직이어야 한다.
즉, 면 ABC 위의 두 모서리 ABÓ와 BCÓ에 대하여 ABÓ⊥BEÓ, BCÓ⊥BEÓ이면 면 ABC와 BEÓ는 수직이다. ⑴ CIÓ와 수직인 면은 면 CGHD이므로 a=1
면 AEJI와 평행한 모서리는 CGÓ, DHÓ이므로 b=2
∴ a+b=1+2=3
⑵ EJÓ와 평행한 평면은 면 AICD이므로 c=1
면 AICD와 수직인 모서리는 AEÓ, IJÓ, CGÓ, DHÓ이므로
d=4
CDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AEÓ, IJÓ, EJÓ, JGÓ, EHÓ이므로 e=5
∴ c-d+e=1-4+5=2
ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CDÓ, DEÓ, EFÓ, CFÓ 이므로 a=4 ABÓ와 평행한 모서리는 DFÓ이므로 b=1 ∴ a+b=5 한 평면 위에 있는 네 점이 존재하는 경우 평면 위에 있는 여러 개의 점 중 사용하는 점의 개수에 따라 분류하면 쉽 게 구할 수 있다.
두 평면 P와 Q가 한 직선에 2 1 3 0 서 만나면 공간은 4개의 부분으로 나누어지고, 세 평면 P, Q, R가 오른쪽 그림과 같이 한 점 O에서 만나면 공간은 8개의 부분으로 나 누어진다. 전개도로 입체도형을 만들면 % ) & ( ' " , $ * . # + / -오른쪽 그림과 같다. ⑴ 면 ABCN과 평행한 면은 면 DEFM이다. ⑵ ABÓ와 수직인 면은 면 FKLM, 면 GHIJ이다. ㄱ. 한 평면에 평행한 두 직선은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ㄷ. 한 평면에 수직인 두 평면은 만나거나 평행하다. ㄹ. 한 직선에 수직인 두 직선은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ㅂ. 한 직선에 평행한 두 평면은 만나거나 평행하다. ㄱ. l⊥m, m⊥n이면 두 직선 l, n은 만나거나 평행 하거나 꼬인 위치에 있다. ㄴ. P⊥Q, Q⊥R이면 두 평면 P, R는 만나거나 평행하다. ㄹ. lm, m⊥n이면 두 직선 l, n은 만나거나 꼬인 위치 에 있다. ㅅ. lP, mP이면 두 직선 l, m은 만나거나 평행하거 나 꼬인 위치에 있다. ㅇ. P⊥Q, P⊥R이면 두 평면 Q, R는 만나거나 평행하다. ㅈ. lP, lQ이면 두 평면 P, Q는 만나거나 평행하다.
④,`⑤ 6 풀이 참조 20 풀이 참조 ⑤ 5 ㄱ,`ㄹ,`ㅁ 6 EHÓ ①, ④ 면 IJKL 꼬인 위치 7 2 2 15ù EFÓ, FGÓ ④ ②,`⑤ 34~38쪽
실력 높이기
STEP 문제 풀이 ④ 서로 다른 세 직선 중에서 두 직선이 반드시 평행 하지는 않다. ⑤ 공간에서 서로 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있다. 네 직선 a, b, c, d 중에서 두 직 B C D E 선을 포함하는 평면은 직선 a와 직선 b를 포함하는 평면, 직선 a와 직선 c를 포함하는 평면, 직선 a와 직선 d를 포함하는 평면, 직선 b와 직선 c를 포함하는 평면, 직선 b와 직선 d를 포함하는 평면, 직선 c와 직선 d를 포함하는 평면으로 평면의 개수는 6이다. 표현 단계 두 직선이 평행하려면 다음 두 조건을 모두 만족해 야 한다. ① 만나지 않는다. ② 한 평면 위에 있다. 풀이 단계 PQ이므로 두 평면 P와 Q는 만나지 않는다. 직선 a는 평면 P 위에 있고, 직선 b는 평면 Q 위 에 있으므로 두 직선 a, b는 서로 만나지 않는다. 그런데 두 직선 a, b는 한 평면 R 위에 있다. 확인 단계 따라서 두 직선 a, b는 한 평면 위에 있으면서 서 로 만나지 않으므로 서로 평행하다. Ú 평면 P 위의 두 점과 평면 Q 위의 한 점으로 만들 수 있는 평면의 개수：3_3=9 Û 평면 P 위의 한 점과 평면 Q 위의 두 점으로 만들 수 있 는 평면의 개수：3_3=9 Ü 평면 P와 평면 Q：2 Ú, Û, Ü에서 평면의 개수는 9+9+2=20 서술형 풀이 단계 평면이 하나로 결정되기 위한 조건은 다음과 같다. 첫째, 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 주어진 경 우 둘째, 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점이 주어 진 경우 셋째, 한 점에서 만나는 두 직선이 주어진 경우 넷째, 평행한 두 직선이 주어진 경우 한 직선 위에 있는 세 점은 한 평면을 결정할 수 없으므로 6개의 점 A, B, C, D, E, F로 만들 수 있는 평면은 다음과 같이 13개이다. Ú 평면 P 위의 두 점과 평면 Q 위의 한 점으로 만들 수 있는 평면⇨ 면 ABD, 면 ABE, 면 ABF, 면 BCD, 면 BCE, 면 BCF, 면 ACD, 면 ACE, 면 ACF Û 평면 P 위의 한 점과 평면 Q 위의 세 점 D, E,
F로 만들 수 있는 평면
⇨ 면 ADEF, 면 BDEF, 면 CDEF Ü 평면 P 위의 세 점으로 만들 수 있는 평면 ⇨ 면 ABC 전개도로 입체도형을 만들면 오 " & # % $ ' 른쪽 그림과 같다. ①, ②, ③, ④ 꼬인 위치에 있다. ⑤ ACÓ와 DEÓ는 한 점 A(E)에서 만
난다. CDÓ와 수직으로 만나는 모서리는 ADÓ, BCÓ, CGÓ, DHÓ 이므로 a=4 또, CDÓ와 평행한 모서리는 ABÓ, EFÓ, HGÓ이므로 b=3 ∴ 2a-b=2_4-3=5 서술형 CDÓ와 수직으로 만나는 모서리는 CDÓ와 수직인 평면 CBFG, 평면 AEHD 위에 있는 모서리임을 이해한다.
꼬인 위치는 공간에서 만나 " ( # ' $ & + -* . / ) % , 지도 않고, 평행하지도 않은 두 직선의 위치 관계이므로 보기 중 에서 KNÓ, DGÓ, MNÓ이 CJÓ와 꼬 인 위치에 있다. 변형 단계 주어진 전개도로 입 $ # % ' * , . ) + / " & ( -체도형을 만들면 오 른쪽 그림과 같다. 풀이 단계 EFÓ와 수직인 면은 면 ABMN과 면 CFIL이므로 a=2 LÕMÓ과 꼬인 위치에 있는 모서리는 CFÓ, DEÓ, NAÓ, IFÕ이므로 b=4 확인 단계 ∴ a+b=2+4=6 표현 단계 꼬인 위치에 있는 두 직선의 조건은 다음과 같다. ① 만나지 않는다. ② 평행하지 않는다. ③ 한 평면 위에 있지 않다. 변형 단계 CDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AEÓ, BFÓ, EFÓ, EHÓ, FGÓ, GHÓ, IJÕ, JKÓ, JGÓ이고, DHÓ와 수직으로 만나는 모서리는 ADÓ, CDÓ, IKÓ, JKÓ, EHÓ, GHÓ이 므로 두 조건을 모두 만족하는 모서리는 EHÓ, GHÓ, JKÓ이다. 풀이 단계 그러므로 이 중에서 면 JGHK에 포함되지 않는 모서리는 EHÓ이다. 확인 단계 EHÓ 두 평면 P, Q가 수직이 되려면 평면 P가 평면 Q에 수직인 직선을 포함해야 하므로 두 평면 P, Q가 수직이 되
기 위한 조건은 AOÓ⊥CDÓ, AOÓ⊥BOÓ이다.
면 ABMN과 수직인 면 $ # % ' * , . ) + / " & ( -은 면 BCLM, 면 CDEF, 면 FGHI, 면 IJKL이고, 이 중에서 면 CDEF와 평행한 면은 면 IJKL이다. CEÓ와 KIÓ는 만나지도 않고, 평행하지도 않으므로 꼬 인 위치에 있다. 서술형 서술형
ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CHÓ, DIÓ, EJÓ, GHÓ, HIÓ, IJÕ, JFÓ이므로 a=7
ABÓ와 평행한 모서리는 FGÓ이므로 b=1 ABÓ와 수직으로 만나는 모서리는 AFÓ, BGÓ이므로 c=2 ∴ a-2b+c=7-2+2=7 서로 평행한 평면은 면 ABCDE와 면 FGHIJ이므로 1쌍이다. 즉, x=1 면 ABCDE와 수직인 평면은 옆면 5개이므로 y=5 면 ABGF와 수직인 평면은 면 ABCDE와 면 FGHIJ이므로 z=2 ∴ 3x-y+2z=3-5+4=2 면 ACD와 수직인 모서리는 AEÓ, CGÓÓ, DHÓ이므로 a=3
면 AEHD와 수직인 면은 면 ACD, 면 AFE, 면 CGHD, 면 EFGH이므로 b=4 면 ACF와 평행한 면은 없으므로 c=0 ∴ 2a-b+c=6-4+0=2 △AFC는 정삼각형이므로 ∠AFC=60ù △ACD는 직각이등변삼각형이므로 ∠ACD=45ù 또, 면 ACD와 CGÓ는 수직이므로 ∠ACG=90ù ∴ ∠AFC+∠ACD-∠ACG
=60ù+45ù-90ù=15ù
ACÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 DHÓ, EFÓ, FGÓ, GHÓ, EHÓ이고, DHÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ACÓ, AFÓ, CFÓ, EFÓ, FGÓ이다.
따라서 ACÓ, DHÓ와 동시에 꼬인 위치에 있는 모서리는 EFÓ, FGÓ이다.
② 면 ACD와 평행한 모서리는 EFÓ, FGÓ, GHÓ, HEÓ의
4개이다. ④ ADÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CFÓ, CGÓ, EFÓ, GHÓ 의 4개이다. ① lm, l⊥n이면 두 직선 m, n은 만나거나 꼬인 위치에 있다. ③ l⊥m, l⊥n이면 두 직선 m, n은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. ④ P⊥Q, Q⊥R이면 두 평면 P, R는 만나거나 평행하다.
문제 풀이
Ú 면 ABC, 면 ABD, 면 ABE, 면 ABF의 4개 Û 면 ACD, 면 ACE, 면 ACF, 면 BCD, 면 BCE,
면 BCF의 6개
Ü 면 ADEF, 면 BDEF의 2개 Ý 면 CDEF의 1개
따라서 구하는 평면의 개수는
4+6+2+1=13
BEÓ와 평행한 면은 면 AHJD, 면 CGFIJD이므로
a=2
BCÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AHÓ, DJÓ, EFÓ, FGÓ, FIÓ, HIÓ, IJÕ이므로 b=7 ∴ a+b=2+7=9 CDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AFÓ, BGÓ, JHÓ, EIÓ, FGÓÓ, GHÓ, HIÓ, IFÓ이므로 모서리의 개수는 8이다. ADÓ와 꼬인 위치에 있는 모서 # ' % * ) + & $ ( "
리는 BCÓ, EJÓ, FIÓ, JIÕ이다.
꼬인 위치에 있는 두 직선은 만나지도 않고, 평행하지 도 않으며 한 평면 위에 있지 않다.
CDÓ와 평행한 면은 면 AGLF, 면 GHIJKL이므로
a=2
면 ABCDEF와 평행한 모서리는 GHÓ, HIÓ, IJÕ, JKÓ, KLÓ, LGÓ이므로 b=6
AGÓ와 평행하지 않은 면은 면 ABHG, 면 AGLF, 면 ABCDEF, 면 GHIJKL이므로 c=4 ∴ a-b+c=2-6+4=0 ① 면 DEG와 모서리 DH는 한 점에서 만난다. ③ 면 EGH와 면 DEG가 이루는 각은 90ù가 아니다. ⑤ 모서리 DE와 모서리 GH는 꼬인 위치에 있다. 주어진 전개도로 입체도형을 만들 ' $ * # % " & ( + ) 면 오른쪽 그림과 같다. ABÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 IJÕ, CIÓ, IFÓ이므로 a=3
ABÓ와 평행한 평면은 면 CFI이므로 b=1
ABÓ와 한 점에서 만나는 평면은 면 FGHI, 면 BCIJ이므로
c=2 ∴ a-b+c=3-1+2=4 주어진 전개도로 입체도형을 만들 때 평행한 면은 1과 7, 2와 9, 3과 8, 4와 12, 5와 11, 6과 10이다. 13 9 8 ㄴ, ㅂ CIÓ, DJÓ, EKÓ, FLÓ, HIÓ, IJÕ, KLÓ, LGÓ 0 ②, ④ 4 1과 7, 2와 9, 3과 8, 4와 12, 5와 11, 6과 10
최고 실력 완성하기
STEP 39~41쪽작도와 합동
3
ㄷ,`ㅅ,`ㅈ ⑴ ㉢ → ㉠ → ㉡ ⑵ ③, ⑤ ㄹ,`ㅂ,`ㅅ ⑴ ㉡ → ㉠ → ㉢ ⑵ ③ ⑶ ②, ④ ⑴ ㉠ → ㉣ → ㉡ → ㉤ → ㉢ → ㉥ ⑵ ② ⑶ ③ ⑴ △AOD, △COB ⑵ ③ ⑤
5 8 ② ACÓ의 길이 또는 ∠B의 크기 또는 ∠C의 크기
ㄱ,`ㄹ SAS 합동 △ACE, ASA 합동 ⑴ △ACD, SAS 합동 ⑵ 120ù 60ù-∠a 120ù 43~48쪽
주제별 실력다지기
STEP 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, x일 때, 어느 Y B C 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보 다 작다. ⑴ a<b+x에서 a-b<x ⑵ b<a+x에서 b-a<x ⑶ x<a+b 삼각형이 결정되기 위한 조건 최상위 NOTE03
한편, a-b와 b-a=-(a-b)는 절댓값이 같고 부호가 다르므 로 a-b와 b-a 중 최댓값은 |a-b|와 같다.따라서 ⑴ ~ ⑶에 의하여 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, x일 때, 삼각형이 결정되기 위한 x의 범위는 |a-b|<x<a+b이다.
문제 풀이 Ú 평각의 이등분선의 작도로 90ù의 작도가 가능하다. Û 90ù의 삼등분선의 작도로 30ù, 60ù의 작도가 가능하다. Ü 각의 이등분선의 작도로 다음 각의 작도가 가능하다. 90ù`Ú`45ù`Ú`22.5ù`Ú`… 60ù`Ú`30ù`Ú`15ù`Ú`7.5ù`Ú`… Ý 작도 가능한 각끼리 더하거나 뺀 각의 작도가 가능하다. 135ù=90ù+45ù, 120ù=90ù+30ù, 75ù=60ù+15ù, … 따라서 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그릴 수 없는 각은 ㄷ, ㅅ, ㅈ이다. ⑵ ① 두 점 A, B는 점 O를 중심으로 하는 원 위에 있으므로 OAÓ=OBÓ ② 점 P는 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이 가 같은 원을 그려 만나는 점이므로 APÓ=BPÓ ④ OP³는 ∠XOY의 이등분선이므로 ∠XOP=∠YOP ㄱ, ㅇ. PQê는 ABÓ의 수직이등분선이므로 AÕMÓ=;2!; ABÓ, ∠AMP=90ù
ㄴ, ㅁ. 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로 APÓ=AQÓ=BPÓ=BQÓ
ㄷ. △APM과 △AQM에서
APÓ=AQÓ, ∠AMP=∠AMQ=90ù
이고, △AQP는 APÓ=AQÓ인 이등변삼각형이므로
∠APM=∠AQM
따라서 ∠PAM=∠QAM이므로
△APMª△AQM (ASA 합동) ∴ MPÓ=MQÓ ⑶ ① 점 P는 두 점 C, D를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그려 만나는 점이므로 CPÓ=DPÓ ③ 두 점 C, D는 점 O를 중심으로 하는 원 위에 있으므 로 COÓ=DOÓ ⑤ OPê는 직선 AB의 수선이므로 ∠AOP=∠BOP=90ù ⑶ ①, ②, ④ 두 점 P, Q를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로 CPÓ=DPÓ=AQÓ=BQÓ ③ 두 점 A, C를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로 ABÓ=CDÓ ⑤ ∠CPD는 ∠AQB와 크기가 같은 동위각을 작도한 것이므로 ∠CPD=∠AQB ⑴ 세 점 O, A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그린 것이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ=ADÓ=BCÓ 따라서 △AOD, △COB가 정삼각형이다.
⑵ ②, ③ OC³, OD³가 직각인 ∠AOB의 삼등분선이므로
∠AOC=∠COD=;3!;_∠AOB=30ù
∴ ∠AOD=∠AOC+∠COD=60ù
△AOC에서 OAÓ=OCÓ, ∠AOC=30ù이므로
∠OAC=∠OCA=75ù ∴ ∠AOD+∠OCA
④ △BOD에서 OBÓ=ODÓ, ∠BOD=30ù이므로 ∠OBD=75ù
① , ⑤ △COB는 정삼각형이므로 ∠OBC=60ù, OBÓ=BCÓ
또한, OAÓ=OBÓ이므로 OAÓ=BCÓ
△ABC의 세 변의 수직이등분선의 교 " # $ 0 점은 한 점에서 만나며 이 점이 세 점 A, B, C를 지나는 원의 중심이 된다. x`cm가 가장 긴 변일 때, 3+7>x ∴ x<10 7`cm가 가장 긴 변일 때, 3+x>7 ∴ x>4 ∴ 4<x<10 따라서 x의 값으로 알맞은 자연수의 개수는 5, 6, 7, 8, 9의 5 이다. 다른 풀이 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다 크 고, 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다. 즉, 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, x라 하면 |a-b|<x<a+b이므로 7-3<x<3+7, 4<x<10 따라서 구하는 자연수 x의 개수는 5, 6, 7, 8, 9의 5이다. (4, 5, 6), (4, 5, 8), (4, 5, 10), (4, 6, 8), (4, 6, 10), (4, 8, 10), (5, 6, 8), (5, 6, 10), (5, 8, 10), (6, 8, 10) 중에서 (가장 긴 변의 길이)<(다른 두 변의 길이의 합)을 만족하 는 삼각형의 개수는 (4, 5, 10), (4, 6, 10)을 제외한 8이다. OBÓ=OCÓ와 ∠COB=60ù임을 통해서도 △COB가 정삼각형임을 알 수 있다. 마찬가지로 OAÓ=ODÓ와 ∠AOD=60ù임을 통해서 △AOD가 정삼각형 임을 알 수 있다.
① ∠B=180ù-(∠A+∠C)이므로 ABÓ의 양 끝 각
∠A, ∠B가 주어진 것과 같은 경우이다. 따라서 삼각형이 하나로 결정된다.
② ABÓ, BCÓ의 끼인각인 ∠B가 주어지지 않고, ∠A가 주 어졌으므로 삼각형이 하나로 결정되지 않는다.
③ ABÓ, ACÓ의 끼인각인 ∠A가 주어졌으므로 삼각형이 하 나로 결정된다. ④ ∠A=180ù-(∠B+∠C)이므로` ABÓ의 양 끝 각 ∠A, ∠B가 주어진 것과 같은 경우이다. 따라서 삼각형이 하나로 결정된다. ⑤ 세 변의 길이가 주어졌으므로 삼각형이 하나로 결정된 다. ∠A의 크기와 ABÓ의 길이가 주어졌을 때, Ú ∠A가 끼인각이 되는 경우 ACÓ의 길이가 주어지면 삼 각형이 하나로 결정된다. Û ∠A가 양 끝 각 중의 하나가 되는 경우 ∠B의 크기가 주어지면 삼각형이 하나로 결정된다. Ü ∠A가 양 끝 각 중의 하나가 되는 경우 ∠C의 크기가 주어지면 ∠B의 크기를 구할 수 있으므로 삼각형이 하 나로 결정된다. 따라서 ACÓ의 길이 또는 ∠B의 크기 또는 ∠C의 크기가 주어질 때, 삼각형 ABC를 작도할 수 있다. ㄱ. 한 밑각의 크기가 같은 두 이등변삼각형은 모양은 같지만 크기가 다를 수도 있다. ㄴ. SAS 합동 ㄷ. ASA 합동 ㄹ. 세 각의 크기가 각각 같은 두 삼각형은 모양은 같지만 크기가 다를 수도 있다. ㅁ,`ㅂ,`ㅅ. ASA 합동 따라서 두 삼각형이 합동이 아닌 것은 ㄱ, ㄹ이다. △ABC와 △DBE에서 ∠B는 공통,`ABÓ=DBÓ 또, ABÓ=BDÓ, AEÓ=CDÓ이므로 BCÓ=BDÓ+DCÓ=BAÓ+AEÓ=BEÓ ∴ △ABCª△DBE`(SAS 합동) △ABD와 △ACE에서 ABÓ=ACÓ,`∠A는 공통
또, ∠ADB=∠AEC=90ù이므로 ∠ABD=∠ACE ∴ △ABDª△ACE`(ASA 합동)
⑴ △BCE와 △ACD에서
△ABC가 정삼각형이므로 BCÓ=ACÓ` 또, △ECD가 정삼각형이므로 `CEÓ=CDÓ
∠BCE=60ù+∠ACE=∠ACD ∴ △BCEª△ACD`(SAS 합동)
⑵ △BCEª△ACD이므로 ∠CDA=∠CEB이고, △BCE에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같으므로
∠CBE+∠CEB=∠ECD
따라서 △FBD에서 ∠BFD =180ù-(∠CBE+∠CDA) =180ù-(∠CBE+∠CEB) =180ù-∠ECD =180ù-60ù=120ù △ABD와 △CBE에서 △ABC가 정삼각형이므로 ABÓ=CBÓ 또, △BDE가 정삼각형이므로 BDÓ=BEÓ ∠ABD=60ù-∠DBF=∠CBE ∴ △ABDª△CBE`(SAS 합동) 따라서 ∠BCE=∠BAD이고,
∠BAD+∠ABD=∠BDE=60ù이므로
∠BCE=∠BAD=∠BDE-∠ABD=60ù-∠a △ABD와 △BCE에서
△ABC는 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ, ∠B=∠C=60ù 또, BDÓ=CEÓ이므로
△ABDª△BCE (SAS 합동) 따라서 ∠BAD=∠CBE이므로
∠AFB =180ù-(∠BAF+∠ABF)
=180ù-(∠CBE+∠ABF)
=180ù-∠ABC
=180ù-60ù=120ù
∴ ∠DFE =∠AFB
1 풀이 참조 SSS 합동 ③ 풀이 참조 풀이 참조 x>5 14<x<28 10`cm ② 정삼각형 △ADC, SAS 합동 90ù 6`cm 9`cmÛ` 풀이 참조 130ù 49~53쪽
실력 높이기
STEP 문제 풀이 ABÓ=5`cm, ACÓ=4`cm, ∠B=50ù인 조건으로 작도 할 수 있는 삼각형은 다음과 같다. " # ± $ ADN ADN " # ± $ ADN ADN ∴ a=2 또한, 한 변의 길이가 6`cm, 두 각의 크기가 40ù, 50ù인 조 건이 주어지면 나머지 한 각의 크기가 90ù임을 알 수 있으 므로 작도할 수 있는 삼각형은 다음과 같다. " # ± $ ± ADN " # ± $ ± ADN " # ± $ ± ADN ∴ b=3 ∴ 2a-b=2_2-3=1 풀이 단계 삼각형이 한 가지로 결정되는 조건은 다음과 같다. ① 세 변의 길이가 주어질 때 ② 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때 ③ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때 조건에서 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 다른 한 각 의 크기가 주어졌으므로 삼각형 ABC는 다음과 같 이 2가지로 작도된다. $ " # $ " # DN DN DN DN B B 두 점 A, B는 점 O를 중심으로 하는 원 위의 점이므로 OAÓ=OBÓ 점 P는 두 점 A, B를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그려 만나는 점이므로 APÓ=BPÓ 서술형 또, OPÓ는 공통이므로 △AOPª△BOP (SSS 합동) △AOP와 △BOP에서OP³는 ∠XOY의 이등분선이므로 ∠AOP=∠BOP
∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠OPA=∠OPB 또, OPÓ는 공통이므로
△AOPª△BOP (ASA 합동) ∴ APÓ=BPÓ 표현 단계 & 2 $ " # 1 % 3 4 ① ② ② ③ 변형 단계 두 점 P, Q의 수직이등분선과 오각형 ABCDE의 교점이 구하는 점이고, 풀이 단계 작도 순서는 다음과 같다. ① PQÓ를 긋는다. ② 두 점 P, Q를 중심으로 하고 반지름의 길이가 같은 두 원을 그린다. ③ 두 원의 교점을 연결한다. 확인 단계 ③의 직선과 오각형의 교점을 R, S라 하면 오각형 ABCDE 위의 점에서 두 점 P, Q에 이르는 거리 가 같은 점 R, 점 S가 작도된다. 표현 단계 $ " ① ② ③ ④ ⑤ # & ' ( 1 % ) 변형 단계 두 변 AB, BC에서 같은 거리에 있는 점은 ∠B의 이등분선 위에 있고, 두 점 A, C에서 같은 거리에 있는 점은 ACÓ의 수직이등분선 위에 있다. 서술형 서술형
따라서 ∠B의 이등분선과 ACÓ의 수직이등분선의 교점이 구하는 점이다. 풀이 단계 ① 점 B를 중심으로 적당한 원을 그려 ABÓ, BCÓ와 만나는 두 점을 각각 D, E라 하자. ② 두 점 D, E를 각각 중심으로 하고 반지름의 길 이가 같은 두 원을 그려 두 원이 만나는 점을 F 라 하자. ③ BF³를 그린다. 이때 BF³가 ∠B의 이등분선이 다. ④ 두 점 A, C를 각각 중심으로 하고 반지름의 길 이가 같은 두 원을 그려 두 원이 만나는 두 점 을 각각 G, H라 하자. ⑤ GHê를 그린다. 이때 GHê가 ACÓ의 수직이등분 선이다. 확인 단계 BF³와 GHê의 교점을 P라 하면 ABÓ, BCÓ에서 같은 거리에 있고, 두 점 A, C에서도 같은 거리에 있는 점 P가 작도된다. 세 변의 길이 x-2, x, x+3 중에서 가장 긴 변의 길 이가 x+3이므로 삼각형을 작도할 수 있으려면 (x-2)+x>x+3이어야 한다. 즉, 2x-2>x+3 ∴ x>5 표현 단계 △ABC의 세 변의 길이는 7`cm, 21`cm, x`cm이 므로 변형 단계 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때와 21`cm일 때로 나누어 생각한다. 풀이 단계 Ú x`cm가 가장 긴 변일 때 x<7+21 ∴ x<28 Û 21`cm가 가장 긴 변일 때 21<x+7 ∴ x>14 확인 단계 ∴ 14<x<28 △AQB와 △APC에서 △AQP, △ABC는 정삼각형이므로 AQÓ=APÓ, ABÓ=ACÓ
또, ∠QAB=60ù+∠PAB=∠PAC이므로
△AQBª△APC (SAS 합동)
∴ QB Ó=PCÓ=PBÓ+BCÓ =6+4=10(cm) 서술형 △ACD와 △BCE에서 △ABC, △CDE는 정삼각형이므로 ACÓ=BCÓ, CDÓ=CEÓ` ∠ACD=∠BCE=60ù
∴ △ACDª△BCE (SAS 합동)
표현 단계 △ABC는 정삼각형이므로
ABÓ=BCÓ=CAÓ, ∠A=∠B=∠C=60ù ADÓ=BEÓ=CFÓ이므로 AFÓ=BDÓ=CEÓ
변형 단계 △ADF, △BED, △CFE에서
ADÓ=BEÓ=CFÓ yy`㉠
∠A=∠B=∠C=60ù yy`㉡ AFÓ=BDÓ=CEÓ yy`㉢
풀이 단계 ㉠, ㉡, ㉢에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기 가 각각 같으므로
△ADFª△BEDª△CFE (SAS 합동) ∴ DFÓ=EDÓ=FEÓ (대응변)
확인 단계 따라서 △DEF는 정삼각형이다.
△ABE와 △ADC에서
△ADB, △ACE는 정삼각형이므로 ABÓ=ADÓ, AEÓ=ACÓ
∠BAE=60ù+∠BAC=∠DAC ∴ △ABEª△ADC (SAS 합동)
△ABF와 △DAE에서
ABCD는 정사각형이므로 ABÓ=DAÓ, ∠ABF=∠DAE=90ù 또, BFÓ=AEÓ이므로
△ABFª△DAE (SAS 합동)
∠ADE+∠AED=90ù이고, ∠ADE=∠BAF이므로
∠BAF+∠AED=90ù ∴ ∠DGF =∠AGE =180ù-(∠BAF+∠AED) =180ù-90ù=90ù △ABF와 △AEH에서 △ABC와 △ADE는 합동인 정삼각형이므로 ABÓ=AEÓ=4`cm ∠ABF=∠AEH=60ù
∠BAF=60ù-∠FAH=∠EAH ∴ △ABFª△AEH`(ASA 합동)
따라서 AHÓ=AFÓ=3.5`cm, HEÓ=FBÓ=2.5`cm
∴ AHÓ+HEÓ=3.5+2.5=6(cm)
△OBE와 △OCF에서 정사각형 ABCD의 두 대각선 은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하므로 OBÓ=OCÓ, ∠OBE=∠OCF=45ù
∠BOE=90ù-∠EOC=∠COF ∴ △OBEª△OCF`(ASA 합동) 따라서 겹쳐진 부분의 넓이는
△OEC+△OCF=△OEC+△OBE=△OBC
=6_6_;4!;=9(cmÛ`) 표현 단계 9 2 : " & 0 " % " ' $ ( # 1 3 4 ① ② ③ ④
변형 단계 점 A를 OX³와 OY³에 대하여 대칭이동한 점을 각 각 A', A"이라고 하면 ABÓ=AÕ'BÓ, ACÓ=AÕ"CÓ이
므로 △ABC의 둘레의 길이가 최소가 되는 두 꼭 짓점 B, C는 두 점 A', A"을 연결한 선분과 OX³, OY³의 교점이다. 풀이 단계 작도 순서는 다음과 같다. ① 점 A를 중심으로 하는 원을 그려 OX³와의 교점 을 P, Q라 하자. 크기가 같은 두 정사각형에 대하여 한 정사각형의 꼭짓점이 다른 정 사각형의 두 대각선의 교점과 일치하는 경우 두 정사각형의 겹쳐진 부분 의 넓이는 정사각형의 넓이의 ;4!;임을 이해한다. 서술형 ② 두 점 P, Q를 중심으로 하고 반지름의 길이가 같은 두 원을 그려 교점을 D라 하자.
③ 두 점 A, D를 연결하고 AEÓ=AÕ'EÓ인 점 A'을
정한다.
④ 같은 방법으로 OY³에 대하여 점 A"을 정한다.
확인 단계 두 점 A', A"을 연결한 선분과 OX³, OY³의 교점
을 각각 B, C라 하면 △ABC의 둘레의 길이가 최 소인 삼각형의 두 꼭짓점 B, C가 작도된다. 표현 단계 △ABC는 정삼각형이므로 ACÓ=BCÓ △CED는 정삼각형이므로 CEÓ=CDÓ 변형 단계 △AEC와 △BDC에서 ACÓ=BCÓ yy`㉠
∠ACE=60ù-∠BCE=∠BCD yy`㉡ CEÓ=CDÓ yy`㉢ 풀이 단계 ㉠, ㉡, ㉢에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기 가 각각 같으므로 △AECª△BDC (SAS 합동) ∠AEC=∠BDC (대응각)이므로 ∠AEB =360ù-(∠AEC+∠BEC) =360ù-(∠BDC+∠BEC) =360ù-{(∠BDE+60ù)+(∠BED+60ù)} =360ù-{120ù+(∠BDE+∠BED)} =360ù-{120ù+(180ù-∠EBD)} =360ù-{120ù+(180ù-70ù)} =130ù 확인 단계 따라서 △AECª△BDC를 이용하여 ∠AEB=130ù임을 확인할 수 있다. 서술형
2 ⑤ 8 90ù 5`cm 42`cm 45ù ⑤ ㉠ 원과 넓이가 같은 정사각형의 작도 ㉡ 주어진 정육면체의 부피의 2배인 정육면체의 작도 풀이 참조 Ⅱ
최고 실력 완성하기
STEP 54~56쪽 문제 풀이 각 도형을 작도할 때, 컴퍼스를 이용하는 횟수는 다음 과 같다. ㄱ. 각의 이등분선의 작도：3번 ㄴ. 평행선의 작도：4번 ㄷ. 크기가 같은 각의 작도：4번 ㄹ. 선분의 수직이등분선의 작도：2번 ㅁ. 직각의 삼등분선의 작도：3번 따라서 a=1, b=2, c=2이므로 2a-b+c=2_1-2+2=2∠XOY의 두 반직선 OX³와 OY³로부터 같은 거리에 있는 점은 ∠XOY의 이등분선 위의 점이고, 점 A와 점 B 로부터 같은 거리에 있는 점은 선분 AB의 수직이등분선 위의 점이다.
따라서 ∠XOY의 이등분선과 ABÓ의 수직이등분선의 교점 을 구하면 된다.
aÉbÉc, a+b+c=20이고, c<a+b이므로 2c<a+b+cÉ3c, 2c<20É3c ∴ :ª3¼:Éc<10 그런데, c는 자연수이므로 7 또는 8 또는 9이다. Ú c=9일 때 a+b=11, aÉbÉc이므로 6ÉbÉ9 따라서 삼각형이 될 수 있는 경우는 (2, 9, 9), (3, 8, 9), (4, 7, 9), (5, 6, 9)의 4가지이다. Û c=8일 때 a+b=12, aÉbÉc이므로 6ÉbÉ8 따라서 삼각형이 될 수 있는 경우는 (4, 8, 8), (5, 7, 8), (6, 6, 8)의 3가지이다. Ü c=7일 때 a+b=13, aÉbÉc이므로 b=7 따라서 삼각형이 될 수 있는 경우는 (6, 7, 7)의 1가지 이다. Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 삼각형의 개수는 4+3+1=8 △ADC와 △ABG에서 ADEB, ACFG는 정사각형이므로 ADÓ=ABÓ, ACÓ=AGÓ
∠DAC=90ù+∠BAC=∠BAG ∴ △ADCª△ABG`(SAS 합동)
따라서 △ADH와 △PBH에서
∠ADH=∠PBH`(∵ △ADCª△ABG),
∠AHD=∠BHP`(맞꼭지각)이고, 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠DPB=∠BPH=∠DAH=90ù △ADC와 △BEC에서 △ABC, △CDE는 정삼각형이므로 ACÓ=BCÓ, CDÓ=CEÓ` ∠ACD=60ù-∠BCD=∠BCE ∴ △ADCª△BEC`(SAS 합동) 따라서 BEÓ=ADÓ=3`cm이므로 BDÓ+BEÓ =2+3=5(cm) △ABC와 △FDC에서 ACÓ=FCÓ, BCÓ=DCÓ, ∠ACB=60ù-∠ACD=∠FCD이므로 △ABCª△FDC`(SAS 합동) ∴ FDÓ=6`cm, CFÓ=9`cm 또, △ABC와 △EBD에서 ABÓ=EBÓ, BCÓ=BDÓ,
∠ABC=60ù-∠ABD=∠EBD이므로 △ABCª△EBD`(SAS 합동) ∴ EBÓ=6`cm, DEÓ=9`cm 따라서 오각형 BCFDE의 둘레의 길이는 BCÓ+CFÓ+FDÓ+DEÓ+EBÓ =12+9+6+9+6=42(cm) ABÓ`:`BCÓ=2`:`3이므로 " # $ % & ' B B B B B ABÓ=2a, BCÓ=3a라 하면 BEÓ`:`ECÓ=1`:`2이므로 BEÓ=a, ECÓ=2a이고, 점 F는 CDÓ의 중점이므로 CFÓ=FDÓ=a
따라서 △ABE와 △ECF에서
ABÓ=ECÓ, BEÓ=CFÓ, ∠B=∠C=90ù이므로
△ABEª△ECF`(SAS 합동)
따라서 ∠EAB=∠FEC이므로
∠AEF =180ù-(∠AEB+∠FEC)
=180ù-(∠AEB+∠EAB)
=180ù-90ù =90ù
또, AEÓ=EFÓ이므로 ∠AFE=∠FAE=45ù 이때 점 F를 지나고 ADÓ와 평행 " # $ % & ' ) 한 선분 HF를 그으면 ADÓHFÓBCÓ이므로 ∠DAF=∠AFH, ∠CEF=∠HFE
∴ ∠DAF+∠CEF =∠AFH+∠HFE
=∠AFE
=45ù △ABE와 △AGF에서
∠BAE=∠GAF=60ù, ∠AEB=∠AFG=30ù, AEÓ=AFÓ이므로
△ABEª△AGF (ASA 합동) ① ABÓ=AGÓ`(대응변)
②, ③, ④ △AEF는 ∠FAE=90ù이고, AEÓ=AFÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠AEF=∠AFE=45ù
∠GFH =∠AFE-∠AFG
=45ù-30ù=15ù
∠EHD =∠HEB=∠AEF+∠AEB
=45ù+30ù=75ù ⑤ △AHF에서 ∠FAH=60ù, ∠AHF=∠EHD=75ù(맞꼭지각)이므로 이등변삼각 형이 아니다. 따라서 AFÓ+FHÓ이므로 AEÓ+FHÓ ［방법 1］ 정삼각형을 작도한 후 그 한 내각의 이등분선 을 작도하고 이 각을 90ù의 각에 2번에 걸쳐 옮기면 3등분 된다. ［방법 2］ 정삼각형을 작도한 후 그 한 내각의 이등분선을 작 도하고 이 각을 90ù의 각에 옮기고 남은 각을 이등분하면 3 등분 된다. Ⅰ. 한 가지만 보고 전체가 모두 그럴 것이라고 생각 하는 경우이다. Ⅱ. 가능한 것처럼 보이는 방법을 무턱대고 적용해서는 안 되는 경우이다. Ⅲ. 확실하게 입증된 것은 굳이 확인하지 않아도 되는 경우 이다. 따라서 (나)의 상황을 가장 적당하게 설명한 것은 Ⅱ이다.
문제 풀이 ① AB³와 BC³의 공통 부분은 BC³이다. ⑤ ACÓ와 CD³의 공통 부분은 점 C이다. PRÓ=;2!; ABÓ+;2!; BCÓ =;2!;_16+;2!;_10 =8+5=13(cm) QRÓ=QCÓ-RCÓ=;2!; ACÓ-;2!; BCÓ =;2!;_26-;2!;_10 =13-5=8(cm) ∴` PRÓ+QRÓ=13+8=21(cm) ABÓ=b-a이므로 " 1 # B C APÓ= b-a4 따라서 점 P의 좌표는 a+ b-a4 =3a+b4 이다. ∴` P{ 3a+b4 } ① ∠a+∠f=∠d ③ ∠b와 ∠e는 엇각 관계이다. ⑤ ∠e의 동위각은 ∠c와 ∠g이다.
∠BOD=∠BOC+∠COD
" # $ 0 % & ' ( =;4!;(∠AOC+∠COE) =;4!;∠AOE =;4!;_180ù=45ù ∠BOD=∠GOF (맞꼭지각)이므로 ∠GOF=45ù ∠B=∠x라 하면 ∠A=2∠x ①, ⑤ 21`cm P{ } ②, ④ 45ù 60ù ⑤ 50ù 160ù 5시 10;1!1);분, `5시 43;1¦1;분 95ù ① ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅅ 면 CGHD, 면 EFGH 8 11 ② ⑤ △FCE, ASA 합동 45ù 3쌍 ③, ④ △BCE, SAS 합동 120ù 140ù 3a+b 4
단원 종합 문제
57~60쪽Ⅰ
평행사변형의 대변은 서로 평행하므로 ∠A+∠B=180ù 2∠x+∠x=180ù, 3∠x=180ù, ∠x=60ù ∴` ∠B=60ù 두 직선이 한 점에서 만날 때 2쌍의 맞꼭지각이 생긴 다. 즉, 한 점에서 만나는 세 직선 l, m, n에 대하여 두 직 선 l과 m이 만나서 2쌍, 두 직선 m과 n이 만나서 2쌍, 두 직선 l과 n이 만나서 2쌍의 맞꼭지각이 생긴다. 또, 두 직선 l과 p가 만나서 2쌍, 두 직선 m과 p가 만나서 2쌍, 두 직선 n과 p가 만나서 2쌍이 생긴다. 따라서 총 12쌍의 맞꼭지각이 생긴다. 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 M Y N ± ± ± ± ± " 두 직선 l, m과 평행한 직선을 그으 면 삼각형에서 한 외각의 크기는 그 와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 30ù+∠x=80ù ∴ ∠x=80ù-30ù=50ù lm이면 동위각의 크기가 같 ± ± ± ± ± [ M N Y Z 으므로 ∠x=180ù-130ù=50ù 삼각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 ∠y =40ù+∠x =40ù+50ù=90ù 또, ∠z+(180ù-∠y)=110ù이므로 ∠z=110ù-90ù=20ù ∴ ∠x+∠y+∠z=50ù+90ù+20ù=160ù 평행사변형에 대하여 이웃한 두 각의 크기의 합은 항상 180ù이다.5시 x분이라 하면 |30ù_5-5.5ù_x|=90ù Ú 150ù-5.5ùx=90ù일 때 5.5ùx=60ù ∴ x= 605.5 =10 ;1!1); Û 5.5ùx-150ù=90ù일 때 5.5ùx=240ù ∴ x= 2405.5 =43 ;1¦1; 따라서 구하는 시각은 5시 10;1!1); 분, 5시 43 ;1¦1; 분이다. 두 점 A, B에서 두 직선 l, ± ± ± ± ± ± ± M N ± " # Y m과 평행한 직선을 그으면 (5ù+∠x)+80ù=180ù ∴ ∠x=95ù ① 한 직선을 포함하는 평면은 무수히 많다. ②, ③, ④, ⑤ 1 ㄱ. Pl, Pm이면 두 직선 l, m은 만나거나 평행 하거나 꼬인 위치에 있다. ㅁ. lm, l⊥n이면 두 직선 m, n은 만나거나 꼬인 위치 에 있다. ㅂ. lP, m⊥P이면 두 직선 l, m은 만나거나 꼬인 위치 에 있다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅅ이다. AIÓ와 평행한 면은 면 CGHD, 면 EFGH이다. IKÓ와 만나지도 않고, 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 AEÓ, DHÓ, CGÓ, JFÓ, EFÓ, EHÓ, HGÓ, FGÓ의 8이다. Ú 5개의 점 A, B, C, D, E로 만들 수 있는 평면의 개수：1 Û 평면 위의 5개의 점 중 2개와 점 F로 만들 수 있는 평면 의 개수： 5_42 =10 Ú, Û에서 평면의 개수는 1+10=11 오른쪽 그림과 같이 전개도 " . * # % ) $ / , ' + -& ( 를 접어 입체도형으로 만들어 살펴보면 KNÓ과 만나지도 않고, 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있는 모서리는 JGÓ, ABÓ, EFÓ, BCÓ이다. ⑤ ABÓ와 면 BFHD는 한 점에서 만난다. △ABE와 △FCE에서
BEÓ=CEÓ, ∠AEB=∠FEC (맞꼭지각)
ABÓDFÓ이므로 ∠ABE=∠FCE (엇각) ∴ △ABEª△FCE`(ASA 합동) 보조선 BD를 그으면 △ABD " # $ % & ' ± Y
와 △ACE에서 △ABC, △ADE 가 정삼각형이므로
ABÓ=ACÓ, ADÓ=AEÓ
∠BAD=60ù-∠DAC=∠CAE ∴ △ABDª△ACE (SAS 합동)
따라서 ∠x=∠CAE이고, △ACE의 내각의 크기의 합이 180ù이므로 ∠CAE+75ù+60ù=180ù에서 ∠CAE=45ù ∴ ∠x=45ù Ú △ABC와 △DCB에서 BCÓ는 공통, ABÓ=DCÓ, ACÓ=DBÓ ∴ △ABCª△DCB (SSS 합동) Û △ABD와 △DCA에서
ADÓ는 공통, ABÓ=DCÓ, ACÓ=DBÓ ∴ △ABDª△DCA (SSS 합동) Ü △ABP와 △DCP에서
ABÓ=DCÓ
△ABCª△DCB이므로 ∠BAP=∠CDP
△ABDª△DCA이므로 ∠ABP=∠DCP ∴ △ABPª△DCP (ASA 합동) 따라서 합동인 삼각형은 모두 3쌍이다. ① 점 Q는 두 점 C, D를 중심으로 각각 반지름의 길 이가 같은 원을 그려 만나는 점이므로 CQÓ=DQÓ ② 두 점 C, D는 점 P를 중심으로 하는 원 위에 있으므로 CPÓ=DPÓ ⑤ PQê는 직선 AB의 수선이므로 ∠PHC=∠PHD=90ù △ADE와 △BCE에서 ABCD는 직사각형이므로 ADÓ=BCÓ DEÓ=CEÓ이고, △EDC는 이등변삼각형이므로
