⑴ 풀이 참조 ⑵ 20`% 15점 ㄴ, ㅅ ⑴ 62.5`kg ⑵ 30`% ⑶ 5명
⑴ 165`cm ⑵ 11명 ⑶ 28명 ⑷ 160`cm 4 ㄹ, ㅂ
⑴ 10 ⑵ 34`% ⑶ 80점 ⑷ 60점 이상 80점 미만,`46명 ⑴ 36명 ⑵ 37.5`%
⑴ 8개 ⑵ 4할 ⑶ ;3$;a ①,`④ ⑴ 풀이 참조 ⑵ 15 ⑶ 50`%
⑴ 7명 ⑵ 147.5`cm ⑶ 40 ⑴ 50명 ⑵ 16명 ⑴ 남학생, 14명 ⑵ 600`cm ⑶ 36：25
⑴ ㄴ ⑵ ㄷ ⑶ ㄹ ⑷ ㄱ ② ㅂ,`ㅇ 0.05 0.1
2`:`9 1`:`3 20`% 60명
⑴ 12명 ⑵ 35 ⑶ 40`% ⑴ A：100명, B：200명 ⑵ 100 ⑶ 0 4x+3y
7
128~137쪽
주제별 실력다지기
STEP
오른쪽 그림과 같이 히스토그램 위에 도수분포다각형을 그렸을 때,
△ACB와 △ECD에 대하여 ABÓ=DEÓ,
∠ACB=∠ECD이고
∠ABC=∠EDC=90ù이므로
∠BAC=∠DEC
∴ △ACBª△ECD (ASA 합동)
따라서 △ACB와 △ECD의 넓이는 서로 같다.
도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이 최상위
NOTE
08
마찬가지로 생각하면 직사각형에서 도수분포다각형 바깥쪽에 있 는 부분을 비어있는 안쪽 부분으로 이동시킬 수 있다. 즉, 도수분 포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 히스토그램의 직 사각형의 넓이의 합과 같다.
(점)
(명)
"#
&
$
%
문제 풀이
⑴ 줄기 잎
0 7 8 7 1 2 0 9 2 2 5 4 7 7 0 1 3 7 8
⑵ 줄기가 1이고 잎이 5 이상인 것은 19`m로 1개이고, 줄 기가 2이고 잎이 3 이하인 것은 20`m, 21`m로 2개이므 로 15`m 이상 23`m 이하를 던진 학생 수는
1+2=3(명)이다. 또한 전체 학생 수는 잎의 개수와 같 으므로 3+4+6+2=15(명)이다.
따라서 15`m 이상 23`m 이하를 던진 학생은 전체의
;1£5;_100=20(%)이다.
남학생의 점수의 합을 구하면
55+64+61+69+78+77+70+86+82+90
=732(점)
여학생의 점수의 합을 구하면
58+51+64+62+73+75+72+84+85+93
=717(점)
따라서 남학생의 점수의 합과 여학생의 점수의 합의 차는 732-717=15(점)이다.
ㄴ. 계급의 가운데 값을 계급값이라 한다.
ㅅ. 계급의 개수가 너무 많거나 적으면 정확한 분포 상태를 파악하기 어렵다.
⑴ 45`kg 이상 50`kg 미만인 계급에 속하는 도수는 30-(6+10+8+1)=5(명)
따라서 도수가 가장 작은 계급은 60`kg 이상 65`kg 미 만이므로 이 계급의 계급값은
60+652 =62.5(kg)
⑵ 몸무게가 55`kg 이상인 학생은 8+1=9(명)이므로 전 체의 ;3»0;_100=30(%)이다.
⑶ 몸무게가 20번째로 무거운 학생이 속하는 계급은 45`kg 이상 50`kg 미만이므로 이 계급의 도수는 5명이 다.
주어진 표에서 계급의 크기는 147.5-142.5=5(cm) 이고, 계급값이 A, 계급의 크기가 a인 계급은 A-;2!;a 이
백분율 구하기 백분율(%)=(비교하는 양)
(전체의 양) _100
상 A+;2!;a 미만이므로 도수분포표로 나타내면 다음과 같 다.
키(cm) 계급값(cm) 도수(명) 140이상~ 145미만 142.5 5
145 ~ 150 147.5 7
150 ~ 155 152.5 20
155 ~ 160 157.5 15
160 ~ 165 162.5 11
165 ~ 170 167.5 2
합계 60
⑴` 키가 가장 큰 학생이 속하는 계급은 165`cm 이상 170`cm 미만이므로 키가 가장 큰 학생의 키는 최소한 165`cm 이상이다.
⑵` 키가 163`cm인 학생이 속하는 계급은 160`cm 이상 165`cm 미만으로 이 계급의 도수는 11명이다.
⑶` 키가 155`cm 이상인 학생은 15+11+2=28(명)
⑷` 키가 10번째로 큰 학생이 속하는 계급은 160`cm 이상 165`cm 미만이므로 키가 10번째로 큰 학생의 키는 최소한 160`cm 이상이다.
기록이 15.0초 이상 16.0초 미만인 학생은 a명, 기록 이 16.0초 이상 17.0초 미만인 학생은 b명이므로 도수분포 표로 나타내면 다음과 같다.
기록(초) 도수(명) 14.0이상~ 15.0미만 4 15.0 ~ 16.0 a 16.0 ~ 17.0 b 17.0 ~ 18.0 12
합계 60
기록이 16.0초 미만인 학생이 전체의 40`%이므로 4+a=60_;1¢0¼0;, 4+a=24 ∴ a=20 또, 나연이네 반 전체 학생 수는 60명이므로 4+20+b+12=60 ∴ b=24
∴ |a-b|=|20-24|=4
ㄹ.` 각 계급에 속하는 직사각형의 세로의 길이는 도 수를 나타내므로 일정하지 않다.
ㅂ. 히스토그램에서 각 직사각형의 넓이는 각 계급의 도수 에 정비례한다.
히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
계급(점) 계급값(점) 도수(명) 60-(4+6+16+10+8+6+2)=8(명) 이므로 통학 시간이 20분 이상 걸리는 학생은
⑴ 키가 160`cm 이상인 학생은 4+3=7(명)이다.
ㅇ. 전체 도수가 다른 두 자료에서는 도수가 크다고 해서 상대도수도 크다고 할 수 없다.
1반 학생 중 A형인 학생의 상대도수는 a=;2°0;=0.25
2반 학생 중 O형인 학생의 상대도수는 b=;4¥0;=0.2
∴ a-b=0.25-0.2=0.05
(도수의 총합)= (그 계급의 도수) (어떤 계급의 상대도수)
= 80.4 =20(명)
∴ a=;2ª0;=0.1
다른 풀이
도수와 상대도수는 정비례 관계이므로 도수가 8명에서 2명 으로 ;4!;이 되었으므로 상대도수도 `;4!;이 된다.
따라서 a=0.4_;4!;=0.1
전체 학생 수의 비가 3`:`1이므로 두 반의 전체 학생 수를 각각 3a명, a명이라 하고, 어떤 계급의 도수의 비가 2`:`3이므로 도수를 각각 2b명, 3b명이라 하면 상대도수의 비는
2b3a `:`3b
a =;3@;`:`3=2`:`9
A, B 두 중학교의 1학년 학생 수를 a명이라 하면 A 중학교의 1학년 학생의 상대도수는 ;1350;
B 중학교의 1학년 학생의 상대도수는 ;45A0;
따라서 1학년 학생의 상대도수의 비는
;1350;`:`;45A0;=1`:`3
두 반을 합반했을 때, 전체 학생 수는 40+30=70(명)
1반에서 혈액형이 A형인 학생 수는 40x명, 2반에서 혈액 형이 A형인 학생 수는 30y명이므로 두 반에서 혈액형이 A 형인 학생은
(40x+30y)명
따라서 두 반을 합반했을 때, 혈액형이 A형인 학생의 상대 도수는
40x+30y
70 = 4x+3y7
키가 140`cm 이상 145`cm 미만인 계급의 상대도수를 x라 하면 키가 140`cm 이상인 학생은 전체의 32`%이므로 (x+0.2)_100=32 ∴ x=0.12
또, 상대도수의 총합은 1이므로 키가 130`cm 이상 135`cm 미만인 계급의 상대도수를 y라 하면 y=1-(0.06+0.18+0.24+0.12+0.2)=0.2
따라서 키가 130`cm 이상 135`cm 미만인 학생은 전체의 0.2_100=20(%)이다.
계급의 도수는 학생 수이므로 정수이다.
즉, (도수의 총합)_(어떤 계급의 상대도수)가 정수이어 야 하므로 도수의 총합은 상대도수의 분모들의 공배수이어 야 한다.
따라서 전체 학생 수가 될 수 있 2`>³`10 5 4 6 12 2`>³` 5 5 2 3 6 3`>³` 5 5 1 3 3 5`>³` 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 는 수 중에서 가장 작은 수는 상
대도수의 분모 10, 5, 4, 6, 12의 최소공배수이므로
2Û`_3_5=60(명)이다.
상대도수의 분포표로 나타내면 다음과 같다.
성적(점) 상대도수 40이상~ 50미만 0.1 50 ~ 60 0.2 60 ~ 70
70 ~ 80 0.2 80 ~ 90 0.15 90 ~ 100 0.05
합계 1
⑴ 수학 성적이 60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수는 1-(0.1+0.2+0.2+0.15+0.05)=0.3
따라서 구하는 학생 수는 40_0.3=12(명)
⑵ 각 계급의 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례하므로 도수가 가장 큰 계급은 상대도수가 가장 큰 계급인 60점 이상 70점 미만이고 계급값은
60+702 =65(점) ∴ a=65
도수가 가장 작은 계급은 상대도수가 가장 작은 계급인 90점 이상 100점 미만이고 계급값은
90+1002 =95(점) ∴ b=95 ∴ 2a-b=2_65-95=35
세 자연수 a, b, c에 대하여
;a!;_N, ;b!;_N, ;c!;_N이 모두 자연수가 되려면 N은 a의 배수, b의 배 수, c의 배수이어야 한다. 즉, N은 세 자연수 a, b, c의 공배수이어야 한다.
⑶ 수학 성적이 70점 이상인 학생의 비율은 0.2+0.15+0.05=0.4
이므로 전체의 0.4_100=40(%)이다.
⑴ A 중학교에서 영어 성적이 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수는 0.45이고, 그 계급의 도수는 45명이 므로
(전체 학생 수)= 450.45 =100(명)
또, B 중학교에서 영어 성적이 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수는 0.3이고, 그 계급의 도수는 60명이므 로
(전체 학생 수)= 600.3 =200(명)
⑵ A 중학교에서 영어 성적이 80점 이상 90점 미만인 계급 의 상대도수는
1-(0.1+0.2+0.45+0.05)=0.2
또, B 중학교에서 영어 성적이 90점 이상 100점 미만인 계급의 상대도수는 `0.1이다.
따라서 A 중학교에서 상위 25`%`이내에 들려면 0.05+0.2=0.25이므로 80점 이상 받아야 하고, B 중학 교에서 상위 10`%`이내에 들려면 90점 이상 받아야 한 다.
즉, x=80, y=90이므로
|x-2y| =|80-2_90|
=100
⑶ 상대도수의 그래프와 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이 는 (계급의 크기)_(상대도수의 총합), 즉
(계급의 크기)_1이므로 계급의 크기가 같으면 상대도 수의 그래프와 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 서 로 같다.
따라서 a=b이므로 a-b=0이다.
6명, 8명 30권 5 42.5`% x=8, y=3 7명
80 1 6시간 이상 8시간 미만 5 8배
117 30 20점 ①, ③ 10명 6명
9`:`11 5명 6시간 이상 7시간 미만 5배 50명
6명 a=275, b=65, c=12, d=900, e=40 x=2 50명 ①, ④
0 :õa: 1학년 2 48명
9명
10a+11b 21
138~145쪽
실력 높이기
STEP
문제 풀이
은정이네 모둠과 현정이네 모둠의 학생 수는 각각 잎 의 개수와 같으므로 6명, 8명이다.
책을 가장 많이 읽은 학생은 43권을 읽었고, 가장 적 게 읽은 학생은 13권을 읽었으므로 30권을 더 많이 읽었다.
a+2a+8+3a+2=40, 6a+10=40 6a=30 ∴ a=5
80점 이상 90점 미만인 학생은 15명이고, 90점 이상 100점 미만인 학생은 2명이므로 80점 이상인 학생은 15+2=17(명)
따라서 80점 이상인 학생은 전체의
;4!0&;_100=42.5(%)이다.
표현 단계 전체 학생 40명의 82.5`%는 40_ 82.5100 =33(명)
변형 단계 수학 성적이 80점 미만인 학생 수는 33명이므로 2+3+6+9+x+5=33 yy`㉠
80점 이상인 학생 수는 40-33=7(명)이므로
y+4=7 yy`㉡
풀이 단계 ㉠에서 25+x=33 ∴ x=8
㉡에서 y=3
확인 단계 ∴ x=8, y=3
표현 단계 전체 학생 50명의 78`%는 50_;1¦0¥0;=39(명)이므 로
변형 단계 160`cm 미만인 학생은 39명, 160`cm 이상인 학 생은 50-39=11(명)이다.
서술형
서술형
풀이 단계 11-4=7(명)
확인 단계 따라서 구하는 학생 수는 7명이다.
몸무게가 36`kg 이상 44`kg 미만인 계급의 도수는 전 체 도수 40명의 25`%이므로
2+a=40_;1ª0°0;, 2+a=10 ∴ a=8 b=40-(2+8+18+2)=10
∴ ab=8_10=80
계급의 크기는 인접한 계급값의 차와 같으므로 3-1=2(시간) ∴ a=2
즉, 계급의 크기가 2시간이므로 b-3=2(시간) ∴ b=5
∴ |2a-b|=|2_2-5|=|-1|=1
공부 시간이 5번째로 많은 학생이 속하는 계급의 계급 값은 7시간이고, 계급의 크기는 2시간이므로 구하는 계급 은 6시간 이상 8시간 미만이다.
표현 단계 전체 학생 수가 50명이므로
3+11+a+b+7=50 ∴ a+b=29 yy`㉠
변형 단계 영어 성적이 70점 이상인 학생 수는 a+b+7=29+7=36(명)이므로
풀이 단계 계급값이 75점인 학생 수 a는 a=;3!;_36=12
㉠에서 12+b=29 ∴ b=17
확인 단계 ∴ |a-b|=|12-17|=5
표현 단계 영어 성적이 80점 이상인 학생 수는 (b+7)명이 고, 영어 성적이 60점 미만인 학생 수는 3명이다.
서술형
서술형
변형 단계 b+7=17+7=24이므로
풀이 단계 24Ö3=8
확인 단계 따라서 8배이다.
계급의 크기가 3이고, 계급값이 7.5인 계급은 7.5-;2#; 이상 7.5+;2#; 미만이므로
a=7.5-;2#;=6, b=7.5+;2#;=9
∴ aÛ`+bÛ`=6Û`+9Û`=117
a=b, c=d=g=h=k=l, e=f=i=j
도수분포다각형을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
직사각형의 넓이는 도수에 정비례한다. 가장 큰 도수 는 10명, 가장 작은 도수는 2명이므로 가장 큰 직사각형의 넓이는 가장 작은 직사각형의 넓이의 5배이다.
표현 단계 전체 학생 수를 x명이라 하자.
변형 단계 17초 미만인 학생 수는 6+10+15=31(명)이고, 전체의 62`%이므로 31x _100=62
풀이 단계 3100=62x ∴ x=50
확인 단계 따라서 전체 학생 수는 50명이다.
표현 단계 전체 학생 50명의 26`%는 50_;1ª0¤0;=13(명)이므로
변형 단계 기록이 18초 이상인 학생은 13명이고,
풀이 단계 17초 미만인 학생은 31명이다.
확인 단계 따라서 기록이 17초 이상 18초 미만인 학생 수는 50-13-31=6(명)
도수분포표를 완성해 보면 다음과 같다.
국어 성적(점) 계급값(점) 도수(명) (계급값)_(도수)
50이상~ 60미만 55 5 a=275
60 ~ 70 b=65 10 650
70 ~ 80 75 c=12 d=900
80 ~ 90 85 9 765
90 ~ 100 95 4 380
합계 e=40 2970
∴ a=275, b=65, c=12, d=900, e=40
A(x)=(x 를 계급값으로 가지는 계급에 속하는 학생 수) 에 계급값 55, 65, 75, 85, 95를 각각 대입하면
A(55)=5, `A(65)=10, `A(75)=12, `A(85)=9, A(95)=4
따라서 p=10, q=75, r=95이므로 px+q=r에 대입하여 풀면 10x+75=95, 10x=20
∴ x=2
150`cm 이상 155`cm 미만인 계급의 남학생의 도수가 3명, 상대도수가 0.1이므로
(전체 남학생 수)= (도수)
(상대도수)= 30.1=30(명)
서술형
서술형
새로운 기호가 주어진 경우 수를 잘 대입하고 기호의 의미를 알맞게 해석하여 문제를 해결해야 한다.
150`cm 이상 155`cm 미만인 계급의 여학생의 도수가 3명, 상대도수가 0.15이므로
(전체 여학생 수)= (도수)
(상대도수)= 30.15=20(명) 따라서 나연이네 반 학생은 모두 30+20=50(명)이다.
(어떤 계급의 상대도수)=(그 계급의 도수) (도수의 총합) 이므로 A=;2°0;=0.25, E=20_0.2=4, B=20_0.3=6 5+B+D+E=20에서 D=5
따라서 B+D=11, C=;2°0;=0.25
60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수는 0.25이므 로 국어 성적이 60점 이상 70점 미만인 학생은 전체의 0.25_100=25(%)
∴ a=25
80점 이상 90점 미만인 계급의 상대도수는 0.25이므로 국 어 성적이 80점 이상 90점 미만인 학생은 전체의
0.25_100=25(%)
∴ b=25
∴ a-b=25-25=0
수학 성적이 60점 이상 70점 미만인 계급의 도수는 a명, 상대도수는 b이므로 전체 도수는 ;bA;명이다.
수학 성적이 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수는 cÖ;bA;=:õa:
표현 단계 각 학년의 상대도수를 비교한다.
변형 단계 1학년 학생 중에서 독서 시간이 90분 이상인 학생 수는 6+4=10(명)
2학년 학생 중에서 독서 시간이 90분 이상인 학생 수는 8+4=12(명)
풀이 단계 (어떤 계급의 상대도수)=(그 계급의 도수) (도수의 총합) 이므로 각 학년의 상대도수를 구해 보면 1학년 : ;4!0);=0.25, 2학년 : ;5!0@;=0.24
확인 단계 따라서 독서 시간이 90분 이상인 학생의 비율은
확인 단계 따라서 독서 시간이 90분 이상인 학생의 비율은