2
①, ③ ⑴ x=15 ⑵ y=100 ④ 4`:`1 120ù
2p`cm 20`cm 3배
⑴ 둘레의 길이：(5p+10)`cm, 넓이：:ª2°:p`cmÛ`` ⑵ 둘레의 길이：{;2&;p+14}`cm, 넓이：{49-:¢4»:p}`cmÛ`
1`:`1 (24+6p)`cm ⑴ (18p-36)`cmÛ` ⑵ 30p`cmÛ` (48-8p)`cmÛ` {54-:ª2¦:p}`cmÛ`
48p`cmÛ`
77~80쪽
주제별 실력다지기
STEP
모든 원은 크기는 달라도 모양은 같기 때문에 원주율은 항상 일정하 다.
즉, 원의 크기와 관계없이 (원의 둘레의 길이)
(지름의 길이) 의 값은 3.141592y 로 항상 일정하고 이 값을 p라고 약속한 것이다.
원의 둘레의 길이 구하기 최상위
NOTE
05
따라서 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이를 l이라 하면 p=(원의 둘레의 길이)
(지름의 길이) = l2r이므로 l=2pr이다.
즉, 원주율 p의 의미를 정확히 이해하면 원의 둘레의 길이를 쉽게 구할 수 있다.
문제 풀이
호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비 례한다.
⑴ 120ù`:`40ù=x`:`5, 40x=600 ∴ x=15
⑵ 15`:`3=yù`:`20ù, 3y=300 ∴ y=100
∠OAB=∠OBA=;2!;_(180ù-120ù)=30ù ABÓCDÓ이므로 ∠AOC=∠OAB=30ù(엇각)
∴ µABC=;3!;_(2p_3)=2p(cm)
다른 풀이
∴ µABC=2p_3_ 120360 =2p(cm)
ADÓOCÓ이므로
∴ ∠AOD=180ù-(30ù+30ù)=120ù 따라서 30ù`:`120ù=5`:`µAD에서
=2p_7_;3»6¼0;+2_7
=;2&;p+14(cm) (어두운 부분의 넓이)
=(정사각형 ABCD의 넓이)-(부채꼴 BCD의 넓이)
=7_7-p_7Û`_;3»6¼0;
=49-:¢4»:p(cmÛ`)
반원 O에서
µBC=2p_;2%;_;3!6*0);=;2%;p(cm) 또, 부채꼴 BCD에서
µBD=2p_5_;3»6¼0;=;2%;p(cm)
∴ µBC`:`µBD=;2%;p`:`;2%;p=1`:`1
(어두운 부분의 둘레의 길이) " ADN %
# $
=(정사각형의 둘레의 길이) ADN
+(부채꼴의 호의 길이)_4
=6_4+{2p_3_;3»6¼0;}_4
=24+6p(cm)
⑴ 오른쪽 그림에서 ㉠의 넓이
ADN
" %
# $
㉠ ADN
는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 것과 같으므로 p_6Û`_;3»6¼0;-;2!;_6_6
=9p-18(cmÛ`)
따라서 구하는 넓이는 ㉠의 넓이의 2배이므로 (어두운 부분의 넓이) =2_(9p-18)
=18p-36(cmÛ`)
특이한 모양의 도형의 넓이를 구할 때에는 넓이를 구할 수 있는 도 형(삼각형, 사각형, 원, 부채꼴, y)들의 합 또는 차를 이용하여 구한다.
⑵ (어두운 부분의 넓이)
=(지름의 길이가 12`cm인 반원의 넓이)
+(지름의 길이가 10`cm인 반원의 넓이) -(지름의 길이가 2`cm인 반원의 넓이)
=;2!;_p_6Û`+;2!;_p_5Û`-;2!;_p_1Û`
=18p+:ª2°:p-;2!;p
=30p(cmÛ`)
(어두운 부분의 넓이) " & ADN %
#
' (
$
=(사각형 ABCD의 넓이) -{(사각형 EFGD의 넓이)
+(반원의 넓이)}
=8_8-{4_4+;2!;_p_4Û`}
=48-8p(cmÛ`)
(어두운 부분의 넓이) ADN
$
#
"
ADN %
=3_{(ABCD의 넓이) -( 반지름의 길이가 3`cm인
반원의 넓이)}
=3_{3_6-;2!;_p_3Û`}
=54-:ª2¦:p(cmÛ`)
OÕO'Ó=12`cm이므로 두 원 O, O'의
0
"
# 0
$
반지름의 길이는 12`cm이다. 따라서 OAÓ=OÕO'Ó=OÕ'BÓ=OCÓ=OÕ'CÓ이고,
△OCO'은 정삼각형이므로
∠AOC=∠BO'C=120ù
∴ △AOCª△BO'C(SAS 합동) 따라서 △AOC=△BO'C이므로
위의 그림과 같이 어두운 부분을 이동시켜 생각하면 (어두운 부분의 넓이)=(부채꼴 AOC의 넓이)
=p_12Û`_;3!6@0);
=48p(cmÛ`)
④ ∠BOC=2∠BAC 또는 ∠BAC=;2!;∠BOC 30ù 2
1`:`1 2`:`1 35ù (96-16p)`cmÛ` ⑴ 32`cmÛ` ⑵ 8p`cmÛ`
20p (200-50p)`cmÛ` (144-24p)`cmÛ` 8aÛ`-2aÛ`p {;2(;+;4(;p}`cmÛ` {:ª4°:p-18}`cmÛ`
호의 길이：6배, 넓이：18배 둘레의 길이：(28p+80)`m, 넓이：(56p+160)`mÛ` 풀이 참조 (400+64p)`cmÛ` 12p`cm 53p`mÛ`
81~86쪽
실력 높이기
STEP
문제 풀이
① ∠AOD=∠GOE`(맞꼭지각)
② 3∠AOB=2∠GOF ∴ ∠AOB=;3@;∠GOF
③ 3µAB=2µGF이므로 µAB=;3@;µGF
⑤ 3µAB=2µGF이므로 양변에 3을 곱하면 9µAB=6µGF
표현 단계 AO³와 원 O가 만나는 점을 "
Y Z
Y Z
# $
% 0
D라 하고, ∠ABO=∠x,
∠ACO=∠y라 하자.
변형 단계 원 O의 반지름의 길이는 모두 같으므로 AOÓ=BOÓ=COÓ 즉, △ABO와 △ACO는 이 등변삼각형이므로
∠ABO=∠BAO=∠x yy`㉠
∠ACO=∠CAO=∠y yy`㉡
풀이 단계 △ABO에서 외각의 성질에 의하여
∠BOD=∠ABO+∠BAO=∠x+∠x=2∠x
△AOC에서 외각의 성질에 의하여
∠COD=∠ACO+∠CAO=∠y+∠y=2∠y
∴ ∠BOC =∠BOD+∠COD
=2∠x+2∠y
=2(∠x+∠y)
확인 단계 ㉠, ㉡에서 ∠BAC=∠x+∠y이므로
∠BOC=2∠BAC 또는 ∠BAC=;2!;∠BOC
µAC`:`µBC=1`:`4이므로
∠AOC`:`∠BOC=1`:`4
∴ ∠BOC=4∠x
OAÓBCÓ이므로 ∠AOC=∠OCB=∠x`(엇각)이고,
△OBC는` OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
서술형
∠OBC=∠OCB=∠x 따라서 △OBC에서
4∠x+∠x+∠x=180ù, 6∠x=180ù
∴ ∠x=30ù
표현 단계 보조선 OD를 긋는다.
변형 단계
" 0
$ %
± # Y
ADN
△ODB는 ODÓ=OBÓ인 이등변삼각형이다.
∴ ∠ODB=∠OBD
또한, OCÓBDÓ이므로 ∠AOC=∠OBD(동위각) 즉, ∠OBD=∠ODB=20ù이므로
∠DOB=180ù-(20ù+20ù)=140ù
∴ ∠DOC=20ù
풀이 단계 부채꼴 COD와 부채꼴 DOB에서 호의 길이는 중 심각의 크기에 정비례하므로
20ù`:`140ù=x`:`14
확인 단계 ∴ x=2
보조선 OC를 그으면 △AOC $
%
" 0 #
는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠OAC=∠OCA ACÓODÓ이므로
∠BOD=∠OAC(동위각)
∠COD=∠OCA(엇각)
따라서 ∠COD=∠BOD이고, 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 현의 길이는 같으므로 `CDÓ=BDÓ이다.
∴ CDÓ`:`BDÓ=1`:`1
보조선 OB를 그으면 △OAM과 △OBM에서 OAÓ=OBÓ, AÕMÓ=BÕMÓ, OÕMÓ은 공통이므로
서술형
△OAMª△OBM(SSS 합동) 따라서 ∠OMA=∠OMB=90ù이므로
∠AOM=60ù, ∠AOC=180ù-60ù=120ù
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 (부채꼴 GDH의 넓이)=p_4Û`_;3¤6¼0;=;3*;p (부채꼴 HEI의 넓이)=p_6Û`_;3¤6¼0;=6p (부채꼴 IFJ의 넓이)=p_8Û`_;3¤6¼0;=:£3ª:p
확인 단계 따라서 네 개의 부채꼴의 넓이의 합은 ={5_5-p_5Û`_;3»6¼0;}_8
={25-:ª4°:p}_8=200-50p(cmÛ`)
표현 단계 △EBC가 정삼각형이므로
∠ABE=90ù-∠EBC=90ù-60ù=30ù
변형 단계 이때 어두운 부분의 넓이는
=6_6_;2!;+p_3Û`_;4!;-3_9_;2!;
즉, 6_6_;2!;=2_{p_5Û`_;3¢6°0;}-S+T이므로 18=:ª4°:p-S+T
이때 :ª4°:p는 약 19.6이므로 :ª4°:p>18이다.
∴ (S와 T의 차)=:ª4°:p-18(cmÛ`)
처음 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 xù라 하면 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 각각
2pr_;36{0;, prÛ`_;36{0;
부채꼴의 반지름의 길이를 3배, 중심각의 크기를` 2배로 늘릴 때, 호의 길이는 2p_3r_ 2x360이므로
2pr_;36{0;`:`2p_3r_ 2x360 =1`:`6
따라서 호의 길이는 처음 부채꼴의 호의 길이의 6배가 된다.
또한, 넓이는` p_(3r)Û`_ 2x360이므로 prÛ`_;36{0;`:`p_(3r)Û`_ 2x360 =1`:`18
따라서 넓이는 처음 부채꼴의 넓이의 18배가 된다.
(넓이) =(p_9Û`-p_5Û`)+20_4_2
=81p-25p+160=56p+160(mÛ`)
2r_4+{2pr_;3¤6¼0;}_2 +{2pr_;3!6@0);}_2
=8r+2pr
Ü 6r_2+{2pr_;2!;}_2
=12r+2pr =(10_8)_5+{p_8Û`_;3¦6ª0;}_5 =400+64p(cmÛ`)
풀이 단계 µAE=2p_8_;3»6¼0;=4p(cm) µ`EJ=2p_10_;3»6¼0;=5p(cm) µJM=2p_6_;3»6¼0;=3p(cm)
확인 단계 ∴ µAE+µ`EJ+µJM`=4p+5p+3p=12p(cm)
서술형
표현 단계 끈의 길이가 8`m이
AN
AN
AN
AN
AN
AN
AN
므로 강아지가 움 직일 수 있는 땅은 오른쪽 그림의 어 두운 부분과 같다.
변형 단계 즉, 강아지가 움직 일 수 있는 땅은 반
서술형 지름의 길이가 각각 2`m, 4`m, 8`m인 사분원과
반지름의 길이가 8`m인 반원이다.
풀이 단계 (구하는 넓이)
=p_2Û`_;4!;+p_4Û`_;4!;+p_8Û`_;4#;
=p+4p+48p
확인 단계 =53p(mÛ`)
20ù 3배 (48p-64)`cmÛ` (10p+20)`cm ⑴ (48p+96)`cm ⑵ 72p`cmÛ`
3.6초 8pr 1`:`1 원 약 43pÛ`, 56.25pÛ`, 225p
정삼각형, 정오각형 풀이 참조
최고 실력 완성하기
STEP
87~89쪽
문제 풀이
보조선 OA를 그으면 △OAB와 △OAC에서 OAÓ는 공통, OBÓ=OCÓ
µAB=µAC이므로 ∠AOB=∠AOC
∴ △OABª△OAC(SAS 합동)
따라서 ∠OAB=∠OAC=;2!;_40ù=20ù이고,
△OCA는 `OAÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠ACO=∠OAC=20ù
∠CPD=∠x라 하면
"
# $ 1
% Y
Y
△OCP는 `COÓ=CPÓ인 이등변삼 0
각형이므로
∠COP=∠CPO=∠x
△OCP에서
∠OCB =∠COP+∠CPO=∠x+∠x=2∠x 또, △OBC는 `OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠OBC=∠OCB=2∠x
△OBP에서
∠AOB=∠OBP+∠OPB=2∠x+∠x=3∠x
따라서 ∠AOB는 ∠COD의 3배이고, 호의 길이는 중심각 의 크기에 정비례하므로 µAB 의 길이는 µCD 의 길이의 3배 이다.
(부채꼴 DEO의 넓이)=p_8Û`_;3»6¼0;=16p(cmÛ`)
(㉠의 넓이) " &
0
㉠
ADN
=2_{(부채꼴 AEO의 넓이)
-(삼각형 AOE의 넓이)}
=2_[{p_8Û`_;3»6¼0;}-;2!;_8_8]
=2_(16p-32)
=32p-64(cmÛ`)
∴ (어두운 부분의 넓이)
=(부채꼴 DEO의 넓이)+(㉠의 넓이) =16p+(32p-64)
=48p-64(cmÛ`)
AGÓ=GDÓ=ADÓ`(원의 반지름) " %
# (
$
이므로 △AGD는 정삼각형이다.
따라서
∠DAG=60ù,
∠CDG=90ù-60ù=30ù
∴ µDG=2p_20_;3¤6¼0;=:ª3¼:p(cm) µCG=2p_20_;3£6¼0;=:Á3¼:p(cm)
∴ (어두운 부분의 둘레의 길이) =µDG+µCG+CDÓ
=:ª3¼:p+:Á3¼:p+20 =10p+20(cm)
⑴ 어두운 부분의 둘레의 길이를 곡선 부분과 선분으 로 나누어 생각해 보면
Ú Û
Ú (곡선의 길이)
=;2!;_(반지름의 길이가 12`cm인 원의 둘레의 길이) +(반지름의 길이가 9`cm인 원의 둘레의 길이) +(반지름의 길이가 6`cm인 원의 둘레의 길이) +(반지름의 길이가 3`cm인 원의 둘레의 길이) =;2!;_2p_12+2p_9+2p_6+2p_3
=12p+18p+12p+6p
=48p(cm)
Û (선분의 길이) =(원 O의 지름의 길이)_4
=24_4=96(cm) Ú, Û에서
(어두운 부분의 둘레의 길이)=48p+96(cm)
⑵ 다음 그림과 같이 어두운 부분을 이동시켜서 생각하면
⇨
(어두운 부분의 넓이)
=;2!;_(반지름의 길이가 12`cm인 원의 넓이)
=;2!;_p_12Û`=72p(cmÛ`)
점 P는 1초에 360ù18 =20ù, 점 Q는 1초에 360ù12 =30ù 회전한다. 두 점 P, Q가 x초 후에 처음 만난다고 하면 두 점의 회전한 각의 크기의 합은 `180ù이므로
20ùx+30ùx=180ù ∴ x= 180ù50ù =3.6(초)
0
±
S
원의 중심이 움직인 거리는 위의 그림과 같이 반지름의 길 이가 2r, 중심각의 크기가 60ù인 부채꼴의 호의 길이 4개와 중심각의 크기가 240ù인 부채꼴의 호의 길이 2개를 합한 것과 같다. 즉,
(원의 중심이 움직인 거리)
=4_{2p_2r_;3¤6¼0;}+2_{2p_2r_;3@6$0);}
=;3*;pr+:Á3¤:pr=8pr
원 O의 반지름의 길이를 r, 원 OÁ, Oª, y, On의 반지 름의 길이를` 각각 rÁ, rª, y, rn이라 하면
(원 O의 둘레의 길이)=2pr (나머지 원의 둘레의 길이의 합)
=2prÁ+2prª+y+2prn=2p(rÁ+rª+y+rn)
이때 지름 AB의 길이는 2r=2(rÁ+rª+y+rn)이고 원 O 의 둘레의 길이는 2pr=2p(rÁ+rª+y+rn)이므로 원 O 의 둘레의 길이와 나머지 원의 둘레의 길이의 합은 서로 같다.
따라서 구하는 비는` 1`:`1이다.
㉠, ㉡, ㉢에 공통으로 들어갈 도형은 원이다.
정삼각형의 한 변의 길이가 10p이므로 그 넓이는 공 식에 의해 약 43pÛ`이다.
정사각형의 한 변의 길이가 :Á2°:p이므로 그 넓이는 :ª;4@;°:pÛ`(=56.25pÛ`)이다.
원의 반지름의 길이를 r라고 하면 2pr=30p에서 r=15이 므로 원의 넓이는 225p이다.
둘레의 길이가 같은 평면도형 중 넓이가 가장 큰 도형 은 원이다.
문제 풀이
2 =65, n(n-3)=130=13_10
∴ n=13
60`cmÛ` (288-72p)`cmÛ` (9p-12)`cmÛ`
단원 종합 문제
90~92쪽ⅠⅠ
∠IBC+∠ICB=180ù-130ù=50ù
∴ ∠A =180ù-2(∠IBC+∠ICB) 30ù+65ù+75ù+55ù+80ù+(180ù-∠x)=360ù
∴ ∠x=125ù
=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠i+∠j
=(∠d+∠e+∠f+∠j)+(∠a+∠b+∠c+∠i)
=(사각형 ABCD의 내각의 크기의 합)
+(△EFG의 내각의 크기의 합)
=360ù+180ù=540ù
④ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므 로
80`:`x=8`:`2 ∴ x=20 80`:`120=8`:`y ∴ `y=12
∴ x+y=20+12=32
부채꼴의 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로
∠AOB`:`∠BOC`:`∠COA=1`:`2`:`3
∴ ∠AOB=360ù_ 1
1+2+3 =60ù
④ ∠AOD=`3∠AOB이지만 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로
ADÓ+3ABÓ
(어두운 부분의 넓이)
=p_8Û`_;3@6#0);-p_4Û`_;3@6#0);=:»3ª:p(cmÛ`)
(어두운 부분의 넓이)
=(ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
+(ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) +(삼각형 ABC의 넓이)
-(BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
=;2!;_p_{:Á2°:}Û`+;2!;_p_4Û``
+;2!;_15_8-;2!;_p_{:Á2¦:}Û`
=60(cmÛ`)
작은 원의 반지름의 길이를 `r`cm라 하면 r+2r+r=12 ∴ r=3
따라서 직사각형의 가로의 길이는 8r=8_3=24(cm)
∴ (어두운 부분의 넓이)
=(직사각형의 넓이)-8_(원의 넓이) =12_24-8_p_3Û``
=288-72p(cmÛ`)
보조선 OC를 그으면
∠AOC=∠BOC=;2!;_180ù=90ù
∴ (어두운 부분의 넓이)
" 0 #
$
%
ADN
ADN ADN ADN
=(부채꼴 AOC의 넓이) -(삼각형 CDO의 넓이) =p_6Û`_;3»6¼0;-;2!;_4_6 =9p-12(cmÛ`)
오른쪽 그림에서
"
# $
어두운 부분의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이와 같다.