STEP 54~56쪽
문제 풀이
각 도형을 작도할 때, 컴퍼스를 이용하는 횟수는 다음 과 같다.
ㄱ. 각의 이등분선의 작도：3번 ㄴ. 평행선의 작도：4번 ㄷ. 크기가 같은 각의 작도：4번 ㄹ. 선분의 수직이등분선의 작도：2번 ㅁ. 직각의 삼등분선의 작도：3번 따라서 a=1, b=2, c=2이므로 2a-b+c=2_1-2+2=2
∠XOY의 두 반직선 OX³와 OY³로부터 같은 거리에 있는 점은 ∠XOY의 이등분선 위의 점이고, 점 A와 점 B 로부터 같은 거리에 있는 점은 선분 AB의 수직이등분선 위의 점이다.
따라서 ∠XOY의 이등분선과 ABÓ의 수직이등분선의 교점 을 구하면 된다.
aÉbÉc, a+b+c=20이고, c<a+b이므로 2c<a+b+cÉ3c, 2c<20É3c
∴ :ª3¼:Éc<10
그런데, c는 자연수이므로 7 또는 8 또는 9이다.
Ú c=9일 때 a+b=11, aÉbÉc이므로 6ÉbÉ9 따라서 삼각형이 될 수 있는 경우는 (2, 9, 9), (3, 8, 9), (4, 7, 9), (5, 6, 9)의 4가지이다.
Û c=8일 때 a+b=12, aÉbÉc이므로 6ÉbÉ8 따라서 삼각형이 될 수 있는 경우는 (4, 8, 8), (5, 7, 8), (6, 6, 8)의 3가지이다.
Ü c=7일 때 a+b=13, aÉbÉc이므로 b=7
따라서 삼각형이 될 수 있는 경우는 (6, 7, 7)의 1가지 이다.
Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 삼각형의 개수는 4+3+1=8
△ADC와 △ABG에서
ADEB, ACFG는 정사각형이므로 ADÓ=ABÓ, ACÓ=AGÓ
∠DAC=90ù+∠BAC=∠BAG
∴ △ADCª△ABG`(SAS 합동) 따라서 △ADH와 △PBH에서
∠ADH=∠PBH`(∵ △ADCª△ABG),
∠AHD=∠BHP`(맞꼭지각)이고, 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠DPB=∠BPH=∠DAH=90ù
△ADC와 △BEC에서
△ABC, △CDE는 정삼각형이므로 ACÓ=BCÓ, CDÓ=CEÓ`
∠ACD=60ù-∠BCD=∠BCE
∴ △ADCª△BEC`(SAS 합동) 따라서 BEÓ=ADÓ=3`cm이므로 BDÓ+BEÓ =2+3=5(cm)
△ABC와 △FDC에서 ACÓ=FCÓ, BCÓ=DCÓ,
∠ACB=60ù-∠ACD=∠FCD이므로
△ABCª△FDC`(SAS 합동)
∴ FDÓ=6`cm, CFÓ=9`cm 또, △ABC와 △EBD에서 ABÓ=EBÓ, BCÓ=BDÓ,
∠ABC=60ù-∠ABD=∠EBD이므로
△ABCª△EBD`(SAS 합동)
∴ EBÓ=6`cm, DEÓ=9`cm
따라서 오각형 BCFDE의 둘레의 길이는 BCÓ+CFÓ+FDÓ+DEÓ+EBÓ
=12+9+6+9+6=42(cm)
ABÓ`:`BCÓ=2`:`3이므로 "
# $
%
&
' B
B
B B
B
ABÓ=2a, BCÓ=3a라 하면 BEÓ`:`ECÓ=1`:`2이므로 BEÓ=a, ECÓ=2a이고, 점 F는 CDÓ의 중점이므로
CFÓ=FDÓ=a
따라서 △ABE와 △ECF에서
ABÓ=ECÓ, BEÓ=CFÓ, ∠B=∠C=90ù이므로
△ABEª△ECF`(SAS 합동) 따라서 ∠EAB=∠FEC이므로
∠AEF =180ù-(∠AEB+∠FEC)
=180ù-(∠AEB+∠EAB)
=180ù-90ù
=90ù
또, AEÓ=EFÓ이므로 ∠AFE=∠FAE=45ù 이때 점 F를 지나고 ADÓ와 평행 "
# $
%
&
) '
한 선분 HF를 그으면 ADÓHFÓBCÓ이므로
∠DAF=∠AFH,
∠CEF=∠HFE
∴ ∠DAF+∠CEF =∠AFH+∠HFE
=∠AFE
=45ù
△ABE와 △AGF에서
∠BAE=∠GAF=60ù, ∠AEB=∠AFG=30ù, AEÓ=AFÓ이므로
△ABEª△AGF (ASA 합동)
① ABÓ=AGÓ`(대응변)
②, ③, ④ △AEF는 ∠FAE=90ù이고, AEÓ=AFÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠AEF=∠AFE=45ù
∠GFH =∠AFE-∠AFG
=45ù-30ù=15ù
∠EHD =∠HEB=∠AEF+∠AEB
=45ù+30ù=75ù
⑤ △AHF에서 ∠FAH=60ù,
∠AHF=∠EHD=75ù(맞꼭지각)이므로 이등변삼각 형이 아니다.
따라서 AFÓ+FHÓ이므로 AEÓ+FHÓ
［방법 1］ 정삼각형을 작도한 후 그 한 내각의 이등분선 을 작도하고 이 각을 90ù의 각에 2번에 걸쳐 옮기면 3등분 된다.
［방법 2］ 정삼각형을 작도한 후 그 한 내각의 이등분선을 작 도하고 이 각을 90ù의 각에 옮기고 남은 각을 이등분하면 3 등분 된다.
Ⅰ. 한 가지만 보고 전체가 모두 그럴 것이라고 생각 하는 경우이다.
Ⅱ. 가능한 것처럼 보이는 방법을 무턱대고 적용해서는 안 되는 경우이다.
Ⅲ. 확실하게 입증된 것은 굳이 확인하지 않아도 되는 경우 이다.
따라서 (나)의 상황을 가장 적당하게 설명한 것은 Ⅱ이다.
문제 풀이
5시 x분이라 하면
∠CAE+75ù+60ù=180ù에서 ∠CAE=45ù
∴ ∠x=45ù
∠CDE=∠DCE
∠ADE =90ù+∠CDE
=90ù+∠DCE
=∠BCE
∴ △ADEª△BCE (SAS 합동)
△ADC와 △ABH에서 ADÓ=ABÓ, ACÓ=AHÓ
∠DAC=60ù+∠BAC=∠BAH
∴ △ADCª△ABH (SAS 합동) 따라서 ∠ADC=∠ABH이므로
∠DFH =∠BDC+∠DBH
=∠BDC+∠DBA+∠ABH
=∠BDC+∠DBA+∠ADC
=∠DBA+∠ADB
=60ù+60ù
=120ù
ACÓDEÓ이므로
∠DEB=∠ACB=75ù`(동위각)
또, 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내 각의 크기의 합과 같으므로
∠DME =∠DEB-∠EDM
=75ù-35ù
=40ù
∴ ∠DMC =180ù-∠DME
=180ù-40ù
=140ù