STEP
오른쪽 그림과 같은 오각형 ABCDE의 대각 "
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선의 총 개수를 구해 보자.
A B C D E
A ACÓ ADÓ
B BDÓ BEÓ
C CAÓ CEÓ
D DAÓ DBÓ
E EBÓ ECÓ
위와 같이 한 꼭짓점에서 이웃한 꼭짓점으로 대각선을 그을 수 없기 때문에, 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 5-3=2이다.
n각형의 대각선의 개수 최상위
NOTE
04
이때 ACÓ=CAÓ, ADÓ=DAÓ, y와 같이 2가지씩 중복이 된다.
따라서 오각형 ABCDE의 대각선의 개수는 5_(5-3)
2 =5_2
2 =5이다.
마찬가지로 생각하면 n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 의 개수는 n-3이고 2가지씩 중복이 발생하므로 n각형의 대각선 의 총 개수는 n(n-3)
2 이다.
문제 풀이
다각형에서 한 내각의 크기와 "
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± &
∠&의 외각
그 외각의 크기의 합은 180ù이므로 (∠E의 외각의 크기)
=180ù-(∠E의 내각의 크기)
=180ù-125ù
=55ù
삼각형 AGF, 삼각형 AGE, y 사각형 AGFE, 사각형 AGFD, y 오각형 AGFED, 오각형 AGFEC, y 육각형 AGFEDC, 육각형 BGFEDC, y
따라서 만들 수 있는 다각형은 삼각형, 사각형, 오각형, 육 각형이다.
Ú 작은 삼각형 1개로 이루어진 , 정삼각형：9개
Û 작은 삼각형 4개로 이루어진 정삼각형：3개
Ü 작은 삼각형 9개로 이루어진 정삼각형：1개
따라서 정삼각형의 개수는 9+3+1=13
찾을 수 있는 다각형은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각 형의 4가지이다.
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=12, n=15
이므로 십오각형이다.
따라서 십오각형의 대각선의 개수는 15_(15-3)
2 =90
(가) 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형은 정다각형이다.
(나) 구하는 다각형을` n각형이라 하면 n(n-3)
2 =5, n(n-3)=10=5_2 ∴ n=5
따라서 조건을 만족하는 다각형은 정오각형이다.
구하는 다각형을` n각형이라 하면
작은 정삼각형의 개수에 따라 분류하면 쉽게 구할 수 있다.
n(n-3)
2 =44, n(n-3)=88=11_8
∴ n=11
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
△ABC와 △AED에서
ABÓ=AEÓ, BCÓ= EDÓ , ∠ABC =∠AED 이므로 △ABCª△AED`(SAS합동)
∴ ACÓ= ADÓ
같은 방법으로 하면 ACÓ=BDÓ=CEÓ= ADÓ =BEÓ 따라서 정오각형의 모든 대각선의 길이는 서로 같다.
△ABC의 꼭짓점 A를 지나 BCÓ에 평행한 직선 DE 를 그으면
∠B=∠DAB( 엇각 ), ∠C=∠EAC( 엇각 )
∴ ∠A+∠B+∠C =∠A+∠DAB +∠EAC
=180ù
△ABC의 점 C를 지나고 ABÓ 에 평행한 반직선 CE 를 그으면 ABÓ CE³이므로
∠A=∠ACE (엇각), ∠B= ∠ECD (동위각)
∴ ∠ACD=∠ACE +∠ECD =∠A+∠B
△ABC의 세 외각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠B에 대한 외각의 크기는
360ù-(120ù+135ù)=105ù
한 내각과 이웃하는 외각의 크기의 합은 180ù이므로
∠B=180ù-105ù=75ù
다른 풀이
∠BAC=180ù-120ù=60ù
∠BCA=180ù-135ù=45ù
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠B=180ù-(60ù+45ù)=75ù
△CDE에서
∠DCE=180ù-(70ù+30ù)=80ù
∴ ∠ACB=∠DCE=80ù(맞꼭지각) 따라서 △ACB에서
∠A=180ù-(80ù+40ù)=60ù
다른 풀이
△ACB와 △CDE에서 ∠ACD는 ∠DCE와 ∠ACB의 외각이므로
∠ACD=∠A+40ù=30ù+70ù
∴ ∠A=100ù-40ù=60ù
삼각형의 세 내각의 크기의 비가 3`:`4`:`5이므로 세
∠B+∠ACB=180ù-72ù=108ù이므로
∠BIC=180ù-(∠IBC+∠ICB)
∠DBC+∠DCB=180ù-115ù=65ù
∴ ∠A =180ù-(40ù+30ù+∠DBC+∠DCB)
=180ù-(40ù+30ù+65ù)=45ù
다른 풀이 82ù+74ù+(180ù-120ù)+(180ù-∠x)+80ù=360ù 476ù-∠x=360ù
∴ ∠x=116ù
⑵ 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360ù이므로 62ù+73ù+55ù+56ù+(180ù-∠x)+36ù=360ù 462ù-∠x=360ù
∠AEB=∠EAD=;2!;_(180ù-108ù)=36ù
⑵ △AEF에서
10개 170 15 54 24 204
50ù 60ù 102.5ù 205ù ⑴ 108ù ⑵ 360ù 324ù
770ù 30ù 45ù ;2!;배 70ù 18ùÉ∠x<22.5ù
69~73쪽
=40ù-30ù=10ù
+120ù+80ù+∠b=360ù
∴ ∠a+∠b=25ù
∠x =360ù-{(180ù-120ù)+132ù+(180ù-108ù)}=96ù
∠z=∠x=96ù이므로
△FLM에서
∠ABE=;2!;_(180ù-30ù)=75ù
△ABD는 ABÓ=ADÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠ABD=;2!;_(180ù-90ù)=45ù
∴ ∠DBE =∠ABE-∠ABD
=75ù-45ù=30ù
△DEA는 DEÓ=DAÓ인 이등변삼각형이므로
∠DEA=;2!;_(180ù-35ù)=72.5ù
또, △DEC는 DEÓ=DCÓ인 이등변삼각형이고,
∠EDC=35ù+90ù=125ù이므로
∠DEC=;2!;_(180ù-125ù)=27.5ù
∴ ∠x =∠DEA-∠DEC=72.5ù-27.5ù=45
∠HBC=180ù-∠HBF=180ù-100ù=80ù 이므로 △HBC에서
정칠각형, 정팔각형, 정구각형 45ù ④ 720ù 95ù
2 <30이므로` n(n-3)<60 조건 (다)에서 180ù_(n-2)
∠CAB+∠CBA=180ù-60ù=120ù 이고, ∠EAG=∠a, ∠EBG=∠b라 하면
EDÓ의 연장선과 직선 l이 만나
±
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(
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'
±
Y
M N
는 점을 F라 하면 lm이므로
∠GDE=∠AFE(엇각)
사각형 AFEB와 사각형 BEDC에 서 사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이고,
∠CBE=∠ABE,
∠AFE=∠CDE,
∠BCD=74ù, ∠BAF=70ù이므로 70ù+∠BEF=74ù+∠BED에서
∠BED=∠BEF-4ù
따라서 ∠BEF=∠x(맞꼭지각), ∠BED=∠x-4ù이므 로 ∠BEF+∠BED=180ù에서
∠x+(∠x-4ù)=180ù
∴ ∠x=92ù
오른쪽 그림과 같이 보조선 " "i
#g
#e#s
#m#f
## "g
"s
"e
"f
"m
"
BÁBª, BªB£, y, BnBÁ을 그어 주 어진 다각형을 정n각형
BÁBªyBn과 n개의 이등변삼각형 으로 나누어 생각하면, 주어진 다 각형의 내각의 크기의 합은 (정n각형의 내각의 크기의 합)
+(이등변삼각형의 내각의 크기의 합)_n
=∠AÁ_n+(360ù-∠AÁBÁAª)_n 이므로
180ù_(n-2)+180ù_n
=(∠AÁ+360ù-∠AÁBÁAª)_n
360ù_n-360ù=360ù_n+(∠AÁ-∠AÁBÁAª)_n
∴ (∠AÁBÁAª-∠AÁ)_n=360ù
그런데 ∠AÁ은 ∠AÁBÁAª보다 15ù만큼 작으므로
∠AÁBÁAª-∠AÁ=15ù이다.
따라서 15ù_n=360ù ∴ n=24
n개의 점을 AÁ, Aª, A£, …,
" "
" m
An이라 하면 오른쪽 그림에서 볼록 다각형의 꼭짓점 Ai+1의 한 외각의 크기는
∠Ai+1Ai+2Ai+∠Ai+1AiAi+2이고
볼록다각형의 모든 외각의 크기의 합은 360ù이므로 (∠AÁAªAn+∠AÁAnAª)+(∠AªA£AÁ+∠AªAÁA£)
+…+(∠An-1AnAn-2+∠An-1An-2An) +(∠AnAÁAn-1+∠AnAn-1AÁ)
=360ù
∠AÁAªAn, ∠AÁAnAª, y, ∠AnAÁAn-1, ∠AnAn-1AÁ 중 최소인 것을 ∠a라 하면
2n_∠aÉ360ù
∴ ∠aÉ 180ùn
즉, 한 각의 크기가 180ù
n 보다 크지 않은 삼각형이 반드시 있다.