경영학을 위한 수학
2017년 1학기 중간고사 2017년 4월 15일 15:30 – 17:30 1. (각 5점) 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지를 판정하고 그 이유를 설명하시오. 단, ∞ X n=1 1 n은 발산, ∞ X n=1 1 n2은 수렴한다. (a) ∞ X n=1 r n 2n + 1 (b) ∞ X n=1 1 2n + 1 (c) ∞ X n=1 1 n2+ 1 (d) ∞ X n=1 2n 3n+ n 2. (각 5점) 0 < x < π이고 cos x = −√1 5일 때 다음을 구하시오. (a) sin x (b) sin(2x) (c) cos(π − x) (d) cos x +π 3 3. (각 10점) (a) 중간값 정리를 정확히 기술하시오. (b) 평균값 정리를 정확히 기술하시오. 4. (각 10점) (a) 모든 자연수 n에 대하여 방정식 xn+ sin x − 1 = 0은 개구간 (0, 1)에서 실근를 가진다는 것을 보이시오. (b) 방정식 2x3+ 3x2− 12x = k가 서로 다른 실근 세 개를 가지도록 k 값의 범위를 구하시오. 15. (15점) 어떤 상품을 x 단위 생산하는데 비용 함수가 다음과 같다고 할 때, 물음에 답하 시오. C(x) = 2x3+ 5x +32 x (a) 한계비용함수(MC)와 평균비용함수(AC)의 식을 구하시오. (b) 상품을 몇 단위 생산할 때 평균비용함수(AC)가 최소가 되는지 구하시오. (c) 상품을 1 단위 생산할 때 한계비용과 평균비용을 구하여 비교하고, 이 때 상품의 생산량을 늘릴 경우 평균비용의 변화를 예측하여, 이로부터 생산량을 늘리는 것과 줄이는 것 중 비용 측면에서 어느 쪽이 유리한 지 판단하시오. 6. 함수 f (x) = xe1−|x|에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) f0(0)을 구하시오. (b) (10점) 극대점, 극소점을 찾고 그 때의 극값을 구하시오. (c) (5점) −1 < x < 1의 범위에서 y = f (x)는 일대일 함수임을 보이시오. (d) (5점) −1 < x < 1의 범위에서 y = f (x)의 역함수를 x = g(y)라 할 때, g0( √ e 2 )의 값을 구하시오. 7. (각 10점) 자연상수 e는 limh→0e h−1 h = 1을 만족하는 실수이다. (a) d(e x) dx = e x임을 보이시오. (b) d(log x) dx = 1 x임을 보이시오. (c) 상수 r에 대하여 x > 0이면 d(x r) dx = rx r−1임을 보여라. 2
