수학Ⅰ 내신·모의고사 대비 TEST 해설

(1)

Ⅰ. 다항식

S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST

0

1

⑴ -3x¤ -5x¤ y+3xy¤ -26y¤ ⑵ -2x¤ -x¤ y-5xy¤ +55y¤

0

2

⑴ ⑵

0

3

⑴ 몫：3x¤ +9x+25, 나머지：82 ⑵ 몫：2x¤ -6x+2, 나머지：-2

0

4

⑴ 4x¤ +12x+9 ⑵ x¤ -4x+4 ⑶ 4x¤ -1 ⑷ x¤ -2x-35 ⑸ 12x¤ -5x-2 ⑹ x‹ +9x¤ +23x+15 ⑺ x¤ +16y¤ +9z¤ -8xy-24yz+6zx ⑻ 8x‹ +12x¤ +6x+1 ⑼ 27x‹ -27x¤ +9x-1 ⑽ x‹ +27 ⑾ x‹ -64 ⑿ 8x‹ -y‹ +8z‹ +12xyz ⒀ x› +x¤ +1 1 15_bﬁ 27x› 113_32yﬂ

0

5

⑴ xy(x+3y) ⑵ (x+1)(y+1) ⑶ (2x+1)¤ ⑷ (5x-1)¤ ⑸ (xy-4)¤ ⑹ (3x+4y)¤ ⑺ (x+6y)(x-6y) ⑻ 8x(x+y) ⑼ (x+2)(x+3) ⑽ (3x-4)(x+2) ⑾ (2x-7y)(x+3y) ⑿ (2x+y)(4x¤ -2xy+y¤ ) ⒀ (x-3y)(x¤ +3xy+9y¤ ) ⒁ (x+4)‹ ⒂ (4x-3)‹ ⒃ (3x-2y-z)¤ ⒄ (4x¤ +6xy+9y¤ )(4x¤ -6xy+9y¤ ) ⒅ (2x+y+z)(4x¤ +y¤ +z¤ -2xy-yz-2zx)

0

6

{x- }2 +4={x+ }2 이므로 {x+ }2 =8 ∴ x+ =2'2 (∵ x>0) ∴ x‹ + ={x+ }3 -3 {x+ } =(2'2)‹ -3(2'2) =16'2-6'2=10'2 10'2

0

7

(x-3)(x+2)(x¤ +3x+9)(x¤ -2x+4) =(x-3)(x¤ +3x+9)(x+2)(x¤ -2x+4) =(x‹ -27)(x‹ +8) =xﬂ -19x‹ -216 따라서 a=1, b=-19, c=-216이므로 a+b+c=-234 -234 1 1_x 1 1_x 1 13_x‹ 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 1_x

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑴ 본문 402~405쪽 01~05풀이 참조 06 10'2 07 -234 08 1 09 -8 10⑤ 11 -10 12 327 13 (3x-1)› 14 -2 15 170 16② 17 25 18 19 19 1 20 2x‹ +x¤ +x-7 21 65 22 6 23 7

(2)

03

Ⅰ. 다항식⑴

0

8

다항식 f(x)`가 x-2, x, x+1을 인수로 가지 므로 f(2)=f(0)=f(-1)=0이다. f(0)=c ∴ c=0 f(2)=16a+8b+4-4=0 ∴ 16a+8b=0 … ㉠ f(-1)=a-b+1+2=0 ∴ a-b=-3 … ㉡㉠, ㉡을 연립하면 a=-1, b=2 ∴ a+b+c=1 1

0

9

(x¤ -4)(x¤ +2x-3)-12 =(x-2)(x+2)(x+3)(x-1)-12 =(x¤ +x-6)(x¤ +x-2)-12 x¤ +x=x(x+1)=A라 하면 (A-6)(A-2)-12=A¤ -8A=A(A-8) 따라서 x(x+1)(x¤ +x-8)이므로 k=-8이다. -8

10

x-1을 인수로 가지는 두 이차다항식 A, B는 A=(x-1)a, B=(x-1)b (`a, b는 일차항의 계수가 1 인 일차식)로 놓을 수 있으므로 AB=(x-1)¤ ab의 꼴이 된다. AB=x› +7x‹ -3x¤ -19x+14 =(x-1)(x‹ +8x¤ +5x-14) =(x-1)¤ (x¤ +9x+14) =(x-1)¤ (x+2)(x+7) 따라서 두 이차다항식은 (x-1)(x+2), (x-1)(x+7)이다. ∴ A+B=2x¤ +7x-9 ⑤

11

f(x)-g(x)=x‹ +8=(x+2)(x¤ -2x+4) 는 일차식인 x+2를 인수로 가진다. 이때, x+2는 f(x),g(x)의 공통인 인수이다. 인수정리를 이용하면 f(-2)=0이므로 f(-2)=-8+8+2+8+k=0 ∴ k=-10 -10

12

주어진 등식의 양변에 x=-3을 대입하면 0=-54-9a-3+b ∴ 9a-b=-57 … ㉠ 또한, 주어진 등식의 양변에 x=4를 대입하면 0=128-16a+4+b ∴ 16a-b=132 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 a, b를 구하면 a=27, b=300 ∴ a+b=327 327

13

1-6x=A, x¤ =X라고 하면 (1-6x+6x¤ )(1-6x+12x¤ )+9x› =(A+6X)(A+12X)+9X¤ =A¤ +18AX+81X¤ =(A+9X)¤ =(1-6x+9x¤ )¤ ={(1-3x)¤ }¤ =(3x-1)› (3x-1)›

14

+ =1일 때 { }2 +{ }2 ={ + }2 -2¥ ¥ =1-2=-1 { }3 +{ }3 ={ + }3 -3¥ ¥ ¥{ + } =1-3=-2 b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑴

내신・모의고사 대비 TEST

(3)

∴ { }+{ }2 +{ }3 +{ }+{ }2 +{ }3

∴= + _+{ _{}2 +{} _{}2 +{} _{}3 +{} _}3

∴=1-1-2=-2 -2

15

x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)이므로 76=4‹ -3¥xy¥4=64-12xy

12xy=-12 ∴ xy=-1

∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=4¤ -2¥(-1)=18

∴x› +y› =(x¤ +y¤ )¤ -2x¤ y¤ =18¤ -2¥(-1)¤ =322 따라서 = = 이므로 a=161, b=9 ∴ a+b=170 170

16

x⁄ ‚ ‚ 을 x+2로 나누었을 때의 나머지를 R라고 하면 R는 상수가 된다. 즉, x⁄ ‚ ‚ =(x+2)Q(x)+R에서 x=-2를 대입하면 (-2)⁄ ‚ ‚ =R=2⁄ ‚ ‚ ∴ x⁄ ‚ ‚ =(x+2)Q(x)+2⁄ ‚ ‚ 이때, Q(1)은 Q(x)의 계수의 총합과 같으므로 1⁄ ‚ ‚ =3Q(1)+2⁄ ‚ ‚ 따라서 Q(1)= 이다. ②

17

M= = =10⁄ ‚ +10fi +1 (10fi -1)(10⁄ ‚ +10fi +1) 21111111111_{10fi -1} 10⁄ fi -1 1113_{10fi -1} 1-2⁄ ‚ ‚ 1 1111₃155 161 123₉ 322 123₁₈ x› +y› 111_{x¤ +y¤} b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a a 1_b b 1_a b 1_a b 1_a a 1_b a 1_b a 1_b N= = =10⁄ › -10‡ +1 따라서 M은 10⁄ ‚ <10⁄ ‚ +10fi +1<10⁄ ⁄ 이므로 11자리 자연수이고, N은 10⁄ ‹ <10⁄ › -10‡ +1<10⁄ › 이므로 14자리 자연수이다. ∴ a+b=25 25

18

주어진 조건을 정리해 보면 f(x)=(x¤ +2x-3)Q¡(x)+x-2 f(x)=(x-1)(x+3)Q¡(x)+x-2 f(x)=(x¤ -2x-8)Q™(x)+x+3 f(x)=(x+2)(x-4)Q™(x)+x+3 f(x)=(x¤ -5x+4)Q£(x)+ax+b f(x)=(x-1)(x-4)Q£(x)+ax+b 나머지정리에 의해 f(1)=-1, f(4)=7이므로 a+b=-1, 4a+b=7 이를 연립하여 풀면 a= , b=- 이다. 따라서 3(a-b)=19이다. 19

19

f(x)는 x로 나누어떨어지므로 c=0 f(x+99)를 x+100으로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x)라고 하면 f(x+99)=(x+100)Q¡(x)+3 x=-100을 대입하면 f(-1)=3 또한, f(x+100)을 x+99로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라고 하면 11 13₃ 8 1₃ (10‡ +1)(10⁄ › -10‡ +1) 21111111111_{(10‡ +1)} 10¤ ⁄ +1 1113_{10‡ +1}

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑴

(4)

05

Ⅰ. 다항식⑴ f(x+100)=(x+99)Q™(x)+1 x=-99를 대입하면 f(1)=1 따라서 f(x)=ax¤ +bx에서 f(-1)=3, f(1)=1이므로 a-b=3, a+b=1 이를 연립하면 a=2, b=-1 ∴ a+b+c=1 1

20

f(x)=(x+1)(x¤ -x+1)Q(x)+x¤ +x+k f(x)=(x-1)(x+1)Q'(x)+3x-6 에서 f(-1)=1-1+k=-9이므로 k=-9이다. ∴ f(x)=(x‹ +1)Q(x)+x¤ +x-9 한편, f(x)를 (x‹ +1)(x-1)로 나눌 때의 나머지는 3차식이므로 f(x)=(x‹ +1)(x-1)Q"(x)+ax‹ +bx¤ +cx+d =(x‹ +1)(x-1)Q"(x)+a(x‹ +1)+x¤ +x-9 로 놓을 수 있다. (앞의 식과 비교하면 Q(x)=(x-1)Q"(x)+a이다.) 이때, f(1)=-3이므로 f(1)=2a+1+1-9=-3 ∴ a=2 따라서 구하는 나머지는 2x‹ +x¤ +x-7 2x‹ +x¤ +x-7

21

36a¤ -84ab+49b¤ =(6a-7b)¤ =0이므로 6a=7b이다. 따라서 a=7k, b=6k (`k는 자연수)로 놓으면 a와 b의 곱은 42k¤ =1050이므로 k¤ =25 ∴ k=5 (∵ k는 자연수) ∴ a=7_5=35, b=6_5=30 ∴ a+b=65 65

22

a‹ +b‹ +c‹ -3abc =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)=0 에서 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c+0이다. 즉, a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca = {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }=0 에서 a=b=c이므로 이 삼각형은 정삼각형이다. 정삼각형의 넓이는 x¤ (`x는 한 변의 길이)으로 계산 할 수 있고, 이 정삼각형의 넓이가 '3이므로 x¤ ='3, x¤ =4 ∴ x=2 (∵ x>0) 따라서 삼각형의 세 변의 길이의 합은 2+2+2=6이다. 6

23

f(x‡ )=x› ¤ +x‹ fi +x¤ ° +x¤ ⁄ +x⁄ › +x‡ +1 ={(x› ¤ -1)+(x‹ fi -1)+(x¤ ° -1) +(x¤ ⁄ -1)+(x⁄ › -1)+(x‡ -1)}+7 에서 { } 안의 식은 모두 x‡ -1로 나누어떨어지고 x‡ -1=(x-1)(xfl +xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1) =(x-1)f(x) 이므로 x‡ -1은 f(x)로 나누어떨어진다. 따라서 f(x‡ )의 { }안의 식은 f(x)로 나누어떨어지므로 f(x‡ )을 f(x)로 나눈 나머지는 7이다. 7 '3 12₄ '3 12₄ 1 1₂

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑴

(5)

0

1

+ =

+ = =3

∴ xy=2

따라서 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=6¤ -2¥2=32이다. ④

0

2

6x‹ -11x¤ -4x+4 =(x-2)(6x¤ +x-2) =(x-2)(2x-1)(3x+2) ④ 2x¤ -5x+2=(x-2)(2x-1)이므로 인수이다. 따라서 x+1은 존재하지 않는다. ③

0

3

xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1 =y(xz-x-z+1)-(xz-x-z+1) =(xz-x-z+1)(y-1) =(x-1)(z-1)(y-1) =(x-1)(y-1)(z-1) (x-1)(y-1)(z-1) 6 12_xy x+y 112_xy 1 1_y 1 1_x

0

4

2x¤ -8xy+6y¤ -3x+y-2 =2x¤ -(8y+3)x+6y¤ +y-2 =2x¤ -(8y+3)x+(3y+2)(2y-1) =(x-3y-2)(2x-2y+1) (x-3y-2)(2x-2y+1)

0

5

주어진 식의 좌변을 전개하면 (x+2y+az)(bx+3y+z)

=bx¤ +6y¤ +az¤ +(2b+3)xy+(3a+2)yz+(ab+1)zx =2x¤ +6y¤ +3z¤ +cxy+11yz+dzx 가 성립하므로 양변의 계수를 비교해 보면 b=2, a=3, c=2b+3=2¥2+3=7, d=ab+1=3¥2+1=7 ∴ a+b+c+d=3+2+7+7=19 19

0

6

x⁄ ‚ ‚ -1=(x-1)(x· · +x· ° +x· ‡ +y+x+1) 이므로 x⁄ ‚ ‚ -1은 x-1로 나누어떨어진다. P(x)=x· · +x· ° +x· ‡ +y+x+1을 x-1로 나눌 때의 나머지를 구해 보면 나머지정리에 의해 P(1)=100이므로 P(x)=(x-1)Q(x)+100이라고 할 수 있다. 이것을 처음 식에 대입하면 x⁄ ‚ ‚ -1=(x-1)P(x) =(x-1){(x-1)Q(x)+100} =(x-1)¤ Q(x)+100(x-1) 따라서 나머지는 100(x-1)=100x-100이다. ⑤

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑵

내신・모의고사 대비 TEST Ⅰ. 다항식⑵ 본문 406~408쪽 01④ 02③ 03 (x-1)(y-1)(z-1) 04 (x-3y-2)(2x-2y+1) 05 19 06⑤ 07 m=3, n=-4 08 (a-b)(b-c)(a-c) 09⑤ 10② 11④ 12 4 13 2 14 -1 15 1 16② 17①

(6)

07

Ⅰ. 다항식⑵

0

7

P(x)=mx› +nx‹ +1이라 하면 나머지정리에 의해 P(1)=m+n+1=0이다. P(x)에 n=-m-1을 대입하면 P(x)=mx› -(m+1)x‹ +1이고, 이 식을 x-1로 인수분해하면 P(x)=(x-1)(mx‹ -x¤ -x-1) 여기서 Q(x)=mx‹ -x¤ -x-1이라 하면 조건에 의해 Q(x)도 x-1로 나누어떨어지므로 Q(1)=m-3=0 ∴ m=3 따라서 n=-4이다. m=3, n=-4

0

8

a¤ (b-c)+b¤ (c-a)+c¤ (a-b) =a¤ b-a¤ c+b¤ c-b¤ a+c¤ a-c¤ b =(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+bc(b-c) =(b-c){a¤ -(b+c)a+bc} =(a-b)(b-c)(a-c) (a-b)(b-c)(a-c)

0

9

W(x)=x‹ +ax+b라고 할 때, W(x)는 x-3과 x-1에 의해 나누어떨어지는 것을 알 수 있다. 이를 통해 우변의 삼차식의 계수를 정해 보면 W(1)=1+a+b=0 W(3)=27+3a+b=0 이를 연립방정식으로 놓고 a와 b를 구하면 a=-13, b=12이다. W(x)=x‹ -13x+12를 인수분해하면 W(x)=x‹ -13x+12=(x-1)(x-3)(x+4) ∴ P(x)=x+4 ⑤

10

다항식 P(x)를 (2x+5)¤ ‚ ⁄ ‹ 으로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이므로 P(x)=(2x+5)¤ ‚ ⁄ ‹ Q(x)+R P(x)_{=2¤ ‚ ⁄ ‹ {x+;2%;}¤ ‚ ⁄ ‹ Q(x)+R} P(x)_{=2ﬂ ¥2¤ ‚ ‚ ‡ {x+;2%;}¤ ‚ ⁄ ‹ Q(x)+R} P(x)_{=64{x+;2%;}¤ ‚ ⁄ ‹ {2¤ ‚ ‚ ‡ Q(x)}+R} 따라서 다항식 P(x)를 64{x+;2%;}¤ ‚ ⁄ ‹ 으로 나누었을 때의 몫은 2¤ ‚ ‚ ‡ Q(x), 나머지는 R이다. ②

11

다항식 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 a이므로 f(x)=(x-2)Q(x)+a 이때, 나머지정리에 의해 f(-3)=b이므로 f(-3)=-5Q(-3)+a=b 따라서 Q(x)를 x+3으로 나눈 나머지 Q(-3)은 ④

12

f(x)+f(5-x)=10에 x=1을 대입하면 f(1)+f(4)=10이므로 f(4)=8 다항식 f(x)를 x¤ -5x+4=(x-1)(x-4)로 나누었 을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b라 하면 f(x)=(x-1)(x-4)Q(x)+ax+b y㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=0¥Q(1)+a+b=2 ∴ a+b=2 y㉡ ㉠의 양변에 x=4을 대입하면 a-b 1 111444444₅

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑵

(7)

f(4)=0¥Q(4)+4a+b=8 ∴ 4a+b=8 y㉢㉡, ㉢을 연립하면 a=2, b=0 따라서 R(x)=2x이고 R(2)=4이다. 4

13

다항식 f(x)=(x+1)(x+a)에서 f(-1)=0이다. f(x¤ +x+2)를 f(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하 면 나머지가 -18x-6이므로 f(x¤ +x+2)=f(x)Q(x)-18x-6 y㉠ ㉠에 x=-1을 대입하면 f(2)=f(-1)Q(-1)+18-6 f(2)=0¥Q(-1)+12=12 이때, x=2를 다항식 f(x)=(x+1)(x+a)에 대입하 면 f(2)=3(2+a)=12, 2+a=4 ∴ a=2 2

14

a‹ +b‹ +c‹ -3abc =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)=0 이 성립하므로 a+b+c=0 또는 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca = _{[(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ ]=0} 이다. 그런데, 세 수 a, b, c는 서로 다르다고 했으므로 a+b+c=0이 된다.

따라서 (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에서

0=2+2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=-1 -1

1

1₂

15

(ab+bc+ca)¤

=a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2abc(a+b+c)이므로 (-1)¤ =a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2abc_0

∴ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =1 1

16

W(x)=x° +ax¤ +b라고 할 때, W(x)는 x+1로 나누어떨어지므로 W(-1)=1+a+b=0 또, V(x¤ )=(x¤ )› +a(x¤ )+b라고 할 때, V(x¤ )은 x¤ +1로 나누어떨어지므로 V(-1)=1-a+b=0 연립방정식을 풀면 a=0, b=-1임을 알 수 있다. 따라서 a-b=1이다. ②

17

a { - }+b { - }+c { - } = + + = = = = =0 따라서 a=b 또는 b=c 또는 c=a이므로 조건을 만족하 는 삼각형은 정삼각형이나 이등변삼각형이 될 수 있다. ① (a-b)(b-c)(c-a) 1111111112_abc (c-b){a¤ -(c+b)a+bc} 111111111113_abc (c-b)a¤ -(c¤ -b¤ )a+bc(c-b) 111111111111212_abc

a¤ c-a¤ b+ab¤ -b¤ c+bc¤ -ac¤

11111111111122_abc c(b-a) 11122_ab b(a-c) 11122_ca a(c-b) 11122_bc 1 1_b 1 1_a 1 1_a 1 1_c 1 1_c 1 1_b

수학Ⅰ

Ⅰ. 다항식⑵

(8)

09

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

0

1

a=(1+2i)¤ =-3+4i b=(i ‹ +2i ¤ -i)¤ =(-2-2i)¤ =8i c=(p¤ ’ )¤ =(-2i” )¤ =(2i)¤ =-4 ∴ a+b+c=-3+4i+8i-4 =-7+12i -7+12i

0

2

=-i 이므로 f(-i)= + + + f(-i)= + + +

f(-i)=2-2i 2-2i

4 1₁ 3 1_i 2 123_-1 1 1125_(-i) 4 1113_{(-i)¤ ‚} 3 1113_{(-i)⁄ ﬁ} 2 1113_{(-i)⁄ ‚} 1 111_(-i)ﬁ 1-i 114_1+i

0

3

x= = = =2+i x=2+i HjK x-2=i 양변을 제곱하면 (x-2)¤ =i ¤ , x¤ -4x+4=-1 ∴ x¤ -4x+5=0 ∴ x‹ -4x¤ +4x+1=x(x¤ -4x+5)-x+1 =-x+1 =-2-i+1 =-1-i ⑤

0

4

⑴ a+b= , ab= 이므로 a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b) ={ }3 -3¥ ¥ =-⑵ + = = = =-⑶ 3a¤ +3b¤ +5=3(a¤ +b¤ )+5 =3{(a+b)¤ -2ab }+5 =3[{ }2 -2¥ ]+5=-⑴ -122370₂₇ ⑵ -122₁₂₁41 ⑶ -1226₃ 26 1 13344₃ 11 13₃ 5 1₃ 41 1 11₁₂₁1 5 11 {1}2 -2 ¥ 13₃ ₃ 1111115₁₁ {13}2₃ (a+b)¤ -2ab 1111112_(ab)¤ a¤ +b¤ 111_a_{¤ b¤} 1 14_b_¤ 1 14_a_¤ 370 1 11₂₇1 5 1₃ 11 13₃ 5 1₃ 11 13₃ 5 1₃ 4+2i 1133₂ (1+3i )(1-i ) 11111123_{(1+i )(1-i )} 1+3i 1133_1+i Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴ 본문 409~412쪽 01 -7+12i 02 2-2i 03⑤ 04_{⑴ -;;£2¶7º;; ⑵ -;1¢2¡1; ⑶ -;;™3§;; 05 ①} 06② 07⑤ 08 144a¤ +400b¤ =225 09 -2 10 0 11③ 12⑤ 13② 14② 15 x¤ +5x+6=0 16③ 17 k=;2!;, t=;4!; 18 a=—2, b=0 19 2 20④ 21④

Ⅱ. 방정식과 부등식

S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST

수학Ⅰ

(9)

0

5

ㄱ. a=a+bi (a, b는 실수)라 할 때, a=aÆ HjK a+bi=a-bi에서 양변을 비교하면 실수부분은 서로 같고, 허수부분은 b=-b이므로 b=0이다. 따라서 복소수 a의 허수부분이 0이 되므로, a는 실수 이다. (참) ㄴ. (반례) a=1+i이면

(1+i)¤ +(1-i)¤ =2i-2i=0

이므로 a¤ +(aÆ)¤ =0을 만족하지만 a+0이다. (거짓) ㄷ. (반례) a=1, b=i이면 a+bi =1-1=0 이지만 a+0, b+0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ 뿐이다. ①

0

6

z™=(5+6i)+(2-3i)=7+3i =(2+5_1)+3i z£=(5+6i)+(7-3i)=12+3i =(2+5_2)+3i ⋮ ∴ z™º=(2+5_19)+3i=97+3i ②

0

7

주어진 방정식을 실수부분과 허수부분으로 나누 어 정리하면 (3x¤ +px+2)+i (x¤ -3x+2)=0 위의 식이 실근을 가지려면 g ㉡에서 (x-1)(x-2)=0이므로 x=1 또는 2이다. ㉠에 이를 대입하면 x=1일 때 3+p+2=0이므로 p=-5 3x¤ +px+2=0 … ㉠ x¤ -3x+2=0 … ㉡ x=2일 때 3¥2¤ +2p+2=0이므로 p=-7 따라서 만족하는 실수 p의 값은 -7, -5이다. ⑤

0

8

㈏에 의하여 w= _{zÆ+ _} w= (c-di)+ ¥ w= (c-di)+ (c+di)(∵ 조건 ㈎) w= c- di w=a+bi = c- di 이므로 양변을 비교하면 a= c, b=- d 이를 각각 c와 d에 대하여 정리하면 c= a, d=- b ㈎에 위의 두 식을 대입하면 { a}2 +{- b}2 =4 양변을 정리하면 a, b 사이의 관계식은 144a¤ +400b¤ =225 144a¤ +400b¤ =225

09

'ƒx-6 'ƒ2-x =-"(√x-6ç)(√2-xΩ) 를 만족하는 x의 값의 범위는 x-6…0, 2-x…0이므로 x는 2…x…6인 정수이다. æ≠ ± =-111'y∂-å2를 만족하는 y의 값의 범위는 'y∂-å5 y-2 112_y-5 8 1₃ 8 1₅ 8 1₃ 8 1₅ 3 1₈ 5 1₈ 3 1₈ 5 1₈ 3 1₈ 5 1₈ 1 1₈ 1 1₂ c+di 111_{c¤ +d¤} 1 1₂ 1 1₂ 1 1_zÆ 1 1₂

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

(10)

11

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

y-2æ0, y-5<0이므로 y는 2…y<5인 정수이다.

이때, x-y가 최소가 되려면 x는 최솟값, y는 최댓값을 가져야 하므로 x=2, y=4일 때, x-y가 최소가 된다. (∵ x, y는 정수)

따라서 구하는 최솟값은 2-4=-2 -2

10

100i+99i ¤ +98i ‹ +97i › =-2+2i 96i ﬁ +95i ﬂ +94i ‡ +93i ° =-2+2i

⋮

4i · ‡ +3i · ° +2i · · +i ⁄ ‚ ‚ =-2+2i

위 식들을 변변 더하면

100i+99i ¤ +98i ‹ + y +2i · · +i ⁄ ‚ ‚ =25(-2+2i)

∴ a=-50, b=50

∴ a+b=0 0

11

{ }2 =i, { }2 =-i 이므로

합과 곱은 i« +(-i)« 과 i« _(-i)« 으로 나타낼 수 있다. 이때, n이 자연수이므로

i+(-i)=0, i¤ +(-i)¤ =-2, i‹ +(-i)‹ =0, i › +(-i)› =2, iﬁ +(-i)ﬁ =i+(-i)=0, y

따라서 n의 값이 커질수록 두 식의 합을 계산하여 얻을 수 있는 값은 0, -2, 0, 2가 순서대로 계속 반복된다. 또, { }2 n _{ }2 n =i « _(-i)« =1« =1이므로 n의 값에 관계없이 두 식의 곱은 항상 1이다. 따라서 두 복소수의 합과 곱이 취할 수 없는 값은 -1이다. ③ 1-i 113 '2 1+i 113 '2 1-i 113 '2 1+i 113 '2

12

(2-i+z)¤ =(2-i+a+bi)¤ ={(2+a)+(b-1)i}¤ =(a+2)¤ +2(2+a)(b-1)i-(b-1)¤ <0 이므로 (실수부분)=(a+2)¤ -(b-1)¤ <0이고, (허수부분)=2(2+a)(b-1)=0을 만족해야 한다. 허수부분에 의하여 a=-2 또는 b=1 ⁄a=-2인 경우 (a+2)¤ -(b-1)¤ <0을 만족해야 하므로 -(b-1)¤ <0에서 b+1이다. 이때, ㈏ z¤ =c+4i에 의하여 (a+bi)¤ =c+4i HjK a¤ -b¤ +2abi=c+4i HjK a¤ -b¤ =c, 2ab=4 a=-2를 대입하면 b=-1, c=3을 얻는다. 따라서 a¤ +b¤ +c¤ =14이다. ¤b=1인 경우 (a+2)¤ -(b-1)¤ <0을 만족해야 하는데, (a+2)¤ <0에서 이를 만족하는 실수 a는 존재하지 않는다. ∴ a¤ +b¤ +c¤ =14 ⑤

13

(3+i)x-2y+2(1-2i)z=0을 A+Bi=0꼴로 나타내면 (3x-2y+2z)+i (x-4z)=0 ∴g ㉡에서 x=4z를 ㉠에 대입하면 3(4z)-2y+2z=0 ∴ y=7z 3x-2y+2z=0 … ㉠ x-4z=0 … ㉡

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

(11)

두 식 x=4z, y=7z를 에 대입하면 = = 따라서 a+b=1+2=3이다. ②

14

ㄱ. (반례) a=i, b=0, c=0이면 ab=bc=ca=0이지만 a+0이다. (거짓) ㄴ. (반례) a=3i, b=4i, c=5이면 (3i)¤ +(4i)¤ +5¤ =-9-16+25=0이지만 a+0, b+0, c+0이다. (거짓) ㄷ. a+b, b+c, c+a가 모두 실수이므로 a+b=l, b+c=m, c+a=n (단, l, m, n은 실수) 으로 놓으면 (a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b)+2c l+m+n=2l+2c ∴ c=;2!;(m+n-l) 이때, l, m, n이 모두 실수이므로 c는 실수이다. 즉, b+c, c+a가 실수이고 c가 실수이므로 a, b 역 시 실수이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ 뿐이다. ②

15

x¤ +2x-3=0에서 두 근 a, b의 합과 곱은 a+b=-2, ab=-3이므로 -2, -3을 근으로 갖고, 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 (x+2)(x+3)=0 ∴ x¤ +5x+6=0 x¤ +5x+6=0 1 1₂ 2z 12_4z 3(4z)-2(7z)+4z 111111112_{2(4z)-(7z)+3z} 3x-2y+4z 1111125_2x-y+3z

16

zÆ= = zzÆ= = 근과 계수의 관계에 의하여 w+w’=1, ww’=1이므로 zzÆ= =7 ③

17

이차방정식 x¤ -2(a+k)x+a¤ +a+t=0이 중근을 가지므로

=(a+k)¤ -(a¤ +a+t) =(2k-1)a+k¤ -t=0

따라서 2k-1=0을 만족해야 하므로 k= 이고,

k¤ -t=0을 만족해야 하므로

{ }2 -t=0 ∴ t=

∴ k= , t= k= , t=

18

x¤ -ax+b=0에서 a+b=a, ab=b이고, x¤ -4ax+b¤ =0에서 a‹ +b‹ =4a, a‹ b‹ =b¤ 이므로 b¤ =a‹ b‹ =(ab)‹ =b‹ 에서

b¤ (b-1)=0 ∴ b=0, 1

또, 4a=a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)

=a‹ -3ab 에서 a‹ -3ab-4a=0 … ㉠ 1 1₄ 1 1₂ 1 1 1₄ 1 1 1₂ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₂ D 14₄ 4+2+1 11122_1-1+1 4ww’+2(w+w’)+1 111111111_{ww’-(w+w’)+1} (2w+1)(2w’+1) 111111123_{(w-1)(w’-1)} 2w’+1 1113_w’-1 2ÆwÚ+1”Æ 1112 w’-1”

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

(12)

13

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴ ⁄b=0일 때, ㉠에서 a‹ -4a=a(a-2)(a+2)=0 ∴ a=0, —2 a=0일 경우 a=b=0이므로 서로 다른 두 실근에 모순이다. ∴ a=—2 ¤b=1일 때, ㉠에서 a‹ -7a=a(a¤ -7)=0 ∴ a=0 (∵ a는 정수) 이 경우, 주어진 방정식이 x¤ +1=0이 되어 실근이 존재하지 않으므로 모순이다. ∴ a=—2, b=0 a=—2, b=0

19

x¤ -2kx+2k+4=0에서 a+b=2k, ab=2k+4이므로 두 식을 변변 빼면 ab-a-b=4 ∴ (a-1)(b-1)=5 a, b가 정수이므로 나올 수 있는 순서쌍 (a, b)는 (a, b)=(2, 6), (6, 2), (0, -4), (-4, 0) ⁄(a, b)=(2, 6), (6, 2)이면 k=4 ¤(a, b)=(0, -4), (-4, 0)이면 k=-2 따라서 k의 값들의 합은 4-2=2이다. [다른 풀이] 주어진 방정식을 근의 공식으로 풀면 x=k—"k√¤ -2√k-4이고, x가 정수가 되려면 근호 안의 식이 완전제곱식이 되어야 한다. 즉, k¤ -2k-4=t¤ (단, t는 정수) (k-1)¤ -5=t¤ , (k-1)¤ -t¤ =5 ∴ (k-1-t)(k-1+t)=5 ⁄(k-1-t, k-1+t)=(1, 5), (5, 1)인 경우 k=4 ¤(k-1-t, k-1+t)=(-1, -5), (-5, -1)인 경우 k=-2 따라서 k의 값들의 합은 4-2=2이다. 2

20

z¡=1+i, z™=-1+i, z£=-1-i, z¢=1-i, z∞=1+i, y 따라서 일반화하면 z¢˚–£=1+i z¢˚–™=-1+i z¢˚–¡=-1-i z¢˚=1-i (단, k=1, 2, 3, y) ㄱ. z¡=1+i=1Æ-i”=z¢’ (참) ㄴ. = = =-i = = =-i (참) ㄷ. z¢˚–”™Æ=-1”+i”=-1-i+z¢˚–£ (거짓) ㄹ. k=1, 2, 3, y에 대하여 z¢˚–£+z¢˚–™+z¢˚–¡+z¢˚=0이므로 zª+z¡º+z¡¡=z¡+z™+z£ =-1+i =z™=z§ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. ④

21

실수 a, b, c, d에 대하여 복소수 z, w를 z=a+bi, w=c+di라 하자.

z¤ =(a+bi)¤ =(a¤ -b¤ )+2abi =-8+6i이므로 (-1-i)(1+i) 21111111_(1-i)(1+i) -1-i 1114_1-i z£ 13_z¢ (1+i)(-1-i) 311111111_(-1+i)(-1-i) 1+i 1114_-1+i z¡ 13_z™

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

(13)

g ㉡에서 a= 이 되고 이를 ㉠에 대입하여 정리하면 { }2 -b¤ =-8 b› -8b¤ -9=(b¤ -9)(b¤ +1)=0 b¤ =9 ∴ b=—3 (∵ b는 실수) ∴ a= =— =—1 그러므로 z=—1—3i (복부호 동순)가 된다. ∴ zzÆ=10 3 1₃ 3 1_b 3 1_b 3 1_b a¤ -b¤ =-8 … ㉠ 2ab=6 … ㉡ 한편, = = i = 에서 = 양변의 분자가 서로 같으므로 분모가 서로 같으면 된다. 따라서 (c¤ -d¤ )i-2cd=8이므로 c¤ -d¤ =0, -2cd=8 a, b를 구할 때와 마찬가지 방법으로 구하면 d=—2, c=–2이므로 w=—2–2i (복부호 동순)이다. ∴ ww’=8 ∴ zzÆ+ww’=10+8=18 ④ i 1₈ 1_i 111111111_{{(c¤ -d¤ )+2cdi}_i} i 1₈ 1 1₈ 1 1111111_{(c¤ -d¤ )+2cdi} 1 13_w¤

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑴

(14)

15

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

0

1

① i¥a+”biÚ=i(a-bi)=b+ai=b (참) ② = = =-i = = =-i (참) ③ a¥bÆ=(a+bi)(b-ai)=2ab+(b¤ -a¤ )i aÆ¥b=(a-bi)(b+ai)=2ab+(a¤ -b¤ )i ∴ a¥bÆ+aÆ¥b (거짓) ④ a¥aÆ=b¥bÆ=a¤ +b¤ (참) ⑤ i(aÆ+bÆ)=i(a-bi+b-ai) =(a+b)+(a+b)i =a+b (참) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③

0

2

a…0, b…0, c<0, dæ0이므로 "aΩ¤ -|b|-"cΩ¤ +"(√b+c≈)Ω¤ -|a-d| =(-a)-(-b)-(-c)-(b+c)-(-a+d) =-d ③ -(a¤ +b¤ )i 111113_{a¤ +b¤} a-bi 1123_b+ai aÆ 1_b -(a¤ +b¤ )i 111113_{a¤ +b¤} b-ai 1123_a+bi bÆ 1_a

0

3

ㄱ. a=a+bi, b=a-bi (a, b는 실수)에서 a+b=(a+bi)+(a-bi)=2a (실수)

ab=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ (실수) (참)

ㄴ. a=a+bi, b=a-bi (a, b는 실수)에서 ab=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ =0 a=0, b=0 ∴ a=0 (참)

ㄷ. (반례) a=1, b=i이면

a¤ +b¤ =1+i ¤ =0이지만 a+0, b+0이다. (거짓)

ㄹ. (반례) a=1, b=i이면

a+bi =1+i ¤ =0이지만 a+0, b+0이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ①

0

4

3(x+y)+2(x-y)i=5 … ㉠ 3(x+y)+2(-x+y)i=13 … ㉡ ㉠-㉡；2(x-y)i-2(-x+y)i=-8 (x-y+x-y)i=-4 (x-y)i=-2 ∴ x-y=2i … ㉢ ㉠+㉡；6(x+y)=18 ∴ x+y=3 … ㉣ ㉢+㉣；2x=3+2i

∴ x=a= +i, y=b= -i

∴ ab={ +i }{ -i }= +1= ②

0

5

'a'b=-'aåb 이면 a<0, b<0이므로 'a +'b ='∂-åa i +'∂-åb i =i('∂-åa +'∂-åb ) 13 1 133₄ 9 1₄ 3 1₂ 3 1₂ 3 1₂ 3 1₂

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

내신・모의고사 대비 TEST Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵ 본문 420~424쪽 01③ 02③ 03① 04② 05③ 06① 07 3 08④ 09④ 10④ 11 -;4#; 12 a=1, b=-2 13 ② 14 x=3, y=1 15 4 16② 17④ 18④ 19 -6 20④ 21④ 22 -13또는 7

(15)

이것의 켤레복소수는 -i('∂-åa+'∂-åb )가 된다. i='∂-å1 이므로 -i('∂-åa+'∂-åb )=-'∂-å1 '∂-åa-'∂-å1 '∂-åb =-'ßa -'b ③

0

6

실수 a, b, c, d에 대하여 두 복소수 z, w를 z=a+bi, w=c+di라 하자. ㄱ. 3zÚ+2”w’-1”=3aÚ+3”biÚ+2”c+”2di”-1” =(Æ3aÚ+2”c-”1)Ú+Úi(3”b+”2d”)Æ =(3a+2c-1)-i(3b+2d) 3zÆ+2w’+1=3(a-bi)+2(c-di)+1 =(3a+2c+1)-i(3b+2d) 따라서 3Æz+”2w”-1”+3zÆ+2w’+1이다. (거짓) ㄴ. ≠{ } =≠{ ≠ } =≠[ ≠ ≠ ≠ ≠ – —] = = = ∴ ≠{ } = (참) ㄷ. (zw)¤ =(a+bi)¤ (c+di)¤ ={(ac-bd)+i(bc+ad)}¤ (zÆ w’)¤ ={(a-bi)(c-di)}¤ ={(ac-bd)-i(bc+ad)}¤ ∴ (zw)¤ +(zÆ w’)¤ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. ① zÆ 1_w z 1 w’ (ac-bd)-i(bc+ad) 111111111235_{c¤ +d¤} a-bi 1123_c+di zÆ 1_w (ac-bd)-i(bc+ad) 111111111235_{c¤ +d¤} (ac-bd)+i(bc+ad) 111111111235_{c¤ +d¤} a+bi 1123_c-di z 1_w’

0

7

{a(1+i)-3(1-i)}¤ ={(a-3)+(a+3)i}¤

=(a-3)¤ -(a+3)¤ +2(a-3)(a+3)i

위의 식이 음의 실수가 되어야 하므로 (a-3)(a+3)=0 ∴ a=3, -3 a=3이면 (a-3)¤ -(a+3)¤ =-36<0 a=-3이면 (a-3)¤ -(a+3)¤ =36>0 따라서 만족하는 a의 값은 3이다. 3

0

8

x=i-'2라 하면 주어진 식은 x› +ax‹ +bx¤ +cx+d=0 … ㉠ x=i-'2에서 (x+'2)¤ =i¤ , x¤ +3=-2'2x 다시 양변을 제곱하면 x› +6x¤ +9=8x¤ ∴ x› -2x¤ +9=0 … ㉡ ㉠, ㉡의 계수를 비교하면 a=0, b=-2, c=0, d=9 ∴ a+b+c+d=7 ④

0

9

모든 실수 x에 대하여 (x¤ -1)¤ æ0, x¤ æ0, x¤ +x+1>0이므로 "√-(x√¤ -1√)¤ (x¤ √+x√+1)≈xΩ¤ ="(√x¤ -√1)¤ (√x¤ +√x+1ç)xΩ¤ '∂-å1 =i"(√x¤ -√1)¤ x¤ √ (x¤ √+xç+ç1) 이것이 실수이려면 허수부분이 0이어야 하므로

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

(16)

17

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵ x¤ -1=0 또는 x¤ =0 이 성립해야 한다. ∴ x=-1, 0, 1 따라서 만족하는 실수 x의 값은 모두 3개이다. ④

10

w› =-1이므로 w¤ =-i, i이다. w=a+bi (à, b는 실수)로 두고 계산하면 a=— , b=— 을 얻는다. ∴ w= (1+i), (1-i), ∴ w=- (1-i), - (1+i) ① w+w’=0이려면 w가 순허수이어야 한다. (거짓) ② w› =-1에서 =-w‹ , wfi =-w이므로 wfi +2w‹ +w+ =-w+2w‹ +w-2w‹ =0+-1 (거짓) ③ w가 될 수 있는 복소수는 4개이다. (거짓) ④ 위의 4개의 w를 보면, w가 w› =-1의 해일 때, w’도 해가 됨을 알 수 있다. (참) ⑤ w¤ ‚ ‚ ¤ =(w› )fi ‚ ‚ ¥w¤ =w¤ =—i (거짓) 따라서 옳은 것은 ④이다. ④

11

x¤ -(2k+3)x+k¤ =0이 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 {-(2k+3)}¤ -4k¤ =0 4k¤ +12k+9-4k¤ =0 12k+9=0 2 15_w 1 15_w 1 12 '2 1 12 '2 1 12 '2 1 12 '2 1 12 '2 1 12 '2 ∴ k=-

-12

이차방정식 x¤ -ax+3b=0에서 a+b=a, ab=3b 이차방정식 x¤ -4ax+6b-8=0의 두 근 2a, b-4에서 2a(b-4)=2ab-8a =6b-8a=6b-8 ∴ a=1 2a+b-4=b-2=4a이고, a+b=1+b=a이므로 a를 소거하면 b=-2이다. ∴ a=1, b=-2 a=1, b=-2

13

이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 이 차방정식 f(3x+1)=0의 두 근은 3x+1=a에서 x= , 3x+1=b에서 x= 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-5이 므로 이차방정식 f(3x+1)=0에서 (두 근의 합)= + (두 근의 합)=;3!;(a+b)-;3@;=0 (두 근의 곱)= ¥ (두 근의 합)=;9!;{ab-(a+b)+1} (두 근의 합)=;9!;(-5-2+1)=-;3@; ② b-1 112₃ a-1 112₃ b-1 112₃ a-1 112₃ b-1 112₃ a-1 112₃ 3 1₄ 3 1 1₄

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

(17)

14

2≈ =a, 2¥ =b라고 하면 a+b=10, ab=16 두 수의 합과 곱이 주어졌으므로 a, b는 이차방정식 t¤ -10t+16=0의 두 근이다. 이 방정식을 풀면 t¤ -10t+16=(t-8)(t-2)=0 ∴ t=2, 8

x>y일 때 a>b이므로 a=8, b=2이다.

따라서 2≈ =8, 2¥ =2이므로 x=3, y=1이다. x=3, y=1

15

9≈ -10¥3≈ ±⁄ +81=3¤ ≈ -30¥3≈ +81 =(3≈ )¤ -30¥3≈ +81=0 에서 3≈ =t (t>0인 실수)로 치환하면 t에 대한 이차방정식 t¤ -30t+81=0으로 바꿀 수 있다. 이 방정식을 풀면 (t-3)(t-27)=0 ∴ t=3, 27 즉, 3≈ =3, 27 ∴ x=1, 3 따라서 두 근의 합은 1+3=4이다. 4

16

z=a+bi (a, b는 실수)라 할 때 = =-2b<0 이므로 b>0이다. 따라서 z+0이므로 0이 아닌 실수 k, m에 대해 =k, =m 으로 놓으면 z¤ 1124_z+1 z 1124_{z¤ +1} (a-bi)-(a+bi) 411111111_i zÆ-z 112_i z=k(z¤ +1) ∴ z=kz¤ +k … ㉠ z¤ =m(z+1) ∴ z¤ =mz+m … ㉡㉡을 ㉠에 대입하면 z=k(mz+m)+k ∴ z=kmz+km+k … ㉢ ㉢에 z=a+bi를 대입하면 a+bi=km(a+bi)+km+k =(kma+km+k)+kmbi ∴ a=kma+km+k, b=kmb b=kmb에서 m= 이고, 이것을 a=kma+km+k에 대입하면 a=a+1+k ∴ k=-1, m=-1 k=-1을 ㉠에 대입하여 정리하면 z¤ +z+1=0 이고, 이 방정식을 풀면 z=a+bi= 그런데 b>0이어야 하므로 z=- + i ②

17

z=a+bi, w=c+di(a, b, c, d는 실수) 라 하자. ㄱ. f(z)=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ ∴ f(z)æ0 (참) ㄴ. f(z+w)=f(a+bi+c+di) =(a+c)¤ +(b+d)¤ f(z)+f(w)=(a¤ +b¤ )+(c¤ +d¤ ) ∴ f(z+w)+f(z)+f(w) (거짓) '3 12₂ 1 1 1₂ -1—'3i 11113₂ 1 1_k

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

(18)

19

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵ ㄷ. f(zÆw)=f((a-bi)(c+di)) =f((ac+bd)+(ad-bc)i) =(ac+bd)¤ +(ad-bc)¤ =a¤ c¤ +b¤ d¤ +a¤ d¤ +b¤ c¤ f(zÆ)f(w)=(a¤ +b¤ )(c¤ +d¤ ) =a¤ c¤ +b¤ c¤ +a¤ d¤ +b¤ d¤ ∴ f(zÆw)=f(zÆ)f(w) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④

18

f(n)=i « {(n+1)-ni}임을 이용하면 ① f(n+1)-f(n) =i « ±⁄ {(n+2)-(n+1)i}-i« {(n+1)-ni} =i « {(n+2)i+(n+1)}-i« {(n+1)-ni} =2(n+1)i « ±⁄ 따라서 f(n+1)-f(n)은 n이 홀수일 때 실수이다. (거짓) ② = = = 따라서 은 항상 순허수가 아니다. (거짓) ③ f(n)=i« {(n+1)-ni} f(n+1)=i « {(n+2)i+(n+1)} f(n+2)=i « {(n+2)i-(n+3)} f(n+3)=i « {-(n+4)i-(n+3)} ∴ f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=-4i« 따라서 n이 짝수일 때만 실수이다. (거짓) ④ f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=-4i« f(n+1) 11115_f(n) (n+1)¤ -n(n+2)+2(n+1)¤ i 111111111111132_{(n+1)¤ +n¤} {(n+2)i+(n+1)}{(n+1)+ni} 111111111111112_{(n+1)¤ +n¤} i « {(n+2)i+(n+1)} 11111111135_{i « {(n+1)-ni}} f(n+1) 11115_f(n) 이므로 n=1일 때와 n=5일 때를 각각 대입하여 더하면 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(8)=-4i-4i =-8i 이므로 순허수이다. (참)

⑤ f(1)+f(2)=2i-i¤ +3i¤ -2i‹ =-2+4i

f(4)+f(5)=5i › -4i fi +6i fi -5i fl =10+2i

따라서 f(1)+f(2)는 f(4)+f(5)의 켤레복소수가 아니다. (거짓) 따라서 항상 만족하는 것은 ④이다. ④

19

x¤ -(a-i)x+2(1-i)=0 HjK (x¤ -ax+2)+i(x-2)=0 따라서 x=2가 되고, 이를 x¤ -ax+2=0에 대입하면 2¤ -2a+2=0이므로 a=3이 된다. 즉, a=3이면 x¤ -(a-i)x+2(1-i)=0은 x=2를 근 으로 갖는다. (2+i)x¤ +(b-3i)x+(4+2i)=0이 실근을 가지므로 (2x¤ +bx+4)+i(x¤ -3x+2)=0에서 x¤ -3x+2=(x-1)(x-2)=0 … ㉠ 2x¤ +bx+4=0 … ㉡ 을 동시에 만족해야 한다. ㉠에 의해 x=1, 2이고 이것을 ㉡에 각각 대입하면 b=-6을 얻는다. ∴ b=-6 -6

20

zx¤ -x(z+1)=0 HjK z(x¤ -x)-x=0 HjK zx(x-1)=x … ㉠

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

(19)

모든 복소수 z에 대하여 zx¤ -x(z+1)=0이 성립하지 않으려면 zx¤ -x(z+1)=0에서 z가 해를 가지지 않아 야 한다. x=1이면, 식 ㉠은 0=1 꼴이 되므로 모든 복소수 z에 대 하여 성립하지 않는다. 또한, 모든 복소수 z에 대하여 zx¤ -x(z+1)=0이 성립 하려면 zx¤ -x(z+1)=0에서 z가 모든 복소수를 해로 가져야 한다. x=0이면 식 ㉠은 0=0 꼴의 항등식이 되므로 모든 복소 수 z에 대하여 성립한다. 그러므로 a=1, b=0이다. ∴ 3a+2b=3 ④

21

abcd>0이므로 a, b, c, d 중 음수는 0개, 2개, 4개 중 하나이다. ⁄a, b, c, d가 모두 양수인 경우 'a 'b 'c 'ßd ='ƒabcd 이므로 '4=2이다. ¤a, b, c, d 중 두 수가 음수인 경우 예컨대, a, b가 음수이면 'a 'b 'c 'ßd =('a'b )('c 'ßd ) =(-'aåb)'cßd =-'aåb'cßd =-'ƒabcd =-'4=-2 ‹a, b, c, d가 모두 음수인 경우 'a 'b 'c 'ßd =('a'b )('c 'ßd ) =(-'aåb)(-'cßd ) ='ƒabcd='4=2 따라서 'a 'b 'c 'ßd 는 -2 또는 2의 값을 갖는다. ④

22

㈎의 식을 전개하면 2i(ab-bc+ca)=18i이므로 ab-bc+ca=9 … ㉠ ㈏의 식을 =b+1= =k라고 하면 a=2k+1, b=k-1, c=2k-3으로 나타낼 수 있고 이 를 ㉠에 대입하면 (2k+1)(k-1)-(k-1)(2k-3) +(2k-3)(2k+1)=9 4k¤ -7=9, k¤ =4 ∴ k=—2 구하는 값은 a+b+c=(2k+1)+(k-1)+(2k-3) =5k-3 이므로 -13 또는 7이다. -13 또는 7 c+3 112₂ a-1 112₂

수학Ⅰ

Ⅱ- 1. 복소수와 이차방정식⑵

(20)

21

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴

0

1

이차함수의그래프가아래로볼록이므로 a>0 x축과 만나지 않으므로 D<0 ∴ a>0, D<0 ②

0

2

f(x)=x¤ -4x+a=(x-2)¤ +a-4에서 축 의 방정식은 x=2이므로 그래프로 그리면 다음과 같다. 따라서 그래프의 대칭성에 의하여 4<b<5이다. ⑤

0

3

이차함수 y=3x¤ -kx+6의 그래프와 직선 y=4x+3이 한 점에서 접하므로 x y O 2 4 5 -1 å ∫ y=f{x} x=2 3x¤ -kx+6=4x+3 HjK 3x¤ -(4+k)x+3=0 에서 D=0이어야 한다. 즉, D=(k+4)¤ -36=(k+10)(k-2)=0 ∴ k=-10 또는k=2 -10 또는 2

0

4

이차방정식 x¤ +3x-k=0에서 주어진 함수의 그래프가 x축과 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로 D=9+4k<0 ∴ k<-

k<-0

5

y=x¤ -2kx+k¤ +k-2 =(x-k)¤ +k-2 에서 꼭짓점의 좌표는 (k, k-2)이고 꼭짓점이 제4사분 면에 있으므로 k>0, k-2<0 ∴ 0<k<2 0<k<2

0

6

두 점 P, Q의 x좌표는 이차방정식 -x¤ +a=mx HjK x¤ +mx-a=0 의 두 근과 같다. 이때, 한 근이 '5-1이고, 계수 a, m이 유리수이므로 켤레근의 원리에 의해 다른 한 근은 -'5-1이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 9 1₄ 9 1 1₄

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Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴

내신・모의고사 대비 TEST Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴ 본문 417~419쪽 01② 02⑤ 03 -10또는 2 04 k<- 05 0<k<2 06 20 07② 08② 09② 10④ 11 -1—'∂37 12⑤ 13 p=-1245₄ ,q=0, r=0 14③ 9 1₄

(21)

-m=('5-1)+(-'5-1)=-2 ∴ m=2 -a=('5-1)_(-'5-1)=-4 ∴ a=4 ∴ a¤ +m¤ =20 20

0

7

f(x)=(m+1)x¤ -2m(m+1)x+4m-1 (m>-1)이라 하면 f(x)=(m+1)(x-m)¤ -m‹ -m¤ +4m-1 ⁄|b|>|a|에 의해 함수의 대칭축은 y축의 왼쪽에 있으 므로 x=m<0 ∴ -1<m<0 (∵ m>-1) ¤f(0)<0이므로 4m-1<0 ∴ m< ⁄, ¤에 의해 -1<m<0 ②

0

8

x¤ -2x-1=x+1 HjK x¤ -3x-2=0의 두 근 x¡, x™에 대하여 x¡+x™=3, x¡x™=-2이고, y¡=x¡+1, y™=x™+1이므로 y¡y™=(x¡+1)(x™+1) =x¡x™+(x¡+x™)+1 =-2+3+1=2 ② 1 1₄

0

9

f(|x|)= 두 함수 y=f(|x|)와 y=- 의 그래프의 교점은 다음 과 같다. 따라서 서로 다른 실근의 개수는 교점의 개수와 같으므로 2개이다. ②

10

y=x¤ -2ax+(a+3)¤ =(x-a)¤ +6a+9 이므로 꼭짓점의 좌표는 (a, 6a+9)

이때, X=a, Y=6a+9로 놓으면 X, Y는 모든 실수 a 에 대하여 Y=6X+9를 만족한다. 따라서 꼭짓점의 자취는 제4 사분면을 지나지 않는다. ④ Y=6X+9 3 2 -9 X Y O y=f{|x|} 1 7 y=--1 -2 2 x y O 1 1₇ f(x) (xæ0) g_{f(-x) (x<0)}

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴

(22)

23

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴

11

끊어진 직선의 길이가 5'2일 때, 직선 y=x+4 의 기울기가 1=tan45˘이므로 두 식을 연립하여 얻은 이 차방정식 x¤ -tx+7=x+4 HjK x¤ -(t+1)x+3=0 의 두 근의 차는 5가 된다. x= 이므로 두 근의 차를 계산하면 "(√t+1√)¤ -≈1Ω2=5 ∴ t=-1—'3å7 -1—'3å7

12

그래프에의해서이차항의계수가 1인이차함수는 f(x)=(x-a)(x-b), g(x)=(x-b)(x-c) F(x)=(x-a)(x-b)+2(x-b)(x-c) =(x-b)(3x-a-2c) =3(x-b){x- } =3[x¤ - x+ _] =3{x- } ¤_+b(a+2c) -1111113(a+3b+2c)¤ 12 a+3b+2c 11111₆ b(a+2c) 11112₃ a+3b+c 11112₃ a+2c 111₃ (t+1)—"(√t+1√)¤ -≈1Ω2 1111111111₂ y=x+4 y=x@-tx+7 5 5 45æ 5Â2 이므로 x= 일 때 F(x)가 최솟값을 갖는다. ⑤

13

x¤ +7ax+a¤ =px¤ +qx+r HjK (p-1)x¤ +(q-7a)x+(r-a¤ )=0 두 곡선이 접하려면 p-1+0이고 판별식 D=0이어야 하므로 D=(q-7a)¤ -4(p-1)(r-a¤ )

=49a¤ -14aq+q¤ -4pr+4pa¤ +4r-4a¤ =(45+4p)a¤ -14qa+q¤ -4r(p-1) =0 이때, 모든 실수 a에 대하여 성립하므로 45+4p=0, 14q=0, q¤ -4r(p-1)=0 ∴ p=- , q=0, r=0 (∵ p+1) p=- ,q=0, r=0

14

f(x)=x¤ -8x =(x-4)¤ -16 이차함수 y=f(x)의 축의 방정식이 x=4이므로 다음과 같이 3가지의 경우로 나누어 최솟값g(a)를 구한다. ⁄축이 x의 값의 범위 안에 있는 경우, 즉 a…4…a+1 HjK 3…a…4 를 만족하는 a에 대해 최솟값은 항상 꼭짓점의 y좌표이므로 y=f(x)의 최솟값은 -16이다. 45 12₄ 45 1 13344₄ a+3b+2c 1 111111₆11144

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴

(23)

∴g(a)=-16 (3…a…4) ¤축이 x의 값의 범위의 오른쪽에 있는 경우, 즉 a+1<4 HjK a<3 을 만족하는 a에 대하여 주어진 이차함수의 축의 왼쪽 영역에서 감소하는 그래프이므로 x=a+1일 때 최솟값 을 갖는다. ∴g(a)=(a+1)¤ -8(a+1) =a¤ -6a-7 (a<3)

‹축이 x의 값의 범위의 왼쪽에 있는 경우, 즉 a a+1 x y O 4 8 y=f{x} -16 y=f{x} a a+1 x y O 4 8 a>4 를 만족하는 a에 대하여 축의 오른쪽 영역에서 증가하 는 그래프이므로 x=a일 때 최솟값을 갖는다.

∴g(a)=a¤ -8a (a>4)

∴g(a)=

따라서 b=g(a)의 그래프는 ③번이다. ③

( a¤ -6a-7 (a<3) “ -16 (3…a…4)

9 a¤ -8a (a>4)

8 a a+1 x y O 4 y=f{x}

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑴

(24)

25

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

0

1

ㄱ. x¤ -x-1=x+1 HjK x¤ -2x-2=0의 두 실근이 x¡, x™이므로 근과 계수의 관계에 의하여 x¡+x™=2, x¡x™=-2 (참) ㄴ. 두 점 P, Q는 직선 y=x+1 위의 점이므로 y¡=x¡+1, y™=x™+1 ∴ y¡+y™=(x¡+x™)+2=4 (참) ㄷ. y¡y™=(x¡+1)(x™+1) =x¡x™+(x¡+x™)+1 =-2+2+1=1 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

0

2

x에 관한 이차함수가 x축과 한 점에서 만나려 면 x¤ -2(m+b)x+m¤ a+b=0이 중근을 가져야 한다. =(m+b)¤ -m¤ a-b=0 (1-a)m¤ +2bm+b(b-1)=0 이때, m의 값에 관계없이 항상 식이 성립하므로 a=1, b=0 ∴ a+b=1 1 D 13₄

0

3

x¤ +tx+(2t-7)=0에서 a+b=-t, ab=2t-7이다.

∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=t¤ -4t+14 =(t-2)¤ +10æ10 따라서 a¤ +b¤ 의 최솟값은 10이다. 10

0

4

(총 이윤)=(볼펜 한 개당 발생하는 순수익) _(볼펜 판매 개수) (볼펜 한 개당 발생하는 순수익) =(볼펜 판매 금액)-(볼펜의 원가) =x+400-370 =x+30 가격을 x원 올렸을 때 총 이윤을 f(x)라 하면, f(x)=(x+30)(200-4x) =-4x¤ +80x+6000 =-4(x-10)¤ +6400 따라서 볼펜 가격을 10원 올려서 410원으로 했을 때 최 대의 수익 6400원을 얻게 된다. 410원

0

5

방정식 x¤ -7x+b=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=7, ab=b y ㉠

또, f(x)=x¤ -4x+a의 두 근은 a+b, a-b이므로

(a+b)+(a-b)=4, (a+b)(a-b)=a y㉡㉠, ㉡에 의해 a=2, b=5 ∴ b=ab=10, a=(a+b)(a-b)=-21 ∴ ab=-210 ③

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Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

내신・모의고사 대비 TEST Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵ 본문 420~424쪽 01⑤ 02 1 03 10 04410원 05③ 06 07② 088 09② 10 17 11 2 12③ 13 …k<4 14② 15② 16④ 17⑤ 18② 19② 20② 21 25번 7 1₄ 810 113₄₁

(25)

0

6

=3+ 이 최댓값을 가질 때 분모 2x¤ -2x+1은 최솟값을, 최솟값을 가질 때 분모 2x¤ -2x+1은 최댓값을 가진다. 2x¤ -2x+1=2 {x- }2 + 이므로 -3…x…5에서 2x¤ -2x+1의 최솟값은 {x= 일 때}, 2x¤ -2x+1의최댓값은 41(x=5일 때)이다. ⁄2x¤ -2x+1= 인 경우 (최댓값) 3+ =3+ =23 ¤2x¤ -2x+1=41인 경우 (최솟값) 3+ =3+ = ∴ (최댓값)-(최솟값)=

0

7

x+1=t로 놓으면 주어진 그래프에서 t=2 또 는 t=4이므로 x+1=2 또는 x+1=4 ∴ x=1 또는 x=3 따라서 f(x+1)=0의 실근의 합은 4이다. ②

0

8

주어진 그래프에서 f(x)=(x-3)(x-4)=x¤ -7x+12 이므로 f(x)=x에서 x¤ -7x+12=x, x¤ -8x+12=0 따라서 실근의 합은 8이다. 8 810 122₄₁ 810 1 11₄₁155 133 122₄₁ 10 12₄₁ 10 111113_{2x¤ -2x+1} 10 12₁ 1₂ 10 111113_{2x¤ -2x+1} 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 10 111112_{2x¤ -2x+1} 6x¤ -6x+13 1111122_{2x¤ -2x+1}

0

9

모든 실수 x에 대하여 f(1+x)=f(1-x)를 만족하는 이차함수 f(x)의 대칭축은 x=1이므로 두 근 의 대칭성에 의하여 두 실근의 합은 1_2=2 ②

10

l : y=mx라 하면 그래프가 두 점에서 만나므로 x¤ +7ax+51=mx HjK x¤ +(7a-m)x+51=0 방정식의 두 근을 3, a라 하면 3a=51 ∴ a=17 따라서 점 B의 x좌표는 17이다. 17

11

f(x)=ax¤ +bx+c(a+0)로 놓으면 조건 ㈎ 에 의하여 f(2x)-4f(x)=4ax¤ +2bx+c-4(ax¤ +bx+c) =-2bx-3c=4x 이 식은 x에 대한 항등식이므로 b=-2, c=0이다. ∴ f(x)=ax¤ -2x 조건 ㈏에 의하여 f(1)=-1이므로 f(1)=a-2=-1 ∴ a=1 ∴ f(x)=x¤ -2x=(x-1)¤ -1 따라서 -1…x…2일 때, x=1에서 최솟값 m=-1을 갖고, x=-1에서 최댓값 M=3을 갖는다. ∴ M+m=3+(-1)=2 2

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

(26)

27

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

12

f(x)=x¤ -x-k f(x)_={x- _}¤ -k-이라 하고 주어진 한 근 a에 대하여 …a< 를 만족하 려면 f { }={ }¤ - -k…0 ∴ kæ y`㉠ f { }={ }¤ - -k>0 ∴ k< y`㉡㉠, ㉡에 의해 …k< 따라서 만족하는 정수 k는 1, 2, 3으로 모두 3개이다. ③

13

f(x)=x¤ -x-k+2 ={x- }2 -k+ 에서 축의 방정식은 x= 이고 f(-1)=1+1-k+2=4-k f(1)=1-1-k+2=2-k D=1-4(-k+2) =4k-7 ⁄한 근만 -1<x<1에 존재할 경우 D>0, f(-1)>0, f(1)…0이므로 2…k<4 1 1₂ 7 1₄ 1 1₂ 15 12₄ 3 1₄ 15 12₄ 5 1₂ 5 1₂ 5 1₂ 3 1₄ 3 1₂ 3 1₂ 3 1₂ 5 1₂ 3 1₂ 1 1₄ 1 1₂ ¤두 근이 모두 -1<x<1에 존재할 경우 Dæ0, f(-1)>0, f(1)>0이므로 …k<2 따라서 ⁄, ¤에 의해 …k<4 …k<4

14

이차함수 y=x¤ -2(m-a)x+m¤ +b+1의 그래프가 x축에 접하므로 =(m-a)¤ -(m¤ +b+1) =(-2a)m+(a¤ -b-1)=0 이때, m의 값에 관계없이 항상 성립하므로 -2a=0, a¤ -b-1=0 ∴ a=0, b=-1 ∴ a+b=-1 ②

15

t초 후의 A, B의 좌표는 A(t, 0), B(0, 6-2t) 이때, 직사각형 OACB가 제1사분면 위에 있으므로 0<t<3이고, 제1사분면 위의 OACB의 넓이를 S(t) 라 하면 S(t)=t¥(6-2t)=-2t¤ +6t =-2 {t- }¤ + 따라서 t=13₂일 때, 넓이의 최댓값은 119₂이다. ② 9 1₂ 3 1₂ D 13₄ 7 1₄ 7 1 1₄ 7 1₄

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Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

(27)

16

두 함수의 그래프가 만나지 않는다는 것은 f(x)=g(x), 즉 방정식 f(x)-g(x)=0의 실근이 없 다는 말과 같다. x¤ +2bx+1=2a(x+b) HjK x¤ +2(b-a)x+(1-2ab)=0 =(b-a)¤ -(1-2ab) =a¤ +b¤ -1<0 ∴ a¤ +b¤ <1 ④

17

|x¤ -2x-7|-k=0 HjK |(x-1)¤ -8|=k 함수 y=|(x-1)¤ -8|과 y=k의 그래프가 4개의 교 점을 가질 경우는 오른쪽 그 림과 같다. 따라서 양의 근 2 개, 음의 근 2개를 가지려면 0<k<7이어야 한다. ⑤

18

x¤ -ax+3=x+1 HjK x¤ -(a+1)x+2=0 의 두 근 a, b가 점 A, B의 x좌 표이고 선분 AB 위에 점 (1, 2) 가 있으므로 a…1…b를 만족한 다. f(x)=x¤ -(a+1)x+2라 하면 f(1)=1-(a+1)+2…0 ∴ aæ2 ② y=f{x} O 1 å ∫ x y y=|x@-2x-7| x y O 8 7 1 y=k D 13₄

19

f(x)=x¤ -a|x|+bæ0에서 D=a¤ -4b…0 ∴ bæ a¤ 이때, a<0인 경우 bæ0인 모든 b의 값에 대하여 f(x)æ0을 만족하므로 점 (a, b)의 자취를 나타낸 개형 은 ②번이다. ②

20

y=g(x)=ax+b 라고 하면 y=5g(x)=5ax+5b 두 식을 연립하면 y=0이므로 y=5g(x)의 그래프는 다 음과 같다. ∴ a<a'<b<b' ②

21

P, Q가 같은 방향으로 돌고 있으므로, P, Q가 만났을 때, 두 점의 움직인 거리의 차는 곡선 둘레의 정수 배가 되어야 한다. 즉, P(t), Q(t)를 각각 점 P, Q가 t초 동안 움직인 거 리라고 할 때, 두 함수 x y ∫ ∫' å å' y=f{x} y=5g{x} y=g{x} O 1 1₄

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Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

(28)

29

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵ f(t)=|P(t)-Q(t)| =|t¤ -10t| g(t)=10m (단, m：점 P, Q가 곡선 둘레를 돈 바퀴 수의 차) 의 그래프의 교점의 개수는 점 P, Q가 만나는 횟수이다. 예를 들면, t=10일 때, 두 점의 이동 거리의 차는 0이므 로 두 점이 만나고 있는 상태이고, t=5—'1ß5일 때, 두 점의 이동 거리의 차는 10이므로 이는 Q가 P보다 더 빨 라 한 바퀴 더 많이 돌아서 만나는 상태를 의미한다. 그래프로 그려 보면 다음과 같다. t y y=f{t} O 5 10 25 200 y=10`{m=1} y=0`{m=0} y=20`{m=2} y=30`{m=3} … y=200`{m=20} 20 m=0, 즉 점 P와 Q가 움직인 거리가 1바퀴도 차이나지 않을 경우, 그래프의 교점은 2개이고, m=1, 즉 점 P와 Q가 움직인 거리가 1바퀴 차이날 경 우, 그래프의 교점은 3개이다. 또, m=2, 즉 점 P와 Q가 움직인 거리가 2바퀴 차이날 경우, 그래프의 교점은 3개이다. 한편, m=3, 4, y, 20일 경우는 그래프의 교점이 1개씩 있으므로 모든 교점의 개수는 2+3+3+1_18=26(개) 그런데 구하고자 하는 것은 출발 후 만나는 횟수이므로, t=0일 때를 제외하면 두 점 P, Q는 25번 만난다. 25번

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

(29)

0

1

⑴ x‹ -27=(x-3)(x¤ +3x+9)=0 ∴ x=3 또는 x= ⑵ x› +3x‹ +3x¤ +3x+2 =(x+1)(x+2)(x¤ +1)=0 ∴ x=-1 또는 x=-2 또는 x=—i ⑶ x‹ +2x¤ +4x+3=(x+1)(x¤ +x+3)=0 ∴ x=-1 또는 x= ⑷ x› -3x‹ +2x¤ +x-1 =(x-1)¤ (x¤ -x-1)=0 ∴ x=1(중근) 또는 x= ⑴ x=3 또는 x= ⑵ x=-1 또는 x=-2 또는 x=—i ⑶ x=-1 또는 x= ⑷ x=1(중근) 또는 x=112331—'5₂ -1—'1å1i 111123₂ -3—3'3i 111123₂ 1—'5 1 1111₂144 -1—'1å1i 1 111111₂12222 -3—3'3i 1 111111₂12222

0

2

⑴ x=4, y=3 ⑵ x=-1, y=-5 ⑶ x=2, y=3, z=5 ⑷ x=1, y=4, z=3 ⑸ x=2, y=2, z=-1

0

3

인수분해하여 나타내면 x‹ +4x¤ +6x+3=(x+1)(x¤ +3x+3)=0 이때, x¤ +3x+3=0에서 모든 허근의 곱은 3이 된다. 3

0

4

a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =(ab+bc+ca)¤ -2abc(a+b+c) 이고, 삼차방정식 x‹ -(k+4)x¤ +k¤ x-k¤ =0의 세 근 a, b, c에 대하여 a+b+c=k+4, ab+bc+ca=k¤ , abc=k¤ 이므로 a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =k› -2k¤ (k+4) =k¤ (k¤ -2k-8) =k¤ (k+2)(k-4)=0 ∴ k=0 또는 k=-2 또는 k=4 0 또는 -2 또는 4

0

5

x‹ -2(1+ai)x¤ +2(a¤ i-2)x+8 =x‹ -2x¤ -4x+8+(-2ax¤ +2a¤ x)i =(x-2)¤ (x+2)-2ax(x-a)i=0

의 실근이 존재한다고 하였으므로 실근을 a라고 하면

(a-2)¤ (a+2)=0, 2aa(a-a)=0을 만족해야 한다.

⁄ a=2일 때, 4a(2-a)=0 ∴ a=0 또는 a=2

¤ a=-2일 때, -4a(-2-a)=0

∴ a=0 또는 a=-2

⁄, ¤에서 a=-2 또는 a=0 또는 a=2

-2 또는 0 또는 2

수학Ⅰ

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

내신・모의고사 대비 TEST Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식 본문 425~427쪽 01~02풀이 참조 03 3 04 0 또는 -2 또는 4 05 -2 또는 0 또는 2 06 -6 07 23 08 3 09 14 10③ 11 ④ 12 kæ1 13 3 14 -1 15 3 16 11 17⑤ 18 60 19 5 20 7—4'2 21 0 22 49 23 -1

(30)

31

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

0

6

x¤ +3x=k로 치환하면 (k+2)¤ -3k-6=0 k¤ +k-2=(k+2)(k-1)=0 ∴ k=1, -2 k=1인 경우, x¤ +3x-1=0이므로 두 근의 합은 -3이고, k=-2인 경우, x¤ +3x+2=0이므로 두 근의 합은 -3이다. 따라서 모든 근의 합은 -3-3=-6이다. -6

0

7

x‹ +(1-3k)x+3k-2 =(x-1)(x¤ +x+2-3k)=0 이 중근을 가지려면 ⁄x¤ +x+2-3k=0의 근이 x=1인 경우 : 1+1+2-3k=0 ∴ k= ¤x¤ +x+2-3k=0이 중근을 가질 경우 (단, x+1) : D=1-8+12k=0 ∴ k= 따라서 12{ + _}=23이다. 23

0

8

(2x+5)(x-3)(x+2)(3x+1)+48=0 을 전개하면 가장 높은 차수 x› 의 계수는 6이고 상수항의 계수는 18이 됨을 알 수 있다. 따라서 모든 근의 곱은 =3이다. 3

0

9

x› +3x‹ -2x¤ +3x+1=0에서 각 항을 x¤ 으로 나누면 18 13₆ 7 13₁₂ 4 1₃ 7 13₁₂ 4 1₃ x¤ +3x-2+ + =0 x¤ + _{+3 {x+} _}-2=0 이때, x+ =k로 치환하면 k¤ +3k-4=(k+4)(k-1)=0 ∴ k=-4 또는 k=1 ⁄k=-4인 경우： x+ =-4 HjK x¤ +4x+1=0 D>0이므로 실근이 존재한다. ¤k=1인 경우： x+ =1 HjK x¤ -x+1=0 D<0이므로 실근이 존재하지 않는다. ⁄, ¤에서 ∴ a¤ + ={a+ }2 -2=(-4)¤ -2=14 14

10

x+ =-1의 양변에 x를 곱하면 x¤ +1=-x HjK x¤ +x+1=0 근의 공식에 의하여 x= = 이 두 개의 해 중 하나를 w라고 하였으므로 나머지 한 근 은 w’로 나타낼 수 있다. 또한 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 -1이고, 곱은 1이므로 이를 식으로 나타내면 w+w’=-1, ww’=1이다. ㄱ. (x-1)(x¤ +x+1)=x‹ -1=0 ∴ x‹ =1 따라서 w‹ =1이므로 wﬂ =(w‹ )¤ =(1)¤ =1 (참) -1—'3i 11112₂ -1—'∂-å3 111122₂ 1 1_x 1 1_a 1 13_a¤ 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 13_x¤ 1 13_x¤ 3 1_x

수학Ⅰ

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

(31)

ㄴ. w‹ « +w¤ « +w« +1=(w‹ )« +(w¤ )« +w« +1 =1+(w¤ )« +w« +1 위의 식을 살펴보면 n=1일 때, 1+(w¤ +w+1)=1+0=1 n=2일 때, 1+w› +w¤ +1=1+(w+w¤ +1) =1+0=1 n=3일 때, 1+wﬂ +w‹ +1=1+(w‹ )¤ +w‹ +1 =1+1+1+1=4 (거짓) ㄷ. 좌변을 전개하면 ww’+(w+w’)+1=1+(-1)+1=1 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

11

(2|x|+2|y|)+(-4|x|+3|y|)i=6-5i HjK g 이므로 두 식을 연립하면 |x|=2, |y|=1을 얻는다. 따라서 x=—2, y=—1이므로 구하는 도형은 네 점 (2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1) 을 꼭짓점으로 하는 직사각형이다. ∴ (직사각형의 넓이)=4_2=8 ④

12

주어진 연립방정식의 해 x, y는 t에 대한 이차 방정식 t¤ -(2k+2)t+k¤ +3=0 의 두 근이 된다. 따라서 실근을 가지려면 13D₄ æ0이어야 하므로 2|x|+2|y|=6 -4|x|+3|y|=-5 =(k+1)¤ -k¤ -3 =2k-2æ0 ∴ kæ1 kæ1

13

x+y=2k HjK y=2k-x를 2x¤ +y¤ =4에 대입하면 2x¤ +x¤ -4kx+4k¤ -4=0 ∴ 3x¤ -4kx+4k¤ -4=0 해가 오직 한 쌍 존재해야 하므로 =4k¤ -12k¤ +12=0 ∴ a=k¤ = ∴ 2a=2k¤ =2¥ =3 3

14

x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy =9-xy =4

∴ xy=5

따라서 ab=5, a+b=3이므로

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab =9-10 =-1 -1

15

+ = 에서 3y+3x=xy 3x-xy+3y=0 1 1₃ 1 1_y 1 1_x 3 1₂ 3 1₂ D 13₄ D 13₄

수학Ⅰ

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

(32)

33

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식 x(3-y)-3(3-y)=-9 ∴ (x-3)(y-3)=9 따라서 만족하는 양의 정수 x, y의 순서쌍은 (6, 6), (12, 4), (4, 12)로 3개이다. 3

16

한 근이 x=1이므로 방정식에 대입하면 1+ a-5b-6=0 ∴ 6a-25b=25 … ㉠ 나머지 두 근이 연속하는 자연수이므로 n, n+1로 놓으 면 n(n+1)=6을 만족해야 한다. 따라서 두 근은 2, 3이므로 x=2를 방정식에 대입하면 8+ a-10b-6=0 ∴ 12a-25b=-5 … ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 계산하면 a=-5, b=-따라서 ab=(-5)_{- }=11이다. 11

17

f(x)=t로 치환하고 주어진 식을 인수분해하면, { f(x)}‹ + { f(x)}¤ - f(x)+1=0 t‹ + t¤ - t+1=0 2t‹ +t¤ -5t+2=0 (t-1)(2t-1)(t+2)=0 ∴ t=f(x)=-2, , 1 이때, y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 1이므로 방 1 1₂ 5 1₂ 1 1₂ 5 1₂ 1 1₂ 11 12₅ 11 12₅ 24 12₅ 6 1₅ 정식 f(x)=-2, f(x)= 은 서로 다른 두 개의 실근을 갖지만 방정식 f(x)=1은 하나의 실근(중근)을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 모두 5개이다. ⑤

18

(ⅰ) -3, -2, -1을 세 근으로 하고 x‹ 의 계수 가 1인 삼차방정식은 (x+3)(x+2)(x+1)=x‹ +6x¤ +11x+6 이때, 지석이는 상수항 c를 제대로 보았으므로 c=6 (ⅱ) 3+i, 3-i, -4를 세 근으로 하고 x‹ 의 계수가 1인 삼차방정식은 {x-(3+i)}{x-(3-i)}(x+4) =x‹ -2x¤ -14x+40 (ⅱ) 이때, 혜연이는 x¤ 의 계수 a를 제대로 보았으므로 a=-2 (ⅲ) -3, 4, 7을 세 근으로 하고 x‹ 의 계수가 1인 삼차방 정식은 (x+3)(x-4)(x-7)=x‹ -8x¤ -5x+84 (ⅱ) 이때, 아름이는 x의 계수 b를 제대로 보았으므로 b=-5 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 a=-2, b=-5, c=6 ∴ abc=(-2)_(-5)_6=60 60

19

삼차방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정식 f(-2x+3)=0의 세 근은 -2x+3=a에서 x= , -2x+3=b에서 x= , -2x+3=c에서 x=1113-c 2 3-b 111₂ 3-a 111₂ 1 1₂