0 8 주어진 그래프에서

f(x)=(x-3)(x-4)=x¤ -7x+12 이므로 f(x)=x에서

x¤ -7x+12=x, x¤ -8x+12=0

따라서 실근의 합은 8이다. 8

12281041 1810

1141155 12213341 121041 1111132x¤ -2x+110

12101 12 1111132x¤ -2x+110

112

112 112

112 112

1111122x¤ -2x+110 6x¤ -6x+13

11111222x¤ -2x+1

0 9

모든 실수 x에 대하여 f(1+x)=f(1-x)를 만족하는 이차함수 f(x)의 대칭축은 x=1이므로 두 근 의 대칭성에 의하여 두 실근의 합은

1_2=2 ②

10

l : y=mx라 하면 그래프가 두 점에서 만나므로 x¤ +7ax+51=mx

HjK x¤ +(7a-m)x+51=0 방정식의 두 근을 3, a라 하면

3a=51

∴ a=17

따라서 점 B의 x좌표는 17이다. 17

11

f(x)=ax¤ +bx+c(a+0)로 놓으면 조건 ㈎ 에 의하여

f(2x)-4f(x)=4ax¤ +2bx+c-4(ax¤ +bx+c)

=-2bx-3c=4x

이 식은 x에 대한 항등식이므로 b=-2, c=0이다.

∴ f(x)=ax¤ -2x

조건 ㈏에 의하여 f(1)=-1이므로 f(1)=a-2=-1 ∴ a=1

∴ f(x)=x¤ -2x=(x-1)¤ -1 따라서 -1…x…2일 때,

x=1에서 최솟값 m=-1을 갖고, x=-1에서 최댓값 M=3을 갖는다.

∴ M+m=3+(-1)=2 2

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

^{내신・모의고사}대비 TEST

27

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

12

f(x)=x¤ -x-k f(x)={x- }¤

-k-이라 하고 주어진 한 근 a에 대하여 …a< 를 만족하 려면

f { }={ }¤ - -k…0

∴ kæ y`㉠

f { }={ }¤ - -k>0

∴ k< y`㉡

㉠, ㉡에 의해 …k<

따라서 만족하는 정수 k는 1, 2, 3으로 모두 3개이다.

③

13

f(x)=x¤ -x-k+2

={x- }2 -k+

에서 축의 방정식은 x= 이고 f(-1)=1+1-k+2=4-k f(1)=1-1-k+2=2-k D=1-4(-k+2)

=4k-7

⁄한 근만 -1<x<1에 존재할 경우 D>0, f(-1)>0, f(1)…0이므로

2…k<4

112

174 112

12154 134

12154 152 152 152

134

132 132 132

152 132 114 112

¤두 근이 모두 -1<x<1에 존재할 경우 Dæ0, f(-1)>0, f(1)>0이므로

…k<2 따라서 ⁄, ¤에 의해

…k<4 …k<4

14

이차함수 y=x¤ -2(m-a)x+m¤ +b+1의 그래프가 x축에 접하므로

=(m-a)¤ -(m¤ +b+1)

=(-2a)m+(a¤ -b-1)=0 이때, m의 값에 관계없이 항상 성립하므로

-2a=0, a¤ -b-1=0

∴ a=0, b=-1

∴ a+b=-1 ②

15

t초 후의 A, B의 좌표는 A(t, 0), B(0, 6-2t)

이때, 직사각형 OACB가 제1사분면 위에 있으므로 0<t<3이고, 제1사분면 위의 OACB의 넓이를 S(t) 라 하면

S(t)=t¥(6-2t)=-2t¤ +6t

=-2 {t- }¤ +

따라서 t= 일 때, 넓이의 최댓값은 1192이다. ② 132

192 132 13D4

174 17

14 174

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

^{내신・모의고사}대비 TEST

16

두 함수의 그래프가 만나지 않는다는 것은 f(x)=g(x), 즉 방정식 f(x)-g(x)=0의 실근이 없 다는 말과 같다.

x¤ +2bx+1=2a(x+b)

HjK x¤ +2(b-a)x+(1-2ab)=0

=(b-a)¤ -(1-2ab)

=a¤ +b¤ -1<0

∴ a¤ +b¤ <1 ④

17

|x¤ -2x-7|-k=0 HjK |(x-1)¤ -8|=k 함수 y=|(x-1)¤ -8|과 y=k의 그래프가 4개의 교 점을 가질 경우는 오른쪽 그 림과 같다. 따라서 양의 근 2 개, 음의 근 2개를 가지려면 0<k<7이어야 한다.

⑤

18

x¤ -ax+3=x+1 HjK x¤ -(a+1)x+2=0 의 두 근 a, b가 점 A, B의 x좌

표이고 선분 AB 위에 점 (1, 2) 가 있으므로 a…1…b를 만족한 다.

f(x)=x¤ -(a+1)x+2라 하면 f(1)=1-(a+1)+2…0

∴ aæ2 ②

y=f{x}

O 1

å ∫ x

y

y=|x@-2x-7|

x y

O 8 7

1

y=k 13D4

19

f(x)=x¤ -a|x|+bæ0에서 D=a¤ -4b…0 ∴ bæ a¤

이때, a<0인 경우 bæ0인 모든 b의 값에 대하여 f(x)æ0을 만족하므로 점 (a, b)의 자취를 나타낸 개형

은 ②번이다. ②

20

y=g(x)=ax+b 라고 하면 y=5g(x)=5ax+5b

두 식을 연립하면 y=0이므로 y=5g(x)의 그래프는 다 음과 같다.

∴ a<a'<b<b' ②

21

P, Q가 같은 방향으로 돌고 있으므로, P, Q가 만났을 때, 두 점의 움직인 거리의 차는 곡선 둘레의 정수 배가 되어야 한다.

즉, P(t), Q(t)를 각각 점 P, Q가 t초 동안 움직인 거 리라고 할 때, 두 함수

x y

∫ ∫' å

å' y=f{x}

y=5g{x}

y=g{x}

O

114

수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

^{내신・모의고사}대비 TEST

29

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

f(t)=|P(t)-Q(t)|

=|t¤ -10t|

g(t)=10m

(단, m：점 P, Q가 곡선 둘레를 돈 바퀴 수의 차) 의 그래프의 교점의 개수는 점 P, Q가 만나는 횟수이다.

예를 들면, t=10일 때, 두 점의 이동 거리의 차는 0이므 로 두 점이 만나고 있는 상태이고, t=5—'1ß5일 때, 두 점의 이동 거리의 차는 10이므로 이는 Q가 P보다 더 빨 라 한 바퀴 더 많이 돌아서 만나는 상태를 의미한다.

그래프로 그려 보면 다음과 같다.

t y

y=f{t}

O 5 10 25 200

y=10`{m=1}

y=0`{m=0}

y=20`{m=2}

y=30`{m=3}

…

y=200`{m=20}

20

m=0, 즉 점 P와 Q가 움직인 거리가 1바퀴도 차이나지 않을 경우, 그래프의 교점은 2개이고,

m=1, 즉 점 P와 Q가 움직인 거리가 1바퀴 차이날 경 우, 그래프의 교점은 3개이다.

또, m=2, 즉 점 P와 Q가 움직인 거리가 2바퀴 차이날 경우, 그래프의 교점은 3개이다.

한편, m=3, 4, y, 20일 경우는 그래프의 교점이 1개씩 있으므로 모든 교점의 개수는

2+3+3+1_18=26(개)

그런데 구하고자 하는 것은 출발 후 만나는 횟수이므로, t=0일 때를 제외하면 두 점 P, Q는 25번 만난다.

25번 수학Ⅰ

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수⑵

^{내신・모의고사}대비 TEST

0 1

⑴ x‹ -27=(x-3)(x¤ +3x+9)=0

∴ x=3 또는 x=

⑵ x› +3x‹ +3x¤ +3x+2

=(x+1)(x+2)(x¤ +1)=0

∴ x=-1 또는 x=-2 또는 x=—i

⑶ x‹ +2x¤ +4x+3=(x+1)(x¤ +x+3)=0

∴ x=-1 또는 x=

⑷ x› -3x‹ +2x¤ +x-1

=(x-1)¤ (x¤ -x-1)=0

∴ x=1(중근) 또는 x=

⑴ x=3 또는 x=

⑵ x=-1 또는 x=-2 또는 x=—i

⑶ x=-1 또는 x=

⑷ x=1(중근) 또는 x=112331—'52 -1—'1å1i 1111232 -3—3'3i 1111232 11—'5

11112144 -1—'1å1i 1

111111212222 -3—3'3i 1

111111212222

0 2

^{⑴ x=4, y=3}

⑵ x=-1, y=-5

⑶ x=2, y=3, z=5

⑷ x=1, y=4, z=3

⑸ x=2, y=2, z=-1

0 3

인수분해하여 나타내면

x‹ +4x¤ +6x+3=(x+1)(x¤ +3x+3)=0 이때, x¤ +3x+3=0에서 모든 허근의 곱은 3이 된다.

3

0 4

a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤

=(ab+bc+ca)¤ -2abc(a+b+c) 이고, 삼차방정식

x‹ -(k+4)x¤ +k¤ x-k¤ =0의 세 근 a, b, c에 대하여 a+b+c=k+4, ab+bc+ca=k¤ , abc=k¤ 이므로

a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =k› -2k¤ (k+4)

=k¤ (k¤ -2k-8)

=k¤ (k+2)(k-4)=0

∴ k=0 또는 k=-2 또는 k=4

0 또는 -2 또는 4

0 5

x‹ -2(1+ai)x¤ +2(a¤ i-2)x+8

=x‹ -2x¤ -4x+8+(-2ax¤ +2a¤ x)i

=(x-2)¤ (x+2)-2ax(x-a)i=0 의 실근이 존재한다고 하였으므로 실근을 a라고 하면 (a-2)¤ (a+2)=0, 2aa(a-a)=0을 만족해야 한다.

⁄ a=2일 때, 4a(2-a)=0 ∴ a=0 또는 a=2

¤ a=-2일 때, -4a(-2-a)=0

∴ a=0 또는 a=-2

⁄, ¤에서 a=-2 또는 a=0 또는 a=2

-2 또는 0 또는 2 수학Ⅰ

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

^{내신・모의고사}대비 TEST

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식 본문 425~427쪽

01~02풀이 참조 03 3

04 0 또는 -2 또는 4 05 -2 또는 0 또는 2 06 -6 07 23 08 3 09 14 10③ 11 ④ 12 kæ1 13 3 14 -1 15 3 16 11 17⑤ 18 60 19 5

20 7—4'2 21 0 22 49 23 -1

31

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

06

x¤ +3x=k로 치환하면 (k+2)¤ -3k-6=0

k¤ +k-2=(k+2)(k-1)=0

∴ k=1, -2

k=1인 경우, x¤ +3x-1=0이므로 두 근의 합은 -3이고,

k=-2인 경우, x¤ +3x+2=0이므로 두 근의 합은 -3이다.

따라서 모든 근의 합은 -3-3=-6이다. -6

07

x‹ +(1-3k)x+3k-2

=(x-1)(x¤ +x+2-3k)=0 이 중근을 가지려면

⁄x¤ +x+2-3k=0의 근이 x=1인 경우 : 1+1+2-3k=0 ∴ k=

¤x¤ +x+2-3k=0이 중근을 가질 경우 (단, x+1) : D=1-8+12k=0 ∴ k=

따라서 12{ + }=23이다. 23

08

(2x+5)(x-3)(x+2)(3x+1)+48=0 을 전개하면 가장 높은 차수 x› 의 계수는 6이고 상수항의 계수는 18이 됨을 알 수 있다.

따라서 모든 근의 곱은 =3이다. 3

09

x› +3x‹ -2x¤ +3x+1=0에서 각 항을 x¤ 으로 나누면

13186 13127 143

13127 143

x¤ +3x-2+ + =0

x¤ + +3 {x+ }-2=0

이때, x+ =k로 치환하면 k¤ +3k-4=(k+4)(k-1)=0

∴ k=-4 또는 k=1

⁄k=-4인 경우：

x+ =-4 HjK x¤ +4x+1=0 D>0이므로 실근이 존재한다.

¤k=1인 경우：

x+ =1 HjK x¤ -x+1=0 D<0이므로 실근이 존재하지 않는다.

⁄, ¤에서

∴ a¤ + ={a+ }2 -2=(-4)¤ -2=14 14

10

^x+ =-1의 양변에 x를 곱하면 x¤ +1=-x HjK x¤ +x+1=0

근의 공식에 의하여

x= =

이 두 개의 해 중 하나를 w라고 하였으므로 나머지 한 근 은 w’로 나타낼 수 있다.

또한 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 -1이고, 곱은 1이므로 이를 식으로 나타내면

w+w’=-1, ww’=1이다.

ㄱ. (x-1)(x¤ +x+1)=x‹ -1=0 ∴ x‹ =1 따라서 w‹ =1이므로

wfl =(w‹ )¤ =(1)¤ =1 (참) -1—'3i 111122 -1—'∂-å3

1111222 1x1

11a 13a¤1

1x1 1x1 1x1

1x1 13x¤1

13x¤1 13x

수학Ⅰ

Ⅱ- 3. 여러 가지 방정식

^{내신・모의고사}대비 TEST

ㄴ. w‹ « +w¤ « +w« +1=(w‹ )« +(w¤ )« +w« +1

=1+(w¤ )« +w« +1 위의 식을 살펴보면

n=1일 때, 1+(w¤ +w+1)=1+0=1 n=2일 때,

1+w› +w¤ +1=1+(w+w¤ +1)

=1+0=1 n=3일 때,

1+wfl +w‹ +1=1+(w‹ )¤ +w‹ +1

=1+1+1+1=4 (거짓) ㄷ. 좌변을 전개하면

ww’+(w+w’)+1=1+(-1)+1=1 (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

11

(2|x|+2|y|)+(-4|x|+3|y|)i=6-5i HjK g

이므로 두 식을 연립하면 |x|=2, |y|=1을 얻는다.

따라서 x=—2, y=—1이므로 구하는 도형은 네 점 (2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1) 을 꼭짓점으로 하는 직사각형이다.

∴ (직사각형의 넓이)=4_2=8 ④

12

주어진 연립방정식의 해 x, y는 t에 대한 이차 방정식

t¤ -(2k+2)t+k¤ +3=0 의 두 근이 된다.

따라서 실근을 가지려면 Dæ0이어야 하므로 134

2|x|+2|y|=6 -4|x|+3|y|=-5

=(k+1)¤ -k¤ -3

=2k-2æ0

∴ kæ1 kæ1

13

^x+y=2k HjK y=2k-x를 2x¤ +y¤ =4에 대입하면

2x¤ +x¤ -4kx+4k¤ -4=0

∴ 3x¤ -4kx+4k¤ -4=0 해가 오직 한 쌍 존재해야 하므로

=4k¤ -12k¤ +12=0

∴ a=k¤ =

∴ 2a=2k¤ =2¥ =3 3

14

x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy

=9-xy

=4

∴ xy=5

따라서 ab=5, a+b=3이므로 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=9-10

=-1 -1

문서에서 수학Ⅰ 내신·모의고사 대비 TEST 해설 (페이지 25-31)