하고 직선 AB를 x축으로 하여 좌표평면에 나타내면 그림과 같다. 국도를 직선 l 이라 놓을 때 tan 60˘='3 이므로
l : y='3x
행복동을 점 C(8, 6)이라 놓을 때 행복동에서 국도까지 의 최단거리는 직선 l과 점 C 사이의 거리와 같다.
=
=4'3-3=3.8 (∵ '3=1.7) 따라서 행복동에서 국도까지의 최단 거리는 3.8 km이다.
3.8 km
21
좌표평면위에점과직선을나타내면다음과같다.O x
y
B{a, a-1}
P{a, a+1}
a D
C A{a, a+2}
y=x+1
8'3-6 11122
|8'3-6|
11111121
"(√'3)¤ √+(√-1)¤Ω
A
O x
y
C{8, 6}
B{8, 0}
60æ
y=Â3x 이때, △ACP와 △BDP에서
∠BPD=∠APC (맞꼭지각),
∠BDP=∠ACP=90˘
∴ △ACPª△BDP (AA 닮음) 한편, 점 P의 좌표가 (a, a+1)이므로
AP”=1, BP”=2
∴ = = =4 4
22
직선 + =1 HjK 2x+y-4=0과 직선 mx-y+m+1=0을 변끼리 더하면(m+2)x+(m-3)=0
x= =
x=-1+
이때, x, y가 모두 정수가 되도록 하려면 m+2는 5의 약 수가 되어야 하므로
m+2=—1 또는 m+2=—5
∴ m=-1, —3, -7
따라서 만족하는 모든 정수 m의 곱은
(-1)_3_(-3)_(-7)=-63 -63 1123m+25
-(m+2)+5 1111112m+2 11122-m+3m+2
1y4 1x2
132¤1¤
112BP”¤
AP”¤
1112△BDP△ACP
수학Ⅰ
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑴
내신・모의고사대비 TEST51
03
직선 x+y+2+k(2x-y)=0에서 (1+2k)x+(1-k)y+2=0 y ㉠ 11414141414444211111412
"√5k¤ +2k+2
114441111111|2|
"√(1+2k)¤ +(1-k)¤
175 122333325 1121 122333325
1112225
1122-63a+54 111115a-4
수학Ⅰ
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑵
내신・모의고사대비 TEST0 4
직사각형 ABCD에서11125|ab|
"a√¤ +b¤ a¤ +b¤ æ2|ab|=2_18=36
(단, 등호는 a¤ =b¤ 일 때 성립) x¤ =2x+3, (x-3)(x+1)=0
∴ x=-1, 3
따라서 A(-1, 1), B(3, 9)이므로 AB”의 길이는 AB”="(√3+1√)¤ +√(9-ç1)¤
='1ƒ6+6ß4=4'5 1112518
"a√¤ +b¤
수학Ⅰ
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑵
내신・모의고사대비 TEST53
mx+5y-2m+1=0 HjK m(x-2)+5y+1=0 은 m의 값에 관계없이 점 {2, - }을 지나므로 직선
10
세 점으로 이루어진 삼각형을 원점을 중심으로"(√x-a√)¤ +√(y-ça)Ω¤ ="(√x-5√)¤ +√(y-ç3)Ω¤
x¤ -2ax+a¤ +y¤ -2ay+a¤
=x¤ -10x+25+y¤ -6y+9
∴ (a-5)x+(a-3)y-a¤ +17=0
111352 11124|-3|
"1√¤ +1¤ 2(a-5)+(a-3)-a¤ +17=0 a¤ -3a-4=0
55
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑵
⑨ a=9 Δ b=9, 10, 11, 12
⑩ a=10 Δ b=10, 11, 12
⑪ a=11 Δ b=11, 12
⑫ a=12 Δ b=12
정십이면체를 두 번 던져 나오는 모든 경우는
12_12=144(가지)이고, ①~⑫에 의해 △ABC와 만나 는 경우는 41가지이므로
=
∴ p+q=185 185
13
두 직선 y=x와 x+y-2=0의 교점은 A(1, 1)또, 직선 y=x와 x+y-4=0의 교점은 B(2, 2) 직선 x+y-4=0 위에 점 C가 있으므로
C(a, -a+4)
⑴ CD”='7ß4이므로
"(√a-2√)¤ +√(-a√+4)Ω¤ ='7ß4 2a¤ -12a-54=0, a¤ -6a-27=0 (a-9)(a+3)=0
∴ a=9 또는 a=-3
이때, A, B, C, D는 사각형을 이루어야 하므로 C(9, -5)
y=x y=-x+4
y=-x+2 1 D
2 B
1 2 A
x y
O 1114441
1pq
∴ ( ABCD의 둘레)=AB”+BC”+CD”+DA”
="1√¤ +1¤ +"7√¤ +(√-7)Ω¤
=+'7ß4+"1√¤ +(√-1)Ω¤
='2+7'2+'7ß4+'2
=9'2+'7ß4
⑵ ⑴에 의해서 ABCD를 좌표평면 위에 나타내면
∴ ( ABCD의 넓이)= ¥AB”¥(AD”+BC”)
= ¥'2 ¥('2+7'2 )
=8
⑶ 회전축을 세로로 하여 V¡, V™, V£을 생각해 보자.
① l : x+y-4=0을 축으로 하여 회전하면,
V¡=(원기둥의 부피)+(원뿔의 부피)
=p('2)¤ _'2+ _p('2)¤ _6'2
=2'2p+4'2p=6'2p
② m : x+y-2=0을 축으로 하여 회전하면, 113
l
Â2 Â2
7Â2 6Â2
Â2 Â2 112 112 B A
C 9
-5
D x
y
O 7Â2
Â2
Â2
수학Ⅰ
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑵
내신・모의고사대비 TESTV™=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피)
∴ V¡+V™+V£=6'2p+10'2p+38'2p
=54'2p
V¡+V™=('2)¤ p_8'2
=16'2p
∴ V¡+V™+V£=16'2p+38'2p=54'2p
⑴ C(9, -5), 9'2+'7å4 ⑵ 8 ⑶ 54'2p
57
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑵
㈎ y=mx+n과 x-y=0이 평행일 경우 기울기가 같고, y절편은 달라야 하므로
m=1, n+0 y㉡
㈏ y=mx+n과 x+y-2=0이 평행일 경우 기울기가 같고, y절편은 달라야 하므로
m=-1, n+2 y㉢
따라서 주어진 순서쌍 중에서 ㉠ 또는 ㉡ 또는 ㉢을 만족 하는 것은
ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅌ
으로 모두 6개이다. ③
수학Ⅰ
Ⅲ-2. 직선의 방정식⑵
내신・모의고사대비 TEST0 1
원 x¤ +2x+y¤ -6y+6=0에서 (x+1)¤ +(y-3)¤ =2¤따라서 반지름의 길이는 2, 원의 중심의 좌표는 (-1, 3)
이다. 2, (-1, 3)
0 2
반지름의 길이를 r라 하면 원의 중심이 (3, 2) 이므로(x-3)¤ +(y-2)¤ =r¤
이 원이 x축에 접하므로 점 (3, 0)을 지난다. 즉, (3-3)¤ +(0-2)¤ =r¤ ∴ r=2
∴ (x-3)¤ +(y-2)¤ =2¤
(x-3)¤ +(y-2)¤ =2¤
0 3
반지름의 길이를 r라 하면 원의 중심이 (-2, 5)이므로(x+2)¤ +(y-5)¤ =r¤
이 원이 y축에 접하므로 점 (0, 5)를 지난다. 즉, (0+2)¤ +(5-5)¤ =r¤ ∴ r=2
∴ (x+2)¤ +(y-5)¤ =2¤
(x+2)¤ +(y-5)¤ =2¤
0 4
구하는 원의 방정식을 x¤ +y¤ +Ax+By+C=0이라 하고, 세 점 (1, 0), (0, 1), (1, 2)를 대입하면
1+A+C=0 y㉠
1+B+C=0 y㉡
1+4+A+2B+C=0 y㉢
㉢-㉠을 계산하면 B=-2
㉠, ㉡에 의해 A=-2, C=1
∴ x¤ +y¤ -2x-2y+1=0
∴ (x-1)¤ +(y-1)¤ =1
(x-1)¤ +(y-1)¤ =1
0 5
두 원의 방정식 (x+2)¤ +(y-2)¤ =4¤ 과 (x-3)¤ +(y-2)¤ =4¤ 을 변끼리 빼면(x+2)¤ -(x-3)¤ =0 4x+4+6x-9=0
∴ x= x=
0 6
직선 y=2-x를 원의 방정식에 대입하면 x¤ +(2-x)¤ =22x¤ -4x+2=0
이 이차방정식의 판별식 D는 다음과 같다.
112 11
12
수학Ⅰ
Ⅲ-3. 원의 방정식
내신・모의고사대비 TESTⅢ-3. 원의 방정식 본문 442~446쪽
01 2, (-1, 3) 02 (x-3)¤ +(y-2)¤ =2¤
03 (x+2)¤ +(y-5)¤ =2¤
04 (x-1)¤ +(y-1)¤ =1 05 x=
06 1 07 '3x+y+4=0
08 y=x—'2 09③ 10 c…4 11 16
12 p 13 4'3
14 A(2+'2, 1+'2) 15 4
16 6p 17② 18 19①
20 B(-'3, 3) 21 { , }
22 '2a 23 24④ 25 5'3 26⑤ 27③
11'1å02
152 115'32 11310'33 12'22
112
59
Ⅲ-3. 원의 방정식
=4-2¥2=0
따라서 원과 직선의 교점은 1개이다. 1
07
-'3x+(-1)y=2¤∴ '3x+y+4=0 '3x+y+4=0
08
기울기가 1인 직선의 방정식을 y=x+a라고 하면x¤ +(x+a)¤ =1 2x¤ +2ax+a¤ -1=0 이때, 원과 직선이 접하므로
=a¤ -2(a¤ -1)=0 -a¤ +2=0
∴ a=—'2
∴ y=x—'2 y=x—'2
09
원 x¤ +y¤ =r¤ 의 중심 (0, 0)에서 직선 y=3x-10, 즉 3x-y-10=0까지의 거리 d는d= ='∂10
이므로
f(r)=
따라서 f(2)=f(3)=0, f('ß10)=1,
f(4)=f('ß18)=2이므로 옳은 것은 ③이다. ③
10
원 x¤ -4x+y¤ -6y+c=0에서 (x-2)¤ +(y-3)¤ =13-c2 (r>'∂10) 1 (r='∂10) 0 (r<'∂10) ({
9
|-10|
111442
"3√¤ +1¤
15D4
15D4 이 원의 중심인 점 (2, 3)에서 직선 3x+4y-3=0까지
의 거리는
=3
따라서 원의 반지름의 길이가 직선까지의 거리인 3보다 크거나 같을 때 교점이 존재하게 되므로
'1ƒ3-c æ3
∴ c…4 c…4
11
점 D를 (x, y)라 할 때, ABCD의 넓이를 S라 하면S=4xy(단, x>0, y>0)
한편, (x-y)¤ æ0 HjK 2xy…x¤ +y¤ 이므로 S=4xy
…2(x¤ +y¤ )=2_8=16
따라서 직사각형의 넓이 S의 최댓값은 16이다. 16
12
A"B"IA= IA'B'B이므로 A"OA'A= B"OB'Bp¤ =('2+q)('2-q) p¤ =2-q¤
∴ p¤ +q¤ =2
따라서 점 (p, q)의 자취는 반지름의 길이가 '2인 원과 같으므로 자취의 길이는
2_p_'2_ = p(∵ 0…q<'2, p>0)
p
13
점 A, B로부터의 거리가 1 : 2인 점을 P(x, y)라 하면 AP” : BP”=1 : 2이므로2AP”= BP”
∴ 4AP”¤ = BP”¤
12'22 1'2
1222 114
|6+12-3|
111112
"3√¤ +4¤
수학Ⅰ
Ⅲ-3. 원의 방정식
내신・모의고사대비 TEST점 P의 자취는
∴ |ab|=|(—2'3)_2|
=4'3 4'3 2(2-'2)x+(2-'2)¤ =2
∴ x=
='2
따라서 점 A의 좌표는 A(2+'2, 1+'2)
A(2+'2, 1+'2) 2'2-2
11122-'2
2-Â2 Â2
2_;4#;_p_2¤ =6p 6p
B{2, a}