41 19 18 20 17 Ó 

본책



^{87 ~ 88쪽}

Ⅱ. 삼각함수

41

04

삼각함수 또 △ACD는 직각이등변삼각형이므로    ∠C=p

4     ∴ ∠A=p-{ p3+p

4 }= 5 12p 따라서 두 부채꼴의 넓이의 합은     1

2´2Û`´ 512p+ 12´2Û`´ p3 =5

6p+ 23p= 32p 즉 k= 32 이므로    100k=100´3

2 =150   150

17

^전략 내접원의 반지름의 길이를 구한다.

풀이 내접원의 반지름의 길이를 r라 하 면 오른쪽 그림에서 ∠CAB=p

6 이므로     ACÓ=2r, ABÓ='3r

큰 원의 반지름의 길이가 6이므로     2r+r=6    ∴ r=2

    ∴ (△ABC의 넓이)-(부채꼴 BCD의 넓이)

= 12 ´2'3´2-1

2´2Û`´{ p2 -p 6 }

=2'3- 23p

따라서 색칠한 부분의 넓이 S는     S=12{2'3- 23 p}=24'3-8p 이므로    p=24, q=-8

    ∴ p+q=16   16

18

^전략 sinÛ``h+cosÛ``h=1임을 이용하여 sin`h`cos`h의 값을 구한다.

풀이 sin`h+cos`h=-1의 양변을 제곱하면     sinÛ``h+2 sin`h`cos`h+cosÛ``h=1

    1+2 sin`h`cos`h=1    ∴ sin`h`cos`h=0  y ❶ 따라서 sin`h=-1, cos`h=0 또는 sin`h=0, cos`h=-1이므로     f(n)=sinⁿ`h+cos<sup>n</sup>`h=(-1)ⁿ  y ❷      ∴ Á²⁰

k=1kf(k) =Á²⁰

k=1k´(-1)^k   

=(-1+2)+(-3+4)+y+(-19+20) 

=1´10=10  y ❸ 

 10

19

^{전략 OQÓ}, APÓ, BQÓ의 길이를 h에 대한 식으로 나타낸다.

풀이 OBÓ=4, OAÓ=4이므로     OQÓ=OBÓ cos`h=4 cos`h,      BQÓ=OBÓ sin`h=4 sin`h, 

A B

C D r

;:;6p

채점 기준 비율

❶ sin`h`cos`h의 값을 구할 수 있다. 30%

❷ f(n)을 구할 수 있다. 40%

❸ _k=1Á²⁰kf(k)의 값을 구할 수 있다. 30%

    APÓ=OAÓ tan`h=4 tan`h OQÓ=2APÓ´BQÓ에서

    4 cos`h=2´4 tan`h´4 sin`h     cos`h=8´sin`h

cos`h´sin`h      cosÛ``h=8 sinÛ``h     ∴ tanÛ``h=sinÛ``h

cosÛ``h= 18    1

8

20

^전략 삼각함수 사이의 관계와 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이 용한다.

풀이 2xÛ`-x-a=0의 두 근이 sin`h, cos`h이므로 이차방정식의  근과 계수의 관계에 의하여

    sin`h+cos`h=1

2 , sin`h`cos`h=- a2   y ❶     ∴ sinÛ``h+cosÛ``h=(sin`h+cos`h)Û`-2 sin`h`cos`h   

={ 12 }Û`-2´{-a2 }=a+ 14 즉 a+ 14 =1이므로    a=3

4  y ❷

따라서 sin`h`cos`h=-;4#; 

2 =-3 8 이므로     sin`h-3

cos`h +cos`h-3 sin`h

=sin`h(sin`h-3)+cos`h(cos`h-3) sin`h`cos`h

=sinÛ``h+cosÛ``h-3(sin`h+cos`h) sin`h`cos`h    

=1-3´ 12

- 38 = 43  y ❸

 4 3

채점 기준 비율

❶ sin`h+cos`h, sin h`cos h의 값을 구할 수 있다. 20%

❷ a의 값을 구할 수 있다. 40%

❸ 식의 값을 구할 수 있다. 40%

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42

^{정답 및 풀이}

Ⅱ. 삼각함수

05 삼각함수의 그래프

01 ^{삼각함수의 그래프}

본책 94~98쪽 유 제

1 ⑴ y= 12 sin`x의 그래프는 y=sin`x의 그래프를 y축의 방향

으로 1

2배 한 것이다.

따라서 y= 12  sin`x의 그래프는 다음 그림과 같고, 최댓값은  1

2 , 최솟값은 - 12 , 주기는  2p1 =2p이다.

x y y=sin`x y=;2!;`sin`x

-1 1

p 2p - 1 2;:;

;:;21 O

⑵ y=sin`4x의 그래프는 y=sin`x의 그래프를 x축의 방향으로 1

4 배 한 것이다.

따라서 y=sin`4x의 그래프는 다음 그림과 같고, 최댓값은 1, 최솟값은 -1, 주기는  2p

4 =p 2 이다.

x y

-1 1

p

y=sin`x y=sin`4x

;2Ò; ;2#;p O

⑶ y=sin {x- p4 }의 그래프는 y=sin`x의 그래프를 x축의 방 향으로 p

4 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 y=sin {x- p4 }의 그래프는 다음 그림과 같고, 최댓값 은 1, 최솟값은 -1, 주기는  2p

1 =2p이다.

x y

y=sin`x

y=sin`{x-;4Ò;}

-1 1

p 2p

;:;4p

;:;p5 4

;:;p9 4 O

 풀이 참조 2 ⑴ y= 14  cos`x의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 y축의 방

향으로 1

4 배 한 것이다.

따라서 y= 14 cos`x의 그래프는 다음 그림과 같고, 최댓값은  1

4 , 최솟값은 - 14 , 주기는  2p1 =2p이다.

x

y y=cos`x

y=;4!;`cos`x -1

1

;:;41 ;:;2 ;2#;pp -;:; 1 4

-;:; p 2 O

⑵ y=cos`3x의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 x축의 방향으로 1

3 배 한 것이다.

따라서 y=cos`3x의 그래프는 다음 그림과 같고, 최댓값은 1, 최솟값은 -1, 주기는  2p

3 =2 3p이다.

x y

O

y=cos`x 1

-1

y=cos`3x

;2Ò;

;6&;p

:Á6Á:p

⑶ y=cos(x+p)+1의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 x축의 방향으로 -p만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 y=cos(x+p)+1의 그래프는 다음 그림과 같고, 최 댓값은 2, 최솟값은 0, 주기는  2p

1 =2p이다.

x y

y=cos`x

y=cos`(x+p)+1

;2#;p2p

;2Ò;

-;2Ò;

-1 1 2

O

 풀이 참조

3 ⑴ y= 13  tan`x의 그래프는 y=tan`x의 그래프를 y축의 방

향으로 13 배 한 것이다.

따라서 y= 13 tan`x의 그래프는 다음 그림과 같고, 주기는   p

1 =p, 점근선의 방정식은 x=np+ p2 (n은 정수)이다.

-;2#;p

x y

;2#;p

;:;2p -;:; p 2

O y=;3!;`tan`x

y=tan`x

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본책



^{94 ~ 98쪽}

Ⅱ. 삼각함수

43

05

삼각함수의 그래프

⑵ y=tan`32 x의 그래프는 y=tan`x의 그래프를 x축의 방향으로  2

3배 한 것이다.

따라서 y=tan`3

2 x의 그래프는 다음 그림과 같고, 주기는    p

;2#;=2

3p, 점근선의 방정식은  32 x=np+ p2 ,

즉 x=2

3 np+ p3 (n은 정수)이다.

x y

-p p

;:;3p -;:; p 3

y=tan`;2#;x

y=tan`x O

⑶ y=tan`x-1의 그래프는 y=tan`x의 그래프를 y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 y=tan`x-1의 그래프는 다음 그림과 같고, 주기는   p

1 =p, 점근선의 방정식은 x=np+ p2 (n은 정수)이다.

x y

;2#;p

-;2#;p p

p ;:;2 -;:; 2

-1

y=tan`x

y=tan`x-1 O

 풀이 참조

4 주어진 함수의 최댓값이 4이고 a>0이므로

a+c=4 yy ㉠㉠㉠

주기가 p

3 이고 b>0이므로 2p

b =p

3 ∴ b=6 따라서 f(x)=a sin {6x-p

4 }+c에서 f { 524p}=1이므로 a sin { 54p- p4 }+c=1

a sin`p+c=1 ∴ c=1 c=1을 ㉠에 대입하면 a=3

 a=3, b=6, c=1

5 주어진 함수의 최댓값이 2이고 a>0이므로

a+c=2 yy ㉠㉠㉠

주기가  23 p이고 b>0이므로 2p

b =2

3p ∴ b=3

따라서 f(x)=a cos`3x+c에서 f {p

2 }=1이므로 a cos` 32 p+c=1 ∴ c=1

c=1을 ㉠에 대입하면 a=1

∴ a+b-c=1+3-1=3  3

6 주어진 함수의 그래프에서 주기는  p 4 -{-p

4 }=p 2 이고 b>0이므로

p b =p

2 ∴ b=2 따라서 y=a tan {2x-p

2 }+c이고 주어진 그래프가 점 {p 6 , 0} 을 지나므로

a tan {p 3 -p

2 }+c=0, a tan {-p

6 }+c=0 - '33 a+c=0 ∴ a='3c yy ㉠㉠㉠

또 주어진 그래프가 점 {p

4 , 1}을 지나므로 a tan {p

2 -p

2 }+c=1 ∴ c=1 c=1을 ㉠에 대입하면 a='3

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=('3 )Û`+2Û`+1Û`=8  8

7 ⑴ y=3|sin`2x|의 그래프는 y=3 sin`2x의 그래프에서 y¾0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대하여 대 칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

x y

O 3

-3

;2Ò; p -p-;2Ò;

y=3|sin`2x|

따라서 최댓값은 3, 최솟값은 0이다.

⑵  y=-3 cos|x|의 그래프는 y=-3 cos`x의 그래프에서 x¾0 인 부분만 남기고, x¾0인 부분을 y축에 대하여 대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

x y

O 3

-3

y=-3`cos`|x|

;2#;p

;2Ò;

-;2#;p -;2Ò;

⑵ 따라서 최댓값은 3, 최솟값은 -3이다.

 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 0-

⑵ 최댓값: 3, 최솟값: -3

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44

^{정답 및 풀이} 8 y=2|sin`x

4 |의 그래프는 y=2 sin`x

4 의 그래프에서 y¾0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대하여 대칭이동한 것 이므로 다음 그림과 같다.

x y y=2|sin`;4{;|

O 2

-2

4p -4p

따라서 최댓값은 2, 최솟값은 0이므로 M=2, m=0

∴ M+m=2  2

9 y=|cos`ax|+b의 그래프는 y=cos`ax의 그래프에서 y¾0 인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 것이다.

이때 y=|cos`ax|+b의 최댓값이 4이므로 1+b=4 ∴ b=3    

또 주기가 ;2Ò;이고 a>0이므로 p

a =p

2 ∴ a=2

∴ a+b=5  5

02 ^{삼각함수의 성질}

본책 101쪽 확 인

1 ⑴ sin`570ç=sin(90ç_6+30ç)=-sin`30ç=- 12

⑵ cos`330ç =cos(90ç_3+60ç)=sin`60ç= '3 2

⑶ sin` 143 p=sin {p 2 _9+p

6 }=cos`p6 ='3 2

⑷ tan` 154 p=tan {p 2 _7+p

4 }=-cot`p4 =-1

 ⑴ - 12 ⑵ '3

2 ⑶  '3

2 ⑷ -1

본책 102~104쪽 유 제

1 ⑴ sin`690ç=sin(90ç_7+60ç)=-cos`60ç=- 12 ,

⑴ cos`300ç=cos(90ç_3+30ç)=sin`30ç= 12 ,

⑴ tan`405ç=tan(90ç_4+45ç)=tan`45ç=1이므로

⑴  (주어진 식)=- 12 -1

2 -1=-2

⑵ sin` 103 p=sin {p 2 _6+p

3 }=-sin`p3 =-'3 2 ,

⑵ cos` 116 p=cos {p 2 _3+p

3 }=sin`p3 ='3 2 ,

⑵ tan` 56p=tan {p 2 _1+p

3 }=-cot`p3 =-'3 3이므로

⑵  (주어진 식)=- '3 2 +'3

2 -'3 3 =-'3

3

⑶ tan`65ç=tan(90ç-25ç)=cot`25ç,

⑴ tan`115ç=tan(90ç+25ç)=-cot`25ç이므로

⑴  (주어진 식)

=(tan`25ç+cot`25ç)Û`-(tan`25ç-cot`25ç)Û`

=4 tan 25ç`cot 25ç=4

⑷ sin`89ç=sin(90ç-1ç)=cos`1ç,

⑴ sin`88ç=sin(90ç-2ç)=cos`2ç,

⋮

⑴ sin`46ç=sin(90ç-44ç)=cos`44ç이므로

⑴  (주어진 식)

= sinÛ``1ç+sinÛ``2ç+y+sinÛ``44ç+sinÛ``45ç  +cos`44ç+y+cosÛ``2ç+cosÛ``1ç

= (sinÛ``1ç+cosÛ``1ç)+(sinÛ``2ç+cosÛ``2ç) +y+(sinÛ``44ç+cosÛ``44ç)+sinÛ``45ç

=44_1+{ '2 2 }Û`= 892

 ⑴ -2 ⑵ - '3

3 ⑶ 4 ⑷  892

2 cos {5

2 p+h}=-sin`h, sin(3p-h)=sin`h, sin { 32p+h}=-cos`h이므로

(주어진 식)

=cosÛ``h+(-sin`h)Û`+sinÛ``h+(-cos`h)Û`

=cosÛ``h+sinÛ``h+sinÛ``h+cosÛ``h=2  2

3 ⑴ y =4 sin`x+cos{x+p

2 }-2    

=4 sin`x-sin`x-2=3 sin`x-2 sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는

y=3t-2

따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 t=1일 때 최댓값은 1 이고, t=-1일 때 최솟값은 -5이다.

⑵ y =sin(x+p)-cos{x- p2 }-2    

=-sin`x-sin`x-2=-2 sin`x-2 

t y

O

-5 -1 1

1 y=3t-2

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본책



^{98 ~ 104쪽}

Ⅱ. 삼각함수

45

05

삼각함수의 그래프 sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고

주어진 함수는 y=-2t-2

따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 t=-1일 때 최댓값은 0이고, t=1일 때 최솟값은 -4이다.

⑶   cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는

⑴  y =-2|t+2|+3

=[-2t-1 (t¾-2) -2t+7 (t<-2)

⑴  따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 t=-1일 때 최댓 값은 1이고, t=1일 때 최솟값은 -3이다.

⑷  sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는

⑴  y = -2tt-2 =-2(t-2)-4

t-2

=- 4t-2-2

⑴  따라서 이 함수의 그래프는 위의 그림과 같으므로 t=1일 때 최댓값은 2이고, t=-1일 때 최솟값은 - 23 이다.

 ⑴ 최댓값: 1, 최솟값: -5 ⑵ 최댓값: 0, 최솟값: -4

⑶ 최댓값: 1, 최솟값: -3 ⑷ 최댓값: 2, 최솟값: - 23

다른 풀이 ⑴ y=4 sin`x+cos{x+ p2}-2=3 sin`x-2 -1Ésin`xÉ1이므로 -3É3 sin`xÉ3     ∴ -5É3 sin`x-2É1

⑵ y=sin(x+p)-cos{x- p2}-2=-2 sin`x-2 -1Ésin`xÉ1이므로 -2É-2 sin`xÉ2     ∴ -4É-2 sin`x-2É0

⑶ -1Écos`xÉ1이므로 1Écos`x+2É3 1É|cos`x+2|É3

    -6É-2|cos`x+2|É-2     ∴ -3É-2|cos`x+2|+3É1

⑷ y=-2 sin`x

sin`x-2 =- 4 sin`x-2 -2

-1Ésin`xÉ1에서 -3Ésin`x-2É-1이므로 -1É 1

sin`x-2 É-1 3 4

3É- 4 sin`x-2 É4     ∴ - 23 É- 4

sin`x-2 -2É2

t y O

-4

-1 1

y=-2t-2

t y

O 3

1 1

-3 -2 -1

-1 y=-2|t+2|+3

t y

2

-1 1 2

-2 -;3@;

O

y=-;:::;-2 t-2 4

4 cos`x4=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는

y =2|t|+1

=[-2t+1 (t¾0) -2t+1 (t<0)

따라서 이 함수의 그래프는 위의 그림과 같으므로 t=1 또는 t=-1일 때 최댓값은 3이고, t=0일 때 최솟값은 1이다.

따라서 M=3, m=1이므로 M+m=4

 4

5 ⑴ cosÛ``x=1-sinÛ``x, sin(2p-x)=-sin`x이므로 y =cosÛ``x-2 sin(2p-x)-2

=1-sinÛ``x+2 sin`x-2

=-sinÛ``x+2 sin`x-1 sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는

y =-tÛ`+2t-1

=-(t-1)Û`

따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 t=1일 때 최댓 값은 0이고, t=-1일 때 최솟값은 -4이다.

⑵ tan(p+x)=tan`x, tan { 32 p-x}=cot`x이므로

⑴ y =tanÛ``(p+x)+ 2  tan { 32p-x}

+4

=tanÛ``x+ 2cot`x +4

=tanÛ``x+2 tan`x+4

⑴ tan`x=t로 놓으면 -p

4ÉxÉ p4 에서 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는

⑴ y=tÛ`+2t+4=(t+1)Û`+3

⑴ 따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 t=1일 때 최댓값은 7이고, t=-1일 때 최솟값은 3이다.

 ⑴ 최댓값: 0, 최솟값: -4 ⑵ 최댓값: 7, 최솟값: 3-

6 sin {x+ 32p}=-cos`x, sin { p2-x}=cos`x이므로

y =sinÛ` {x+ 32 p}+cosÛ``x-2 sin {p

2 -x}+1 t y

O 3

1 1 -1

y=2|t|+1

t y

O

-1 1

-4

`y=-t²+2t-1

t y

O 3

-1 1 7 y=t²+2t+4

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46

^{정답 및 풀이}

=(-cos`x)Û`+cosÛ``x-2 cos`x+1

=2 cosÛ``x-2 cos`x+1 cos`x=t로 놓으면 - p2ÉxÉ p2에서 0ÉtÉ1이고 주어진 함수는 y =2tÛ`-2t+1

=2{t- 12 }Û`+ 12

따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과

같으므로 t=0 또는 t=1일 때 최댓값은 1이고, t= 12 일 때 최솟 값은 1

2 이다.

 최댓값: 1, 최솟값: 12

03 삼각방정식과 삼각부등식

본책 106~107쪽 확 인

1 ⑴ 다음 그림과 같이 0ÉxÉ2p에서 함수 y=cos`x의 그래프 와 직선 y= '3

2 의 교점의 x좌표는  p6 ,  116 p이다.

x y

O 2p

y=cos`x 1

-1

;:;6p ::;p11 6 '3 y= 2::;;

⑴ 따라서 주어진 방정식의 해는

⑴ x=p

6 또는 x=11 6 p

⑵ tan`x+1=0에서 tan`x=-1

오른쪽 그림과 같이 0ÉxÉ2p 에서 함수 y=tan`x의 그래프 와 직선 y=-1의 교점의 x좌 표는 3

4p,  74p이다.

따라서 주어진 방정식의 해는 x= 34 p 또는 x=7

4p

 ⑴ x=p

6 또는 x=11 6p

⑵ x=3

4p 또는 x= 74p t y

O 1

;2!;

;2!; 1 y=2t²-2t+1

x

y=-1 y=tan`x

y

p 2p

;4#;p ;4&;p

;2#;p

;:;2p O

2 ⑴ 부등식 cos`x¾1

2 의 해는 함수 y=cos`x의 그래프가 직선 y= 12과 만나는 부분 또는 직선보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다.

x y

O 2p

y=cos`x 1

-1

p;:3 ;:;p5 3 y=;2!;

⑴ 따라서 주어진 부등식의 해는

⑴ 0ÉxÉp

3 또는  53pÉx<2p

⑵ '3 tan`x-1>0에서 tan`x> '3 3 부등식 tan`x> '3

3 의 해는 함수 y=tan`x의 그래프가 직선 y= '33 보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다.

x y y=;::; '3 3

y=tan`x

;:;2p ;:;p7 6 ;:;p3 2

;:;6p p 2p

O

⑵ 따라서 주어진 부등식의 해는

⑵ p 6 <x<p

2 또는  76p<x< 32p

 ⑴ 0ÉxÉp

3 또는 5

3pÉx<2pp

⑵ p 6 <x<p

2 또는  76p<x< 32p

본책 108~111쪽 유 제

1 ⑴ x- p2 =t로 놓으면 0<x<2p에서 - p2<t<3

2p

⑴ 이고, 주어진 방정식은 sin`t=- '2 2

t y

O

;:;p3 2 '2 y=-;::; 2 -;2Ò;

;:;p5 4 -;4Ò;

p y=sin`t 1

-1

⑴ ∴ t=-p

4 또는 t=5 4p

⑴ 즉 x-p 2 =-p

4 또는 x-p 2 =5

4p이므로

⑴ x= p4 또는 x=7 4p

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본책



^{106 ~ 109쪽}

Ⅱ. 삼각함수

47

05

삼각함수의 그래프

⑵ 2x+ p3 =t로 놓으면 0<x<2p에서 p

3 <t<13 3p

⑴ 이고, 주어진 방정식은 cos`t= '3 2

t y

O -1 1

;::p11 6

;::p13 6

;::p13 3 '3

y= 2;::;

y=cos`t

;:;3p ;::p23 6

;::p25 6

⑴ ∴ t= 116 p 또는 t= 136p 또는 t= 236 p 또는 t= 256p

⑴ 즉 2x+ p3 =11

6 p 또는 2x+ p3 =13

6 p 또는 2x+ p3 =23 6 p 또는 2x+ p3 =25

6 p이므로

⑴ x= 34 p 또는 x=11

12p 또는 x= 74p 또는 x= 2312p

 ⑴ x= p4 또는 x= 74p-p

⑵ x= 34 p 또는 x=11

12p 또는 x= 74p 또는 x= 2312p

다른 풀이 ⑴ 2 sin {x-p

2 }=-'2 에서 -2 cos`x=-'2

∴ cos`x= '2 2

x y

O 1

-1

2p

;:;p7 4 '2 y= 2;::;

y=cos`x

;:;4p

따라서 주어진 방정식의 해는 x=p

4 또는 x=7 4p

2 ⑴  cos`{p

2 -x}=sin`x, sin`(p-x)=sin`x이므로 주어진 방정식은

sin`x+sin`x='3, 2 sin`x='3 ∴ sin`x= '3

2

따라서 주어진 방정식의 해는 x=p

3 또는 x=2 3p

⑵ x

3 =t로 놓으면 -p<x<p에서 -p

3 <t<p 3

이고, 주어진 방정식은 sin`t+cos`t=0

x y

O

y=sin`x

;:;3p 1

;:;p2 3 p '3 y= 2;::;

cos`t+0이므로 양변을 cos`t로 나

t y

p;:3 -;:; p 3

- p 4;:;

y=-1 y=tan`t

O 누면

sin`t

cos`t +1=0 ∴ tan`t=-1 ∴ t=-p

4

즉 x3=- p4이므로 x=- 34p

 ⑴ x=p

3 또는 x= 23 p ⑵ x=-3 4p

3 ⑴ 2 sinÛ``x-cos`x-1=0에서 2(1-cosÛ``x)-cos`x-1=0 2 cosÛ``x+cos`x-1=0 (cos`x+1)(2 cos`x-1)=0 ∴ cos`x=-1 또는 cos`x=1

2 Ú cos`x=-1일 때,

Ú 0Éx<2p이므로 Ú x=p Û cos`x= 12일 때, Û 0Éx<2p이므로 Û x= p

3 또는 x= 5 3p Ú, Û에서 주어진 방정식의 해는 x= p3 또는 x=p 또는 x= 53p

⑵ '3`tanÛ``x-4 tan`x+'3=0에서 ('3`tan`x-1)(tan`x-'3)=0 ∴ tan`x= '3

3 또는 tan`x='3 Ú tan`x= '33 일 때,

Ú - p2<x< p2이므로 Ú x= p6

Û tan`x='3일 때, Ú - p2<x< p2이므로 Ú x= p3

Ú, Û에서 주어진 방정식의 해는 x= p6 또는 x= p3

 ⑴ x= p3 또는 x=p 또는 x=5 3p

⑵ x= p6 또는 x=p 3

x y

O

y=cos`x y=-1 y=;2!;

1

-1

p 2p

;:;p5 3

;:;3p

x y

:;6p p

;:3p p :;2

-;:; 2 '3 y=;::; 3 y='3

O

y=tan`x

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48

^{정답 및 풀이}

4 2 sinÛ``x-sin(p-x)-3=0에서 2 sinÛ``x-sin`x-3=0

(sin`x+1)(2 sin`x-3)=0 ∴ sin`x=-1`(∵ -1Ésin`xÉ1)

x y

O

y=-1 y=sin`x

1

-1

p 2p

;:;p3 2

따라서 주어진 방정식의 해는 x=3

2 p  x= 32 p

5 2 cos`x-sec`x=1에서 2 cos`x- 1cos`x =1 양변에 cos`x를 곱하여 정리하면 2 cosÛ``x-cos`x-1=0 (2 cos`x+1)(cos`x-1)=0 ∴ cos`x=- 12 또는 cos`x=1 Ú cos`x=- 12일 때,

ÚÚ 0Éx<2p이므로 Ú x= 23p 또는 x= 43p Û cos`x=1일 때,

Ú 0Éx<2p이므로 Û x=0

Ú, Û에서 구하는 모든 해의 합은 2

3p+ 43p+0=2p  2p

6 ⑴ x- p6 =t로 놓으면 0Éx<2p에서 - p6 Ét<11

6 p 이고, 주어진 부등식은

2 cos`t¾'3 ∴ cos`t¾ '3 2

t y

O 1

-1

;::;p11 6 '3 y= 2;::;

y=cos`t

;:;6p -;:; p 6

위의 그림에서 cos`t¾ '3

2 을 만족시키는 t의 값의 범위는 - p6 ÉtÉp

6

x y

O 2p

y=cos`x y=1 1

-1

;:;p2 3 ;:;p4 3 y=-;2!;

즉 -p

6Éx- p6É p6이므로 0ÉxÉ p3

⑵ 부등식 cos`x<sin`x의 해는 y=sin`x의 그래프가 y=cos`x 의 그래프보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위이다.

x y

O

y=sin`x y=cos`x 1

-1

p 2p

;:;p5 4

;:;4p

⑵ 따라서 위의 그림에서 구하는 해는 p 4 <x<5

4p

 ⑴ 0ÉxÉp 3 ⑵ p

4 <x<5 4p 7 ⑴ 2 cosÛ` { p2-x}+5 cos`x+1>0에서

2 sinÛ``x+5 cos`x+1>0 2(1-cosÛ``x)+5 cos`x+1>0 2 cosÛ``x-5 cos`x-3<0 ∴ (2 cos`x+1)(cos`x-3)<0

cos`x-3<0이므로 2 cos`x+1>0 ∴ cos`x>- 12

x y

y=-;2!;

y=cos`x O

-1 1

4 2p

;:;p3

;:;p2 3

따라서 위의 그림에서 구하는 해는 0Éx< 23 p 또는 4

3p<x<2p

⑵ tanÛ``x+(1-'3)tan`x<'3 에서 tanÛ``x+(1-'3)tan`x-'3<0 (tan`x+1)(tan`x-'3)<0 ∴ -1<tan`x<'3

따라서 오른쪽 그림에서 구하는 해 는 -p

4 <x<p 3

 ⑴ 0Éx< 23 p 또는 4

3p<x<2p

⑵ -p 4 <x<p

3

8 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2(2 sin`h-1)x+4 sin`h-2=0 이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면

D

4 =(2 sin`h-1)Û`-(4 sin`h-2)=0 4`sinÛ``h-8 sin`h+3=0

(2 sin`h-1)(2 sin`h-3)=0 ∴ sin`h=1

2 (∵ -1Ésin`hÉ1)

x y

;:3p p:;2 -;:; p 2 -;:; p 4

y='3

y=-1 O

y=tan`x

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본책



^{109 ~ 112 쪽}

Ⅱ. 삼각함수

49

05

삼각함수의 그래프 h

y

O

y=;2!;

y=sin`h

2p -1

1

5 p

;:;p6

;:;6p

따라서 위의 그림에서 구하는 h의 값은 h=p

6 또는 h=5

6p  p

6 ,  56p 9 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2x tan`h+3=0이 허근을 가지므 로 판별식을 D라 하면

D

4 =tanÛ``h-3<0, (tan`h+'3 )(tan`h-'3 )<0 ∴ -'3<tan`h<'3

h y

;:;3p p p ;:;2

- 2;:;

-;:; p 3

y='3

y=-'3 O

y=tan`h

위의 그림에서 h의 값의 범위는 -p 3 <h<p

3 따라서 a=-p

3 , b= p3 이므로

b-a= 23p  2

3p

01

^전략 함수 f(x)는 주기가 4인 함수임을 이용한다.

풀이 조건 ㈎에 의하여

f(17)=f(13)=f(9)=y=f(-3) y ❶ 조건 ㈏에 의하여

f(-3) =sin`{ -3p

2 }=-sin`32p

=1 y ❷

∴ f(17)=f(-3)=1 y ❸

 1 011 02-1 03③ 04① 05④

06② 07'2 081-a-aÛ` 09⑤

10 2

3 p 11 ⁷_{4 p} 124 13-p

6 14④ 15④ 16③ 17 ¹³¹₆₅ 18③ 190 20 ^p_{3 Éh<}^p₂

중단원 연습 문제

본책 112~114쪽

02

^전략 y=sin`x와 y=cos`x의 그래프의 대칭성을 이용한다.

풀이 y=sin`x의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표를 a, b라 하면 b=p-a ∴ a+b=p

y=cos`x의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표를 c, d라 하면 d=2p-c ∴ c+d=2p

∴ sec(a+b+c+d) =sec`3p= 1 cos`3p

=-1  -1

03

^전략 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 참, 거짓을 판별한다.

풀이 f(x)=3 sin {x+ p2}-1의 그래프는 y=3 sin`x의 그래프 를 x축의 방향으로 -p

2 만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 한 것이다.

ㄱ. y=3 sin`x의 주기는 2p이므로 y=f(x)의 주기도 2p이다.

ㄱ. ∴ f(x+2p)=f(x)

ㄴ. -1Ésin {x+ p2}É1에서 -3É3 sin {x+p 2 }É3 ∴ -4É3 sin {x+ p2}-1É2

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 -4+2=-2 ㄷ. [반례] x= p2일 때,

ㄴ. f {p 2 -p

2 }=f(0)=3 sin {0+p 2 }-1=2 ㄴ. f {p

2 +p

2 }=f(p)=3 sin {p+p

2 }-1=-4 ㄴ. ∴ f {p

2 -x}+f {p 2 +x}

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ③

04

^전략 함수 y=tan(ax-b)의 그래프에서 주기와 함숫값을 이용한다.

풀이 주어진 함수의 그래프에서 주기가 3

2p이고 a>0이므로 p

a =3

2p ∴ a= 23

또 주어진 그래프가 점 { 34 p, 0}을 지나므로 0=tan { 23 ´3

4p-b} ∴ tan {p 2 -b}=0

채점 기준 비율

❶  f(17)=f(-3)임을 알 수 있다. 40%

❷  f(-3)의 값을 구할 수 있다. 50%

❸  f(17)의 값을 구할 수 있다.    10%

x y

O

y=sin`x

-1 1

p 2p

a b

y=k

y=cos`x c d

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50

^{정답 및 풀이}

이때 0<b<p에서 - p2< p2-b< p2이므로

p

2-b=0 ∴ b=p 2 ∴ ab= 23 ´p

2 =p

3  ①

05

^전략 주어진 함수의 주기와 최대´최소를 a, b, c로 나타낸다.

풀이 f(x)=a sin`bx+c의 최댓값은 6, 최솟값은 2이고 a>0이 므로 a+c=6, -a+c=2

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, c=4 또 주기가 p

3 이고 b>0이므로 2p

b =p

3 ∴ b=6

∴ a+b-c=2+6-4=4  ④

06

^전략 함수 y=|sin`ax|의 주기는 p|a|임을 이용한다.

풀이 f(x) =3|sin(2x-p)|+1=3|-sin`2x|+1

=3|sin`2x|+1 이 함수의 주기는 a=p 2

또 0É|sin(2x-p)|É1이므로 0É3|sin(2x-p)|É3 ∴ 1É3|sin(2x-p)|+1É4

따라서 b=4, c=1이므로 abc=p

2´4´1=2p  ②

07

^전략 삼각함수의 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

풀이 cos(p+h)=-cos`h, sin {p

2 -h}=cos`h, cos(3p-h)=-cos`h, sin(p+h)=-sin`h, sin(p-h)=sin`h, cos { 32p-h}=-sin`h이므로

f(h) =cos`h(-cos`h)

-cos`h +sin`h(-sin`h) -sin`h

=cos`h+sin`h ∴ f {p

4 }=cos`p 4 +sin`p

4

= '2 2 +'2

2 ='2  '2

08

^전략 삼각함수의 성질을 이용한다.

풀이 sinÛ``75ç=sinÛ``(90ç-15ç)=cosÛ``15ç 

=1-sinÛ``15ç=1-aÛ`,

cos`105ç=cos(90ç+15ç)=-sin`15ç=-a이므로 sinÛ``75ç+cos`105ç=1-a-aÛ`

 1-a-aÛ`

09

^전략 sin`x=t로 치환하여 주어진 식을 t에 대한 함수로 나타낸다.

풀이 sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 y = -t+3

t+4 =-(t+4)+7

t+4

= 7 t+4-1

따라서 이 함수의 그래프는 오른쪽

t y

-1

-1 1

-4

;5@; ;3$;

O -t+3

y= t+4;:::::;

그림과 같으므로 t=-1일 때 최댓 값은 4

3 이고, t=1일 때 최솟값은 2

5 이다.

따라서 M= 4 3 , m=2

5 이므로 15(M+m)=15{ 4 3 +2

5 }=26  ⑤

10

^전략 cos`x=t로 치환하여 주어진 식을 t에 대한 식으로 나타낸다.

풀이 f(x) =sinÛ``x-cos`x+1

=(1-cosÛ``x)-cos`x+1

=-cosÛ``x-cos`x+2 y ❶

cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수를 t에 대한 함수 g(t)로 나타내면

g(t)=-tÛ`-t+2=-{t+1 2 }Û`+ 94 따라서 t=- 12 에서 최댓값 9

4 , t=1에서 최솟값 0을 갖는다.

y ❷

즉 0Éx<2p에서 cos`x=- 12 이면 x= 23 p 또는 x=4

3p 이고, cos`x=1이면 x=0 따라서 a= 23 p, b=4

3p, c=0이므로

b-a+c= 23 p y ❸

 2 3p

11

^전략 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구한 후 조건을 만족시키는 h의 값 을 구한다.

풀이 y =-xÛ`-2x sin`h+cosÛ``h

=-(x+sin`h)Û`+sinÛ``h+cosÛ``h

=-(x+sin`h)Û`+1

따라서 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (-sin`h, 1) y ❶

채점 기준 비율

❶ f(x)를 cos`x에 대한 함수로 변형할 수 있다. 30%

❷ g(t)가 최댓값, 최솟값을 갖는 t의 값을 구할 수 있다. 30%

❸ b-a+c의 값을 구할 수 있다.       40%

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본책



^{112 ~ 114쪽}

Ⅱ. 삼각함수

51

05

삼각함수의 그래프 가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 x에 대한 이차방정식

xÛ`-2x sec`h-tan`h+3=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D

4 =secÛ``h-(-tan`h+3)>0

1+tanÛ``h+tan`h-3>0, tanÛ``h+tan`h-2>0 ∴ (tan`h+2)(tan`h-1)>0

이때 0<h<p

2 에서 tan`h+2>0이므로 tan`h-1>0 ∴ tan`h>1 오른쪽 그림에서 h의 값의 범위는 p

4 <h<p 2 따라서 a= p4 , b=p

2이므로 a+b=3

4 p  ④

15

^전략 삼각함수의 그래프의 성질을 이용한다.

풀이

y=4 sin`3x의 그래프가 x축과 만나는 점이 A(a, 0)이므로 4 sin`3a=0에서 sin`3a=0

0<a< p2에서 0<3a< 32p이므로 3a=p ∴ a=p

3 ∴ A{ p3, 0}

y=3 cos`2x의 그래프가 x축과 만나는 점이 B(b, 0)이므로 3 cos`2b=0에서 cos`2b=0

p

2 <b<p에서 p<2b<2p이므로 2b= 32p ∴ b= 34 p

∴ B{ 34 p, 0}

∴ ABÓ= 34 p-p 3 = 5

12p

또 -1Ésin`3xÉ1에서 -4É4 sin`3xÉ4이므로 점 P의 y좌표 의 최댓값은 4이다.

따라서 △ABP의 넓이의 최댓값은 1

2´ 512p´4= 56p  ④

16

^전략 삼각함수의 주기와 그래프의 대칭성을 이용한다.

h y

;:;4p p :;;2 y=1

O

y=tan`h

x y

O A B p

P y=4`sin`3x y=3`cos`2x 3

4

;:;3p

;:;2p ;:;p3 4 -4-3

직선 y='2x가 점 (-sin`h, 1)을 지나므로 -'2`sin`h=1, sin`h=- '2

2 ∴ h=7

4p {∵ 32 pÉh<2p} y ❷

 7 4p

12

^전략 방정식의 좌변을 인수분해한다.

풀이 2 sinÛ``x-2 sin x`cos x-sin`x+cos`x=0에서 2 sin`x(sin`x-cos x)-(sin`x-cos x)=0 (2 sin`x-1)(sin`x-cos x)=0

∴ sin`x= 12 또는 sin`x=cos x Ú sin`x= 12일 때,

Û 0Éx<2p이므로 Û x= p6 또는 x=5

6p Û sin`x=cos`x일 때, Û 0Éx<2p이므로 Û x= p4 또는 x=5

4p Ú, Û에서 주어진 방정식의 해는 x=p

6 또는 x=p

4 또는 x=5

6p 또는 x= 54p

이므로 해의 개수는 4이다.  4

13

^전략 한 종류의 삼각함수로 통일한 후 인수분해한다.

풀이 4 cosÛ``x-2('3-1)sin`x+'3-4>0에서 4(1-sinÛ``x)-2('3-1)sin`x+'3-4>0 4 sinÛ``x+2('3-1)sin`x-'3<0

(2 sin`x+'3)(2 sin`x-1)<0 ∴ - '3

2 <sin`x< 12 오른쪽 그림에서 -p

3 <x<p 6 따라서 a=-p

3 , b= p6 이므로 a+b=-p

6  -p

6

14

^전략 이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만 나면 이차방정식 f(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가짐을 이용한다.

풀이 x에 대한 이차함수 y=xÛ`-2x sec`h-tan`h+3의 그래프

채점 기준 비율

❶ 주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있다. 40%

❷ h의 값을 구할 수 있다.      60%

x y

O

y=sin`x

y=cos`x y=;2!;

1

-1

p 2p

;:;p5 4

;:;p5 6 p;:6p;:4

x y

O

y=;2!;

y=sin`x -;:; p 3

;:;6p p '3;:;2 y=- 2;::;

-;:; p 2 1

-1

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52

^{정답 및 풀이}

풀이 함수 f(x)=sin`kx {0ÉxÉ 5p

2k }의 주기가  2pk 이므로 b=p

k -a ∴ a+b= pk ∴ f(a+b+c) =f {p

k +c}=sin(p+kc)

=-sin`kc=-f(c)=- 34  ③

17

^전략 a+b=p임을 이용하여 식의 값을 구한다.

풀이 cos`a= 513 >0에서 a는 예각이므로 sin`a="Ã1-cosÛ``a=®É1-{ 513 }Û`= 1213 ∴ tan`a=sin`a

cos`a =12

5 y ❶

한편 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 a+b=p

∴ cos`b=cos(p-a)=-cos`a=- 513 y ❷ ∴ tan`a+cos`b= 125 +{- 5

13 }=131

65 y ❸

 131 65

18

^전략 10h=2p이고 cos`nh=cos(2p-nh) (n은 상수)임을 이용하 여 식을 간단히 한다.

풀이 ∠PÁOPª=h이고 단위원을 10등분하였으므로 10h=2p

∴ cos`h+cos`2h+cos`3h+y+cos`9h+cos`10h

=cos`h+cos`2h+cos`3h+cos`4h+cos`5h +cos(2p-4h)+cos(2p-3h) +cos(2p-2h)+cos(2p-h)+cos`2p

= 2 cos`h+2 cos`2h+2 cos`3h+2 cos`4h +cos`5h+cos`2p

= 2{cos`h+cos`2h+cos(p-2h)+cos(p-h)}

+cos`p+cos`2p

=2(cos`h+cos`2h-cos`2h-cos`h)+(-1)+1

=0  ③

19

^전략 삼각함수의 그래프의 대칭성을 이용한다.

풀이 0<x<2p에서 함수 y=cos`x의 그래프는 다음과 같다.

x y

O 1

-1

p 2p

`y=cos`x

a b

채점 기준 비율

❶ tan`a의 값을 구할 수 있다. 40%

❷ cos`b의 값을 구할 수 있다. 50%

❸ tan`a+cos`b의 값을 구할 수 있다.  10%

앞의 그림과 같이 0<a<2p, 0<b<2p에서 서로 다른 두 실수 a, b에 대하여 cos`a=cos`b이면

a+b=2p ∴ a=2p-b ∴ tan` a2 +tan`b

2 =tan`2p-b2 +tan`b2

=tan {p- b2 }+tan`b2

=-tan`b2+tan`b2

=0  0

20

^전략 방정식의 두 근이 양의 실근일 조건을 이용한다.

풀이 x에 대한 이차방정식 2xÛ`-4x sin`h+3 cos`h=0의 두 근 이 모두 양수이므로

Ú 판별식을 D라 할 때, D

4 =(2 sin`h)Û`-2´3 cos`h¾0

2 sinÛ``h-3 cos`h¾0, 2(1-cosÛ``h)-3 cos`h¾0 2 cosÛ``h+3 cos`h-2É0

∴ (cos`h+2)(2 cos`h-1)É0 cos`h+2>0이므로 2 cos`h-1É0 ∴ cos`hÉ1

2 오른쪽 그림에서 p

3ÉhÉ 53 p y ❶ Û 두 근의 합이 양수이므로

4 sin`h

2 >0 ∴ sin`h>0

∴ 0<h<p y ❷

Ü 두 근의 곱이 양수이므로 3 cos`h

2 >0 ∴ cos`h>0 ∴ 0Éh<p

2 또는 3

2p<h<2p y ❸ 이상에서 공통 범위를 구하면

p

3Éh< p2 y ❹

  p3Éh< p2 h y

O 1

-1

2p

;:;p5 3 y= 1 2;:;

y=cos`h

;:;3p

채점 기준 비율

❶   이차방정식의 두 실근이 존재할 조건을 만족시키는 h의 값의 범

위를 구할 수 있다. 40%

❷   두 근의 합이 양수일 조건을 만족시키는 h의 값의 범위를 구할 

수 있다. 20%

❸   두 근의 곱이 양수일 조건을 만족시키는 h의 값의 범위를 구할 

수 있다. 20%

❹ 답을 구할 수 있다.        20%

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본책



^{114 ~ 121쪽}

Ⅱ. 삼각함수

53

06

삼각함수의 미분

Ⅱ. 삼각함수

06 삼각함수의 미분

01 ^{삼각함수의 덧셈정리}

본책 117~120쪽 확 인

1 ⑴ sin`15ç=sin(45ç-30ç)

=sin 45ç`cos 30ç-cos 45ç`sin 30ç

= '2

2 ´ '32 -'2

2´ 12 ='6-'2 4

⑵ sin`75ç=sin(45ç+30ç)

=sin 45ç`cos 30ç+cos 45ç`sin 30ç

= '2

2´ '32 +'2

2 ´ 12 ='6+'2 4

⑶ cos`15ç=cos(45ç-30ç)

=cos 45ç`cos 30ç+sin 45ç`sin 30ç

= '2

2 ´ '32 +'2

2´ 12 ='6+'2 4

⑷ tan`105ç =tan(60ç+45ç)

= tan`60ç+tan`45ç 1-tan 60ç`tan 45ç

= '3+1

1-'3´1= ('3+1)Û`

(1-'3)(1+'3)

=-4+2'3

2 =-2-'3  ⑴ '6-'2

4 ⑵ '6+'2

4 ⑶ '6+'2

4 ⑷ -2-'3

2 ⑴ sin 20ç`cos 40ç+cos 20ç`sin 40ç =sin(20ç+40ç)

=sin`60ç= '3 2

⑵ cos 10ç`cos 35ç-sin 10ç`sin 35ç =cos(10ç+35ç)

=cos`45ç= '2 2

⑶ tan`70ç-tan`40ç

1+tan 70ç`tan 40ç =tan(70ç-40ç)

=tan`30ç= '3 3

 ⑴ '3

2 ⑵ '2 2 ⑶ '3

3

3 `p

2 <a<p에서 cos`a<0이므로

cos`a=-"Ã1-sinÛ``a=-®É1-{ 45 }<sup>2</sup>=- 35 , tan`a=sin`a

cos`a = 4 5 - 35 =- 43

⑴ sin`2a=2 sin a`cos a 

=2´ 45´{- 35 }=- 2425

⑵ cos`2a=cosÛ``a-sinÛ``a 

={- 35 }

2-{ 45 }

2=- 725

⑶ tan`2a= 2 tan`a 1-tanÛ``a=

2´{- 43 } 1-{- 43 }

2= 247

 ⑴ - 2425 ⑵ - 725 ⑶ 24 7

4 ⑴ sinÛ`` a2=1-cos`a 2 =1- 13

2 = 13

⑵ cosÛ``a

2 =1+cos`a 2 =1+ 13

2 = 23

⑶ tanÛ``a

2 =1-cos`a 1+cos`a =1- 13

1+ 13 = 12

 ⑴ 1

3 ⑵ 2 3 ⑶ 1

2 5 "Ã1Û`+(-1)Û`='2이므로

sin`h-cos`h='2 { 1'2 sin`h-1

'2 cos`h}

⑴ cos`a= 1

'2, sin`a=- 1 '2에서 a= 74 p

∴ sin`h-cos`h

='2 {cos` 74p`sin`h+sin` 74p`cos`h}

='2 sin {h+ 74p}

⑵ sin`b= 1

'2, cos`b=- 1 '2에서 b= 34 `p

∴ sin`h-cos`h

='2 {sin` 34p`sin`h+cos` 34p`cos`h}

='2 cos {h- 34p}

 ⑴ '2`sin {h+ 74 p} ⑵ '2`cos {h-3 4p}

본책 121~124쪽 유 제

1 0<a<p 2 , p

2 <b<p이므로 cos`a>0, sin`b>0 x y

O

-1 1

;4&;p '2

x y

O 1

-1

;4#;p '2

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54

^{정답 및 풀이}

∴ cos`a="Ã1-sinÛ``a=®É1-{ 13 }<sup>2</sup>=2'2 3 , ∴ sin`b="Ã1-cosÛ``b=¾¨1-{- '5

5 }

2=2'5 5 , ∴ tan`a= sin`acos`a ='2

4 , tan`b= sin`bcos`b =-2

⑴ sin(a-b) =sin a`cos b-cos a`sin b

= 13 ´{-'5 5 }-

2'2

3 ´ 2'55

=-'5-4'¶10 15

⑵ cos(a-b) =cos a`cos b+sin a`sin b

=2'2 3 ´{- '5

5 }+1

3´ 2'55

=2'5-2'¶10 15

⑶ tan(a+b) = tan`a+tan`b 1-tan a`tan b =

'24 -2

1- '2

4 ´(-2)

= '2-8

4+2'2=-9+5'2 2

 ⑴ -'5-4'¶10

15 ⑵ 2'5-2'¶10

15 ⑶ -9+5'2 2 2 이차방정식 xÛ`-3x-1=0의 두 근이 tan`a, tan`b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan`a+tan`b=3, tan a`tan b=-1 ∴ tan(a+b) = tan`a+tan`b

1-tan a`tan b

= 3

1-(-1)= 32  3

2

3 ∠ABC=a, ∠DBC=b라 하면 tan`a= 43 , tan`b=1

3

∴ tan`h=tan(a-b)= tan`a-tan`b 1+tan a`tan b

= 4 3 -1

3 1+ 43 ´1

3

= 9

13  9

13

4 2x+y-1=0에서 y=-2x+1 yy ㉠㉠㉠

x+3y+2=0에서 y=- 13 x-2

3 yy ㉡㉠㉠

두 직선 ㉠, ㉡이 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하 면

tan`a=-2, tan`b=- 13 두 직선 ㉠, ㉡이 이루는 예각의 크기

x y

O 1

㉠

㉡

-;3@; h b a

를 h라 하면

tan`h=tan(b-a)= tan`b-tan`a

1+tan`b`tan`a

= - 13 -(-2) 1+{- 13 }´(-2)=1 이때 h는 예각이므로 h=p

4  p

4

5 두 직선 y=2x-3, y= 14x+2가 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면

tan`a=2, tan`b= 14

∴ tan`h=tan(a-b)= tan`a-tan`b 1+tan a`tan b

= 2- 14 1+2´ 14

= 76

이때 secÛ``h=1+tanÛ``h이므로

36 secÛ``h=36 [1+{ 76 }²]=36´ 8536 =85

 85

6 ax-y-1=0에서 y=ax-1 yy ㉠㉠㉠

2x+3y-1=0에서 y=- 23 x+1

3 yy ㉡㉠㉠

두 직선 ㉠, ㉡이 x축의 양의 부분과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면

tan`a=a, tan`b=- 23

이때 두 직선 ㉠, ㉡이 이루는 예각의 크기가 p 4 이므로 |tan(a-b)|=tan`p

4

|tan`a-tan`b

1+tan a`tan b |=1, a+ 23 1- 23 a=Ñ1 a+ 23 =1-2

3 a 또는 a+ 23 =2 3 a-1 5

3 a=1 3 또는 1

3 a=-5 3 ∴ a= 15 또는 a=-5 이때 a가 양수이므로 a= 15

 1 5 x y

O -3 2

y=2x-3

y=;4!;x+2 ha b

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본책



^{121 ~ 127쪽}

Ⅱ. 삼각함수

55

06

삼각함수의 미분

7 sin`h+cos`h=3

4 의 양변을 제곱하면 sinÛ``h+2 sin h`cos h+cosÛ``h= 9

16 1+sin`2h= 9

16 ∴ sin`2h=- 7

16

 - 716

8 cosÛ``15ç-sinÛ``22.5ç = 1+cos`30ç

2 - 1-cos`45ç

2

= 1+ '3

2

2 -

1- '2 2 2

= '3+'24

 '3+'2 4 9 y =3a sin`x+4a cos`x

=5a { 35 sin`x+4

5 cos`x}

=5a sin(x+a) {단, sin`a= 45 , cos`a=3 5 } 이때 -1Ésin(x+a)É1이므로

-5aÉ5a sin(x+a)É5a (∵ a>0) 따라서 -5a=-10이므로

a=2

 2

10 y =3 cos`x+'3`sin {x- p3}

=3 cos`x+'3 {sin x`cos p3-cos x`sin p3 }

=3 cos`x+'3 { 12 sin`x-'3

2 cos`x}

=3 cos`x+ '3

2 sin`x- 32 cos`x

= '3

2 sin`x+ 32 cos`x

¾Ð{ '32 }Û`+{ 32 }Û`='3 이므로 y='3 {1

2 sin`x+'3 2 cos`x}

sin`a= '32 , cos`a= 12에서 a= p3

∴ y ='3 {cos p3`sin x+sin p3`cos x}

='3`sin {x+ p3}

이때 -1Ésin {x+p

3 }É1이므로

-'3É'3`sin {x+ p3}É'3 따라서 최댓값은 '3, 최솟값은 -'3이다.

 최댓값: '3, 최솟값: -'3 11 y =a sin`x+b cos`x+1

="ÃaÛ`+bÛ``{ a

"ÃaÛ`+bÛ` sin`x+ b

"ÃaÛ`+bÛ` cos`x}+1

="ÃaÛ`+bÛ``sin(x+a)+1 {단, sin`a= b

"ÃaÛ`+bÛ`, cos`a= a

"ÃaÛ`+bÛ`} 이때 -1Ésin(x+a)É1이므로

-"ÃaÛ`+bÛ`É"ÃaÛ`+bÛ``sin(x+a)É"ÃaÛ`+bÛ`

∴ -"ÃaÛ`+bÛ`+1É"ÃaÛ`+bÛ``sin(x+a)+1É"ÃaÛ`+bÛ`+1 따라서 최댓값은 "ÃaÛ`+bÛ`+1, 최솟값은 -"ÃaÛ`+bÛ`+1이므로 (1+"ÃaÛ`+bÛ`)(1-"ÃaÛ`+bÛ`)=-11

1-(aÛ`+bÛ`)=-11 ∴ aÛ`+bÛ`=12

 12

02 ^{삼각함수의 극한}

본책 125~126쪽 확 인

1 ⑴ lim

x 4Ú ;6Ò; sin`x=sin`p6= 12

⑵ lim

x 4Ú ;4Ò;

cos`x=cos`p 4 ='2

2

⑶ lim

x 4Ú ;3Ò; tan`x=tan`p 3 ='3

 ⑴ 1

2 ⑵ '2

2 ⑶ '3 2 ⑴ lim_{x 4Ú 0}`sin`3x

x =lim

x 4Ú 0`sin`3x 3x ´3

=1´3=3

⑵ lim_{x 4Ú 0}` tan`5x2x =lim

x 4Ú 0` tan`5x5x ´ 52

=1´ 52 =5 2

 ⑴ 3 ⑵ 52

본책 127~130쪽 유 제

1 ⑴ lim

x 4Ú 0`tan`x sin`x =lim

x 4Ú 0`sin`x cos`x ´ 1

sin`x =lim

x 4Ú 0` 1cos`x =1

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56

^{정답 및 풀이}

⑵ lim

x 4Ú ;4Ò;` 1-cot`xsin`x-cos`x =lim

x 4Ú ;4Ò;`

1-cos`x sin`x

sin`x-cos`x

=lim

x 4Ú ;4Ò;

` sin`x-cos`x

sin`x(sin`x-cos`x)

=lim

x 4Ú ;4Ò;

` 1sin`x ='2

⑶ lim

x 4Ú ;2#; p

` sin`2xcos`x =lim

x 4Ú ;2#; p

` 2 sin`x`cos`xcos`x = lim

x 4Ú ;2#; p

`2 sin`x=-2

⑷ lim

x 4Ú ;4Ò;` cos`2x1-tan`x = lim

x 4Ú ;4Ò;`cosÛ``x-sinÛ``x 1-sin`x

cos`x

=lim

x 4Ú ;4Ò;

`cos`x(cos`x+sin`x)(cos`x-sin`x) cos`x-sin`x

=lim

x 4Ú ;4Ò;

`cos`x(cos`x+sin`x)

= '2 2 {'2

2 + '2 2 }=1

 ⑴ 1 ⑵ '2 ⑶ -2 ⑷ 1

2 x+0일 때, -1Écos` 1xÉ1이므로

0É|cos` 1x|É1

∴ 0É|tan`x`cos` 1x|É|tan`x|

이때 lim

x 4Ú 0|tan`x|=0이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim

x 4Ú 0|tan`x`cos` 1x|=0 ∴ lim

x 4Ú 0`tan`x`cos` 1x=0  0 함수의 극한의 대소 관계

두 함수 f(x), g(x)에서 lim_{x 4Ú a}`f(x)=a, lim<sub>x 4Ú a</sub>`g(x)=b (a, b는 실수) 일 때, a에 가까운 모든 x의 값에서

① f(x)Ég(x)이면 aÉb

② 함수 h(x)에 대하여 f(x)Éh(x)Ég(x)이고 a=b이면 lim_{x 4Ú a}`h(x)=a

알짜 PLUS

3 ⑴ lim_{x 4Ú 0}`sin`3x+sin`5x sin`4x =lim

x 4Ú 0` sin`3x

3x ´3+ sin`5x5x ´5 sin`4x

4x ´4

= 1´3+1´51´4 =2

⑵ lim_{x 4Ú 0}` 1-cos`x xÛ` =lim

x 4Ú 0`(1-cos`x)(1+cos`x) xÛ`(1+cos`x)

=limx 4Ú 0` 1-cosÛ``x xÛ`(1+cos`x)

=limx 4Ú 0` sinÛ``x xÛ` ´ 1

1+cos`x

=1´ 12 =1 2

⑶ 3xç= p

180 ´3x=p

60 x(라디안)이므로

lim

x 4Ú 0` tan`3xç

tan`x+tan`2x =lim

x 4Ú 0` tan` p60 x

tan`x+tan`2x

=limx 4Ú 0`

tan` p60 x 60 xp

´ p60 tan`x

x + tan`2x2x ´2

= 1´ p60 1+1´2= p180

⑷ lim

x 4Ú 0` x

tan(sin`2x) =lim

x 4Ú 0` sin`2x

tan(sin`2x)´ 2xsin`2x ´1 2

=1´1´ 12= 12

 ⑴ 2 ⑵ 12 ⑶ p 180 ⑷ 12 4 ⑴ lim

x 4Ú 0`tan`3x e^x-1 =lim

x 4Ú 0`tan`3x 3x ´ x

e^x-1 ´3

=1´1´3=3

⑵ lim

x 4Ú 0`ln(1+2x)

sin`5x =lim<sup>x 4Ú 0</sup>`ln(1+2x)

2x ´ 5xsin`5x ´2 5

=1´1´ 25= 25

 ⑴ 3 ⑵ 25

e의 정의를 이용한 극한

① lim_{x 4Ú 0}`ln(1+x)

x =1 ② lim_{x 4Ú 0}` e^x-1 x =1 알짜 PLUS

5 ⑴ x-p=t로 놓으면 x=p+t이고 x`4Ú`p일 때 t`4Ú`0 이므로

lim

x 4Ú p` p-xsin`x =lim^t 4Ú 0` -t

sin(p+t)=lim

t 4Ú 0` tsin`t

=1

⑵ x-3=t로 놓으면 x=3+t이고 x`4Ú`3일 때 t`4Ú`0이므로 lim_{x 4Ú 3}`sin`px

xÛ`-9 =lim

t 4Ú 0`sin`p(3+t) (3+t)Û`-9

=limt 4Ú 0`sin`(3p+pt) tÛ`+6t

=limt 4Ú 0` -sin`pt t(t+6)

=-lim

t 4Ú 0` sin`ptpt ´ p t+6

=-1´ p6=- p6

⑶ 1

x=t로 놓으면 x= 1t이고 x`4Ú`¦일 때 t`4Ú`0이므로 lim

x 4Ú ¦`x`sin` 1x =limt 4Ú 0`sin`t t =1

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

^{127 ~ 130쪽}

Ⅱ. 삼각함수

57

06

삼각함수의 미분

⑷ x- p3 =t로 놓으면 x=p

3 +t이고 x`4Ú` p3일 때 t`4Ú`0이 므로

lim

x 4Ú ;3Ò;`sin(sin`6x) 3x-p =lim

t 4Ú 0`

sin[sin`6{;3Ò;+t}]

3{;3Ò;+t}-p

=limt 4Ú 0`sin{sin(2p+6t)}

3t

=limt 4Ú 0`sin(sin`6t) 3t

=limt 4Ú 0`sin(sin`6t)

sin`6t ´ sin`6t6t ´2

=1´1´2=2

 ⑴ 1 ⑵ -p

6 ⑶ 1 ⑷ 2

6 3x+1 =t로 놓으면 3x+1=¹ 1 t ∴ x= 13{1

t -1}

x`4Ú`¦일 때 t`4Ú`0이므로 lim

x 4Ú ¦`x`tan` 13x+1 =lim

t 4Ú 0` 13 {1

t -1} tan`t

=lim_{t 4Ú 0}` 13{tan`t

t -tan`t}

= 13{lim_{t 4Ú 0}`tan`t t -lim

t 4Ú 0`tan`t}

= 13 (1-0)=1

3  1

3 7 ⑴ x`4Ú`0일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자)`4Ú`0

이므로 (분모)`4Ú`0이다.

즉 lim

x 4Ú 0 ('Äax+b-2)=0이므로 'b-2=0, 'b=2 ∴ b=4 b=4를 주어진 식의 좌변에 대입하면 lim

x 4Ú 0` sin`2x 'Äax+4-2 =lim

x 4Ú 0` sin`2x('Äax+4+2) ('Äax+4-2)('Äax+4+2)

=limx 4Ú 0`sin`2x('Äax+4+2)

ax

=limx 4Ú 0` sin`2x2x ´ 2a´('Äax+4+2)

=1´ 2a´4=8 a 따라서 8

a =1이므로 a=8

⑵ x`4Ú`-p일 때 극한값이 존재하고 (분모)`4Ú`0이므로 (분자)`4Ú`0이다.

즉 lim_{x 4Ú -p} (a tan`x+b)=0이므로 a tan(-p)+b=0 ∴ b=0 b=0을 주어진 식의 좌변에 대입하면 lim

x 4Ú -p` a tan`xx+p

이때 x+p=t로 놓으면 x=-p+t이고 x`4Ú`-p일 때 t`4Ú`0이므로

lim

t 4Ú 0`a tan(-p+t) t =lim

t 4Ú 0` a tan`t

t

=a´1=a ∴ a=3

⑶ x`4Ú`3일 때 극한값이 존재하고 (분모)`4Ú`0이므로 (분자)`4Ú`0이다.

즉 lim

x 4Ú 3{a cos`p2x+b}=0이므로 a cos` 32 p+b=0 ∴ b=0 b=0을 주어진 식의 좌변에 대입하면

lim

x 4Ú 3`a cos`;2Ò; x 3-x

이때 x-3=t로 놓으면 x=3+t이고 x`4Ú`3일 때 t`4Ú`0이 므로

lim

t 4Ú 0`a cos [;2Ò; (3+t)]

-t =lim

t 4Ú 0`a cos {;2#; p+;2Ò; t}

-t

=-a lim

t 4Ú 0`sin`;2Ò; t

t

=-a lim

t 4Ú 0`sin`;2Ò; t

;2Ò; t ´ p2

=-a´1´ p2 =-p 2 a 따라서 - p2 a=2이므로 a=-4

p

⑷ x`4Ú`p일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자)`4Ú`0이므 로 (분모)`4Ú`0이다.

즉 lim

x 4Ú p (2ax-b)=0이므로

2ap-b=0 ∴ b=2ap yy ㉠㉠㉠

㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면

lim_{x 4Ú p}` cos`;2{;

2ax-2ap =lim

x 4Ú p` cos`;2{;

2a(x-p)

이때 x-p=t로 놓으면 x=p+t이고 x`4Ú`p일 때 t`4Ú`0이 므로

lim_{t 4Ú 0}`cos`p+t2 2at =lim

t 4Ú 0`cos {;2Ò;+;2!;t}

2at

=limt 4Ú 0`-sin`;2!; t 2at

=-lim

t 4Ú 0`sin`;2!; t

;2!; t ´;2!;

2a

=-1´ 14a =- 1 4a

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