정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면

연 습 문 제 실 력

U P

양변을 제곱하여 정리하면

kÛ`-2k=0, k(k-2)=0

∴ k=0 또는 k=2

이때 k=2이면 점 C(-3, 2)는 직선 AB 위의 점이 되므로 k=0

점 D의 좌표를 (p, q)로 놓으면 평행사변형 ABCD 의 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치하여야 하므로 { -1-32 , 3+0

2 }={-5+p 2 , 1+q

2 } -2= -5+p2 ∴ p=1

;2#;= 1+q2 ∴ q=2

∴ D(1, 2)

답

D(1, 2)

279

두 점 (a, -3), (3, a)를 지나는 직선의 기울기가 2 이므로

a-(-3)

3-a =2, a+3=2(3-a)

∴ a=1

따라서 기울기가 2이고 점 (1, -3)을 지나는 직선의 방정식은

y-(-3)=2(x-1)

∴ y=2x-5

답

①

280

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60ù이므로 (기울기)=tan 60ù='3

기울기가 '3이고 점 (1, -'3)을 지나는 직선의 방정 식은

y-(-'3)='3(x-1)

∴ y='3x-2'3 따라서 구하는 넓이는

;2!;_2_2'3=2'3

답

④

O x y

-2'3

c+a+ a+b+c3

3 이다.

즉 4a+4b+c

9 +4b+4c+a

9 +4c+4a+b

9 =15

9a+9b+9c 9 =15

∴ a+b+c=15

답

277

AGÓ ="(Ã1+3)Û`+(4-2)Û`

=2"5

무게중심 G는 ADÓ를 2 : 1로 내분하는 점이므로

AGÓ=;3@;ADÓ, 2'5=;3@;ADÓ

∴ ADÓ=;2#;_2'5=3'5

정삼각형 ABC의 높이가 3'5이므로 '32 ABÓ=3'5 ∴ ABÓ=2'¶15 따라서 정삼각형 ABC의 넓이는

'34 _(2'¶15)Û`=15'3

답

15'3

KEY

Point

284

직선 3x-ay+12=0에서 x절편은 -4 ∴ A(-4, 0) y절편은 12a ∴ B{0, 12

a }

△OAB의 넓이가 6이므로

;2!;_4_ 12a =6

∴ a=4

답

①

285

ax+by+c=0에서 y=- ab x-;bC;이므로 기울기 : -a

b , y절편 : -;bC;

ac>0, bc<0에서 a, b의 부호는 서로 다르므로 ab <0, ;bC;<0 ∴ -;bA;>0, -;bC;>0 따라서 기울기가 양수, y절편이 양 수인 직선의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 이 직선은 제 4사분면을 지나지 않는다.

답

③

286

⑴ 직선 5x+6y=1이 x축, y축 과 각각 만나는 점 A, B의 좌표는

A{;5!;, 0}, B{0, ;6!;}

따라서 직선 y=mx가

△OAB의 넓이를 이등분하려면 ABÓ의 중점을 지 나야 한다.

ABÓ의 중점의 좌표는 {;1Á0;, ;1Á2;}

직선 y=mx가 이 점을 지나므로

;1Á2;=;1Á0;m ∴ m=;6%;

⑵ 점 A를 지나고 △ABC의 넓이를 이등분하려면 직 선이 BCÓ의 중점을 지나야 한다.

B Y Z

O x

O B

A x

y y=mx

5x+6y=1 15 16

281

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù이므로 직 선의 기울기는 tan 45ù=1이다.

또한, 세 점이 한 직선 위에 있으므로 직선 AB, 직선 AC의 기울기도 1이 된다.

즉, 2-3

a+1 =1, b-3 4+1 =1 따라서 a=-2, b=8이므로 a+b=6

답

③

282

세 점 A(1, 1), B(-1, -a), C(a, 5)가 한 직선 위 에 있으므로

(직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기) -a-1-1-1 =5-1

a-1 , a+1 2 = 4

a-1 (a+1)(a-1)=8, aÛ`=9

∴ a=3 (∵ a>0)

따라서 두 점 A(1, 1), B(-1, -3)을 지나는 직선 의 방정식은

y-1= -3-1-1-1 (x-1)

∴ y=2x-1

답

③

283

x절편과 y절편의 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 x 절편을 a(a+0)라 하면 y절편은 -a이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은 xa + y

-a =1

∴ y=x-a yy ㉠

이 직선이 점 (2, -1)을 지나므로 -1=2-a ∴ a=3

a=3을 ㉠에 대입하면 y=x-3

이므로 y절편은 -3이다.

답

-3

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연 습 문 제 실 력

U P

BCÓ의 중점의 좌표는

{ 4+12 , 1+42 } ∴ {;2%;, ;2%;}

직선 y=kx+3이 이 점을 지나므로

;2%;=;2%;k+3 ∴ k=-;5!;

답

-;5!;

290

가로의 길이는 세로의 길이의 3배이므로 세로의 길이 를 a라 하면 가로의 길이는 3a이다.

직사각형의 둘레의 길이가 32이므로 2(a+3a)=32 ∴ a=4

따라서 가로의 길이는 12이고 세로의 길이는 4이므로 B(-8, -1), D(4, 3)

따라서 직선 BD의 방정식은

y+1= 3+14+8 (x+8) ∴ y=;3!;x+;3%;

답

③

291

점 B(a, b)라 하면 ABÓ와 직선 x+3y+1=0이 수직 이므로

(직선 AB의 기울기) _{-;3!;}=-1

b+4a-1 _{-;3!;}=-1

∴ 3a-b=7 yy ㉠

또 직선 x+3y+1=0이 ABÓ의 중점 { 1+a2 , -4+b

2 }를 지나므로 1+a2 +3´-4+b

2 +1=0

∴ a+3b=9 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=2

∴ B(3, 2)

답

⑤

A(1, -4)

B(a, b) x+3y+1=0

BCÓ의 중점의 좌표는

{ 2+42 , -3+52 } ∴ (3, 1)

따라서 구하는 직선은 두 점 A(1, 2), (3, 1)을 지 나므로

y-2= 1-23-1 (x-1) ∴ y=-;2!;x+;2%;

답

⑴ ;6%; ⑵ y=-;2!;x+;2%;

287

세 점 A(-1, 1), B(1, a), C(a, 5)가 삼각형을 이 루지 않으려면 세 점이 한 직선 위에 있어야 한다.

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 (직선 AB의 기울기)=(직선 BC의 기울기)

a-11+1 =5-a

a-1, (a-1)Û`=2(5-a) aÛ`=9 ∴ a=Ñ3

따라서 모든 a의 값의 합은 3+(-3)=0

답

288

직사각형의 두 대각선의 교점을 지나는 직선이 직사각 형의 넓이를 이등분한다.

두 직사각형의 대각선의 교점을 각각 A, B라 하면 A{ -3-12 , 2+62 } ∴ A(-2, 4) B{ 3+72 , -2-42 } ∴ B(5, -3) 따라서 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 y-4= -3-45+2 (x+2)

∴ y=-x+2

답

y=-x+2

289

직선 y=kx+3이 k의 값에 관계없이 점 A(0, 3)을 지나므로 △ABC의 넓이를 이등분하려면 BCÓ의 중점 을 지나야 한다.

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따라서 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 다음 과 같다.

Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행한 경우 ;a!;=;1@; ∴ a=;2!;

두 직선 ㉡, ㉢이 평행한 경우 ;a@;= -31 ∴ a=-;3@;

Û 세 직선이 한 점에서 만나는 경우

두 직선 ㉠, ㉡의 교점을 직선 ㉢이 지나면 된다.

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=1

따라서 직선 ㉢이 점 (2, 1)을 지나야 하므로 2a+1=0 ∴ a=-;2!;

Ú, Û에서 모든 a의 값의 곱은

;2!;´{-;3@;}´{-;2!;}=;6!;

답

;6!;

295

서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나누려면 오른쪽 그림과 같이 세 직선이 서로 평행해야 한다.

즉, 세 직선의 기울기가 같고 y절편이 달라야 한다.

직선 ax+y+5=0과 x+2y+3=0이 평행하므로

;1A;=;2!;+;3%; ∴ a=;2!;

직선 2x+by-4=0과 x+2y+3=0이 평행하므로

;1@;=;2B;+ -43 ∴ b=4

∴ ab=;2!;´4=2

답

296

점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하면 직 선 BC의 기울기는

6-42-8 =-;3!;이므로 직선 AD의 기울기는 3이다.

O x E C(2, 6) D

B(8, 4)

A(3, -1) y

292

직선 x+ay+1=0이 직선 2x-by+1=0에 수직이 므로

1´2+a´(-b)=0 ∴ ab=2

또 직선 x+ay+1=0이 직선 x-(b-3)y-1=0 에 평행하므로

;1!;= a

-(b-3) + 1

-1 ∴ a+b=3

∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=3Û`-2´2=5

답

293

세 직선

x+2y=3 yy ㉠

2x-3y-12=0 yy ㉡

ax+y=1 yy ㉢

로 둘러싸인 삼각형이 직각삼각형이 되려면 어느 두 직선이 수직이어야 한다.

세 직선 ㉠, ㉡, ㉢의 기울기가 각각 - 12 , ;3@;, -a이 므로 ㉠, ㉡은 수직이 아니다.

Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 수직일 때,

{-;2!;}_(-a)=-1 ∴ a=-2 Û 두 직선 ㉡, ㉢이 수직일 때,

;3@;_(-a)=-1 ∴ a=;2#;

Ú, Û에서 모든 a의 값의 합은 -2+;2#;=-;2!;

답

③

294

x+2y=4 yy ㉠

2x-3y=1 yy ㉡

ax+y=0 yy ㉢

직선 ㉠의 기울기는 -1

2 , 직선 ㉡의 기울기는 ;3@;로 두 직선 ㉠, ㉡은 평행하지 않으므로 세 직선이 모두 평행하지는 않다.

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연 습 문 제 실 력

U P

-x-2y-20=0 ∴ y=-;2!;x-10

따라서 a=-;2!;, b=-10이므로 ab=5

답

299

(k-1)x+(k+2)y-3=0 yy ㉠ ㄱ. ㉠을 k에 대하여 정리하면

(-x+2y-3)+(x+y)k=0

이 직선이 k의 값에 관계없이 지나는 점은 두 직선 -x+2y-3=0, x+y=0

의 교점이다.

두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=1

따라서 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 점 (-1, 1) 을 지난다. (참)

ㄴ. k=1을 ㉠에 대입하면 y=1

따라서 직선 ㉠은 x축에 평행하다. (참) ㄷ. k=-2를 ㉠에 대입하면 x=-1

따라서 직선 ㉠은 점 (0, -1)을 지나지 않는다.

(거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답

ㄱ, ㄴ

300

세 직선이 한 점에서 만나려면 직선 5x+2y+k=0이 두 직선 2x+3y-4=0, 3x-y+5=0의 교점을 지 나야 한다.

이때 두 직선 2x+3y-4=0, 3x-y+5=0의 교점 을 구하면 (-1, 2)이므로 x=-1, y=2를 5x+2y+k=0에 대입하면

5´(-1)+2´2+k=0 ∴ k=1

답

301

y=mx+2m-1을 m에 대하여 정리하면

(x+2)m-(y+1)=0 yy ㉠ 이므로 m의 값에 관계없이 점 (-2, -1)을 지난다.

따라서 직선 AD의 방정식은

y+1=3(x-3) ∴ y=3x-10 yy ㉠ 또 점 B에서 변 AC에 내린 수선의 발을 E라 하면 직선 AC의 기울기는 6-(-1)

2-3 =-7이므로 직선 BE의 기울기는 ;7!;이다.

따라서 직선 BE의 방정식은 y-4=;7!;(x-8)

∴ y=;7!;x+:ª7¼: yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;2(;, y=;2&;

따라서 구하는 세 수선의 교점의 좌표는 {;2(;, ;2&;}이다.

답

{;2(;, ;2&;}

KEY

Point

삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 그은

_수심

세 수선은 한 점에서 만나며 세 수선의 교점을 수심이라 한다.

297

주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (x-1)kÛ`+(2x-y)k+(x-1)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 x-1=0, 2x-y=0

∴ x=1, y=2

따라서 구하는 직선은 점 (1, 2)를 지나고 기울기가 3 인 직선이므로 y-2=3(x-1)에서 y=3x-1

답

③

298

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 -3x+4y-2+k(x-3y-9)=0 (k는 실수)

∴ (-3+k)x+(4-3k)y-2-9k=0 yy ㉠ 이 직선이 직선 2x-y=1에 수직이므로

(-3+k)´2+(4-3k)´(-1)=0 ∴ k=2 k=2를 ㉠에 대입하면

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303

(a+1)x-(a-3)y+a-15=0을 a에 대하여 정리 하면

(x-y+1)a+x+3y-15=0

이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x-y+1=0, x+3y-15=0

두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=4

∴ A(3, 4)

점 A에서 직선 2x-y+p=0까지의 거리가 '5이므로

|6-4+p|

"Ã2Û`+(-1)Û`='5

|2+p|=5 2+p=Ñ5

∴ p=-7 또는 p=3

답

-7

또는

304

두 직선 x+y+a=0, 3x-4y+6=0이 이루는 각 의 이등분선 위의 점 (1, 1) 에서 두 직선에 이르는 거리 가 같으므로

|1+1+a|

"Ã1Û`+1Û` = |3-4+6|

"Ã3Û`+(-4)Û`

|2+a|='2 2+a=Ñ'2

∴ a=-2Ñ'2

따라서 실수 a의 값의 합은 (-2+'2)+(-2-'2)=-4

답

-4

305

직선 y=3x+2에 평행하므로 구하는 직선의 방정식을 y=3x+k, 즉 3x-y+k=0 yy ㉠ 으로 놓을 수 있다.

또 직선 y=3x+2 위의 한 점 (0, 2)와 직선 ㉠ 사이 의 거리가`3'10

5 이므로

3x-4y+6=0

x+y+a=0 (1, 1)

오른쪽 그림과 같이 직

O x y 2 1

1 -1 -2

3 Ú Û

선 ㉠이 색칠한 부분과 만나도록 직선 ㉠을 움 직여 보면

Ú 직선 ㉠이 점 (3, 1)을 지날 때, 5m-2=0 ∴ m=;5@;

Û 직선 ㉠이 점 (1, 2)를 지날 때, 3m-3=0 ∴ m=1 Ú, Û에서 구하는 m의 값의 범위는

;5@;ÉmÉ1

따라서 a=;5@;, b=1이므로 5ab=2

답

302

mx-y-2m+3=0에서

(x-2)m-y+3=0 yy ㉠

이므로 이 직선은 m의 값에 관계없이 항상 점 (2, 3) 을 지난다.

오른쪽 그림과 같이 직 선 ㉠이 직선 2x-y+4=0과 제 2 사분면에서 만나도록 직선 ㉠을 움직여 보면

Ú 직선 ㉠이 점 (-2, 0)을 지날 때, -4m+3=0 ∴ m=;4#;

Û 직선 ㉠이 점 (0, 4)를 지날 때, -2m-1=0 ∴ m=-;2!;

Ú, Û에서 -;2!;<m<;4#;이므로 a=-;2!;, b=;4#;

∴ a+b=;4!;

답

;4!;

0 Y

YZ

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연 습 문 제 실 력

U P

308

⑴

O A(0, 1)

C(k, 3) h

B(2, -2) x y

밑변 AB의 길이는

ABÓ="Ã(2-0)Û`Ã+(-2-1)Û`='¶13 직선 AB의 방정식은

y+2= 1+20-2 (x-2) ∴ 3x+2y-2=0

△ABC의 높이 h는 점 C(k, 3)과 직선 AB 사이 의 거리이므로

h= |3k+6-2|

"Ã3Û`+2Û` = |3k+4|

'13 △ABC의 넓이가 8이므로

;2!;_'¶13_ |3k+4|'13 =8

|3k+4|=16, 3k+4=Ñ16 ∴ k=4 또는 k=-:ª3¼:

따라서 정수 k의 값은 4이다.

⑵ B(3, 2)

C(1, 1) A(2, 1)

O x

직선 OA의 방정식은 y= 12 x ∴ x-2y=0

점 C(1, 1)과 직선 OA 사이의 거리 h는 h= |1-2|

"Ã1Û`+(-2)Û`= 1 '5 OAÓ="Ã2Û`+1Û`='5

따라서 구하는 평행사변형의 넓이는 OAÓ´h='5´ 1

'5=1

답

⑴ 4 ⑵ 1

|-2+k|

"Ã3Û`+(-1)Û`=3'10 5

|-2+k|=6, -2+k=Ñ6

∴ k=8 또는 k=-4 이것을 ㉠에 대입하면 y=3x+8 또는 y=3x-4

답

y=3x+8

또는

y=3x-4

306

직선 3x+4y+1=0의 기울기는 - 34 이므로 이 직선 에 수직인 직선의 기울기는 ` 43 이다.

구하는 직선의 방정식을 y= 43 x+b라 하면 원점과 직 선 y= 43 x+b, 즉 4x-3y+3b=0 사이의 거리가 1 이므로

|3b|

"Ã4Û`+(-3)Û`=1, |3b|=5 3b=Ñ5 ∴ b=Ñ;3%;

따라서 구하는 직선의 방정식은 y=;3$;x+;3%; 또는 y=;3$;x-;3%;

답

y=;3$;x+;3%;

^또는

y=;3$;x-;3%;

307

x-2y-4+k(2x+y)=0에서

(2k+1)x+(k-2)y-4=0 yy ㉠ 점 (1, -2)와 직선 ㉠ 사이의 거리 f(k)는

f(k) = |2k+1-2k+4-4|

"Ã(2k+1)Û`Ã+(k-2)Û`

= 1

"Ã5kÛ`+5

f(k)의 분모가 최소일 때 f(k)의 값은 최대가 된다.

임의의 실수 k에 대하여 kÛ`¾0이므로 k=0일 때 분모 는 최솟값 '5를 갖는다.

따라서 f(k)의 최댓값은 1 '5= '55

답

'55

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311

2x-y-1=0 yy ㉠ x-2y+1=0 yy ㉡ x+y-5=0 yy ㉢

㉠, ㉡의 교점은 A(1, 1)

㉡, ㉢의 교점은 B(3, 2)

㉠, ㉢의 교점은 C(2, 3)

∴ ABÓ="Ã(3-1)Û`+Ã(2-1)Û`='5 또 직선 ㉡`과 점 C(2, 3) 사이의 거리는

|2-6+1|

"Ã1Û`+(-2)Û`= 3 '5 이므로 △ABC의 넓이는

;2!;_'5_ 3'5=;2#;

답

;2#;

참고

△ABC의 세 꼭짓점이 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£)일 때, △ABC의 넓이 S는

S=;2!;|x x

ª

xf x

y y

ª

yf y|

^{Û x좌표} _{Û y좌표}

=;2!;|xÁ yª+xª y£+x£ yÁ-xª yÁ-x£ yª-xÁ y£|

이 법칙은 볼록 n각형의 넓이에서도 그대로 적용된다.

312

직선 AB의 방정식은 y=9x-1

직선 y=a가 ABÓ, ACÓ와 만나는 점을 각각 D, E라 하면 점 D의 x좌표는

a=9x-1에서 x= a+19 이때 E(1, a)이므로 DEÓ=1- a+19 =8-a

9 , AEÓ=8-a 따라서 △ADE의 넓이는

;2!;´ 8-a9 ´(8-a)=;1Á8;(8-a)Û`

변 AC가 y축에 평행하므로 △ABC의 넓이는

x y

O A

B C

㉠

㉡

㉢

O D E

BC -1

1 A

y=a 8

x y

309

점 C에서 변 AB에 그은 수선은 y축이므로 수선의 방정식은

x=0 yy ㉠ 점 B에서 변 AC에 내린 수 선의 발을 D라 하면 직선 AC의 기울기는 4

2 =2이므로 직선 BD의 기울 기는 - 12 이다.

따라서 직선 BD의 방정식은 y=-;2!;(x-6)

∴ y=-;2!;x+3 yy ㉡

㉠, ㉡에서 △ABC의 수심의 좌표는 (0, 3)이다.

따라서 두 점 (0, 3), (1, 5)를 지나는 직선의 방정식 은

y-3= 5-31-0 (x-0)

∴ y=2x+3

따라서 m=2, n=3이므로 mÛ`+nÛ`=13

답

310

3x+y+2=0 yy ㉠

x+3y+k=0 yy ㉡

2x-y+3=0 yy ㉢

세 직선이 삼각형을 만들려면 평행한 직선이 없어야 하고 세 직선이 한 점에서 만나지 않아야 한다.

이때 ㉠, ㉡, ㉢ 중 어느 두 직선도 평행하지 않으므로 세 직선이 한 점에서 만나지 않으면 된다.

두 직선 ㉠, ㉢의 교점을 구하면 (-1, 1)이고 직선 ㉡ 이 이 점을 지나지 않아야 하므로

-1+3+k+0

∴ k+-2

답

k+-2

-2A 6B

D4C y

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연 습 문 제 실 력

U P

AQÓ=PQÓ=PBÓ이므로 오

른쪽 그림에서 점 P, Q의 x좌표는 OAÓ의 삼등분점 에 있고, 점 P, Q의 y좌

표는 OBÓ의 삼등분점에 있음을 알 수 있다.

∴ P{1, ;3@;}, Q{2, ;3!;}

따라서 직선 OP의 기울기는 2

3 , 직선 OQ의 기울기는 16 이므로 두 직선의 기울기의 합은

;3@;+;6!;=;6%;

답

;6%;

315

세 직선이 좌표평면을 6개의 부분으로 나누는 경우는 다음 그림과 같이 2가지 경우가 있다.

Ú ax-y=4가 x-y=2 또는 x+y=2와 평행할 때 a=1 또는 a=-1

Û 세 직선이 한 점에서 만날 때

x-y=2와 x+y=2의 교점의 좌표가 (2, 0)이 므로 직선 ax-y=4가 점 (2, 0)을 지나야 한다.

즉, 2a=4에서 a=2 Ú, Û에서 모든 a의 값의 합은 -1+1+2=2

답

316

xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0에서 {x+ A2 }Û`+{y+ B2 }Û`= AÛ`+BÛ`-4C4

이므로 원이 되기 위해서는 AÛ`+BÛ`-4C>0이어야 한다.

3 1

x x+3y-3=0 y

Q A B P

;2!;´8´1=4

△ADE의 넓이가 △ABC의 넓이의 ;2!;이므로

;1Á8;(8-a)Û`=;2!;´4 aÛ`-16a+28=0 (a-2)(a-14)=0

∴ a=2 또는 a=14

그런데 -1<a<8이므로 a=2

답

313

y=kx-2k+2에서

(x-2)k-y+2=0 yy ㉠

이므로 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 P(2, 2)를 지난다.

직선 ㉠이 △ABC와 만나지 않으려면 다음 그림의 색 칠한 부분에 직선이 위치해야 한다.

$ 

" 

1 

Y Z

# 

즉 (직선 PC의 기울기)<k<(직선 PA의 기울기) -1-23-2 <k<0

∴ -3<k<0

답

-3<k<0

314

직선 x+3y-3=0이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 점 A, B의 좌표는 각각

A(3, 0), B(0, 1)

ABÓ의 삼등분점을 각각 P, Q라 하면 원점을 지나는 두 직선이 직선 x+3y-3=0과 x축, y축으로 둘러싸 인 삼각형의 넓이를 삼등분하는 경우는 점 P, Q를 지 날 때이다.

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원의 넓이가 최소가 되려면 반지름의 길이가 최소가 되어야 한다.

"Ã5kÛ`-10k+15="Ã5(k-1)Û`+10

에서 k=1일 때 원의 반지름의 길이가 최소가 되므로 넓이가 최소가 될 때의 원의 중심의 좌표는

(2k, -k)=(2, -1)

답

⑤

320

직선이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심을 지나야 한다.

xÛ`+yÛ`-6x-8y+10=0에서 (x-3)Û`+(y-4)Û`=15

이므로 원의 중심 (3, 4)와 점 (1, 0)을 지나는 직선 의 방정식은

y= 4-03-1 (x-1) ∴ y=2x-2 따라서 구하는 y절편은 -2이다.

답

③

321

⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4-(xÛ`+yÛ`-4x+ky)=0 4x-ky-4=0

∴ y=;k$;x-;k$;

이 직선이 직선 y=x+3에 수직이므로

;k$;_1=-1 ∴ k=-4

⑵ x+3y+6=0 yy ㉠

5x+3y-6=0 yy ㉡

x-y+2=0 yy ㉢

직선 ㉠, ㉡의 교점은 (3, -3) 직선 ㉡, ㉢의 교점은 (0, 2) 직선 ㉠, ㉢의 교점은 (-3, -1)

세 직선의 교점 (3, -3), (0, 2), (-3, -1)을 지나는 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0 이라 하고, 세 교점의 좌표를 각각 대입하면

③ xÛ`+yÛ`+x+y+1=0에서 1+1-4=-2<0이 므로 원의 방정식이 아니다.

답

③

317

xÛ`+yÛ`+2x-4y+k+3=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`=-k+2

이 방정식이 원을 나타내려면 -k+2>0

∴ k<2 yy ㉠

xÛ`+yÛ`+2kx-6y+2kÛ`=0에서 (x+k)Û`+(y-3)Û`=-kÛ`+9

이 방정식이 원을 나타내려면 -kÛ`+9>0

∴ -3<k<3 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -3<k<2 따라서 정수 k는 -2, -1, 0, 1의 4개이다.

답

318

점 (2, 1)이 제 1사분면 위의 점이므로 점 (2, 1)을 지 나고 x축과 y축에 동시에 접하는 원은 제 1사분면에서 x축과 y축에 접한다.

이때 원의 반지름의 길이를 r(r>0)라 하면 원의 방 정식은

(x-r)Û`+(y-r)Û`=rÛ`

이 원이 점 (2, 1)을 지나므로 (2-r)Û`+(1-r)Û`=rÛ`

rÛ`-6r+5=0, (r-1)(r-5)=0

∴ r=1 또는 r=5 따라서 두 원의 넓이의 합은 p+25p=26p

답

⑤

319

xÛ`+yÛ`-4kx+2ky+10k-15=0에서 (x-2k)Û`+(y+k)Û`=5kÛ`-10k+15

이므로 중심이 점 (2k, -k)이고 반지름의 길이는

"Ã5kÛ`-10k+15이다.

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