답 31

연 습 문 제 실 력

U P

x²⁰¹⁸-1=(x-1)Û`Q(x)+ax+b‌ yy‌㉠

양변에‌x=1을‌대입하면 0=a+b‌ ‌

∴‌b=-a‌ yy‌㉡

㉡을‌㉠에‌대입하면

x²⁰¹⁸-1=(x-1)Û`Q(x)+ax-a‌ yy‌㉢

x²⁰¹⁸-1=(x-1)(x²⁰¹⁷+x²⁰¹⁶+y+x+1) 이므로‌㉢의‌양변을‌x-1로‌나누면

x²⁰¹⁷+x²⁰¹⁶+y+x+1=(x-1)Q(x)+a 양변에‌x=1을‌대입하면

a=2018

이를‌㉡에‌대입하면‌b=-2018

따라서‌구하는‌나머지는‌2018x-2018이다.

답

⑴x+1⑵2018x-2018

KEY

Point

곱셈공식의변형

=(x+1)(x-1)Q₁(x)+ax+b‌ yy‌㉡

㉠의‌양변에‌x=1,‌x=-1을‌각각‌대입하면 6=2Q(1)-2‌(∵‌f(1)=6)

∴‌Q(1)=4

6=2Q(-1)+2‌(∵‌f(-1)=6)

∴‌Q(-1)=2

㉡의‌양변에‌x=1,‌x=-1을‌각각‌대입하면

a+b=4‌ ‌ ‌ yy‌㉢

-a+b=2‌ ‌ ‌ yy‌㉣

㉢,‌㉣을‌연립하여‌풀면 a=1,‌b=3

따라서‌Q(x)를‌xÛ`-1로‌나누었을‌때의‌나머지는‌

x+3이다.

답

x+3

41

삼차식‌f(x)를‌xÛ`+x+1로‌나누었을‌때의‌몫은‌일차 식이므로

f(x)=(xÛ`+x+1)(ax+b)‌(a,‌b는‌상수,‌a+0) 로‌놓으면‌f(0)=4이므로‌b=4

∴‌f(x)=(xÛ`+x+1)(ax+4)‌ yy‌㉠

또‌f(x)+12를‌xÛ`+2로‌나누었을‌때의‌몫은‌일차식 이므로

f(x)+12=(xÛ`+2)(ax+c)‌(c는‌상수) 로‌놓으면‌f(0)=4이므로

4+12=2c‌ ‌ ∴‌c=8

∴‌f(x)+12=(xÛ`+2)(ax+8)

∴‌f(x)=(xÛ`+2)(ax+8)-12‌ yy‌㉡

㉠,‌㉡에서‌

(xÛ`+x+1)(ax+4)=(xÛ`+2)(ax+8)-12

∴‌‌‌axÜ`+(a+4)xÛ`+(a+4)x+4‌

=axÜ`+8xÛ`+2ax+4 이‌등식은‌x에‌대한‌항등식이므로 a+4=8,‌a+4=2a‌ ‌ ∴‌a=4

따라서‌f(x)=(xÛ`+x+1)(4x+4)이므로‌

f(1)=3´8=24

답

24

38

f(1)=f(2)=f(3)=5에서

f(1)-5=0, f(2)-5=0, f(3)-5=0

이므로 f(x)-5는‌x-1,‌x-2,‌x-3을‌인수로‌갖 는다.

이때‌f(x)는‌최고차항의‌계수가‌1인‌삼차식이므로 f(x)-5=(x-1)(x-2)(x-3)

∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+5 따라서‌f(x)를‌x-4로‌나누었을‌때의‌나머지는 f(4)=(4-1)(4-2)(4-3)+5=11

답

11

39

⑴‌주어진‌등식의‌양변에‌x=1을‌대입하면

‌ 1=a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤‌ yy‌㉠‌

‌ ∴‌a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤=1

⑵‌주어진‌등식의‌양변에‌x=-1을‌대입하면

‌ -27=a¼-aÁ+aª-a£+a¢-a°+a¤‌ yy‌㉡

‌ ㉠+㉡을‌하면

‌ -26=2(a¼+aª+a¢+a¤)

‌ ∴‌a¼+aª+a¢+a¤=-13

답

⑴1⑵-13

KEY

Point

복잡한항등식에서의계수의합

{ f(x)}Ç`=a¼+aÁx+aªxÛ`+y+aÇxÇ`의양변에x=1,

x=-1을각각대입하여두식을더하거나빼서계수의합

을구한다.

40

다항식‌f(x)를‌xÛ`+1로‌나누었을‌때의‌몫이‌Q(x),‌

나머지가‌-2x이므로

f(x)=(xÛ`+1)Q(x)-2x‌ yy‌㉠

이때 f(x)를‌xÛ`-1로‌나누었을‌때의‌나머지가‌6이므로 f(1)=6,‌f(-1)=6

한편‌Q(x)를‌xÛ`-1로‌나누었을‌때의‌몫을‌Q₁(x),‌

나머지를‌ax+b`(a,‌b는‌상수)라‌하면 Q(x)‌‌=(xÛ`-1)Q₁(x)+ax+b‌ ‌

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연 습 문 제 실 력

U P

=(x-3){(x-3)Q(x)+3Ç`‌}

이‌등식은‌x에‌대한‌항등식이므로 xÇ`(x+3+a)=(x-3)Q(x)+3Ç`

양변에‌x=3을‌대입하면 3Ç`(6+a)=3Ç`

3Ç`+0이므로‌6+a=1‌ ‌

∴‌a=-5

㉡에서‌b=6

답

④

44

x(x+1)(x+2)(x+3)-8

={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8

=(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)-8

=X(X+2)-8‌ ‌ Û

‌xÛ`+3x=X로‌치환

=XÛ`+2X-8

=(X+4)(X-2)

=(xÛ`+3x+4)(xÛ`+3x-2)

∴‌a=4,‌b=-2‌또는‌a=-2,‌b=4

∴‌a+b=2

답

2

45

f(x)=xÝ`-4xÜ`-xÛ`+16x+a라‌하면‌f(x)가‌x-1 로‌나누어떨어지므로

f(1)=1-4-1+16+a=0

∴‌a=-12

∴‌f(x)=xÝ`-4xÜ`-xÛ`+16x-12 1 1 -4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 2 1 -3 -4 12 0 2 -2 -12 1 -1 -6 0

∴‌f(x)‌‌=(x-1)(x-2)(xÛ`-x-6)‌ ‌

=(x-1)(x-2)(x-3)(x+2) 따라서‌다항식의‌인수가‌아닌‌것은‌④이다.

답

④

42

⑴‌2¹⁰⁰⁴=(2Ü`)Ü`Ü`Ý`´2Û`=4´8Ü`Ü`Ý`

8=x라‌하면‌7=x-1이므로‌2¹⁰⁰⁴을‌7로‌나눈‌나 머지는‌4x³³⁴을‌x-1로‌나눈‌나머지와‌같다.

이때‌4x³³⁴을‌x-1로‌나누었을‌때의‌몫을‌Q(x),‌

나머지를‌R라‌하면

4xÜ`Ü`Ý`=(x-1)Q(x)+R‌ yy‌㉠

㉠의‌양변에‌x=1을‌대입하면‌

R=4

따라서‌2¹⁰⁰⁴을‌7로‌나누었을‌때의‌나머지는‌4이다.

⑵‌‌‌7=x라‌하면‌6=x-1이므로‌7Ü`â`+7Û`â`+7을‌6으로‌

나누었을‌때의‌나머지는‌xÜ`â`+xÛ`â`+x를‌x-1로‌나 누었을‌때의‌나머지와‌같다.

이때‌xÜ`â`+xÛ`â`+x를‌x-1로‌나누었을‌때의‌몫을‌

Q(x),‌나머지를‌R라‌하면 xÜ`â`+xÛ`â`+x=(x-1)Q(x)+R 양변에‌x=1을‌대입하면 R=3

‌ ‌‌따라서‌7Ü`â`+7Û`â`+7을‌6으로‌나누었을‌때의‌나머지 는‌3이다.

답

⑴4⑵3

43

xÇ`(xÛ`+ax+b)를‌(x-3)Û`으로‌나누었을‌때의‌몫을‌

Q(x)라‌하면‌나머지가‌3Ç`(x-3)이므로‌

xÇ`(xÛ`+ax+b)

=(x-3)Û`Q(x)+3Ç`(x-3)‌ yy‌㉠

양변에‌x=3을‌대입하면 3Ç`(9+3a+b)=0 3Ç`+0이므로‌9+3a+b=0

∴‌b=-3a-9‌ yy‌㉡

∴‌xÛ`+ax+b‌=xÛ`+ax-3a-9‌ ‌

=(xÛ`-9)+a(x-3)‌ ‌

=(x-3)(x+3+a)

㉠에서

xÇ`(x-3)(x+3+a)

=(x-3)Û`Q(x)+3Ç`(x-3)

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=2xÛ`-(y+4)x-(y+1)(y-2)

=(x-y-1)(2x+y-2)

따라서‌a=1,‌b=-1,‌c=2,‌d=1이므로‌

a+b+c+d=3

답

3

49

(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc

=abc+caÛ`+aÛ`b+bÛ`c+abc+abÛ`+bcÛ`+cÛ`a

‌ +abc-abc

=(b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bÛ`c+bcÛ`

=(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c)

=(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)

=12

이때‌a+b=2,‌b+c=3이므로 3´2´(a+c)=12‌ ‌ ∴‌a+c=2

답

2

50

f(x)=xÜ`+xÛ`-5x+3으로‌놓으면 f(1)=1+1-5+3=0

이므로‌x-1은‌f(x)의‌인수이다.

따라서‌조립제법을‌이용하여‌f(x)를‌x-1로‌나누었 을‌때의‌몫을‌구하면

1 1 1 -5 3 1 2 -3 1 2 -3 0

∴‌xÜ`+xÛ`-5x+3‌‌=(x-1)(xÛ`+2x-3)‌ ‌

=(x-1)Û`(x+3)

즉,‌밑면의‌반지름의‌길이는‌x-1,‌높이는‌x+3이므 로‌구하는‌겉넓이는

2p(x-1)Û`+2p(x-1)(x+3)

=2(x-1)(x-1+x+3)p

=4(x-1)(x+1)p

=4(xÛ`-1)p

답

②

46

f(x)=xÝ`+axÜ`+bxÛ`+11x-6이라‌하면‌f(x)가‌

x-1,‌x-2를‌인수로‌가지므로 f(1)=1+a+b+11-6=0

∴‌a+b=-6‌ yy‌㉠

f(2)=16+8a+4b+22-6=0

∴‌2a+b=-8‌ yy‌㉡

㉠,‌㉡을‌연립하여‌풀면 a=-2,‌b=-4

f(x)=xÝ`-2xÜ`-4xÛ`+11x-6이므로‌조립제법을‌

이용하여 f(x)를‌인수분해하면 1 1 -2 -4 11 -6 1 -1 -5 6 2 1 -1 -5 6 0 2 2 -6 1 1 -3 0

∴‌f(x)=(x-1)(x-2)(xÛ`+x-3) 따라서‌Q(x)=xÛ`+x-3이므로 Q(-2)=4-2-3=-1

답

-1

47

xÞ`+xÜ`+ax+b가‌(x+1)Û`으로‌나누어떨어지므로‌조 립제법을‌이용하면

-1 1 0 1 0 `a b -1 1 -2 `2 -a-2 -1 1 -1 2 -2 a+2 -a+b-2 -1 2 -4 `6

1 -2 4 -6 a+8

∴‌-a+b-2=0,‌a+8=0

∴‌a=-8,‌b=-6

∴‌a+b=-14

답

-14

48

주어진‌식을‌x에‌대하여‌내림차순으로‌정리하면 2xÛ`-(y+4)x-(yÛ`-y-2)

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연 습 문 제 실 력

U P

⑵‌-(2x-3)Ü`=(3-2x)Ü`이고

‌ (x-1)+(x-2)+(3-2x)=0이므로

‌ (x-1)Ü`+(x-2)Ü`-(2x-3)Ü`

‌ =3(x-1)(x-2)(3-2x)

⑶‌(a-b-1)+(b-c-2)+(c-a+3)=0이므로

‌ (a-b-1)Ü`+(b-c-2)Ü`+(c-a+3)Ü`

‌ =3(a-b-1)(b-c-2)(c-a+3)

답 풀이



참조 KEY

Point

aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc

=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) 

이때a+b+c=0이면aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc

53

(분자)

=(b-a)cÛ`+(c-b)aÛ`+(a-c)bÛ`

=bcÛ`-acÛ`+aÛ`c-aÛ`b+abÛ`-bÛ`c

=(c-b)aÛ`-(cÛ`-bÛ`)a+bcÛ`-bÛ`c

=(c-b)aÛ`-(c+b)(c-b)a+bc(c-b)

=(c-b){aÛ`-(c+b)a+bc}

=(c-b)(a-b)(a-c)

=(a-b)(b-c)(c-a)

∴‌(주어진‌식)=(a-b)(b-c)(c-a) (a-b)(b-c)(c-a)=1

답

1

54

⑴‌2004=x로‌놓으면

‌ 2005(2004Û`-2003)

2003_2004+1 ‌‌=(x+1){xÛ`-(x-1)}

(x-1)x+1 ‌ ‌

= (x+1)(xÛ`-x+1)xÛ`-x+1 ‌ ‌

=x+1=2004+1=2005

⑵‌(분자)‌=2Þ`â`-2Ý`Þ`+2Þ`-1‌ ‌

=2Ý`Þ`(2Þ`-1)+(2Þ`-1)‌ ‌

=(2Þ`-1)(2Ý`Þ`+1)

‌ ∴‌(주어진‌식)‌‌‌‌=(2Þ`-1)(2Ý`Þ`+1)

2Ý`Þ`+1 ‌ ‌

=2Þ`-1=31

51

⑴‌xÞ`-xÝ`-3x+3

x-1 ‌‌=xÝ`(x-1)-3(x-1)

x-1 ‌ ‌

=(x-1)(xÝ`-3) x-1 ‌ ‌

=xÝ`-3‌ ‌

‌=(2-'3)Û`-3‌ ‌

=4-4'3+3-3‌ ‌

=4-4'3

⑵‌a+b+c=0이므로

‌ aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc

‌ =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)

‌ =0

‌ ∴‌aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc

‌ ∴‌ aÜ`+bÜ`+cÜ`6abc = 3abc6abc =;2!;

⑶‌aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc에서‌

‌ aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0

‌ (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0

‌ 이때‌a>0,‌b>0,‌c>0이므로‌a+b+c+0

‌ ∴‌aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0 ;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0

‌ ∴‌a-b=0,‌b-c=0,‌c-a=0

‌ ∴‌a=b=c

‌ ∴‌‌‌a+b+c- abc -bc a -ca

b ‌ ‌

=a+a+a-a-a-a‌ ‌

=0

답

⑴4-4'3⑵;2!;⑶0

52

⑴‌8xÜ`-27yÜ`-18xy-1

‌ =(2x)Ü`+(-3y)Ü`+(-1)Ü`

‌ -3´2x´(-3y)´(-1)

‌ ={2x+(-3y)+(-1)}

 _{(2x)Û`+(-3y)Û`+(-1)Û`-2x´(-3y)

‌ -(-3y)´(-1)-(-1)´2x}

‌ =(2x-3y-1)(4xÛ`+6xy+9yÛ`+2x-3y+1)

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56

aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc

=(a+b)Ü`-3ab(a+b)+cÜ`-3abc

=(a+b)Ü`+cÜ`-3ab(a+b+c)

=‌{(a+b)+c}{(a+b)Û`-(a+b)c+cÛ`}‌

‌ -3ab(a+b+c)‌

=(a+b+c)(aÛ`+2ab+bÛ`-ac-bc+cÛ`-3ab)

=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)

답 풀이



참조

57

2010=x로‌놓으면

2010Ý`-2_2010Û`-3_2010-2 2010Ü`-2010Û`-2012

= xÝ`-2xÛ`-3x-2xÜ`-xÛ`-(x+2)

(분자)=f(x)=xÝ`-2xÛ`-3x-2로‌놓으면

f(-1)=0이므로‌조립제법을‌이용하여‌f(x)를‌인수 분해하면

-1 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 1 -1 -1 -2 0

∴‌(분자)=(x+1)(xÜ`-xÛ`-x-2)

∴‌(주어진‌식)‌‌=1511211211132(x+1)(xÜ`-xÛ`-x-2)xÜ`-xÛ`-x-2 ‌ ‌

=x+1‌ ‌

=2010+1‌ ‌

=2011

답

③

58

a+b+c=0에서‌b+c=-a,‌c+a=-b,‌

a+b=-c이므로

aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b)=-aÜ`-bÜ`-cÜ`

aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc

=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)이므로 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0‌(∵‌a+b+c=0)

∴‌aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc=3×(-5)=-15

⑶‌100=x로‌놓으면

‌ 'Ä100_102_104_106+16

‌ ="Ãx(x+2)(x+4)(x+6)+16

‌ ="Ã{x(x+6)}{(x+2)(x+4)}+16

‌ ="Ã(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16

‌ ="ÃX(X+8)+16

Û‌xÛ`+6x=X로‌치환

‌ ="ÃXÛ`+8X+16

‌ ="Ã(X+4)Û`

‌ =X+4=xÛ`+6x+4

‌ =10000+600+4

‌ =10604

답

⑴2005⑵31⑶10604

55

xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1

=xÛ`‌{xÛ`-4x+5-;[$;+ 1xÛ` }‌

=xÛ`[{xÛ`+ 1xÛ` }-4{x+;[!;}+5]

=xÛ`‌[{x+;[!;}Û`-4{x+;[!;}+3]

x+;[!;=t라‌하면‌

{x+;[!;}Û`-4{x+;[!;}+3

=tÛ`-4t+3=(t-1)(t-3)

={x+;[!;-1}{x+;[!;-3}

∴‌‌‌(주어진‌식)

‌ =xÛ`‌{x+;[!;-1}{x+;[!;-3}

‌ =x{x+;[!;-1}´x{x+;[!;-3}

‌ =(xÛ`-x+1)(xÛ`-3x+1)

답

(xÛ`-x+1)(xÛ`-3x+1)

KEY

Point

가운데 항을 중심으로 각 항의

xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1

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