226
이차부등식 (a-3)xÛ`-2(a-3)x-2>0의 해가 존 재하지 않으려면 모든 실수 x에 대하여
(a-3)xÛ`-2(a-3)x-2É0
Ú a-3<0 ∴ a<3 yy ㉠ Û 이차방정식 (a-3)xÛ`-2(a-3)x-2=0의 판별
식을 D라 하면
;;4;D;={-(a-3)}Û`-(a-3)´(-2)É0 aÛ`-4a+3É0, (a-1)(a-3)É0
∴ 1ÉaÉ3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위는 1Éa<3
답
1Éa<3227
이차부등식 2xÛ`-ax-a+6<0이 해를 가지려면 방 정식 2xÛ`-ax-a+6=0이 서로 다른 두 실근을 가 져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(-a)Û`-4´2(-a+6)>0
aÛ`+8a-48>0 (a+12)(a-4)>0
∴ a<-12 또는 a>4
답
a<-12또는
a>4228
이차함수 y=-2xÛ`-3x+1의 그래프가 직선 y=ax+b보다 위쪽에 있으면
-2xÛ`-3x+1>ax+b에서
2xÛ`+(a+3)x+b-1<0 yy ㉠
http://hjini.tistory.com
그런데 [x]는 정수이므로 [x]=-4, -3, -2, -1, 0, 1 [x]=-4일 때, -4Éx<-3 [x]=-3일 때, -3Éx<-2 `⋮
[x]=1일 때, 1Éx<2 따라서 구하는 해는 -4Éx<2
⑶ [x]Û`+5[x-1]-1<0에서 [x-n]=[x]-n이므로 [x]Û`+5([x]-1)-1<0 [x]Û`+5[x]-6<0 ([x]+6)([x]-1)<0
∴ -6<[x]<1 그런데 [x]는 정수이므로
[x]=-5, -4, -3, -2, -1, 0 [x]=-5일 때, -5Éx<-4 [x]=-4일 때, -4Éx<-3 `⋮
[x]=0일 때, 0Éx<1 따라서 구하는 해는 -5Éx<1
답
⑴-2Éx<2 ⑵-4Éx<2⑶-5Éx<1
233
⑴ 2xÛ`-5x+2¾0에서 (2x-1)(x-2)¾0 ∴ xÉ;2!; 또는 x¾2 yy ㉠
2xÛ`-3x-5É0에서 (2x-5)(x+1)É0 ∴ -1ÉxÉ;2%; yy ㉡
-1 ;2!; 2 ;2%; x
㉠
㉡ ㉠
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1ÉxÉ;2!; 또는 2ÉxÉ;2%;
-1ÉxÉ2에서 f(x)>0이 항
O
-1 2 x
y
상 성립하려면 y=f(x)의 그래 프가 오른쪽 그림과 같아야 한 다. 즉 f(2)>0에서
-aÛ`+4>0, aÛ`-4<0 (a+2)(a-2)<0
∴ -2<a<2
따라서 정수 a는 -1, 0, 1의 3개이다.
답
3231
한 대의 가격을 x만 원 인상하면 한 대의 가격은 (20+x)만 원, 예상 판매량은 (90-3x)대가 된다.
총 판매액이 1872만 원 이상이 되려면 (20+x)(90-3x)¾1872
-3xÛ`+30x-72¾0, xÛ`-10x+24É0 (x-4)(x-6)É0 ∴ 4ÉxÉ6
따라서 한 대의 가격은 (20+4)만 원 이상 (20+6) 만 원 이하, 즉 24만 원 이상 26만 원 이하로 정하면 된다.
답
③232
⑴ [x]Û`+[x]-6<0에서 ([x]+3)([x]-2)<0
∴ -3<[x]<2 그런데 [x]는 정수이므로 [x]=-2, -1, 0, 1
[x]=-2일 때, -2Éx<-1 [x]=-1일 때, -1Éx<0 [x]=0일 때, 0Éx<1 [x]=1일 때, 1Éx<2 따라서 구하는 해는 -2Éx<2
⑵ 4[x]Û`+12[x]-27<0에서 (2[x]+9)(2[x]-3)<0 ∴ -;2(;<[x]<;2#;
http://hjini.tistory.com
확 인 체 크 념 원 리 익 히 기
234
[xÛ`-6x+8>0 yy ㉠
xÛ`-(6-a)x-6aÉ0 yy ㉡
㉠에서 (x-2)(x-4)>0
∴ x<2 또는 x>4
㉡에서 (x+a)(x-6)É0 Ú -a>6일 때, 6ÉxÉ-a Û -a<6일 때, -aÉxÉ6
㉠, ㉡의 해의 공통부분이 4<xÉ6이 되도록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
-a 4 6
2
㉠ ㉡ ㉠
x
따라서 실수 a의 값의 범위는 2É-aÉ4 ∴ -4ÉaÉ-2
답
-4ÉaÉ-2235
[xÛ`-5x-6É0 yy ㉠
xÛ`-(1-a)x-a>0 yy ㉡
㉠에서 (x+1)(x-6)É0 ∴ -1ÉxÉ6
㉡에서 (x+a)(x-1)>0
Ú -a<1일 때, x<-a 또는 x>1 Û -a>1일 때, x<1 또는 x>-a
㉠, ㉡의 해의 공통부분이 1<xÉ6이 되도록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
-a -1 1 6 x
㉡ ㉠ ㉡
따라서 실수 a의 값의 범위는 -aÉ-1 ∴ a¾1
답
a¾1236
[xÛ`-x-6>0 yy ㉠
2xÛ`-(2a+3)x+3a<0 yy ㉡
㉠에서 (x+2)(x-3)>0
⑵ |x-2|<4에서 -4<x-2<4
∴ -2<x<6 yy ㉠ -xÛ`+x+12<0에서 xÛ`-x-12>0
(x+3)(x-4)>0
∴ x<-3 또는 x>4 yy ㉡
-3 -2 4 6 x
㉡ ㉡
㉠
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 4<x<6
⑶ -2x-7<xÛ`-15에서 xÛ`+2x-8>0 (x+4)(x-2)>0
∴ x<-4 또는 x>2 yy ㉠ xÛ`-15É-2x에서 xÛ`+2x-15É0
(x+5)(x-3)É0
∴ -5ÉxÉ3 yy ㉡
-5 -4 2 3 x
㉡
㉠ ㉠
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -5Éx<-4 또는 2<xÉ3
⑷ |xÛ`-4x-6|É6에서 -6ÉxÛ`-4x-6É6
[-6ÉxÛ`-4x-6 yy ㉠
xÛ`-4x-6É6 yy ㉡
㉠에서 xÛ`-4x¾0, x(x-4)¾0
∴ xÉ0 또는 x¾4 yy ㉢
㉡에서 xÛ`-4x-12É0
(x+2)(x-6)É0 ∴ -2ÉxÉ6 yy ㉣
-2 0 4 6 x
㉢ ㉢
㉣
㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 -2ÉxÉ0 또는 4ÉxÉ6
답
⑴-1ÉxÉ12
또는
2ÉxÉ;2%;⑵4<x<6
⑶-5Éx<-4
또는
2<xÉ3⑷-2ÉxÉ0
또는
4ÉxÉ6http://hjini.tistory.com
-2, -1, 0, 1, 2의 5개이므로 조건을 만족하지 않는다.
-2 -1 0 1 2 3 a 5 x
㉡ ㉡
㉠
Ú, Û, Ü에서 연립부등식을 만족하는 정수 x가 4개 가 되려면
-1<aÉ0
답
-1<aÉ0238
xÛ`+ax+aÛ`-3=0의 판별식을 DÁ이라 하면 이 방정 식이 실근을 가지므로
DÁ=aÛ`-4(aÛ`-3)¾0 -3aÛ`+12¾0, aÛ`-4É0
∴ -2ÉaÉ2 yy ㉠
xÛ`+ax+a=0의 판별식을 Dª라 하면 이 방정식이 허근을 가지므로
Dª=aÛ`-4a<0
a(a-4)<0 ∴ 0<a<4 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<aÉ2
답
0<aÉ2239
세 변의 길이는 모두 양수이므로 x>0, x+1>0, x+2>0
∴ x>0 yy ㉠
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 x+2<x+(x+1)
∴ x>1 yy ㉡
예각삼각형이 되려면 (x+2)Û`<xÛ`+(x+1)Û`
xÛ`-2x-3>0 (x+1)(x-3)>0
∴ x<-1 또는 x>3 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 x>3
답
x>3∴ x<-2 또는 x>3
㉡에서 (2x-3)(x-a)<0
Ú a< 32 이면 a<x<;2#;이 되어 x=4는 해가 될 수 없다.
Û a=;2#;이면 (2x-3)Û`<0이 되어 해가 없다.
Ü a>;2#;이면 ;2#;<x<a
연립부등식을 만족시키는 정수 x의 값이 4만 되도록
㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
-2 3 4 5 x
;2#; a
㉠ ㉠
㉡
따라서 구하는 실수 a의 값의 범위는 4<aÉ5
답
4<aÉ5237
[xÛ`-3x-10É0 yy ㉠
xÛ`-(a+3)x+3a>0 yy ㉡
㉠에서 (x+2)(x-5)É0
∴ -2ÉxÉ5
㉡에서 (x-3)(x-a)>0 Ú a<3이면 x<a 또는 x>3
다음 그림에서 ㉠, ㉡을 만족시키는 정수 x가 4개, 즉 -2, -1, 4, 5가 되려면 실수 a의 값의 범위는
a
-2-1 0 1 2 3 4 5 x
㉡ ㉡
㉠
-1<aÉ0
Û a=3이면 (x-3)Û`>0이 되어 해가 x+3인 모든 실수이다. 이때 ㉠, ㉡을 만족하는 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5의 7개이므로 조건을 만족하지 않는다.
Ü a>3이면 x<3 또는 x>a
다음 그림에서 ㉠, ㉡을 만족하는 정수 x는 최소
http://hjini.tistory.com
확 인 체 크 념 원 리 익 히 기
Û f(-2)=4-4a+3a>0에서a<4 yy ㉡
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-a이므로 -a<-2 ∴ a>2 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 3Éa<4
답
3Éa<4243
f(x)=xÛ`-2(m-4)x+2m이라 하면 f(x)=0의 두 근 사이에 2가 있으므로 f(2)<0이어야 한다.
4-4(m-4)+2m<0
∴ m>10
답
m>10244
f(x)=xÛ`-4x+k-1이라 하면 f(x)=0의 두 근이 모두 0과 3 사이에 있으므로 f(x)=0의 판별식을 D 라 할 때
D¾0, f(0)>0, f(3)>0, 0<(대칭축)<3
Ú ;;4;D;=(-2)Û`-(k-1)¾0에서 kÉ5 yy ㉠ Û f(0)=k-1>0에서 k>1 yy ㉡ f(3)=9-12+k-1>0에서 k>4 yy ㉢ Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=2이고
0<2<3이므로 항상 성립
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 4<kÉ5
답
4<kÉ5245
f(x)=xÛ`+2(a+1)x+a+2
-1 1 x
라 하면 주어진 조건을 만족시 키는 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.
Ú f(-1)>0이므로 1-2(a+1)+a+2>0
∴ a<1 yy ㉠
240
⑴ f(x)¾g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위 이므로 -3ÉxÉ2
⑵ f(x)g(x)>0이면
f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0 Ú f(x)>0, g(x)>0인 x의 값의 범위는 0<x<3
Û f(x)<0, g(x)<0인 x의 값의 범위는 x<-2
Ú, Û에서 x<-2 또는 0<x<3
답
⑴-3ÉxÉ2⑵x<-2
또는
0<x<3241
f(x)=xÛ`-kx+k+3이라 하면 f(x)=0의 두 근이 모두 -3보다 크므로 f(x)=0의 판별식을 D라 할 때 D¾0, f(-3)>0, (대칭축)>-3
Ú D=kÛ`-4(k+3)¾0에서
kÛ`-4k-12¾0, (k+2)(k-6)¾0
∴ kÉ-2 또는 k¾6 yy ㉠ Û f(-3)=9+3k+k+3>0에서
k>-3 yy ㉡
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=;2K;이므로 ;2K;>-3 ∴ k>-6 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 -3<kÉ-2 또는 k¾6
답
-3<kÉ-2또는
k¾6242
f(x)=xÛ`+2ax+3a라 하면 f(x)=0의 두 근이 모 두 -2보다 작으므로 f(x)=0의 판별식을 D라 할 때 D¾0, f(-2)>0, (대칭축)<-2
Ú ;;4;D;=aÛ`-3a¾0에서 a(a-3)¾0
∴ aÉ0 또는 a¾3 yy ㉠
http://hjini.tistory.com
Ú f(-3)>0이므로 9-3a+2a-4>0
∴ a<5 yy ㉠
Û f(0)<0이므로 2a-4<0
∴ a<2 yy ㉡
Ü f(2)>0이므로 4+2a+2a-4>0
∴ a>0 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 0<a<2
답
0<a<2 Û f(1)<0이므로1+2(a+1)+a+2<0
∴ a<-;3%; yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 a<-;3%;
답
a<-;3%;246
f(x)=xÛ`+ax+2a-4라 하
-3 2 x
b a
0
면 주어진 조건을 만족시키는 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
http://hjini.tistory.com
확 인 체 크 념 원 리 익 히 기
은 거리에 있으므로 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`(a-2)Û`+(-a+2-3)Û`
=(a-1)Û`+(-a+2-4)Û`
aÛ`-4a+4+aÛ`+2a+1=aÛ`-2a+1+aÛ`+4a+4 -4a=0 ∴ a=0
a=0을 ㉠에 대입하면 b=2
∴ ab=0
답
0251
△ABC의 세 변의 길이를 각각 구하면 ABÓ="Ã1Û`+(-2-1)Û`='10 BCÓ="Ã(3-1)Û`+(2+2)Û`='20 CAÓ="Ã(-3Ã)Û`+Ã(1-Ã2)Û`='10 ABÓ Û`=10, BCÓ Û`=20, CAÓ Û`=10이므로 BCÓ Û`=ABÓ Û`+CAÓ Û`
따라서 △ABC는 ∠A=90ù인 직각삼각형이므로 그 넓이는
;2!;_ABÓ_CAÓ=;2!;_'10_'10=5
답
5252
점 A와 y축에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(-1, 9)
0 Y
Z
"
"
1 #
APÓ=AÕ'PÓ이므로 APÓ+BP Ó=AÕ'PÓ+BPÓ
¾AÕ'BÓ
="Ã(5+1)Û`+(1-9)Û`
=10
따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 10이다.