연 습 문 제 실 력
U P
∴"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1=2'6(∵"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1>0)
답
⑴;2&; ⑵2'6다른풀이
⑵xÛ`-4x+1=0의두근이a,b이므로a+b=4,ab=1 yy㉠
또aÛ`-4a+1=0, bÛ`-4b+1=0
∴aÛ`+1=4a, bÛ`+1=4b
∴"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1 ='§4a+'§4b
=2('a+'b)
여기서
('a+'b)Û`
=a+b+2'¶ab(∵㉠에서a>0,b>0)
=4+2'1
=6
∴'a+'b='6(∵'a+'b>0)
∴"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1=2'6
116
두근의차가1이므로두근을a,a+1이라하면근과
계수의관계에의하여
a+(a+1)=1-m yy㉠
a(a+1)=m yy㉡
㉠에서m=-2a를㉡에대입하면 a(a+1)=-2a
aÛ`+3a=0,a(a+3)=0
∴a=0또는a=-3 a=0일때,m=0 a=-3일때,m=6 Úm=0일때,
a=0이므로두근은0,1이다.
Ûm=6일때,
a=-3이므로두근은-3,-2이다.
Ú,Û에서두근의비가3：2인경우는m=6일때 이다.
∴mÛ`-3m=36-18=18
답
18㉠의해를a, b,㉡의해를c, d라하면
a+b=-(a-2) c+d=-(a-2)
즉a+b+c+d=-2(a-2) 모든근의합이0이므로
-2(a-2)=0 ∴a=2
119
xÛ`-4x+k=0의두근이a, b이므로근과계수의관 계에의하여
a+b=4, ab=k yy㉠
|a|+|b|=6의양변을제곱하면
|a|Û`+2|a||b|+|b|Û`=36 aÛ`+2|ab|+bÛ`=36
(a+b)Û`-2ab+2|ab|=36 yy㉡
㉠을㉡에대입하면4Û`-2k+2|k|=36
∴k-|k|=-10 Úk¾0일때,
k-k=-10, 0´k=-10
이를만족시키는k는존재하지않는다.
Ûk<0일때,
k+k=-10 ∴k=-5 Ú,Û에서k=-5
답
-5120
axÛ`+bx+c=0에서갑은이차항의계수를잘못보고
풀었으므로b, c의값은바르게보았다.
-;cB;={-;aB;}Ö;aC;
=(두근의합)Ö(두근의곱)
=(1-'6)+(1+'6) (1-'6)(1+'6) =-;5@;
∴c=;2%;b yy㉠
을은상수항을잘못보고풀었으므로a,b의값은바르 게보았다.
따라서두근의합은
양변을제곱하여정리하면
mÛ`-6m=0, m(m-6)=0
∴m=0또는m=6
KEY
Point이차방정식axÛ`+bx+c=0의두근을a,b라하면
⇨|a-b|= "Ã
bÛ`-4ac|a|
(단,a,a,b는실수)
117
이차방정식xÛ`+x-4=0의두근은a,b이므로 a+b=-1,ab=-4
f(a)=f(b)=1에서
f(a)-1=f(b)-1=0이므로
이차방정식 f(x)-1=0의두근이a,b이고 이차식 f(x)의이차항의계수가1이므로 f(x)-1=(x-a)(x-b)=xÛ`+x-4
∴f(x)=xÛ`+x-3
답
f(x)=xÛ`+x-3118
|xÛ`+(a-2)x-2|=1에서
xÛ`+(a-2)x-2=1또는xÛ`+(a-2)x-2=-1
∴xÛ`+(a-2)x-3=0또는xÛ`+(a-2)x-1=0 이때주어진방정식의모든근의합은두이차방정식 의모든근의합과같다.
xÛ`+(a-2)x-3=0에서근과계수의관계에의하여
두근의합은-(a-2)
xÛ`+(a-2)x-1=0에서근과계수의관계에의하여
두근의합은-(a-2)
따라서두이차방정식의근을모두더하면0이되어야
하므로
-(a-2)-(a-2)=0 -2a+4=0 ∴a=2
답
2다른풀이
방정식|xÛ`+(a-2)x-2|=1에서xÛ`+(a-2)x-2=1 yy㉠
또는xÛ`+(a-2)x-2=-1 yy㉡
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U P
㉠,㉡에서실수k의값의범위는0<k<5
답
0<k<5122
f(x)-g(x)=0에서f(x)=g(x) yy㉠
㉠의실근은y=f(x)의그래프와y=g(x)의그래프 의교점의x좌표이므로
x=-4또는x=2
따라서모든실근의합은-2이다.
답
-2123
이차함수y=2xÛ`-ax+10의그래프와직선
y=x+b의교점의x좌표2,6은이차방정식
2xÛ`-ax+10=x+b,즉
2xÛ`-(a+1)x+10-b=0의두근이므로근과계수 의관계에의하여
2+6= a+12 ∴a=15 2´6= 10-b2 ∴b=-14
∴a-b=15-(-14)=29
답
⑤124
이차함수y=-xÛ`+4x-1의그래프와직선
y=ax+b의교점의x좌표는이차방정식 -xÛ`+4x-1=ax+b,즉
xÛ`+(a-4)x+b+1=0 yy㉠
의실근이다.
주어진그래프에서이차방정식㉠의한근이
1+'5이고,a, b가모두유리수이므로다른한근은
1-'5이다.
따라서근과계수의관계에의하여
(1+'5)+(1-'5)=-a+4 ∴a=2 (1+'5)(1-'5)=b+1 ∴b=-5
∴ab=-10
답
-10 -;aB;=-;3!;+1=;3@;∴a=-;2#;b yy㉡
㉠,㉡을axÛ`+bx+c=0에대입하면
-;2#;bxÛ`+bx+;2%;b=0
a+0에서b+0이므로양변을b로나누어정리하면 3xÛ`-2x-5=0, (3x-5)(x+1)=0
∴x=;3%;또는x=-1
답
x=;3%;또는
x=-1다른풀이
갑은이차항의계수를잘못보고풀었으므로kxÛ`+bx+c=0(k+0)의두근을1Ñ'6이라하면 k(xÛ`-2x-5)=0
∴b=-2k, c=-5k yy㉠
을은상수항을잘못보고풀었으므로 axÛ`+bx+t=0의두근을-;3!;, 1이라하면 a{xÛ`-;3@;x-;3!;}=0
∴b=-;3@;a,즉a=-;2#;b yy㉡
㉠,㉡에서a=3k, b=-2k, c=-5k이므로주어진
방정식에대입하면
3kxÛ`-2kx-5k=0, 3xÛ`-2x-5=0 (3x-5)(x+1)=0
∴x=;3%;또는x=-1
121
이차방정식xÛ`-3x+k=x+1,즉
xÛ`-4x+k-1=0의판별식을D₁이라하면 DÁ
4 =(-2)Û`-(k-1)>0
∴k<5 yy㉠
또이차방정식xÛ`-3x+k=-x-1,즉 xÛ`-2x+k+1=0의판별식을Dª라하면
Dª
4 =(-1)Û`-(k+1)<0
∴k>0 yy㉡
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의판별식을D라하면
D=(2k+m)Û`-4(kÛ`-1-n)=0 4mk+mÛ`+4+4n=0
이식이k의값에관계없이성립하므로
4m=0,mÛ`+4+4n=0
∴m=0,n=-1
∴m+n=-1
답
⑴-1⑵-1127
이차함수y=xÛ`-6x+12의그래프와직선
y=2x+k의교점의좌표를(a,2a+k),(b,2b+k) 라하면이차방정식
xÛ`-6x+12=2x+k,즉
xÛ`-8x+12-k=0
의두근이a,b이므로근과계수의관계에의하여
a+b=8,ab=12-k yy㉠
이때주어진이차함수의그래프와직선이만나는두
점사이의거리가6'5이므로
"Ã(a-b)Û`+{2a+k-(2b+k)}Û`=6'5
"Ã5(a-b)Û`=6'5
양변을제곱하여정리하면(a-b)Û`=36
∴(a+b)Û`-4ab=36 yy㉡
㉠을㉡에대입하면
64-4(12-k)=36 16+4k=36 ∴k=5
답
5128
3xÛ`+kx-1=0의두근을a,b라하면근과계수의
관계에의하여
a+b=-;3K;,ab=-;3!; yy㉠
이때두점사이의거리가;3$;이므로
|a-b|=;3$;
양변을제곱하면(a-b)Û`=:Á9¤:
125
이차함수y=xÛ`-3x+4의그래프와직선y=x-k 의교점의x좌표는이차방정식
xÛ`-3x+4=x-k,즉
xÛ`-4x+4+k=0 yy㉠
의실근과같으므로-1은이차방정식㉠의근이다.
따라서x=-1을㉠에대입하면 1+4+4+k=0 ∴k=-9 k=-9를㉠에대입하면
xÛ`-4x-5=0,(x+1)(x-5)=0
∴x=-1또는x=5 따라서점Q의x좌표는5이다.
두점P,Q는직선y=x+9위의점이므로 P(-1,8),Q(5,14)
∴PQÓ ="Ã{5-(-1)}Û`+(14-8)Û`
=6'2
답
6'2KEY
Point두점A(xÁ, yÁ),B(xª, yª)사이의거리ABÓ는
⇨ABÓ=
"Ã(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`126
⑴이차함수y=xÛ`-2(a+k)x+kÛ`-2k+b의그래 프가x축에접하므로이차방정식
xÛ`-2(a+k)x+kÛ`-2k+b=0
의판별식을D라하면
;;4;D;={-(a+k)}Û`-(kÛ`-2k+b)=0
(2a+2)k+aÛ`-b=0
이식이k의값에관계없이성립하므로 2a+2=0,aÛ`-b=0
∴a=-1,b=1
∴ab=-1
⑵이차함수y=xÛ`-2kx+kÛ`-1의그래프와직선 y=mx+n이접하므로이차방정식
xÛ`-2kx+kÛ`-1=mx+n,즉
xÛ`-(2k+m)x+kÛ`-1-n=0
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U P
131
Úy=xÛ`+ax+b의그래프가직선y=-x+4에접 하므로이차방정식
xÛ`+ax+b=-x+4,즉
xÛ`+(a+1)x+b-4=0
의판별식을DÁ이라하면
DÁ=(a+1)Û`-4(b-4)=0
∴aÛ`+2a-4b+17=0 yy㉠
Ûy=xÛ`+ax+b의그래프가직선y=5x+7에접 하므로이차방정식
xÛ`+ax+b=5x+7,즉
xÛ`+(a-5)x+b-7=0
의판별식을Dª라하면
Dª=(a-5)Û`-4(b-7)=0
∴aÛ`-10a-4b+53=0 yy㉡
㉠-㉡을하면
12a-36=0 ∴a=3 a=3을㉠에대입하면b=8
∴ab=24
답
24132
xÛ`-2|x|-8+p=0,즉xÛ`-2|x|-8=-p의실근 의개수는함수y=xÛ`-2|x|-8의그래프와직선
y=-p의교점의개수와같다.
Úx<0일때,
y=xÛ`+2x-8=(x+1)Û`-9 Ûx¾0일때,
y=xÛ`-2x-8
=(x-1)Û`-9
0
Z Q
Y Z Z YA]Y]
따라서
y=xÛ`-2|x|-8의그래 프는오른쪽그림과같고
직선y=-p와의교점이
3개가되려면
-p=-8
∴p=8
답
8∴(a+b)Û`-4ab=:Á9¤: yy㉡
㉠을㉡에대입하면;;9;kÛ`;+;3$;=:Á9¤:
kÛ`=4 ∴k=Ñ2
답
Ñ2129
이차함수y=f(x)의그래프는아래로볼록하고 두점(1,0),(3,0)을지나므로
f(x)=a(x-1)(x-3) (a>0)
∴f(2x-3) =a(2x-3-1)(2x-3-3)
=4a(x-2)(x-3) f(2x-3)=0에서x=2또는x=3 따라서f(2x-3)=0의두실근의합은
2+3=5
답
5다른풀이
주어진그래프에서f(1)=0,f(3)=0이므 로방정식f(2x-3)=0의근은2x-3=1또는2x-3=3
∴x=2또는x=3
130
구하는직선의방정식을y=mx+n이라하면
점(-1,1)을지나므로 1=-m+n ∴n=m+1
∴y=mx+m+1
이직선이y=2xÛ`+6x+5의그래프에접하므로이차 방정식
2xÛ`+6x+5=mx+m+1,즉 2xÛ`+(6-m)x-m+4=0 의판별식을D라하면
D=(6-m)Û`-8(-m+4)=0 mÛ`-4m+4=0,(m-2)Û`=0
∴m=2
따라서구하는직선의방정식은 y=2x+3
답
y=2x+3http://hjini.tistory.com
6+a를갖는다.
즉6+a=5 ∴a=-1
따라서y=4xÛ`+2x-1에서
x=4일때, y=71
이므로주어진이차함수의최댓값은71이다.
답
⑴5⑵71136
y =-xÛ`-2ax+4a-1
=-(x+a)Û`+aÛ`+4a-1
따라서x=-a일때최댓값은aÛ`+4a-1이므로
f(a) =aÛ`+4a-1=(a+2)Û`-5
따라서f(a)의최솟값은a=-2일때-5이다.
답
②137
y=x+1에서x=y-1을xÛ`+yÛ`+2에대입하면 xÛ`+yÛ`+2 =(y-1)Û`+yÛ`+2
=2yÛ`-2y+3
=2{y- 12 }Û`+;2%;
-1ÉyÉ3이므로
y=;2!;일때,m=;2%;
y=3일때,M=15
∴M-4m=15-4´;2%;=5
답
5138
x+y=3 yy㉠
x¾0 yy㉡
y¾0 yy㉢
㉠에서y=-x+3이므로㉢에서
-x+3¾0 ∴xÉ3 yy㉣
㉡,㉣에서 0ÉxÉ3
y=-x+3을2xÛ`+yÛ`에대입하면 2xÛ`+yÛ`=2xÛ`+(-x+3)Û`
=3xÛ`-6x+9
133
y=axÛ`-4ax+aÛ`+3a=a(x-2)Û`+aÛ`-a 이이차함수의최댓값이6이므로
a<0이고aÛ`-a=6 (a-3)(a+2)=0
∴a=3또는a=-2 그런데a<0이므로a=-2
답
-2134
⑴y =-2xÛ`+3x+a
3
1 x
34
=-2{x- 34 }2`+;8(;+a
1ÉxÉ3이므로 x=1일때
최댓값을갖는다.
즉-2+3+a=2
∴a=1
⑵주어진이차함수가x=6에서최솟값14를가지므로
y =(x-6)Û`+14=xÛ`-12x+50
∴4a=12, 2b=50 ∴a=3,b=25
답
⑴1 ⑵a=3,b=25135
⑴y =xÛ`-2x+a
O 1 3 a-1
x
y
=(x-1)Û`+a-1
0ÉxÉ3이므로x=1일때
최솟값a-1을갖는다.
즉a-1=1 ∴a=2
따라서y=xÛ`-2x+2에서
x=0일때,y=2
x=3일때,y=5
이므로주어진이차함수의최댓값은5이다.
⑵y =4xÛ`+2x+a
O x
y
14 - 14 6+a
=4{x+;4!;}Û`- 14 +a
1ÉxÉ4이므로 x=1일때최솟값
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U P
t=xÛ`+2x-1=(x+1)Û`-2이므로O t 18-k
3 -2
t의값의범위는t¾-2 이때주어진함수는 y=-2tÛ`+12t-k
=-2(t-3)Û`+18-k(t¾-2) t¾-2에서t=3일때최댓값은
18-k이고최댓값이15이므로 18-k=15
∴k=3
답
①142
점B의좌표를(a, 0)(0<a<5)이라하면 A(a, -aÛ`+10a), C(10-a, 0)
∴BCÓ=(10-a)-a=10-2a ABÓ=-aÛ`+10a
따라서ABCD의둘레의길이는
2(BCÓ+ABÓ) =2{(10-2a)+(-aÛ`+10a)}
=2(-aÛ`+8a+10)
=-2(a-4)Û`+52
이때0<a<5이므로a=4일때최댓값은52이다.