연 습 문 제 실 력
U P
t=xÛ`+2x-1=(x+1)Û`-2이므로O t 18-k
3 -2
t의값의범위는t¾-2 이때주어진함수는 y=-2tÛ`+12t-k
=-2(t-3)Û`+18-k(t¾-2) t¾-2에서t=3일때최댓값은
18-k이고최댓값이15이므로 18-k=15
∴k=3
답
①142
점B의좌표를(a, 0)(0<a<5)이라하면 A(a, -aÛ`+10a), C(10-a, 0)
∴BCÓ=(10-a)-a=10-2a ABÓ=-aÛ`+10a
따라서ABCD의둘레의길이는
2(BCÓ+ABÓ) =2{(10-2a)+(-aÛ`+10a)}
=2(-aÛ`+8a+10)
=-2(a-4)Û`+52
이때0<a<5이므로a=4일때최댓값은52이다.
Û2k<3일때,꼭짓점의x좌표가주어진범위에포 함되지않으므로x=3일때최솟값16을갖는다.
18-24k=16 ∴k=;1Á2;
Ú, Û에서k=;1Á2;
답
;1Á2;147
Úx<0일때,
y=xÛ`+4x+5=(x+2)Û`+1 Ûx¾0일때,
y=xÛ`-4x+5
O 2
1 5
4 -2
-4 x
y
=(x-2)Û`+1 따라서-4ÉxÉ4에서
y=xÛ`-4|x|+5의그래프 는오른쪽그림과같다.
따라서x=-4,0,4일때
최댓값은5,x=-2,2일때최솟값은1이므로최댓 값과최솟값의합은6이다.
답
6148
f(x)=-xÛ`+2ax=-(x-a)Û`+aÛ`
∴꼭짓점：(a,aÛ`)
Úa<-1일때,꼭짓점의x좌표가주어진범위에포 함되지않으므로x=-1에서최댓값이4,즉
f(-1)=4이다.
-1-2a=4 ∴a=-;2%;
Û-1ÉaÉ1일때,꼭짓점의x좌표가주어진범위 에포함되므로x=a에서최댓값이4,즉f(a)=4 이다.
aÛ`=4 ∴a=Ñ2
그런데a=Ñ2는-1ÉaÉ1을만족시키지않는다.
Ú,Û에서a=-;2%;
답
-;2%;144
y=-axÛ`+8ax-14a-b
=-a(x-4)Û`+2a-b a>0이므로1ÉxÉ3에서그래
1 3 4 x
프는오른쪽과같다.
이때꼭짓점의x좌표4는주어 진범위1ÉxÉ3에포함되지않으므로
x=3일때최댓값은a-b이고최댓값이-2이므로
a-b=-2 yy㉠
x=1일때최솟값은-7a-b이고최솟값이-10이 므로
-7a-b=-10 yy㉡
㉠,㉡을연립하여풀면a=1,b=3
∴a+b=4
답
4145
f(x)=-xÛ`-2x+1=-(x+1)Û`+2 aÉxÉ0에서-2Éf(x)Éb이
O x
y=f(x)y
-2 a -1
2 1
려면오른쪽그림과같아야하므로
f(a)=-2,b=2 f(a)=-2에서 -aÛ`-2a+1=-2 aÛ`+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0
∴a=-3(∵a<0) 따라서a=-3,b=2이므로 a+b=-1
답
-1146
y=2xÛ`-8kx
=2(x-2k)Û`-8kÛ`
Ú2k¾3일때,꼭짓점의x좌표가주어진범위에포 함되므로x=2k일때최솟값16을갖는다.
-8kÛ`=16 ∴kÛ`=-2
이때실수k의값은존재하지않는다.
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U P
Ú,Û,Ü에서a=-2또는a=2답
a=-2또는
a=2151
x(x-1)(x+2)(x+3)-180=0에서 {x(x+2)}{(x-1)(x+3)}-180=0 (xÛ`+2x)(xÛ`+2x-3)-180=0 xÛ`+2x=t로놓으면주어진방정식은
t(t-3)-180=0,tÛ`-3t-180=0 (t+12)(t-15)=0
∴t=-12또는t=15
ÚxÛ`+2x=-12일때,xÛ`+2x+12=0
∴x=-1Ñ'¶11i
ÛxÛ`+2x=15일때,xÛ`+2x-15=0 (x+5)(x-3)=0 ∴x=-5또는x=3 Ú,Û에서정수인근은x=-5또는x=3이므로그
합은-2이다.
답
②152
f(x)=xÜ`-4xÛ`+7x-4라하면
f(1)=1-4+7-4=0
이므로조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면 1 1 -4 7 -4
1 -3 4 1 -3 4 0 f(x)=(x-1)(xÛ`-3x+4) 따라서주어진방정식은 (x-1)(xÛ`-3x+4)=0
∴x=1또는x=3Ñ'7i 2 따라서모든허근의합은
3+'7i
2 +3-'7i 2 =3
답
③다른풀이
두허근의합은방정식xÛ`-3x+4=0의두근의합과같으므로근과계수의관계에의하여모든
허근의합은3이다.
149
점P의x좌표를a라하면P(a,(a+1)Û`)
이때점P와점Q의좌표가같으므로y=(a+1)Û`을
y=x-3에대입하면 (a+1)Û`=x-3
x=(a+1)Û`+3=aÛ`+2a+4
∴Q(aÛ`+2a+4,(a+1)Û`)
∴PQÓ=(aÛ`+2a+4)-a
=aÛ`+a+4
={a+;2!;}Û`+ 154
따라서PQÓ의길이의최솟값은:Á4°:이다.
답
:Á4°:150
f(x)=-xÛ`+2ax-a=-(x-a)Û`+aÛ`-a
∴꼭짓점：(a,aÛ`-a) Úa<0일때,꼭짓점의x좌표
O 2 x a
y
가주어진범위에포함되지
않으므로x=0에서최댓값 이2,즉f(0)=2이다.
-a=2 ∴a=-2 Û0ÉaÉ2일때,꼭짓점의x
O 2 x
y
a
좌표가주어진범위에포함 되므로x=a에서최댓값이
2,즉f(a)=2이다. aÛ`-a=2,aÛ`-a-2=0
(a+1)(a-2)=0
∴a=-1또는a=2
그런데0ÉaÉ2이므로a=2 Üa>2일때,꼭짓점의x좌표
O 2a x
y
가주어진범위에포함되지
않으므로x=2에서최댓값 이2,즉f(2)=2이다. -4+4a-a=2
∴a=2
그런데a=2는a>2를만족시키지않는다.
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xÛ`+1
xÛ`+8{x+;[!;}+18=0 {x+;[!;}Û`+8{x+;[!;}+16=0 x+;[!;=t로치환하면
tÛ`+8t+16=0
(t+4)Û`=0 ∴t=-4 따라서x+;[!;=-4이므로
a+;!;=-4
답
①156
xÝ`-9xÜ`+20xÛ`-9x+1=0에서x+0이므로양변을
xÛ`으로나누면
xÛ`-9x+20-;[(;+ 1xÛ`=0 xÛ`+1
xÛ`-9{x+;[!;}+20=0 {x+;[!;}Û`-9{x+;[!;}+18=0 x+;[!;=t로치환하면tÛ`-9t+18=0 (t-3)(t-6)=0
∴t=3또는t=6 Út=3일때,x+;[!;=3
xÛ`-3x+1=0 ∴x=3Ñ'5 2 Ût=6일때,x+;[!;=6
xÛ`-6x+1=0 ∴x=3Ñ2'2 Ú,Û에서모든실근의합은
3+'5
2 +3-'5
2 +3+2'2+3-2'2=9
답
9157
xÜ`-xÛ`+ax-1=0의한근이-1이므로 -1-1-a-1=0 ∴a=-3
∴xÜ`-xÛ`-3x-1=0
153
f(x)=xÜ`-9xÛ`+13x+23으로놓으면
f(-1)=-1-9-13+23=0
이므로조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면
-1 1 -9 `13 23 -1 `10 -23 1 -10 `23 0 f(x)=(x+1)(xÛ`-10x+23) 따라서주어진방정식은
(x+1)(xÛ`-10x+23)=0
∴x=-1또는x=5Ñ'2
∴|a|+|b|+|c|=1+(5+'2)+(5-'2)
=11
답
11154
f(x)=xÝ`-4xÜ`+7xÛ`-8x+4로놓으면
f(1)=1-4+7-8+4=0 f(2)=16-32+28-16+4=0
이므로조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면 1 1 -4 7 -8 4
1 -3 4 -4 2 1 -3 4 -4 0 2 -2 4 1 -1 2 0
f(x)=(x-1)(x-2)(xÛ`-x+2)
이때a,b는방정식xÛ`-x+2=0의두근이므로근과
계수의관계에의하여 a+b=1, ab=2
∴aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=1-2´2=-3
답
-3155
xÝ`+8xÜ`+18xÛ`+8x+1=0에서x+0이므로양변을
xÛ`으로나누면
xÛ`+8x+18+;[*;+ 1xÛ`=0
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U P
이므로조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면-1 1 0 -2k-1 -2k -1 1 2k 1 -1 -2k 0 f(x)=(x+1)(xÛ`-x-2k)
이때방정식f(x)=0의근이모두실수가되려면방 정식xÛ`-x-2k=0이실근을가져야한다.
이이차방정식의판별식을D라하면 D=(-1)Û`-4´1´(-2k)¾0
∴k¾-;8!;
답
k¾-;8!;160
처음정육면체의한모서리의길이를x`cm라하면 (x-1)(x+2)(x+3)=;2%;xÜ`
xÜ`+4xÛ`+x-6=;2%;xÜ`
3xÜ`-8xÛ`-2x+12=0
f(x)=3xÜ`-8xÛ`-2x+12라하면 f(2)=24-32-4+12=0
이므로조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면 2 3 -8 -2 12
6 -4 -12 3 -2 -6 0 f(x)=(x-2)(3xÛ`-2x-6) 따라서주어진방정식은
(x-2)(3xÛ`-2x-6)=0
∴x=2(∵x는자연수)
따라서처음정육면체의한모서리의길이는2`cm이 다.
답
2`cm161
xÜ`+axÛ`+(aÛ`-9a+1)x+2(2a-1)=0에x=1을
대입하면
1+a+aÛ`-9a+1+4a-2=0 이방정식의한근이-1이므로조립제법을이용하여
좌변을인수분해하면 -1 1 -1 -3 -1 -1 2 1 1 -2 -1 0 (x+1)(xÛ`-2x-1)=0
이때a,b는이차방정식xÛ`-2x-1=0의두근이므 로근과계수의관계에의하여
a+b=2 ∴a+a+b=-3+2=-1
답
-1158
⑴xÝ`+axÜ`+axÛ`+11x+b=0의두근이3,-2이 므로x=3,x=-2를각각대입하면
81+27a+9a+33+b=0에서
36a+b=-114 yy㉠
16-8a+4a-22+b=0에서
4a-b=-6 yy㉡
㉠,㉡을연립하여풀면
a=-3, b=-6
⑵a=-3, b=-6을주어진방정식에대입하면 xÝ`-3xÜ`-3xÛ`+11x-6=0
이방정식의두근이3,-2이므로조립제법을이용 하여좌변을인수분해하면
-3 1 -3 -3 11 -6 3 0 -9 6 -2 1 0 -3 2 0 -2 4 -2 1 -2 1 0 (x-3)(x+2)(xÛ`-2x+1)=0 (x-3)(x+2)(x-1)Û`=0
따라서나머지근은x=1(중근)이다.
답
⑴a=-3,b=-6⑵x=1(중근
)159
f(x)=xÜ`-(2k+1)x-2k로놓으면 f(-1)=-1+2k+1-2k=0
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∴m=-2
Û방정식xÛ`-x+m=0이중근을갖는경우
이이차방정식의판별식을D라할때,
D=(-1)Û`-4m=0
∴m=;4!;
Ú,Û에서구하는모든실수m의값의곱은 -2´;4!;=-;2!;
답
-;2!;163
f(x)=2xÜ`+4xÛ`-3(k+2)x+3k로놓으면
f(1)=2+4-3k-6+3k=0이므로 조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면 1 2 4 -3k-6 3k
2 6 -3k 2 6 -3k 0
∴f(x)=(x-1)(2xÛ`+6x-3k)
이때방정식f(x)=0이오직한개의실근을가지려 면방정식2xÛ`+6x-3k=0이실근을갖지않거나
x=1을중근으로가져야한다.
Ú방정식2xÛ`+6x-3k=0이실근을갖지않는경우
이이차방정식의판별식을D라할때,
D
4 =3Û`-2´(-3k)<0
∴k<-;2#;
Û방정식2xÛ`+6x-3k=0이x=1을중근으로갖 는경우
x=1을대입하면2+6-3k=0
∴k=;3*;
2xÛ`+6x-3k=0에k=;3*;을대입하면
2xÛ`+6x-8=0,즉xÛ`+3x-4=0
(x+4)(x-1)=0
∴x=-4또는x=1
따라서2xÛ`+6x-3k=0은k= 83 일때중근을갖 aÛ`-4a=0
a(a-4)=0
∴a=0또는a=4
Úa=0일때,주어진방정식은
xÜ`+x-2=0
이방정식의한근이1이므로조립제법을이용하여
좌변을인수분해하면 1 1 0 1 -2 1 1 2 1 1 2 0 (x-1)(xÛ`+x+2)=0 따라서실근은x=1의1개이다.
Ûa=4일때,주어진방정식은
xÜ`+4xÛ`-19x+14=0
이방정식의한근이1이므로조립제법을이용하여
좌변을인수분해하면
1 1 4 -19 14 1 5 -14 1 5 -14 0
(x-1)(xÛ`+5x-14)=0 ∴(x-1)(x+7)(x-2)=0
따라서서로다른세실근을갖는다.
Ú, Û에서a=4
답
④162
f(x)=xÜ`+(m-1)x+m으로놓으면 f(-1)=-1-m+1+m=0이므로 조립제법을이용하여f(x)를인수분해하면 -1 1 0 m-1 m
-1 ` `1 -m 1 -1 `m 0
∴f(x)=(x+1)(xÛ`-x+m) 이때방정식f(x)=0이중근을가지려면
Ú방정식xÛ`-x+m=0이x=-1을근으로갖는
경우
(-1)Û`-(-1)+m=0
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U P
a=-b ∴b=-2
㉡을㉠에대입하면
-3+2=-a ∴a=1
∴a+b=-1
답
⑴2 ⑵-1165
xÜ`+3x-2=0의세근이a,b,c이므로삼차방정식 의근과계수의관계에의하여
a+b+c=0,ab+bc+ca=3,abc=2
∴aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=0Û`-2´3=-6 aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`
=(ab+bc+ca)Û`-2(abÛ`c+abcÛ`+aÛ`bc)
=(ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c)
=3Û`-2´2´0=9 aÛ`bÛ`cÛ`=(abc)Û`=2Û`=4 xÜ`의계수가1인삼차방정식은
xÜ`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)xÛ`+(aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`)x-aÛ`bÛ`cÛ`
=0
따라서구하는삼차방정식은
xÜ`-(-6)xÛ`+9x-4=0
∴xÜ`+6xÛ`+9x-4=0
답
xÜ`+6xÛ`+9x-4=0166
②xÜ`-1=0,(x-1)(xÛ`+x+1)=0
∴xÜ`=1,xÛ`+x+1=0
③xÛ`+x+1=0의양변을x로나누면
x+1+ 1x =0 ∴x+1 x =-1
④xÚ`â`â`+xÚ`â`Ú` =(xÜ`)Ü`Ü`´x+(xÜ`)Ü`Ü`´xÛ`
=x+xÛ`=-1
⑤켤레근의성질에의하여x의켤레복소수x®가
xÛ`+x+1=0의근이므로근과계수의관계에의 하여x+x®=-1
∴x®=-x-1=-(x+1)=xÛ`
답
② 지않는다.Ú,Û에서방정식f(x)=0이오직한개의실근을
갖도록하는실수k의값의범위는k<-3 2
답
k<-;2#;164
⑴ 2
1-i = 2(1+i)
(1-i)(1+i)=2(1+i) 2 =1+i
즉,한근이1+i이고계수가실수이므로1-i도근 이다.
나머지한근을a라하면삼차방정식의근과계수의
관계에의하여
Ú두근끼리의곱의합은
a(1+i)+(1+i)(1-i)+a(1-i)=4
2+2a=4
∴a=1
Û세근의곱은
a(1+i)(1-i)=a, 2a=a
∴a=2
⑵계수가유리수이므로-3+'5
2 가근이면
-3-'5
2 도근이다.
나머지한근을a라하면삼차방정식의근과계수의
관계에의하여
Ú세근의합은
a+ -3+'52 +-3-'5
2 =-a
-3+a=-a yy㉠
Û두근끼리의곱의합은
a´-3+'5
2 +-3+'5
2 ´ -3-'52
+a´ -3-'52 =-5
-3a+1=-5
∴a=2 yy㉡
Ü세근의곱은
a´-3+'5
2 ´ -3-'52 =-b
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169
xÛ`-x+1=0의양변에x+1을곱하면
(x+1)(xÛ`-x+1)=0,xÜ`+1=0 ∴xÜ`=-1 따라서x는xÛ`-x+1=0과xÜ`=-1의근이므로 xÛ`-x+1=0,xÜ`=-1
∴(-1-x2014)(1-x2015)(1+x2016)
={-1-(xÜ`)671´x}{1-(xÜ`)671´xÛ`}{1+(xÜ`)672}
=(-1+x)(1+xÛ`)(1+1)
=xÛ`´x´2
=2xÜ`=-2
답
-2170
xÜ`=1에서
xÜ`-1=0,(x-1)(xÛ`+x+1)=0
∴xÜ`=1,xÛ`+x+1=0
∴1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ`+6xÞ`+7xß`
=1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÜ`´x+6xÜ`´xÛ`+7(xÜ`)Û`
=1+2x+3xÛ`+4+5x+6xÛ`+7
=12+7x+9xÛ`
=12+7x+9(-1-x)
=-2x+3
∴a=-2,b=3
∴a+b=1
답
1171
x+ 1xÛ`=0에서양변에xÛ`을곱하면 xÜ`+1=0,(x+1)(xÛ`-x+1)=0 한허근이x이므로
xÜ`=-1,xÛ`-x+1=0 또다른허근이x®이므로 xx®=1
∴x
x®-x2018= xÛ`
x®´x-(xÜ`)672´xÛ`
=xÛ`-xÛ`=0
답
③167
xÜ`+1=0에서(x+1)(xÛ`-x+1)=0
따라서x는xÜ`+1=0과xÛ`-x+1=0의근이므로 xÜ`=-1, xÛ`-x+1=0
①-xÞ`+xÝ`+1=-xÜ`´xÛ`+xÜ`´x+1
=xÛ`-x+1
=0
②xÜ`+2=-1+2=1
③ xÛ`
1-x +1+xÛ`
x = xÛ`
-xÛ`+x
x
=-1+1
=0
④xÛ`+1
xÛ` =xÝ`+1
xÛ` =xÜ`´x+1
xÛ`
= -x+1xÛ`
= -xÛ`xÛ` =-1
⑤xÜ`+2xÛ`-2x+1 =xÜ`+2(xÛ`-x)+1
=-1+2´(-1)+1
=-2
답
⑤168
계수가실수이므로-1+i가근이면-1-i도근이다.
-1+i, -1-i를두근으로하는이차방정식은
xÛ`-{(-1+i)+(-1-i)}x+(-1+i)(-1-i)=0 즉xÛ`+2x+2=0
따라서xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+2x+2는xÛ`+2x+2로나누 어떨어져야한다.실제로나누어보면
xÛ`+1
xÛ`+2x+2`
)
`xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+2x+2 xÝ`+2xÜ`+2xÛ`xÛ`+2x+2
xÛ`+2x+2
0
(xÛ`+2x+2)(xÛ`+1)=0
∴x=-1Ñi또는x=Ñi 따라서근이아닌것은③,⑤이다.
답
③,⑤http://hjini.tistory.com
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U P
173
세근의비가1：2：3이므로세근을a, 2a, 3a (a+0)라하면삼차방정식의근과계수의관계에의 하여
a+2a+3a=3 yy㉠
a´2a+2a´3a+3a´a=;4A; yy㉡
a´2a´3a=-;4B; yy㉢
㉠에서6a=3 ∴a=;2!;
㉡에서;4A;=11aÛ`=:Á4Á: ∴a=11
㉢에서-;4B;=6aÜ`=;4#; ∴b=-3
∴a+b=8
답
8174
삼차방정식f(x)=0의세근을a,b,c라하면 a+b+c=5
이때삼차방정식 f(2x-1)=0의근은
2x-1=a또는2x-1=b또는2x-1=c에서 x= a+12 또는x=b+1
2 또는x=c+1 2 따라서삼차방정식 f(2x-1)=0의세근의합은
a+12 +b+1 2 +c+1
2 =a+b+c+3 2
= 5+32 =4
답
4175
f(1)=f(3)=f(5)=-2에서
f(1)+2=f(3)+2=f(5)+2=0이므로 삼차방정식f(x)+2=0의세근이1,3,5이다.
이때1,3,5를세근으로하고xÜ`의계수가1인삼차 방정식은
xÜ`-(1+3+5)xÛ`+(3+15+5)x-15=0
∴xÜ`-9xÛ`+23x-15=0
172
⑴2xÜ`+3xÛ`-4x+4=0의세근이a,b,c이므로삼 차방정식의근과계수의관계에의하여
a+b+c=-;2#;
ab+bc+ca=-2 abc=-2
∴(2-a)(2-b)(2-c)
=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-4´{- 32 }+2´(-2)-(-2)
=12
⑵xÜ`+kxÛ`-7x+6=0의세근이a,b,c이므로
삼차방정식의근과계수의관계에의하여 a+b+c=-k
ab+bc+ca=-7 abc=-6
(a+b)(b+c)(c+a)=20에서 (-k-c)(-k-a)(-k-b)=20 -(k+c)(k+a)(k+b)=20
∴(k+c)(k+a)(k+b)=-20
kÜ`+kÛ`(a+b+c)+k(ab+bc+ca)+abc
=-20
kÜ`+kÛ`´(-k)+k´(-7)-6=-20 -7k=-14 ∴k=2
답
⑴12 ⑵2다른풀이
⑵(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(-k)´(-7)+6
=7k+6
∴7k+6=20
∴k=2
KEY
Point•
(x+a)(x+b)(x+c)
=xÜ`+(a+b+c)xÛ`+(ab+bc+ca)x+abc
•
(x-a)(x-b)(x-c)
=xÜ`-(a+b+c)xÛ`+(ab+bc+ca)x-abc
•
(a+b)(b+c)(c+a)
=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
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178
이차방정식xÛ`-2x+p=0의두근을a, b라하면
근과계수의관계에의하여
a+b=2 yy㉠
ab=p yy㉡
그런데a,b가삼차방정식xÜ`-3xÛ`+qx+2=0의두
근이므로다른한근을c라하면근과계수의관계에의 하여
a+b+c=3 yy㉢
ab+bc+ca=q yy㉣
abc=-2 yy㉤
㉠,㉢에서c=1
c=1이므로㉡,㉤에서 p=-2
㉣에서q=ab+bc+ca=ab+c(a+b)
=-2+1´2=0
∴p+q=-2
답
-2179
xÛ`+x+1=0의한허근이x이므로 xÛ`+x+1=0
xÛ`+x+1=0의양변에x-1을곱하면
(x-1)(xÛ`+x+1)=0, xÜ`-1=0 ∴xÜ`=1 x+0이므로xÛ`+x+1=0의양변을x로나누면 x+1+ 1x =0 ∴x+1
x =-1
∴xÛ`+ 1
xÛ` ={x+1
x }Û`-2=(-1)Û`-2=-1 xÝ`+ 1xÝ`=xÜ`´x+ 1xÜ`´x=x+ 1x =-1 xÞ`+ 1xÞ`=xÜ`´xÛ`+ 1xÜ`´xÛ`=xÛ`+ 1xÛ`=-1 xà`+ 1xà`=(xÜ`)Û`´x+ 1
(xÜ`)Û`´x=x+ 1x =-1 x¡`+ 1x¡`=(xÜ`)Û`´xÛ`+ 1
(xÜ`)Û`´xÛ`=xÛ`+ 1xÛ`=-1 xÜ`+ 1xÜ`=xß`+ 1
xß`=xá`+ 1xá`=1+1=2
∴(주어진식) ={(-1)Ü`+(-1)Ü`+2Ü`}_3=18
답
18 즉,f(x)+2=xÜ`-9xÛ`+23x-15이므로f(x)=xÜ`-9xÛ`+23x-17
따라서방정식f(x)=0의모든근의곱은
삼차방정식의근과계수의관계에의하여17이다.
답
17176
삼차방정식f(x)=0의세근이a,b,c이므로 f(a)=0,f(b)=0,f(c)=0
이때f(x+1)=0의근은
x+1=a또는x+1=b또는x+1=c에서 x=a-1또는x=b-1또는x=c-1 따라서삼차방정식f(x+1)=0의세근의곱은 (a-1)(b-1)(c-1)
=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
=(abc+a+b+c)-(ab+bc+ca)-1
=1-3-1=-3
답
-3177
xÜ`+axÛ`+bx+c=0에서
A는c를제대로보았으므로근과계수의관계에의하여 -1´1´5=-c ∴c=5
B는a를제대로보았으므로근과계수의관계에의하여 -1+2+3=-a ∴a=-4
C는b를제대로보았으므로근과계수의관계에의하여 -1´2+2´5+5´(-1)=b ∴b=3
따라서처음방정식은xÜ`-4xÛ`+3x+5=0이고 세근이a,b,c이므로
a+b+c=4,ab+bc+ca=3,abc=-5
∴c ab + a
bc + b ca
= aÛ`+bÛ`+cÛ`
abc
=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
abc
=4Û`-2´3 -5 =-2
답
-2http://hjini.tistory.com
연 습 문 제 실 력
U P
f(3)=f(6)=f(9)=y=f(18)=;2!;∴f(1)+f(2)+f(3)+y+f(18)+f(19)+f(20)
={-1-1+;2!;}_6+(-1)+(-1) =-11
답
-11182
[x+y=7
ax-y=1의해가[x-y=b
xÛ`+yÛ`=25의해가되므로두
연립방정식의해는
연립방정식[x+y=7 yy㉠
xÛ`+yÛ`=25 yy㉡의해와같다.
㉠에서y=7-x를㉡에대입하면 xÛ`+(7-x)Û`=25,xÛ`-7x+12=0 (x-3)(x-4)=0 ∴x=3또는x=4 이것을㉠에대입하면위의연립방정식의해는 x=3,y=4또는x=4,y=3
Úx=3,y=4를ax-y=1,x-y=b에각각대입
하면
3a-4=1에서a= 53 3-4=b에서b=-1
이때a,b는양수이므로b=-1은될수없다.
Ûx=4,y=3을ax-y=1,x-y=b에각각대입
하면
4a-3=1 ∴a=1 4-3=b ∴b=1 Ú,Û에서a=1,b=1이므로 a+b=2
답
2183
[xÛ`-xy=6xÛ`-2xy-3yÛ`=0 yy㉠yy㉡
㉡에서(x+y)(x-3y)=0
∴x=-y또는x=3y
180
㈎에서f(4)=0이므로
64+16a+4b+c=0 yy㉠
㈏에서f(2i)=0이므로 -8i-4a+2bi+c=0 -4a+c+(-8+2b)i=0
a,b,c는실수이므로-4a+c=0,-8+2b=0
∴c=4a, b=4
이것을㉠에대입하면64+16a+16+4a=0
∴a=-4, c=-16
∴f(x) =xÜ`-4xÛ`+4x-16
=xÛ`(x-4)+4(x-4)
=(x-4)(xÛ`+4)
∴f(2x) =(2x-4)(4xÛ`+4)
=8(x-2)(xÛ`+1)
따라서f(2x)=0의근은x=2또는x=Ñi 이므로구하는세근의곱은
2´(-i)´i=2
답
②181
xÜ`=1에서xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0 따라서x는xÜ`=1과xÛ`+x+1=0의한허근이므로
xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
f(n)에n=1,2,3,y을대입하면 f(1)= xÛ`x+1 = xÛ`
-xÛ`=-1 f(2)= xÝ`xÛ`+1 = x
xÛ`+1 = x -x =-1 f(3)= xß`xÜ`+1 = 1
1+1 =;2!;
f(4)= x¡`xÝ`+1 = xÛ`
x+1 =f(1)=-1 f(5)= xÚ`â`xÞ`+1 = x
xÛ`+1 =f(2)=-1 `⋮
이상에서f(n)=f(n+3)이다.즉
f(1)=f(4)=f(7)=y=f(16)=f(19)=-1 f(2)=f(5)=f(8)=y=f(17)=f(20)=-1
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Ú, Û에서
aÛ`+bÛ`=12+5=17
답
17185
[xy+x+y=9
xÛ`y+xyÛ`=20에서[xy+x+y=9 xy(x+y)=20 x+y=a,xy=b로놓으면
[a+b=9ab=20 yy㉠yy㉡
㉠에서b=9-a yy㉢
㉢을㉡에대입하면a(9-a)=20 aÛ`-9a+20=0,(a-4)(a-5)=0
∴a=4또는a=5 a=4를㉢에대입하면b=5 a=5를㉢에대입하면b=4
Úa=4,b=5,즉x+y=4,xy=5일때, 이를만족시키는자연수x,y는존재하지않는다.
Ûa=5,b=4,즉x+y=5,xy=4일때, x,y는이차방정식tÛ`-5t+4=0의두근이다.
(t-1)(t-4)=0에서t=1또는t=4
∴[x=1 y=4
또는[x=4 y=1 Ú,Û에서xÛ`+yÛ`=17
답
③186
[xÛ`+2x-2y=0 yy㉠
x+y=a yy㉡
㉡에서y=a-x를㉠에대입하면 xÛ`+2x-2(a-x)=0
∴xÛ`+4x-2a=0
이를만족시키는실수x가존재하지않아야하므로판 별식을D라하면
;;4;D;=4+2a<0 ∴a<-2 따라서정수a의최댓값은-3이다.
답
-3 Úx=-y를㉠에대입하면 yÛ`+yÛ`=6,yÛ`=3 ∴y=Ñ'3
∴[x='3
y=-'3또는[x=-'3 y='3 Ûx=3y를㉠에대입하면
9yÛ`-3yÛ`=6,yÛ`=1 ∴y=Ñ1
∴[x=-3
y=-1또는[x=3 y=1
Ú,Û에서 [x='3
y=-'3 또는[x=-'3 y='3 또는[x=-3
y=-1또는[x=3 y=1
이때a,b는정수이므로순서쌍(a,b)는
(-3,-1),(3,1)
∴aÛ`+bÛ`=10
답
10184
두연립방정식의해가같으므로구하는해는연립방 정식
[2x+y=3xÛ`-yÛ`=-45 yy㉠yy㉡
의해와같다.
㉠에서y=3-2x yy㉢
㉢을㉡에대입하면xÛ`-(3-2x)Û`=-45 xÛ`-4x-12=0,(x+2)(x-6)=0
∴x=-2또는x=6
x=-2를㉢에대입하면 y=7
x=6을㉢에대입하면y=-9 Úx=-2, y=7일때, 4aÛ`-49=-1, -2+7=bÛ`
∴aÛ`=12, bÛ`=5 Ûx=6, y=-9일때, 36aÛ`-81=-1, 6-9=bÛ`
∴aÛ`=:ª9¼:,bÛ`=-3
그런데b는실수이므로bÛ`은-3이될수없다.