210
⑴|2x-a|>3에서
2x-a<-3또는2x-a>3
∴x<a-3
2 또는x>a+3 2
주어진부등식의해가x<b또는x>5이므로
a-3
2 =b,a+3 2 =5
∴a=7,b=2
∴a+b=9
⑵|2x-k|É1에서
-1É2x-kÉ1
k-1É2xÉk+1
∴k-1
2 ÉxÉk+1 2
이때x의최댓값은k+1
2 ,최솟값은k-1 2 이고
그곱이20이므로
k+1 2 ´k-1
2 =20,kÛ`=81
∴k=9(∵k>0)
⑶|3x-4|+1>a에서
|3x-4|>a-1
이부등식의해가모든실수이려면
a-1<0 ∴a<1
답
⑴9 ⑵9 ⑶a<1211
|x-2|É;3@;k-4에서
x가어떤값이든|x-2|¾0이므로주어진부등식의
208
Ú|7-x|¾2x+1에서
x<7일때,7-x>0이므로
7-x¾2x+1,-3x¾-6
∴xÉ2
그런데x<7이므로xÉ2 yy㉠
x¾7일때,7-xÉ0이므로
-(7-x)¾2x+1 ∴xÉ-8
그런데x¾7이므로해는없다. yy㉡
㉠,㉡의합범위는xÉ2
Û|3x+2|<10에서-10<3x+2<10
-12<3x<8
∴-4<x<;3*;
Ú,Û의공통범위를구하면 -4<xÉ2
답
-4<xÉ2209
2"Ã(1-x)Û`+3|x+1|<9에서
2|1-x|+3|x+1|<9 Úx<-1일때,
2(1-x)-3(x+1)<9
∴x>-2
그런데x<-1이므로
-2<x<-1 yy㉠
Û-1Éx<1일때,
2(1-x)+3(x+1)<9 ∴x<4 그런데-1Éx<1이므로
-1Éx<1 yy㉡
Üx¾1일때,
-2(1-x)+3(x+1)<9 ∴x< 85 그런데x¾1이므로1Éx<8
5 yy㉢
㉠,㉡,㉢의합범위는-2<x<8 5 한편5x+a<6x+4<x+b는 5x+a<6x+4에서x>a-4
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연 습 문 제 실 력
U P
⑷4-xÛ`<0에서xÛ`-4>0
(x+2)(x-2)>0
∴x<-2
또는
x>2⑸2xÛ`¾x+6에서2xÛ`-x-6¾0
(2x+3)(x-2)¾0
∴xÉ-;2#;
또는
x¾2⑹-3xÛ`+8x-2¾0에서
3xÛ`-8x+2É0 yy㉠
3xÛ`-8x+2=0의근은근의공식에의하여
x=4Ñ'¶10 3
이므로부등식㉠의해는
4-'¶10
3 ÉxÉ 4+'¶103
답 풀이
참조
214
⑴-xÛ`+6x-9¾0에서xÛ`-6x+9É0
(x-3)Û`É0 ∴x=3
⑵xÛ`+8x+16¾0에서(x+4)Û`¾0
∴모든실수
⑶-9xÛ`¾4-12x에서9xÛ`-12x+4É0
(3x-2)Û`É0 ∴x=;3@;
⑷4xÛ`-12x+9>0에서(2x-3)Û`>0
∴x+;2#;인모든실수
답
⑴x=3 ⑵모든
실수
⑶x=;3@; ⑷x+;2#;
인
모든
실수
215
⑴-xÛ`+2x-3>0에서xÛ`-2x+3<0
(x-1)Û`+2<0 ∴해는없다.
⑵-2xÛ`+3x-6¾0에서2xÛ`-3x+6É0
2[xÛ`-;2#;x+{-;4#;}Û`-{-;4#;}Û`]+6É0
2{x-;4#;}Û`+;;£8»;;É0 ∴해는없다.
⑶2xÛ`+3x+4>0에서
해가존재하지않으려면
;3@;k-4<0 ∴k<6
따라서양의정수k는1,2,3,4,5의5개이다.
답
②212
2|x+1|+|x-1|에서 Úx<-1일때,
-2(x+1)-(x-1)=-3x-1
그런데x<-1이므로-3x-1>2
∴2|x+1|+|x-1|>2 Û-1Éx<1일때,
2(x+1)-(x-1)=x+3
그런데-1Éx<1이므로2Éx+3<4
∴2É2|x+1|+|x-1|<4 Üx¾1일때,
2(x+1)+(x-1)=3x+1
그런데x¾1이므로3x+1¾4
∴2|x+1|+|x-1|¾4 Ú,Û,Ü에서
2|x+1|+|x-1|¾2
따라서주어진부등식이해를가지려면 k¾2
답
k¾2213
⑴-3xÛ`+4x+15<0에서
3xÛ`-4x-15>0,(3x+5)(x-3)>0
∴x<-;3%;
또는
x>3⑵xÛ`+4x-3=0의근은근의공식에의하여
x=-2Ñ'7
이므로부등식xÛ`+4x-3É0의해는
-2-'7ÉxÉ-2+'7
⑶xÛ`-10x+24<0에서
(x-4)(x-6)<0
∴4<x<6
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-'5<x<-'3
또는
'3<x<'5⑶Úx<1일때,
xÛ`-x>-2(x-1)
xÛ`+x-2>0,(x+2)(x-1)>0
∴x<-2또는x>1
그런데x<1이므로x<-2 yy㉠
Ûx¾1일때,
xÛ`-x>2(x-1)
xÛ`-3x+2>0,(x-1)(x-2)>0
∴x<1또는x>2
그런데x¾1이므로x>2 yy㉡
㉠,㉡의합범위는
x<-2
또는
x>2⑷Úx<2일때,
xÛ`+(x-2)-8É0
xÛ`+x-10É0 yy㉠
xÛ`+x-10=0의근은근의공식에의하여
x=-1Ñ'¶41 2
이므로부등식㉠의해는
-1-'¶41
2 ÉxÉ -1+'¶412
그런데x<2이므로
-1-'¶41
2 Éx<2 yy㉡
Ûx¾2일때,
xÛ`-(x-2)-8É0
xÛ`-x-6É0,(x-3)(x+2)É0
∴-2ÉxÉ3
그런데x¾2이므로2ÉxÉ3 yy㉢
㉡,㉢의합범위는-1-'¶41 2 ÉxÉ3
답 풀이
참조
217
ㄱ.(x+1)Û`¾0은모든실수x에대하여성립한다.
∴해는모든실수
ㄴ.xÛ`-x-1=0에서x=1Ñ'5
2 이므로
2[xÛ`+;2#;x+{;4#;}Û`-{;4#;}Û`]+4>0
2{x+;4#;}Û`+;;ª8£;;>0 ∴모든실수
⑷3xÛ`-2x+1¾0에서
3[xÛ`-;3@;x+{-;3!;}Û`-{-;3!;}Û`]+1¾0
3{x-;3!;}Û`+;3@;¾0 ∴모든실수
답
⑴해는
없다
. ⑵해는
없다
.⑶
모든
실수
⑷모든
실수
216
⑴xÛ`+|x|-6<0에서
|x|Û`+|x|-6<0
←xÛ`=|x|Û`
(|x|+3)(|x|-2)<0
이때|x|+3>0이므로|x|-2<0,|x|<2
∴-2<x<2
⑵ÚxÛ`-4<0,즉(x+2)(x-2)<0에서
-2<x<2일때,
-(xÛ`-4)<1,xÛ`-3>0
(x+'3)(x-'3)>0
∴x<-'3또는x>'3
그런데-2<x<2이므로
Y
-2<x<-'3또는'3<x<2 yy㉠
ÛxÛ`-4¾0,즉(x+2)(x-2)¾0에서
xÉ-2또는x¾2일때,
xÛ`-4<1,xÛ`-5<0
(x+'5)(x-'5)<0
∴-'5<x<'5
그런데xÉ-2또는x¾2이므로
Y
-'5<xÉ-2또는2Éx<'5 yy㉡
㉠,㉡의합범위는
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연 습 문 제 실 력
U P
따라서a의최솟값은-;4!;,최댓값은1이므로합은-;4!;+1=;4#;이다.
답
;4#;220
이차부등식axÛ`+bx+c¾0의해가x=-1이므로
a<0
해가오직x=-1뿐이고xÛ`의계수가1인이차부등 식은
(x+1)Û`É0,xÛ`+2x+1É0 양변에a를곱하면
axÛ`+2ax+a¾0(∵a<0)
이부등식이axÛ`+bx+c¾0과같으므로
b=2a,c=a yy㉠
㉠을bxÛ`+cx-3a>0에대입하면 2axÛ`+ax-3a>0
양변을a로나누면
2xÛ`+x-3<0,(2x+3)(x-1)<0
∴-;2#;<x<1
따라서정수x는-1,0의2개이다.
답
2221
모든실수x에대하여xÛ`-2ax+9>0이항상성립 하므로이차방정식xÛ`-2ax+9=0의판별식을D라
하면
D4 =aÛ`-9<0,(a+3)(a-3)<0
∴-3<a<3 yy㉠
이때a-3<0,a+3>0이므로 부등식3|a-3|+2|a+3|É15에서 -3(a-3)+2(a+3)É15
-aÉ0 ∴a¾0 yy㉡
㉠,㉡에서0Éa<3
따라서a=0,b=3이므로a+b=3