x,y의이차식이x,y의두일차식의곱으로인수분해되려
면⇨판별식D=0의판별식D'=0이어야한다.
103
xÛ`-2x+3=0의두근이a,b이므로근과계수의관 계에의하여
a+b=2,ab=3
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연 습 문 제 실 력
U P
따라서근과계수의관계에의하여
(2-'3)+(2+'3)=-a ∴a=-4 (2-'3)(2+'3)=b ∴b=1
따라서xÛ`+x-4=0의두근을a, b라하면
a+b==-1, ab=-4
이므로두근의차의제곱은
(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(-1)Û`-4´(-4)
=17
⑵m,n이실수이므로이차방정식xÛ`+mx+n=0의
한근이-1+2i이면다른한근은-1-2i이다.
따라서근과계수의관계에의하여
(-1+2i)+(-1-2i)=-m ∴m=2
(-1+2i)(-1-2i)=n ∴n=5
따라서;2!;, ;5!;을두근으로하는이차방정식은
xÛ`-{;2!;+;5!;}x+;2!;´;5!;=0,즉
xÛ`-;1¦0;x+;1Á0;=0
∴a=-;1¦0;, b=;1Á0;
∴a+b=-;1¤0;=-;5#;
답
⑴17 ⑵-;5#;109
xÛ`-(4k+1)x+2k+1=0의두근이a,b이므로근 과계수의관계에의하여
a+b=4k+1, ab=2k+1 yy㉠
aÛ`b+abÛ`-a-b=6에서
ab(a+b)-(a+b)=6
(a+b)(ab-1)=6 yy㉡
㉠을㉡에대입하면
(4k+1)(2k+1-1)=6 4kÛ`+k-3=0
(4k-3)(k+1)=0
∴k=-1(∵k는정수)
답
-1106
이차방정식의근과계수의관계에의하여
a+b=2,ab=;2K;
∴|a-b|="Ã(a-b)Û`
="Ã(a+b)Û`-4ab
=®É2Û`-4´ k2 ='Ä4-2k 따라서'Ä4-2k='2에서
4-2k=2 ∴k=1
답
④참고
"AÛ`=|A|107
이차방정식xÛ`-3x+1=0의두근이a,b이므로근 과계수의관계에의하여
a+b=3,ab=1
두근aÛ`+;º!;,bÛ`+;!;의합과곱을구하면 {aÛ`+;º!;}+{bÛ`+;!;} =aÛ`+bÛ`+;º!;+ 1a
=(a+b)Û`-2ab+ a+bab
=3Û`-2´1+3
=10
{aÛ`+;º!;}{bÛ`+;!;} =aÛ`bÛ`+a+b+ 1ab
=1Û`+3+1
=5 따라서aÛ`+1
b ,bÛ`+;!;을두근으로하고xÛ`의계수가
1인이차방정식은
xÛ`-10x+5=0
∴a=-10,b=5
∴a+b=-5
답
-5108
⑴a,b가유리수이므로이차방정식xÛ`+ax+b=0의
한근이2-'3이면다른한근은2+'3이다.
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=(2a+1)(2b+1)
=4ab+2(a+b)+1
=-8+6+1=-1
답
②112
두근의곱이-18<0이므로두근의부호는다르다.
또두근의절댓값의비가2：1이므로두근을a, -2a(a+0)라하면근과계수의관계에의하여
a+(-2a)=-(m-5) yy㉠
a´(-2a)=-18 yy㉡
㉡에서aÛ`=9 ∴a=Ñ3
㉠에서m=a+5이므로
m=2또는m=8
답
2또는
8113
xÛ`+ax+b=0의두근이a, b이므로근과계수의관 계에의하여
a+b=-a, ab=b yy㉠
xÛ`-bx+a=0의두근이a+1, b+1이므로근과계 수의관계에의하여
(a+1)+(b+1)=b, (a+1)(b+1)=a
∴a+b+2=b, ab+a+b+1=a yy㉡
㉠을㉡에대입하면
-a+2=b, b-a+1=a 두식을연립하여풀면a=1, b=1
이것을xÛ`+ax+b=0에대입하면xÛ`+x+1=0 양변에x-1을곱하면
(x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴xÜ`=1 그런데a, b는xÛ`+x+1=0의근이므로
aÜ`=1, bÜ`=1
∴aÝ`+bÝ`=aÜ`´a+bÜ`´b=a+b=-1
답
①114
⑴xÛ`-2(k-2)x+kÛ`+8=0의두근을a, b,판별 식을D라하면두근이모두음수이므로
110
이차방정식xÛ`+(k+2)x+9-k=0의두근이연속 하는정수이면두근의차는1이다.
두근을a,a+1이라하면근과계수의관계에의하여
a+(a+1)=-(k+2) yy㉠
a(a+1)=9-k yy㉡
㉠에서2a+1=-k-2 ∴k=-2a-3 k=-2a-3을㉡에대입하면
a(a+1)=9-(-2a-3) aÛ`+a=9+2a+3,aÛ`-a-12=0
(a+3)(a-4)=0 ∴a=-3또는a=4 이때k=-2a-3이므로k=3또는k=-11 따라서두실수k의값의합은
3+(-11)=-8
답
-8다른풀이
이차방정식의두근을a,b라하면근과계수의관계에의하여 a+b=-(k+2),ab=9-k
이때두근이연속하는정수이므로두근의차는1이다.
즉,a-b=1(단,a>b) (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab에서
1={-(k+2)}Û`-4´(9-k) kÛ`+8k-32=1
kÛ`+8k-33=0,(k+11)(k-3)=0
∴k=-11또는k=3
따라서두실수k의값의합은-8이다.
111
이차방정식xÛ`-3x-2=0의두근이a,b이므로 근과계수의관계에의하여
a+b=3,ab=-2
또x=a를xÛ`-3x-2=0에대입하면
aÛ`-3a-2=0에서aÛ`=3a+2 x=b를xÛ`-3x-2=0에대입하면 bÛ`-3b-2=0에서bÛ`=3b+2
∴(aÛ`-a-1)(bÛ`-b-1)
=(3a+2-a-1)(3b+2-b-1)
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연 습 문 제 실 력
U P
∴"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1=2'6(∵"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1>0)
답
⑴;2&; ⑵2'6다른풀이
⑵xÛ`-4x+1=0의두근이a,b이므로a+b=4,ab=1 yy㉠
또aÛ`-4a+1=0, bÛ`-4b+1=0
∴aÛ`+1=4a, bÛ`+1=4b
∴"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1 ='§4a+'§4b
=2('a+'b)
여기서
('a+'b)Û`
=a+b+2'¶ab(∵㉠에서a>0,b>0)
=4+2'1
=6
∴'a+'b='6(∵'a+'b>0)
∴"ÃaÛ`+1+"ÃbÛ`+1=2'6
116
두근의차가1이므로두근을a,a+1이라하면근과
계수의관계에의하여
a+(a+1)=1-m yy㉠
a(a+1)=m yy㉡
㉠에서m=-2a를㉡에대입하면 a(a+1)=-2a
aÛ`+3a=0,a(a+3)=0
∴a=0또는a=-3 a=0일때,m=0 a=-3일때,m=6 Úm=0일때,
a=0이므로두근은0,1이다.
Ûm=6일때,
a=-3이므로두근은-3,-2이다.
Ú,Û에서두근의비가3：2인경우는m=6일때 이다.
∴mÛ`-3m=36-18=18