연 습 문 제 실 력
U P
따라서a의최솟값은-;4!;,최댓값은1이므로합은-;4!;+1=;4#;이다.
답
;4#;220
이차부등식axÛ`+bx+c¾0의해가x=-1이므로
a<0
해가오직x=-1뿐이고xÛ`의계수가1인이차부등 식은
(x+1)Û`É0,xÛ`+2x+1É0 양변에a를곱하면
axÛ`+2ax+a¾0(∵a<0)
이부등식이axÛ`+bx+c¾0과같으므로
b=2a,c=a yy㉠
㉠을bxÛ`+cx-3a>0에대입하면 2axÛ`+ax-3a>0
양변을a로나누면
2xÛ`+x-3<0,(2x+3)(x-1)<0
∴-;2#;<x<1
따라서정수x는-1,0의2개이다.
답
2221
모든실수x에대하여xÛ`-2ax+9>0이항상성립 하므로이차방정식xÛ`-2ax+9=0의판별식을D라
하면
D4 =aÛ`-9<0,(a+3)(a-3)<0
∴-3<a<3 yy㉠
이때a-3<0,a+3>0이므로 부등식3|a-3|+2|a+3|É15에서 -3(a-3)+2(a+3)É15
-aÉ0 ∴a¾0 yy㉡
㉠,㉡에서0Éa<3
따라서a=0,b=3이므로a+b=3
답
3224
⑴해가;1Á4;<x< 1
10 이고이차항의계수가1인이차 부등식은
{x-;1Á4;}{x-;1Á0;}<0,(14x-1)(10x-1)<0 ∴140xÛ`-24x+1<0 yy㉠
㉠과이차부등식axÛ`+bx+c>0의부등호의방향 이다르므로a<0
㉠의양변에;14A0;를곱하면
axÛ`-;1ª4¢0;ax+;14A0;>0
이부등식이axÛ`+bx+c>0과일치하므로
b=-;1ª4¢0;a, c=;14A0; yy㉡
㉡을4cxÛ`-2bx+a>0에대입하면
;14$0;axÛ`+;1¢4¥0;ax+a>0 4xÛ`+48x+140<0(∵a<0) xÛ`+12x+35<0,(x+7)(x+5)<0
∴-7<x<-5
⑵이차방정식axÛ`+bx+c=0이x=2를중근으로
가지므로
axÛ`+bx+c=a(x-2)Û`
이때axÛ`+bx+c>0에서
a(x-2)Û`>0
그런데a>0이므로(x-2)Û`>0
∴x+2인모든실수
⑶부등식|x|+|x-2|<3
0 2
Ú Û Ü
에서
Úx<0일때,
-x-(x-2)<3,-2x<1
∴x>-;2!;
그런데x<0이므로-;2!;<x<0 Û0Éx<2일때,
x-(x-2)<3 ∴0´x<1
이것을만족하는x의값은모든실수이다.
그런데0Éx<2이므로0Éx<2
222
⑴이차함수y=xÛ`+ax+b의그래프가직선
y=x-3보다위쪽에있으므로 xÛ`+ax+b>x-3
∴xÛ`+(a-1)x+b+3>0 yy㉠
해가x<-1또는x>4이고xÛ`의계수가1인이차 부등식은
(x+1)(x-4)>0
∴xÛ`-3x-4>0 yy㉡
㉠과㉡이서로같아야하므로 a-1=-3,b+3=-4
∴a=-2,b=-7
∴a+b=-9
⑵axÛ`-3<-4x-a에서axÛ`+4x+a-3<0이고 모든실수x에대하여항상성립하려면
a<0 yy㉠
이차방정식axÛ`+4x+a-3=0의판별식을D라
하면
D4 =4-a(a-3)<0 (a+1)(a-4)>0
∴a<-1또는a>4 yy㉡
㉠,㉡에서a<-1
답
⑴-9⑵a<-1223
-xÛ`+2(k+3)x+4(k+3)>0에서 xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)<0
이부등식의해가존재하지않으려면모든실수x에대 하여xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)¾0이성립해야한다.
이차방정식xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)=0의판별식 을D라할때
D4 ={-(k+3)}Û`+4(k+3)É0 kÛ`+10k+21É0,(k+3)(k+7)É0
∴-7ÉkÉ-3
따라서정수k의최솟값은-7이다.
답
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연 습 문 제 실 력
U P
f(3-2x)=a(3-2x-1)(3-2x-5) =4a(x-1)(x+1)이고 f(0)=5a이므로
f(3-2x)>f(0)에서 4a(x-1)(x+1)>5a a{4(x-1)(x+1)-5}>0 4xÛ`-9<0(∵a<0)
∴-;2#;<x<;2#;
따라서정수x의개수는-1,0,1의3개이다.
답
3227
3xÛ`+2(a+b+c)x+ab+bc+caÉ0의해가단한
개존재하므로이차방정식
3xÛ`+2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0의판별식을
D라하면
D4 =(a+b+c)Û`-3(ab+bc+ca)=0 aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0
;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 따라서a-b=0,b-c=0,c-a=0이므로 a=b=c
∴3b a +3c
b +3a c =3a
a +3b b +3c
c =9
답
9228
이차부등식axÛ`+bx+c¾0의해가x=2뿐이므로 a<0이고방정식axÛ`+bx+c=0의해는x=2
∴axÛ`+bx+c=a(x-2)Û`
=axÛ`-4ax+4a yy㉠
ㄱ.axÛ`+bx+cÉ0,즉a(x-2)Û`É0 이때a<0이므로(x-2)Û`¾0
∴해는모든실수(참)
ㄴ.㉠에서b=-4a,c=4a이므로 -axÛ`+bx-c=-axÛ`-4ax-4a
=-a(x+2)Û`
Üx¾2일때,
x+(x-2)<3 ∴x<;2%;
그런데x¾2이므로2Éx<;2%;
Ú,Û,Ü에서-;2!;<x<;2%;
이때해가-;2!;<x<5
2 이고xÛ`의계수가1인이차 부등식은
{x+;2!;}{x-;2%;}<0,xÛ`-2x-;4%;<0
∴4xÛ`-8x-5<0
이부등식이axÛ`-bx-5<0과같으므로
a=4,b=8 ∴a+b=12
답
⑴-7<x<-5⑵x+2
인
모든
실수
⑶12
225
(k-1)xÛ`-2(k-1)x+1É0이단한개의실근을
가지려면
Úk-1>0이므로k>1
Û이차방정식(k-1)xÛ`-2(k-1)x+1=0의판별 식을D라하면
;;4;D;={-(k-1)}Û`-(k-1)=0 kÛ`-3k+2=0,(k-1)(k-2)=0
∴k=1또는k=2 Ú,Û에서k=2
k=2를주어진부등식에대입하면 xÛ`-2x+1É0
(x-1)Û`É0 ∴x=1 따라서a=2,b=1이므로 a+b=3
답
3226
이차부등식f(x)>0의해가1<x<5이므로 f(x)=a(x-1)(x-5)(a<0)로놓으면
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적어도하나가실근을갖는경우는둘다허근을갖는
경우를제외하면된다.
㉠의판별식을DÁ이라하면 DÁ
4 =aÛ`-(a+2)<0에서
aÛ`-a-2<0,(a+1)(a-2)<0
∴-1<a<2 yy㉢
㉡의판별식을Dª라하면 Dª=(a-1)Û`-4aÛ`<0에서
3aÛ`+2a-1>0,(a+1)(3a-1)>0
∴a<-1또는a>;3!; yy㉣
둘다허근을갖도록하는a의값의범위는㉢,㉣의공 통범위인1
3 <a<2이다.
따라서적어도하나가실근을갖는경우는
aÉ;3!;또는a¾2
답
aÉ;3!;또는
a¾2다른풀이
적어도하나가실근을갖는경우는둘다실 근을갖는경우의합범위이다.㉠의판별식을DÁ이라하면 DÁ
4 =aÛ`-(a+2)¾0,(a+1)(a-2)¾0
∴aÉ-1또는a¾2
㉡의판별식을Dª라하면
Dª=(a-1)Û`-4aÛ`¾0,3aÛ`+2a-1É0 (a+1)(3a-1)É0
∴-1ÉaÉ;3!;
따라서적어도하나가실근을갖는경우는
aÉ;3!;또는a¾2
231
부등식0<f(x)<g(x)에서 f(x)>0,f(x)<g(x)
Ú f(x)>0을만족하는x의값의범위는y=f(x)의
그래프가x축보다위쪽에있는x의값의범위이 므로
-axÛ`+bx-cÉ0,즉-a(x+2)Û`É0 이때a<0에서-a>0이므로(x+2)Û`É0 해는x=-2뿐이다.(거짓)
ㄷ.cxÛ`+bx+a=4axÛ`-4ax+a
=a(2x-1)Û`
cxÛ`+bx+a¾0,즉a(2x-1)Û`¾0 이때a<0이므로(2x-1)Û`É0 해는x=;2!;뿐이다.(거짓) 따라서옳은것은ㄱ이다.
답
ㄱ229
⑴|xÛ`+6x-8|É8에서
-8ÉxÛ`+6x-8É8
Ú-8ÉxÛ`+6x-8에서
xÛ`+6x¾0,x(x+6)¾0
∴xÉ-6또는x¾0
ÛxÛ`+6x-8É8에서
xÛ`+6x-16É0,(x-2)(x+8)É0
∴-8ÉxÉ2
Ú,Û의공통범위를구하면
-8ÉxÉ-6또는0ÉxÉ2
⑵|xÛ`-2x|¾0이므로2x-3¾0
따라서|xÛ`-2x|É2x-3에서
-(2x-3)ÉxÛ`-2xÉ2x-3
Ú-(2x-3)ÉxÛ`-2x에서xÛ`¾3
∴xÉ-'3또는x¾'3 ÛxÛ`-2xÉ2x-3에서
xÛ`-4x+3É0,(x-1)(x-3)É0
∴1ÉxÉ3
Ú,Û의공통범위를구하면'3ÉxÉ3
답
⑴-8ÉxÉ-6또는
0ÉxÉ2⑵'3ÉxÉ3
230
[xÛ`+2ax+a+2=0 yy㉠
xÛ`+(a-1)x+aÛ`=0 yy㉡
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U P
234
[xÛ`Éx+6xÛ`+4x¾5 yy㉠yy㉡
㉠에서xÛ`-x-6É0,(x+2)(x-3)É0
∴-2ÉxÉ3 yy㉢
㉡에서xÛ`+4x-5¾0,(x+5)(x-1)¾0
∴xÉ-5또는x¾1 yy㉣
-5 -2 1 3 x
㉣ ㉢ ㉣
㉢,㉣의공통범위는1ÉxÉ3
이차부등식axÛ`+bx-1¾0의해가1ÉxÉ3이므로
a<0이고,해가1ÉxÉ3이고xÛ`의계수가1인이차 부등식은
(x-1)(x-3)É0,xÛ`-4x+3É0 양변에a를곱하면
axÛ`-4ax+3a¾0(∵a<0)
이부등식이axÛ`+bx-1¾0과같으므로 -4a=b,3a=-1
∴a=-;3!;,b=;3$;
∴a+b=1
답
③235
[|x+2|ÉkxÛ`+10x-4kÛ`+25>0 yy㉠yy㉡
㉠에서-kÉx+2Ék
∴-k-2ÉxÉk-2 yy㉢
㉡에서xÛ`+10x-(2k+5)(2k-5)>0 {x+(2k+5)}{x-(2k-5)}>0 이때k>0이므로2k-5>-2k-5
∴x<-2k-5또는x>2k-5 yy㉣
㉢과㉣의공통범위가없으려면다음그림에서
-2k-5 -k-2 k-2 2k-5 x
㉣ ㉢ ㉣
-2k-5É-k-2이고2k-5¾k-2
x<-2또는x>2 yy㉠
Ûf(x)<g(x)를만족하는x의값의범위는
y=g(x)의그래프가y=f(x)의그래프보다위쪽 에있는x의값의범위이므로
-1<x<3 yy㉡
㉠,㉡의공통범위는2<x<3 따라서a=2,b=3이므로a+b=5
답
5232
주어진연립부등식의해가-5<xÉ1또는
5Éx<6이려면xÛ`+ax+5¾0의해가xÉ1또는
x¾5이어야한다.
즉xÛ`+ax+5=0의두근이1,5이므로근과계수의
관계에의하여
1+5=-a ∴a=-6
또xÛ`-x+b<0의해가-5<x<6이어야한다.
즉xÛ`-x+b=0의두근이-5,6이므로근과계수 의관계에의하여
-5´6=b ∴b=-30
∴a+b=-36
답
-36233
ÚxÛ`-3x-10É0에서(x+2)(x-5)É0 ∴-2ÉxÉ5
Û(x-2)(x-a)>0에서 a<2일때,x<a또는x>2 a¾2일때,x<2또는x>a
Ú,Û의해의공통부분이2<xÉ5가되도록수직선
위에나타내면다음그림과같다.
B Y
∴aÉ-2
따라서a의최댓값은-2이다.
답
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㉠,㉡,㉢의공통범위를구하면12ÉxÉ16 따라서정수x는12,13,14,15,16의5개이다.
답
5238
xÛ`-2x-15É0에서(x+3)(x-5)É0
∴-3ÉxÉ5 yy㉠
xÛ`-(2a+1)x+2a<0에서
(x-1)(x-2a)<0 yy㉡
Ú2a<1일때,
㉡의해는2a<x<1이므로두부등식을동시에
만족하는정수x가3개,즉-2,-1,0이되려면
다음그림에서
-3 x
-1 0 1-2 5
㉡
㉠
2a
-3É2a<-2 ∴-;2#;Éa<-1 Û2a=1일때,
(x-1)Û`<0 ∴해는없다.
Ü2a>1일때,
㉡의해는1<x<2a이므로두부등식을동시에
만족하는정수x가3개,즉2,3,4가되려면다음
그림에서
-3 1 2 3 4 5 x
㉡
㉠
2a
4<2aÉ5 ∴2<aÉ;2%;
Ú,Û,Ü에서
-;2#;Éa<-1또는2<aÉ;2%;
답
-;2#;Éa<-1또는
2<aÉ;2%;239
xÛ`+(a-1)x-a<0에서
(x+a)(x-1)<0 yy㉠
즉,k¾-3이고k¾3
∴k¾3
따라서k의최솟값은3이다.
답
3236
[|x-2|<k yy㉠
xÛ`-2x-3É0 yy㉡
㉠에서-k<x-2<k
∴-k+2<x<k+2
㉡에서(x+1)(x-3)É0
∴-1ÉxÉ3
-k+2-1 0 1 2 3 k+2 x
㉡㉠
연립부등식을만족시키는정수x의개수가5,즉
x=-1,0,1,2,3이되기위해서는
-k+2<-1이고k+2>3
즉,k>3이고k>1
∴k>3
따라서양의정수k의최솟값은4이다.
답
③237
변의길이는양수이므로 x-4>0,x-10>0
∴x>10 yy㉠
직각삼각형의넓이가36이하이므로
x-4
x-10
;2!;(x-4)(x-10)É36 xÛ`-14x-32É0
(x+2)(x-16)É0
∴-2ÉxÉ16 yy㉡
빗변의길이가2'17이상이므로
"Ã(x-4)Û`+(x-10)Û``¾2'¶17 (x-4)Û`+(x-10)Û`¾68
xÛ`-14x+24¾0,(x-2)(x-12)¾0
∴xÉ2또는x¾12 yy㉢
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U P
㉠,㉡,㉢의공통범위를구하면1<x<2 따라서pxÛ`+qx-14>0의해가1<x<2이므로 p<0이고
pxÛ`+qx-14 =p(x-1)(x-2)
=p(xÛ`-3x+2)
=pxÛ`-3px+2p 따라서q=-3p,-14=2p이므로 p=-7,q=21
∴p+q=14
답
14241
f(x)=xÛ`-2(a+1)x+3이라
x 1
하면f(x)=0의두근이모두1
보다크므로y=f(x)의그래프 는오른쪽그림과같다.
Úf(x)=0의판별식을D라하면
;;4;D;={-(a+1)}Û`-3¾0이므로 aÛ`+2a-2¾0
aÛ`+2a-2=0의근은a=-1Ñ'3이므로
aÉ-1-'3 또는 a¾-1+'3 yy㉠
Ûf(1)=1-2(a+1)+3>0이므로
2a<2 ∴a<1 yy㉡
Ü(대칭축)>1이므로
a+1>1 ∴a>0 yy㉢
㉠,㉡,㉢의공통범위를구하면 -1+'3Éa<1
답
③242
f(x)=xÛ`+2ax+aÛ`-9라하
1 x
면f(x)=0의두근사이에1 이있으므로y=f(x)의그래 프는오른쪽그림과같다.
따라서f(1)<0이므로1+2a+aÛ`-9<0 aÛ`+2a-8<0,(a+4)(a-2)<0 6xÛ`+x-1>0에서
(2x+1)(3x-1)>0
∴x<-;2!;또는x>;3!; yy㉡
Ú-a>1일때,
㉠의해는1<x<-a이므로두부등식을동시에
만족시키는정수x가2개,즉2,3이되려면다음
그림에서
Y
B
㉠
㉡ ㉡
3<-aÉ4 ∴-4Éa<-3 Û-a<1일때,
㉠의해는-a<x<1이므로두부등식을동시에
만족시키는정수x가2개,즉-2,-1이려면다음
그림에서
Y
㉡ ㉠ ㉡
B
-3É-a<-2 ∴2<aÉ3 Ú,Û에서
-4Éa<-3또는2<aÉ3
답
-4Éa<-3또는
2<aÉ3240
세변의길이는모두양수이므로
2x-1>0,2x>0,2x+1>0
∴x>;2!; yy㉠
삼각형의세변의길이사이의관계에의하여
2x+1<(2x-1)+2x
∴x>1 yy㉡
둔각삼각형이되려면
(2x+1)Û`>(2x-1)Û`+(2x)Û`
xÛ`-2x<0,x(x-2)<0
∴0<x<2 yy㉢
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㉠,㉡,㉢,㉣의공통범위를구하면
1<a<;2%;
이때정수a의값은2이다.
답
②245
xÛ`-7x+12=0에서(x-3)(x-4)=0
∴x=3또는x=4
f(x)=xÛ`-(a-1)x+2a+8이라하면f(x)=0의
한근만이3과4사이에있으므로y=f(x)의그래프 는다음그림과같이위치해야한다.
4 x
3 3 x
4
즉,f(3)f(4)<0이므로
{9-3(a-1)+2a+8}{16-4(a-1)+2a+8}<0 (-a+20)(-2a+28)<0
(a-20)(a-14)<0
∴14<a<20
따라서실수a의값이될수있는것은③이다.
답
③246
f(x)=xÛ`+(k-3)x+kÛ`-3k
1 x -1
라하면주어진조건을만족시 키는y=f(x)의그래프는오 른쪽그림과같다.
Úf(x)=0의판별식을D라하면
D=(k-3)Û`-4(kÛ`-3k)¾0이므로
kÛ`-2k-3É0
(k+1)(k-3)É0 ∴-1ÉkÉ3
Ûf(-1)>0이므로 1-(k-3)+kÛ`-3k>0
kÛ`-4k+4>0 (k-2)Û`>0
∴-4<a<2
따라서정수a는-3,-2,-1,0,1의5개이다.
답
5243
f(x)=2xÛ`-ax+2a-1이
-1a 0 b1 x
라하면주어진조건을만족 시키는y=f(x)의그래프는
오른쪽그림과같다.
Úf(-1)>0이므로
2+a+2a-1>0
∴a>-;3!; yy㉠
Ûf(0)<0이므로
2a-1<0 ∴a<;2!; yy㉡
Üf(1)>0이므로
2-a+2a-1>0 ∴a>-1 yy㉢
㉠,㉡,㉢의공통범위를구하면 -;3!;<a<;2!;
답
-;3!;<a<;2!;244
f(x)=axÛ`-(a+1)x-3이
-1 0 2
3 x
라하면f(0)=-3<0이므로
주어진조건을만족시키는
y=f(x)의 그래프는 오른쪽
그림과같다.
Úf(-1)>0이므로
a+a+1-3>0 ∴a>1 yy㉠
Ûf(0)<0이므로
-3<0 ∴모든실수 yy㉡
Üf(2)<0이므로
4a-2(a+1)-3<0 ∴a<;2%; yy㉢
Ýf(3)>0이므로
9a-3(a+1)-3>0
∴a>1 yy㉣
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U P
xÛ`-2ax+(a+2)(a-2)¾0(x-a+2)(x-a-2)¾0
∴xÉa-2또는x¾a+2 yy㉡
a-2 x
-2 4 a+2
㉡ ㉠ ㉡
㉠,㉡을동시에만족시키는x의값의범위가
-2<xÉ1이어야하므로 a-2=1, a+2¾4 ∴a=3
248
⑴Ú[x]Û`-10[x]+9<0에서
([x]-1)([x]-9)<0 ∴1<[x]<9 그런데[x]는정수이므로[x]=2,3,4,y,8
∴2Éx<9 yy㉠
Û[x-3]=[x]-3이므로
[x-3]Û`+2[x]-21<0에서 ([x]-3)Û`+2[x]-21<0 [x]Û`-4[x]-12<0 ([x]+2)([x]-6)<0
∴-2<[x]<6 그런데[x]는정수이므로
[x]=-1,0,1,y,5
∴-1Éx<6 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를 ㉡ ㉠
Y
구하면2Éx<6
⑵|[x]Û`-4[x]-6|<6에서
-6<[x]Û`-4[x]-6<6 Ú-6<[x]Û`-4[x]-6일때, [x]Û`-4[x]>0
[x]([x]-4)>0
∴[x]<0또는[x]>4 Û[x]Û`-4[x]-6<6일때, [x]Û`-4[x]-12<0
([x]+2)([x]-6)<0
∴-2<[x]<6
∴k+2인모든실수
또f(1)>0이므로 1+k-3+kÛ`-3k>0
kÛ`-2k-2>0
kÛ`-2k-2=0의근은k=1Ñ'3이므로
∴k<1-'3또는k>1+'3 Ü-1<(대칭축)<1이므로
-1<-k-3 2 <1
-2<k-3<2
∴1<k<5
Ú,Û,Ü의공통범위를구하면 1+'3<kÉ3
답
④247
|x-1|<3에서-3<x-1<3
∴-2<x<4
주어진연립부등식의해가-2<xÉ1이려면다음그 림과같아야한다.
Y
즉x=1이방정식xÛ`-2ax+aÛ`-4=0의근이어야
하므로
aÛ`-2a-3=0,(a-3)(a+1)=0
∴a=3또는a=-1 Ú a=3일때,
xÛ`-6x+5¾0, (x-1)(x-5)¾0 ∴xÉ1또는x¾5`(조건에적합) Û a=-1일때,
xÛ`+2x-3¾0, (x+3)(x-1)¾0 ∴xÉ-3또는x¾1(조건에부적합) Ú,Û에서 a=3