답 70 - 익히기

379

y=-xÛ`+2x+5에서 y=-(x-1)Û`+6

꼭짓점의 좌표가 (1, 6)이므로 점 (1, 6)을 점 (a, b)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 (3, 6)이어 야 한다.

즉 두 점 (1, 6), (3, 6)을 이은 선분의 중점이 (a, b)이므로

이 점을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 4만 큼 평행이동한 점의 좌표는

(2-3, 5+4), 즉 (-1, 9)

이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (1, -9)

이때 점 (1, -9)가 직선 ax-2y+1=0 위의 점이 므로

a+18+1=0

∴ a=-19

답

-19

375

직선 y=-3x+6을 y축에 대하여 대칭이동하면 y=3x+6이고

이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -;3!;이므로 점 (-2, 4)를 지나고 기울기가 -;3!;인 직선의 방정 식은

y-4=-;3!;(x+2)

∴ y=-;3!;x+:Á3¼:

답

y=-;3!;x+:Á3¼:

376

y=xÛ`-2mx+mÛ`-5에서 y=(x-m)Û`-5 포물선의 꼭짓점의 좌표가 (m, -5)이므로 이 포물 선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 꼭짓점의 좌 표는 (-m, 5)이다.

이것이 (-2, k)와 일치하므로 m=2, k=5 ∴ m+k=7

^답

다른풀이

포물선 y=xÛ`-2mx+mÛ`-5를 원점에 대 하여 대칭이동하면

-y=(-x)Û`-2m´(-x)+mÛ`-5

∴ y =-xÛ`-2mx-mÛ`+5

=-(x+m)Û`+5

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확 인 체 크 념 원 리 익 히 기

1=-a+b yy ㉠

또 두 점 (0, -1), (-2, 3)을 지나는 직선은 직선 y=ax+b에 수직이므로

-2-0 _a=-1 ∴ a=;2!;3+1

a=;2!;을 ㉠에 대입하면 b=;2#;

∴ a+b=2

답

383

점 A(2, 4)를 y축에

O x y

A'(-2, 4) A(2, 4)

B(3, -5)

대하여 대칭이동한 점 P

을 A'이라 하면 A'(-2, 4) 오른쪽 그림에서 APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ

=AÕ'PÓ+BPÓ

¾AÕ'BÓ

="Ã(3+2)Û`+Ã(-5-4)Û`

='Ä106

따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 'Ä106이다.

답

'Ä106

384

점 A(2, 3)을 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A',

점 B(6, 1)을 x축에 대 하여 대칭이동한 점을 B' 이라 하면

A'(-2, 3), B'(6, -1) 오른쪽 그림에서

APÓ+PQÓ+QBÓ

=AÕ'PÓ+PQÓ+QÕB'Ó¾AÕ'B'Ó

="Ã(6+2)Û`+Ã(-1-3)Û`=4'5

따라서 APÓ+PQÓ+QBÓ의 최솟값은 4"5이다.

답

4"5

O x y

-2-1 2 Q B' B A' A

6 3

P 1

a= 1+32 =2, b=6+6 2 =6

∴ a+b=8

답

380

두 점 P(-3, 4), Q(1, 8)을 이은 선분 PQ의 중점 (-1, 6)이 직선 y=ax+b 위의 점이므로

6=-a+b yy ㉠

또 두 점 P(-3, 4), Q(1, 8)을 지나는 직선이 직선 y=ax+b에 수직이므로

8-41+3 _a=-1 ∴ a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 b=5

∴ a-b=-6

답

-6

381

xÛ`+yÛ`-4x-8y=0에서 (x-2)Û`+(y-4)Û`=20 두 원의 중심 (2, 4), (0, 0)이 직선 y=ax+b에 대 하여 대칭이므로 두 점 (2, 4), (0, 0)을 이은 선분의 중점 (1, 2)가 직선 y=ax+b 위의 점이다.

∴ 2=a+b yy ㉠

또 두 점 (2, 4), (0, 0)을 지나는 직선이 직선 y=ax+b에 수직이므로

;2$;_a=-1 ∴ a=-;2!;

a=-;2!;을 ㉠에 대입하면 b=;2%;

원을 대칭이동하여도 반지름의 길이는 변하지 않으므 로 c=20

∴ abc=-;2!;´;2%;´20=-25

답

-25

382

두 원의 중심 (0, -1), (-2, 3)을 이은 선분의 중점 { 0-22 , -1+3

2 }=(-1, 1) 은 직선 y=ax+b 위에 있으므로

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㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=3

∴ A'(3, 3) 오른쪽 그림에서 APÓ+PBÓ

=AÕ'PÓ+PBÓ

¾AÕ'BÓ

="Ã(4-3)Û`+Ã(10-3)Û`

=5'2

답

5'2

" 1

Z ZY

385

점 A(1, 5)를 직선 y=x+2에 대하여 대칭이동한 점 을 A'(a, b)라 하면 두 점 A, A'을 이은 선분의 중점 { 1+a2 , 5+b

2 }가 직선 y=x+2 위의 점이므로 5+b2 =1+a

2 +2

∴ a-b=0 yy ㉠

또 직선 AA'이 직선 y=x+2에 수직이므로 b-5a-1 _1=-1

∴ a+b=6 yy ㉡

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연 습 문 제 실 력

U P

연습문제·실력

3

f(x)‌‌=(xÛ`-2x+3)(x-1)+3x-2‌ ‌

=xÜ`-xÛ`-2xÛ`+2x+3x-3+3x-2‌ ‌

=xÜ`-3xÛ`+8x-5

f(x)를‌xÛ`-x-1로‌나누었을‌때의‌몫과‌나머지를‌구 하면

‌ x-2

xÛ`-x-1`

)

`xÜ`-3xÛ`+8x-5 xÜ`- xÛ`- x

-2xÛ`+9x-5

-2xÛ`+2x+2

7x-7

∴‌몫‌:‌x-2,‌나머지‌:‌7x-7 따라서‌몫과‌나머지의‌합은 (x-2)+(7x-7)=8x-9

답

8x-9

4

(xÜ`+axÛ`+b)(2xÛ`-3bx+4)를‌전개하였을‌때‌

xÝ`‌항은

xÜ`´(-3bx)+axÛ`´2xÛ`=(2a-3b)xÝ`

xÛ`‌항은‌

axÛ`´4+b´2xÛ`=(4a+2b)xÛ`

이때‌xÝ`‌의‌계수와‌xÛ`‌의‌계수가‌모두‌8이므로‌

2a-3b=8,‌4a+2b=8 두‌식을‌연립하여‌풀면‌

a=;2%;,‌b=-1‌ ‌

∴‌a+b=;2#;

답

;2#;

5

f(x)‌‌=(2x-1)Û`Q(x)+R(x)‌ ‌

=[2{x- 12 }]Û`Q(x)+R(x)‌ ‌

Ⅰ .

다항식

1

^‌

⑴‌A+B=3xÛ`+2x-4‌ yy‌㉠

‌ A-2B=6xÛ`-7x+8‌ yy‌㉡

‌ ㉠-㉡을‌하면‌

‌ 3B=-3xÛ`+9x-12

‌ ∴‌B=-xÛ`+3x-4

‌ ㉠에서

‌ A‌=-B+(3xÛ`+2x-4)‌ ‌

=-(-xÛ`+3x-4)+3xÛ`+2x-4‌‌

=4xÛ`-x

‌ ∴‌‌2(-A+B)-{B-(A-2B)}‌ ‌

=-2A+2B-(B-A+2B)‌ ‌

=-A-B‌ ‌

=-(4xÛ`-x)-(-xÛ`+3x-4)‌ ‌

=-3xÛ`-2x+4

⑵‌A-3(X-B)=7A에서‌

‌ A-3X+3B=7A

‌ 3X=-6A+3B

‌ ∴‌X‌=-2A+B‌ ‌

=-2(3xÛ`-2xy-yÛ`)+(xÛ`+3xy-2yÛ`)‌ ‌

=-6xÛ`+4xy+2yÛ`+xÛ`+3xy-2yÛ`‌ ‌

=-5xÛ`+7xy

^답

⑴-3xÛ`-2x+4⑵-5xÛ`+7xy

2

^‌

(ax+1)xÛ`‌=bxÜ`+xÛ`=2xÜ`+xÛ`이므로 a=b=2

(2x+1)c=dx+e=8x+4이므로 c=4,‌d=8,‌e=4

∴‌‌a+b+c+d+e‌ ‌

=2+2+4+8+4=20

^답

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⑵‌xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)에서

‌ 4=1Ü`-3xy´1‌ ‌ ∴‌xy=-1

‌ ∴‌xÛ`-xy+yÛ`‌=(x+y)Û`-3xy‌ ‌

=1Û`-3´(-1)=4

⑶‌{x+;[!;}Û`=xÛ`+2´x´;[!;+ 1xÛ`=3+2=5

‌ ∴‌x+;[!;='5‌(∵‌x>0)

‌ ∴‌xÜ`+ 1

xÜ`‌‌={x+;[!;}Ü`-3{x+;[!;}‌ ‌

=('5)Ü`-3´'5‌ ‌

=5'5-3'5=2'5

⑷‌‌‌a+b=(1+'2-'3)+(1-'2+'3)=2

‌ ab‌‌=(1+'2-'3)(1-'2+'3)‌ ‌

={1+('2-'3)}{1-('2-'3)}‌ ‌

=1-('2-'3)Û`‌ ‌

=-4+2'6`

‌ ∴‌aÜ`+bÜ`‌‌=(a+b)Ü`-3ab(a+b)‌ ‌

=2Ü`-3´(-4+2'6`)´2‌ ‌

=32-12'6

답

⑴12⑵4⑶2'5⑷32-12'6

다른풀이

‌ ⑵‌xÜ`+yÜ`=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)에서‌

‌ xÜ`+yÜ`=4,‌x+y=1이므로

‌ xÛ`-xy+yÛ`=4

9

(주어진‌식)

=(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) (4-1)(4+1)(4Û`+1)(4Ý`+1) ×4-1

2-1

=(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) (4Û`-1)(4Û`+1)(4Ý`+1) ×3

=(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1) (4Ý`-1)(4Ý`+1) ×3

=(2¡`-1)(2¡`+1) (4¡`-1) ×3

= 2Ú`ß`-14¡`-1×3

= 4¡`-1 4¡`-1×3=3

답

③

=4{x- 12 }Û`Q(x)+R(x)‌ ‌

=2{x- 12 }Û`´2Q(x)+R(x)

따라서‌f(x)를‌2{x- 12 }Û`으로‌나누었을‌때의‌몫은‌

2Q(x),‌나머지는‌R(x)이다.

답

④

6

오른쪽‌조립제법이‌나타내는 ;2!; a b c d 1 0 3 2 0 6 -2

‌ 결과는‌다항식‌‌

axÜ`+bxÛ`+cx+d를‌일차 식‌x- 12 로‌나눈‌몫이‌‌

2xÛ`+6이고‌나머지가‌-2이다.

∴‌‌‌axÜ`+bxÛ`+cx+d‌ ‌

={x- 12 }(2xÛ`+6)-2‌ ‌

=[2{x- 12 }][;2!;(2xÛ`+6)]-2‌ ‌

=(2x-1)(xÛ`+3)-2

따라서‌다항식‌axÜ`+bxÛ`+cx+d를‌2x-1로‌나눈‌

몫은‌xÛ`+3이고‌나머지는‌-2이다.

답 몫

:xÛ`+3,

나머지

:-2

7

주어진‌조립제법에서‌f(x)를‌x-1로‌나눈‌몫은‌

xÛ`-4x+3이고‌나머지가‌8이므로 f(x)=(x-1)(xÛ`-4x+3)+8

∴‌f(-2)=(-3)´(4+8+3)+8=-37

답

-37

8

⑴‌;[!;+;]!;=4에서‌x+y xy =4

‌ xy=1이므로‌x+y=4

‌ ∴‌(x-y)Û`‌=(x+y)Û`-4xy‌ ‌

=4Û`-4´1‌ ‌

=12

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연 습 문 제 실 력

U P

=3(ab+bc+ca)-3abc‌ ‌

=3´(-3)+44‌ ‌

=35

문서에서 익히기 (페이지 89-94)