159
4xÛ`+yÛ`-16x+2y+1
=4(xÛ`-4x+4)+(yÛ`+2y+1)-16
=4(x-2)Û`+(y+1)Û`-16 이때 x, y는 실수이므로 (x-2)Û`¾0, (y+1)Û`¾0
∴ 4xÛ`+yÛ`-16x+2y+1¾-16
따라서 주어진 식은 x=2, y=-1일 때 최솟값 -16 을 갖는다.
답
-16160
2y-4x-xÛ`-yÛ`+2
=-(xÛ`+4x+4)-(yÛ`-2y+1)+7
=-(x+2)Û`-(y-1)Û`+7 이때 x, y는 실수이므로 (x+2)Û`¾0, (y-1)Û`¾0
∴ 2y-4x-xÛ`-yÛ`+2É7
따라서 주어진 식은 x=-2, y=1일 때 최댓값 7을 갖는다.
답
7161
2x-y-1=0에서 y=2x-1 이것을 2xÛ`-yÛ`에 대입하면
2xÛ`-yÛ` =2xÛ`-(2x-1)Û`=-2xÛ`+4x-1
=-2(x-1)Û`+1
따라서 x=1일 때 최댓값 1을 갖는다.
답
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168
⑴ f(x)=3xÜ`-14xÛ`+20x-9라 하면 f(1)=3-14+20-9=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 1 3 -14 20 -9
3 -11 9 3 -11 9 0
f(x)=(x-1)(3xÛ`-11x+9) 따라서 주어진 방정식은
(x-1)(3xÛ`-11x+9)=0 ∴ x-1=0 또는 3xÛ`-11x+9=0 ∴ x=1
또는
x=11Ñ'136
⑵ `f(x)=xÝ`+4xÜ`-xÛ`-16x-12라 하면 f(-1)=1-4-1+16-12=0 f(2)=16+32-4-32-12=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1 1 4 -1 -16 -12
-1 -3 4 12 2 1 3 -4 -12 0 2 10 12 1 5 6 0
f(x) =(x+1)(x-2)(xÛ`+5x+6)
=(x+1)(x-2)(x+2)(x+3) 따라서 주어진 방정식은
(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)=0 ∴ x+1=0 또는 x-2=0
또는 x+2=0 또는 x+3=0
∴ x=-1
또는
x=2또는
x=-2또는
x=-3⑶ f(x)=xÜ`-4xÛ`+8이라 하면 f(2)=8-16+8=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 2 1 -4 0 8
2 -4 -8 1 -2 -4 0
f(x)=(x-2)(xÛ`-2x-4) 따라서 주어진 방정식은
(x-2)(xÛ`-2x-4)=0
165
두 수의 차가 10이므로 두 수를 x, x+10으로 놓고 곱을 y로 놓으면
y =x(x+10)=xÛ`+10x=(x+5)Û`-25
따라서 x=-5일 때 y의 값이 최소가 되므로 구하는 두 수는 -5, 5이다.
답
-5,5166
y =-250xÛ`+4000x-7500
=-250(x-8)Û`+8500
따라서 x=8일 때 최댓값 8500을 갖는다. 즉 입장권 한 장의 가격을 8천 원으로 정할 때, 이익이 최대가 되 고 최대 이익금은 850만 원이다.
답 입장권
한장의
가격
：8천
원
,이익금
：850만
원
167
오른쪽 그림과 같이 상
B
P R
A
Q C 40 m
y m 20 m x m
가 건물의 바닥면의 가 로, 세로의 길이를 각 각 x`m, y`m라 하면
△APR»△ABC이 므로
APÓ：PRÓ=ABÓ：BCÓ 즉 (20-y)：x=20：40에서 20x=40(20-y)
∴ x=2(20-y)
이때 변의 길이는 항상 양수이므로 y>0, 20-y>0
∴ 0<y<20
직사각형 PBQR의 넓이를 S`mÛ`라 하면 S =xy=2(20-y)y=-2(yÛ`-20y)
=-2(y-10)Û`+200(0<y<20)
따라서 S는 y=10일 때 최댓값 200을 가지므로 상가 건물의 바닥면의 넓이의 최댓값은 200`mÛ`이다.
답
200`mÛ`http://hjini.tistory.com
확 인 체 크 념 원 리 익 히 기
x=-'2Ñ'2iÛ xÛ`-2'2x+4=0에서 x='2Ñ'2i
Ú, Û에서
x=-'2Ñ'2i 또는 x='2Ñ'2i
⑷ xÝ`-6xÛ`+1=0에서 (xÝ`-2xÛ`+1)-4xÛ`=0 (xÛ`-1)Û`-(2x)Û`=0
(xÛ`+2x-1)(xÛ`-2x-1)=0 ∴ xÛ`+2x-1=0 또는 xÛ`-2x-1=0 Ú xÛ`+2x-1=0에서 x=-1Ñ'2 Û xÛ`-2x-1=0에서 x=1Ñ'2 Ú, Û에서
x=-1Ñ'2 또는 x=1Ñ'2
⑸ xÝ`-15xÛ`+25=0에서 (xÝ`+10xÛ`+25)-25xÛ`=0 (xÛ`+5)Û`-(5x)Û`=0
(xÛ`+5x+5)(xÛ`-5x+5)=0 ∴ xÛ`+5x+5=0 또는 xÛ`-5x+5=0 Ú xÛ`+5x+5=0에서 x= -5Ñ'5
2 Û xÛ`-5x+5=0에서 x=5Ñ'5
2 Ú, Û에서 x= -5Ñ'5
2 또는 x=5Ñ'5 2
답
⑴x=Ñ2'2i또는
x=Ñ3⑵ x=Ñ '2
2 i
또는
x=Ñ1⑶ x=-'2Ñ'2i
또는
x='2Ñ'2i⑷ x=-1Ñ'2
또는
x=1Ñ'2⑸ x=-5Ñ'5
2
또는
x= 5Ñ'52170
⑴ xÛ`+3x=t라 하면 주어진 방정식은 (t-3)(t+4)=8, tÛ`+t-20=0
(t+5)(t-4)=0 ∴ t=-5 또는 t=4 Ú t=-5일 때, xÛ`+3x+5=0
∴ x=-3Ñ'11i 2 ∴ x-2=0 또는 xÛ`-2x-4=0
∴ x=2
또는
x=1Ñ'5⑷ f(x)=xÝ`-6xÛ`-3x+2라 하면 f(-1)=1-6+3+2=0 f(-2)=16-24+6+2=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1 1 0 -6 -3 2
-1 1 5 -2 -2 1 -1 -5 2 0 -2 6 -2 1 -3 1 0
f(x)=(x+1)(x+2)(xÛ`-3x+1) 따라서 주어진 방정식은
(x+1)(x+2)(xÛ`-3x+1)=0
∴ x+1=0 또는 x+2=0 또는 xÛ`-3x+1=0 ∴ x=-1
또는
x=-2또는
x=3Ñ'52
답 풀이
참조
169
⑴ xÛ`=t라 하면 주어진 방정식은 tÛ`-t-72=0, (t+8)(t-9)=0 ∴ t=-8 또는 t=9
따라서 xÛ`=-8 또는 xÛ`=9이므로 x=Ñ2'2i 또는 x=Ñ3
⑵ xÛ`=t라 하면 주어진 방정식은 2tÛ`-t-1=0, (2t+1)(t-1)=0 ∴ t=-;2!; 또는 t=1
따라서 xÛ`=-;2!; 또는 xÛ`=1이므로 x=Ñ '2
2 i 또는 x=Ñ1
⑶ xÝ`+16=0에서
(xÝ`+8xÛ`+16)-8xÛ`=0 (xÛ`+4)Û`-(2'2x)Û`=0
(xÛ`+2'2x+4)(xÛ`-2'2x+4)=0 ∴ xÛ`+2'2x+4=0 또는 xÛ`-2'2x+4=0 Ú xÛ`+2'2x+4=0에서
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t(t+8)+15=0
tÛ`+8t+15=0, (t+5)(t+3)=0 ∴ t=-5 또는 t=-3
Ú t=-5일 때, xÛ`+6x+5=0 (x+5)(x+1)=0
∴ x=-5 또는 x=-1 Û t=-3일 때, xÛ`+6x+3=0 ∴ x=-3Ñ'6
Ú, Û에서
x=-5 또는 x=-1 또는 x=-3Ñ'6
⑸ 두 개씩 짝을 지어 공통부분을 찾는다.
{(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15=0 (xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15=0 xÛ`+8x=t라 하면 주어진 방정식은 (t+7)(t+15)+15=0
tÛ`+22t+120=0 (t+12)(t+10)=0 ∴ t=-12 또는 t=-10
Ú t=-12일 때, xÛ`+8x+12=0 (x+2)(x+6)=0
∴ x=-2 또는 x=-6 Û t=-10일 때, xÛ`+8x+10=0
∴ x=-4Ñ'6 Ú, Û에서
x=-2 또는 x=-6 또는 x=-4Ñ'6
⑹ 두 개씩 짝을 지어 공통부분을 찾는다.
{(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+4)}+24=0 (xÛ`+x-2)(xÛ`+x-12)+24=0
xÛ`+x=t라 하면 주어진 방정식은 (t-2)(t-12)+24=0
tÛ`-14t+48=0, (t-6)(t-8)=0 ∴ t=6 또는 t=8
Ú t=6일 때, xÛ`+x-6=0 (x-2)(x+3)=0 ∴ x=2 또는 x=-3 Û t=8일 때, xÛ`+x-8=0 ∴ x=-1Ñ'33
2 Û t=4일 때, xÛ`+3x-4=0
(x-1)(x+4)=0
∴ x=1 또는 x=-4 Ú, Û에서
x=1 또는 x=-4 또는 x=-3Ñ'11i 2
⑵ (xÛ`+2x)Û`-2xÛ`-4x-3=0에서 (xÛ`+2x)Û`-2(xÛ`+2x)-3=0 xÛ`+2x=t라 하면 주어진 방정식은 tÛ`-2t-3=0, (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3
Ú t=-1일 때, xÛ`+2x+1=0 (x+1)Û`=0
∴ x=-1 (중근)
Û t=3일 때, xÛ`+2x-3=0 (x-1)(x+3)=0
∴ x=1 또는 x=-3 Ú, Û에서
x=-1 (중근) 또는 x=1 또는 x=-3
⑶ 두 개씩 짝을 지어 공통부분을 찾는다.
{x(x-3)}{(x-1)(x-2)}=120 (xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)=120 xÛ`-3x=t라 하면 주어진 방정식은 t(t+2)=120
tÛ`+2t-120=0, (t+12)(t-10)=0 ∴ t=-12 또는 t=10
Ú t=-12일 때, xÛ`-3x+12=0 ∴ x=3Ñ'39i
2
Û t=10일 때, xÛ`-3x-10=0 (x+2)(x-5)=0
∴ x=-2 또는 x=5 Ú, Û에서
x=-2 또는 x=5 또는 x=3Ñ'39i 2
⑷ 두 개씩 짝을 지어 공통부분을 찾는다.
{x(x+6)}{(x+2)(x+4)}+15=0 (xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+15=0 xÛ`+6x=t라 하면 주어진 방정식은
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확 인 체 크 념 원 리 익 히 기
⑵ x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`+5x-4+;[%;+ 1
xÛ`=0 {xÛ`+ 1
xÛ` }+5{x+;[!;}-4=0 {x+;[!;}Û`+5{x+;[!;}-6=0 x+;[!;=t라 하면
tÛ`+5t-6=0, (t+6)(t-1)=0 ∴ t=-6 또는 t=1
Ú t=-6일 때, x+;[!;=-6
xÛ`+6x+1=0 ∴ x=-3Ñ2'2 Û t=1일 때, x+;[!;=1
xÛ`-x+1=0 ∴ x=1Ñ'3i 2 Ú, Û에서
x=-3Ñ2'2 또는 x=1Ñ'3i 2
답
⑴x=-3Ñ'52
또는
x=-5Ñ'21 2⑵x=-3Ñ2'2
또는
x=1Ñ'3i 2172
xÜ`-px+6=0에 x=-3을 대입하면 -27+3p+6=0 ∴ p=7
∴ xÜ`-7x+6=0
이 방정식의 한 근이 -3이므로 조립제법을 이용하여 좌 변을 인수분해하면
-3 1 0 -7 6 -3 9 -6 1 -3 2 0 (x+3)(xÛ`-3x+2)=0
이때 a, b는 xÛ`-3x+2=0의 두 근이므로 근과 계수 의 관계에 의하여 a+b=3
∴ p+a+b=7+3=10
답
10다른풀이
xÜ`-7x+6=0의 세 근이 -3, a, b이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여-3+a+b=0 ∴ a+b=3 Ú, Û에서
x=2 또는 x=-3 또는 x=-1Ñ'33 2
답
⑴x=1또는
x=-4또는
x= -3Ñ'11i2⑵x=-1(
중근
)또는
x=1또는
x=-3⑶x=-2
또는
x=5또는
x=3Ñ'39i 2⑷x=-5
또는
x=-1또는
x=-3Ñ'6⑸x=-2
또는
x=-6또는
x=-4Ñ'6⑹x=2
또는
x=-3또는
x=-1Ñ'33 2참고
⑸ (xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15=0에서 xÛ`+8x+7=t라 하면t(t+8)+15=0, (t+3)(t+5)=0 xÛ`+8x+11=t라 하면
(t-4)(t+4)+15=0, (t-1)(t+1)=0
171
⑴ x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ`으로 나누면 xÛ`+8x+17+;[*;+1
xÛ`=0 {xÛ`+ 1
xÛ` }+8{x+;[!;}+17=0 {x+;[!;}Û`+8{x+;[!;}+15=0 x+;[!;=t라 하면
tÛ`+8t+15=0, (t+3)(t+5)=0 ∴ t=-3 또는 t=-5
Ú t=-3일 때, x+;[!;=-3 xÛ`+3x+1=0
∴ x=-3Ñ'5 2
Û t=-5일 때, x+;[!;=-5 xÛ`+5x+1=0
∴ x=-5Ñ'21 2 Ú, Û에서
x=-3Ñ'5
2 또는 x=-5Ñ'21 2
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이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 1 1 1 `k `-k-2
1 `2 ` k+2 1 2 k+2 ` 0 f(x)=(x-1)(xÛ`+2x+k+2) 이때 방정식 f(x)=0이 중근을 가지려면
Ú 방정식 xÛ`+2x+k+2=0이 x=1을 근으로 갖는 경우
1+2+k+2=0 ∴ k=-5
Û 방정식 xÛ`+2x+k+2=0이 중근을 갖는 경우 이 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, ;;4;D;=1-(k+2)=0 ∴ k=-1 Ú, Û에서 구하는 모든 k의 값의 합은 -5+(-1)=-6
답
-6176
xÜ`+2xÛ`+3x+4=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차 방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-2, ab+bc+ca=3, abc=-4
⑴ ;!;+;º!;+;¿!;= ab+bc+caabc =-;4#;
⑵ (a+b)(b+c)(c+a)
=(-2-c)(-2-a)(-2-b)
=-(2+a)(2+b)(2+c)
=-{2Ü`+(a+b+c)´2Û`
+(ab+bc+ca)´2+abc}
=-{8+(-2)´4+3´2-4}
=-2
⑶ c ab + a
bc + b ca
= aÛ`+bÛ`+cÛ`abc
=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
abc
=(-2)Û`-2´3 -4 =;2!;
답
⑴-;4#;⑵-2⑶;2!;173
xÝ`+axÜ`+3xÛ`+x+b=0의 두 근이 -1, 2이므로 x=-1, x=2를 각각 대입하면
1-a+3-1+b=0에서 -a+b=-3 yy ㉠ 16+8a+12+2+b=0에서 8a+b=-30 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-6
∴ xÝ`-3xÜ`+3xÛ`+x-6=0
이 방정식의 두 근이 -1, 2이므로 조립제법을 이용하 여 좌변을 인수분해하면
-1 1 -3 3 1 -6 -1 4 -7 6 2 1 -4 7 -6 0 2 -4 6 1 -2 3 0 (x+1)(x-2)(xÛ`-2x+3)=0
이때 나머지 두 근은 xÛ`-2x+3=0의 두 근이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의 곱은 3이다.