또는 [ x=0

y=1

^또는

[x=1 y=0

답 풀이



참조

http://hjini.tistory.com

확 인 체 크 념 원 리 익 히 기 또는

á{

»

x= 3'54

y= '54

또는

á{

»

x=- 3'54

y=- '54

⑵[ xÛ`-yÛ`-2x+y=0 yy ㉠ 2xÛ`-2yÛ`+x+3y=1 yy ㉡ ㉠_2-㉡을 하면

← 이차항 소거

-5x-y=-1

∴ y=-5x+1 yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

xÛ`-(-5x+1)Û`-2x+(-5x+1)=0 8xÛ`-x=0, x(8x-1)=0

∴ x=0 또는 x=;8!;

Ú x=0을 ㉢에 대입하면 y=1 Û x=;8!;을 ㉢에 대입하면 y=;8#;

Ú, Û에서 [^x=0_y=1

^또는

^á{

» x=;8!;

y=;8#;

답 풀이



참조

191

두 이차방정식의 공통근을 a라 하면

aÛ`-(k+4)a+5k=0 yy ㉠ aÛ`+(k-2)a-5k=0 yy ㉡

㉠+㉡을 하면 2aÛ`-6a=0 aÛ`-3a=0, a(a-3)=0

∴ a=0 또는 a=3

Ú a=0일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 k=0 조건에서 k+0이므로 모순이다.

Û a=3일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 9-3(k+4)+5k=0

2k=3 ∴ k=;2#;

Ú, Û에서 k=;2#;

답

;2#;

189

십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면

[ xÛ`+yÛ`=73 yy ㉠

(10y+x)+(10x+y)=121 yy ㉡

㉡에서 y=11-x yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 xÛ`+(11-x)Û`=73

xÛ`-11x+24=0, (x-3)(x-8)=0

∴ x=3 또는 x=8

x=3일 때 y=8, x=8일 때 y=3 따라서 처음 정수는 38 또는 83이다.

답

38

또는

83

190

⑴[ xÛ`+2xy+yÛ`=5 yy ㉠ 3xÛ`-xy+8yÛ`=10 yy ㉡

㉡-㉠_2를 하면

← 상수항 소거

xÛ`-5xy+6yÛ`=0 (x-2y)(x-3y)=0 ∴ x=2y 또는 x=3y Ú x=2y를 ㉠에 대입하면

4yÛ`+4yÛ`+yÛ`=5 yÛ`=;9%; ∴ y=Ñ '5

`3`

x=2y이므로 x=Ñ2'5

3 , y=Ñ'5

3 (복부호 동순) Û x=3y를 ㉠에 대입하면

9yÛ`+6yÛ`+yÛ`=5 yÛ`=;1°6; ∴ y=Ñ '5

4 x=3y이므로

x=Ñ3'5

4 , y=Ñ'5

4 (복부호 동순) Ú, Û에서

á{

»

x= 2'53

y= '53

또는

á{

»

x=- 2'53

y=- '53

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y-1¾0인 정수이다.

따라서 x-1, y-1의 값은 x-1 1 2

y-1 2 1

오른쪽 표와 같다.

∴ [^x=2_y=3 ^또는 [^x=3_y=2

답

[^x=2_y=3^

^또는

^[^x=3_y=2

194

xÛ`+(m-1)x+m+1=0의 두 정수인 근을 a, b (aÉb)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-m+1` yy ㉠

ab=m+1 yy ㉡

㉠+㉡을 하면 a+b+ab=2 ab+a+b+1=3

∴ (a+1)(b+1)=3

a, b는 정수이므로 a+1, b+1도 정수이다.

따라서 aÉb인 a+1,

a+1 1 -3

b+1 3 -1

b+1의 값은 오른쪽 표와 같다.

∴ [^a=0_b=2 ^또는 [^a=-4_b=-2

Ú a=0, b=2일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 m=-1

,두근은

x=0

또는

x=2

Û a=-4, b=-2일 때, 이것을 ㉠에 대입하면 m=7

,두근은

x=-4

또는

x=-2

답 풀이



참조

195

2xÛ`+2xy+yÛ`+2x+1=0에서 (xÛ`+2xy+yÛ`)+(xÛ`+2x+1)=0 (x+y)Û`+(x+1)Û`=0

x, y가 실수이므로 x+y=0, x+1=0

∴ x=-1, y=1

답

x=-1,y=1

다른풀이

2xÛ`+2(y+1)x+yÛ`+1=0 yy ㉠

192

두 이차방정식의 공통근을 a라 하면

aÛ`+4ma-2m+1=0 yy ㉠

aÛ`+ma+m+1=0 yy ㉡

㉠-㉡을 하면 3ma-3m=0 3m(a-1)=0

∴ m=0 또는 a=1 Ú m=0일 때,

두 이차방정식이 모두 xÛ`+1=0으로 일치하므로 공통근이 2개이다. 즉 오직 하나의 공통근을 갖는 다는 조건에 모순이다.

Û a=1일 때,

이것을 ㉠에 대입하면 1+4m-2m+1=0

∴ m=-1

m=-1을 ㉠에 대입하면

aÛ`-4a+3=0, (a-1)(a-3)=0

∴ a=1 또는 a=3 yy ㉢

m=-1을 ㉡에 대입하면 aÛ`-a=0, a(a-1)=0

∴ a=0 또는 a=1 yy ㉣

㉢, ㉣에서 공통근이 아닌 근은 0, 3이다.

Ú, Û에서 m=-1이고 그때의 공통근이 아닌 근은 0, 3이다.

답

m=-1,x=0,3

다른풀이

공통근 a=1, m=-1을 알고 공통근이 아 닌 두 근을 구할 때, ㉠의 공통근이 아닌 근을 b, ㉡의 공통근이 아닌 근을 c라 하면 근과 계수의 관계에 의 하여

1+b=4, 1+c=1

∴ b=3, c=0

193

xy-x-y-1=0에서 xy-x-y+1=2 x(y-1)-(y-1)=2

∴ (y-1)(x-1)=2

x, y가 양의 정수이므로 x-1, y-1은 x-1¾0,

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확 인 체 크 념 원 리 익 히 기

㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 

㉠

에 나타내면 오른쪽 그림 ㉡

과 같다.

∴ xæ¾-3

⑵ [3(x-1)<2 yy ㉠ 2(x-5)>x-12 yy ㉡에서 ㉠을 풀면 3x-3<2, 3x<5 ∴ x<;3%;

㉡을 풀면 2x-10>x-12 ∴ x>-2

㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 

㉠ ㉡

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ -2<x<;3%;

답

⑴xæ¾-3

⑵-2<x<;3%;

198

⑴ á{

»

;3@;¾x- 5x-33 yy ㉠ 9x-74 <5 yy ㉡에서 ㉠의 양변에 3을 곱하면

2æ¾3x-(5x-3), 2¾æ3x-5x+3 -2xÉ-1

∴ xæ¾;2!;

㉡의 양변에 4를 곱하면 9x-7<20, 9x<27 ∴ x<3

㉠, ㉡의 해를 수직선 위





㉡ ㉠

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ ;2!;Éx<3

⑵ á{

»

x-4ÉÉ3x+5 yy ㉠

;4#;x<3- 4-x3 yy ㉡ 에서 x가 실수이므로 ㉠이 실근을 가져야 한다.

이때 ㉠의 판별식을 D라 하면

;;4;D;=(y+1)Û`-2(yÛ`+1)¾0 yÛ`-2y+1É0

(y-1)Û`É0 ∴ y=1

y=1을 ㉠에 대입하면 xÛ`+2x+1=0 (x+1)Û`=0 ∴ x=-1

∴ x=-1, y=1

196

xÛ`+yÛ`-4x-2y+5=0에서 (xÛ`-4x+4)+(yÛ`-2y+1)=0 (x-2)Û`+(y-1)Û`=0

x, y가 실수이므로 x-2=0, y-1=0

∴ x=2, y=1

답

x=2,y=1

다른풀이

xÛ`-4x+yÛ`-2y+5=0 yy ㉠ x가 실수이므로 ㉠이 실근을 가져야 한다.

이때 ㉠의 판별식을 D라 하면

;;4;D;=4-(yÛ`-2y+5)¾0 yÛ`-2y+1É0

(y-1)Û`É0 ∴ y=1 y=1을 ㉠에 대입하면 xÛ`-4x+4=0

(x-2)Û`=0 ∴ x=2

∴ x=2, y=1

197

⑴ [4x+2¾x-7 yy ㉠ 9x-1É2(4+5x) yy ㉡에서 ㉠을 풀면 3xæ¾-9

∴ x¾æ-3

㉡을 풀면 9x-1É8+10x ∴ x¾æ-9

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199

⑴ [x+7É5x+3 yy ㉠ 5x+3<6x-2 yy ㉡에서 ㉠을 풀면 4xæ¾4

∴ x¾æ1 ㉡을 풀면 x>5

㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 

㉠㉡

에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다.

∴ x>5

⑵ á{

»

x-32 É2-3x yy ㉠

2-3x<- 34 (2x-1) yy ㉡ 에서

㉠의 양변에 2를 곱하면

x-3É2(2-3x), x-3É4-6x 7xÉ7 ∴ xÉ1

㉡의 양변에 4를 곱하면

4(2-3x)<-3(2x-1), 8-12x<-6x+3 6x>5 ∴ x>;6%;

㉠, ㉡의 해를 수직선

 



㉠ ㉡

위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ ;6%;<xÉ1

⑶ á{

»

2-4x<3x-5 yy ㉠ 3x-5É- 12 (x-4) yy ㉡에서 ㉠을 풀면 7x>7 ∴ x>1

㉡의 양변에 2를 곱하면

2(3x-5)É-(x-4), 6x-10É-x+4 7xÉ14 ∴ xÉ2

㉠, ㉡의 해를 수직선 위





㉡ ㉠

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ 1<xÉ2

⑷ á{

»

-;2!;x-1<;3@;x+2 yy ㉠

;3@;x+2<;3!;x+3 yy ㉡에서 ㉠을 풀면 2x¾æ-9

∴ xæ¾-;2(;

㉡의 양변에 12를 곱하면

9x<36-4(4-x), 9x<36-16+4x 5x<20 ∴ x<4

㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 



㉡ ㉠

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ -;2(;Éx<4

⑶ [0.2x+1.2>0.3x yy ㉠ 0.5x-2.4>0.2x+0.6 yy ㉡에서 ㉠의 양변에 10을 곱하면

2x+12>3x ∴ x<12

㉡의 양변에 10을 곱하면 5x-24>2x+6 3x>30 ∴ x>10 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 

㉠ ㉡

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ 10<x<12

⑷ [0.3x-1.4>0.7x-1.8 yy ㉠ 0.7(2x-5)É1.5x+0.2 yy ㉡에서 ㉠의 양변에 10을 곱하면

3x-14>7x-18, 4x<4 ∴ x<1

㉡의 양변에 10을 곱하면 7(2x-5)É15x+2 14x-35É15x+2 ∴ xæ¾-37

㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 

㉠ ㉡

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ -37Éx<1

답

⑴;2!;Éx<3 ⑵-;2(;Éx<4

⑶10<x<12 ⑷-37Éx<1

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확 인 체 크 념 원 리 익 히 기 답

⑴x>5 ⑵;6%;<xÉ1

⑶1<xÉ2 ⑷-:Á7¥:<x<3

⑸-;4#;<xÉ-;5#; ⑹-3ÉxÉ1

200

⑴ [1+3x¾-2+2x yy ㉠ 2x-5¾4x+1 yy ㉡에서 ㉠을 풀면 x¾-3

㉡을 풀면 2xÉ-6 ∴ xÉ-3 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위



㉡ ㉠

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ x=-3

⑵ [2(x-2)Éx yy ㉠ 3x-2¾æ2(x+1) yy ㉡ 에서 ㉠을 풀면 2x-4Éx

∴ xÉ4

㉡을 풀면 3x-2¾æ2x+2 ∴ xæ¾4

㉠, ㉡의 해를 수직선 위



㉠ ㉡

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ x=4

⑶ á{

»

3-2x5 <1 yy ㉠ 3x+4<2x+3 yy ㉡

에서 ㉠의 양변에 5를 곱하면

3-2x<5, -2x<2 ∴ x>-1 ㉡을 풀면 x<-1

㉠, ㉡의 해를 수직선 위



㉡ ㉠

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ 해가 없다.

⑷ á{

»

;2#;x<5+;3@;x yy ㉠ 0.1x-4.4æ¾2.8-0.8x yy ㉡

에서 ㉠의 양변에 6을 곱하면

-3x-6<4x+12, 7x>-18 ∴ x>-:Á7¥:

㉡의 양변에 3을 곱하면 2x+6<x+9 ∴ x<3

㉠, ㉡의 해를 수직선 위





㉡ ㉠

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ -:Á7¥:<x<3

⑸ á{

»

;3!;xÉ1- 3+x2 yy ㉠ 1- 3+x2 <;6!;x yy ㉡

에서

㉠의 양변에 6을 곱하면

2xÉ6-3(3+x), 2xÉ6-9-3x 5xÉ-3 ∴ xÉ-;5#;

㉡의 양변에 6을 곱하면

6-3(3+x)<x, 6-9-3x<x 4x>-3 ∴ x>-;4#;

㉠, ㉡의 해를 수직선 위

 

㉠ ㉡

에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

∴ -;4#;<xÉ-;5#;

⑹ [0.5x-1É2x+3.5 yy ㉠ 2x+3.5É0.2x+5.3 yy ㉡에서 ㉠의 양변에 10을 곱하면

5x-10É20x+35, 15x¾-45 ∴ x¾-3

㉡의 양변에 10을 곱하면 20x+35É2x+53, 18xÉ18 ∴ xÉ1

㉠, ㉡의 해를 수직선

1 -3

㉡ ㉠

위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ -3ÉxÉ1

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∴ x<4 yy ㉠ -3xÉ4- 2x-23 의 양변에 3을 곱하면

-9xÉ12-(2x-2) -9xÉ12-2x+2

-7xÉ14 ∴ x¾-2 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -2Éx<4

⑵ 0.2x+0.9É0.3(x+4)의 양변에 10을 곱하면 2x+9É3(x+4), 2x+9É3x+12

∴ x¾-3 yy ㉠

x-73 -2x-5

4 >-1의 양변에 12를 곱하면 4(x-7)-3(2x-5)>-12

4x-28-6x+15>-12

-2x>1 ∴ x<-;2!; yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -3Éx<-;2!;

⑶

[

0.3x-1<0.5x+ 25 yy ㉠ 0.5x+ 25 É3+0.3x yy ㉡

㉠의 양변에 10을 곱하면 3x-10<5x+4, -2x<14

∴ x>-7 yy ㉢

㉡의 양변에 10을 곱하면 5x+4É30+3x

2xÉ26 ∴ xÉ13 yy ㉣

㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 -7<xÉ13

⑷ á{

»

x+;2!;< 4x+56 yy ㉠ 4x+56 É;3!;x-;2!; yy ㉡

㉠의 양변에 6을 곱하면 6x+3<4x+5, 2x<2

∴ x<1 yy ㉢

㉡의 양변에 6을 곱하면 4x+5É2x-3, 2xÉ-8 ㉠의 양변에 6을 곱하면

9x<30+4x, 5x<30 ∴ x<6 ㉡의 양변에 10을 곱하면

x-44æ¾28-8x, 9x¾æ72 ∴ xæ¾8

㉠, ㉡의 해를 수직선

 

㉠ ㉡

위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ 해가 없다.

답

⑴x=-3 ⑵x=4

⑶해

가



없다

. ⑷해

가



없다

.

201

⑴ 3x+2<2(x-1)에서 3x+2<2x-2

∴ x<-4 yy ㉠

-x-1É-3(x-3)에서 -x-1É-3x+9

2xÉ10 ∴ xÉ5 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위는 오른

5 -4

㉠ ㉡

쪽 그림과 같다.

∴ x<-4

⑵ 5x>3(2x-1)에서 5x>6x-3

-x>-3 ∴ x<3 yy ㉠ 2(x-3)É4x-2에서

2x-6É4x-2

-2xÉ4 ∴ x¾-2 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위는 오른쪽 그림과 같다.

∴ -2Éx<3

답

⑴x<-4⑵-2Éx<3

202

⑴ 5-2x

3 <4-3x-2

2 의 양변에 6을 곱하면 2(5-2x)<24-3(3x-2)

10-4x<24-9x+6, 5x<20

3 -2

㉠ ㉡

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확 인 체 크 념 원 리 익 히 기

206

x-26 <;3{;에서 x>-2 yy ㉠ 2(x+1)>3x-a에서 x<a+2 yy ㉡ 연립부등식이 해를 가지려

a+2 -2

㉡ ㉠

면 공통부분이 있어야 하 므로 오른쪽 그림과 같아 야 한다.

a+2>-2 ∴ a>-4

답

a>-4

주의

등호가 포함될 때, 즉 a+2=-2일 때 a=-4 이므로 x<a+2에서 x<-2

이때 오른쪽 그림과 같이

-2

㉡ ㉠

공통부분이 없으므로 해 가 없게 된다.

207

5(x+1)>7x-3에서 -2x>-8

∴ x<4 yy ㉠

6x+2>5x+k에서 x>k-2 yy ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 정수인 해가 2개, 즉 오른쪽 그림에서 2, 3이 되기 위해 서는

1Ék-2<2 ∴ 3Ék<4

답

3Ék<4

참고

k-2=1일 때, 즉 k=3일 때 x>k-2에서 x>1이 되어 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 정수는 2개가 되므로 등호가 포함되어도 만족한다.

208

á{

»

x+a<1- 2-x2 yy ㉠ 1- 2-x2 <2x+1

3 yy ㉡

㉠에서 2x+2a<2-(2-x)

∴ x<-2a yy ㉢

㉡의 양변에 6을 곱하면

1 2

k-2

3 4

∴ xÉ-4 yy ㉣

㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 xÉ-4

답

⑴-2Éx<4⑵-3Éx<-;2!;

⑶-7<xÉ13⑷xÉ-4

203

[2x+1<3x+4 yy ㉠ 3x+4É-4x+b yy ㉡

㉠에서 -x<3 ∴ x>-3

㉡에서 7xÉb-4 ∴ xÉb-4 7

주어진 연립부등식의 해가 a<xÉ4이므로 a=-3, b-47 =4

∴ b=32

∴ a+b=-3+32=29

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