제 시 문
(가) [그림1]에서와 같이 댐은 아래가 위보다 더 두꺼운데 그 이유는 물의 깊이 가 깊어짐에 따라 수압도 증가하기 때문이다. 즉, 물이 깊을수록 댐도 더 튼튼해 져야 한다. 댐의 안쪽 표면에 있는 한 점에 작용하는 수압은 그 점의 깊이에 의 해서만 결정되는데 깊이 와 수압 사이의 관계식은 이다. 여기서 는 중력가속도이고 는 물의 밀도이다.
[그림 1]
(나) 밑면이 편평한 그릇에 담겨 있는 액체의 깊이를 라고 하면 이 액체의 무 게 때문에 그릇의 밑면이 받는 힘 는 대기압을 무시하면
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)
가 된다. 여기서 는 액체의 밀도, 는 중력가속도, 는 밑면의 넓이이다. 이 힘은 그릇의 형태에 무관하다. 일반적으로 파스칼의 원리에 따르면, 압력 는 모 든 방향에 대하여 같은 크기로 작용한다. 따라서 액체 속에 수평으로 잠겨 있는 평판의 윗면에 아래로 작용하는 힘은 (1)식으로 주어진다. 그러나 수직으로 잠겨 있는 평판에 대하여는, 압력의 크기가 깊이 에 따라 변하므로 (1)식을 그대로 사용할 수 없다. 이 경우에는 평판을 수평으로 잘게 나누어서 각각의 띠에 작용 하는 힘을 합하여 극한을 취하는 방법, 즉 구분구적법을 사용한다.
(다) 밀도가 인 액체 속에 평판이 아래 [그림2]와 같이 수직으로 잠겨 있다고 하자. 단, 평판의 두께는 무시하기로 한다.
19 인하대학교 예시
<액체의표면>
(액체에 수직으로 잠겨있는 평판)
⋮
⋮
[그림 2]
액체의 표면에서 평판의 윗부분과 아랫부분까지의 깊이를 각각 라 하자.
폐구간 를 일정하게 등분한 것을
⋯ ⋯ 이라 하고, ∆
라 하자. 그리고 액체의 표면에서 깊이 와
사이에 있는 직사각형 띠의 길이를 라 하면 작은 직사각형 띠의 넓이는
∆ 가 된다. 이때 작은 직사각형 띠에 가해지는 압력은 제시문 (나)에 의해
와 ∆ 사이에 있다. 따라서 이 띠가 받는 힘을 ∆ 라 하면
∆ ≤ ∆≤ ∆∆
이 된다. 각각의 띠에 작용하는 힘을 모두 합하면 다음 식을 얻는다.
∆≤
∆≤
∆∆이제 을 무한히 늘리면 평판의 한쪽 면에 수직으로 작용하는 힘 는 다음 과 같이 적분을 사용하여 나타낼 수 있다.
여기에서 는 깊이 에서의 평판의 가로 길이이다.
19. 인하대학교 예시
[1] 아래 그림과 같이 안쪽 면이 폭 인 직사각형 모양의 댐에 높이까지 물이 찼을 때, 이 댐의 안쪽 면이 받는 힘을 구하시오. 물의 밀도는
이고 중력가속도는 이다. 단, 대기압에 의한 효과 는 무시하기로 한다.
[2] 아래 그림과 같이 유조차의 기름 탱크는 앞면과 뒷면이 편평한 타원기둥 모양 이고, 이 기름 탱크에 밀도가 인 기름이 반이 채워져 있다고 하자. 이 기름 탱크의 단면이 타원
( )의 내부로 주어질 때, 기름 탱 크의 뒷면이 받는 힘의 크기를 구하시오. 단, 중력가속도는 로 표시한다. 단, 대기압에 의한 효과는 무시하기로 한다.
기름
<유조차의 기름 탱크 뒷면>
제시문 분석
• 한 점에서 댐이 받는 압력의 크기는 댐의 깊이에 비례한다.
댐의 안쪽 표면에 있는 한 점에 작용하는 수압은 그 점의 깊이에 의해서만 결정 되는데 깊이 와 수압 사이의 관계식은 이다. 여기서 는 중력가속도이 고 는 물의 밀도이다..
• 조건의 일부 변형
댐의 면이 받는 힘의 크기는 적분량으로 계산할 수 있다. 수심이 에서 까지 변 할 때, 면에 수직으로 작용하는 힘 는 다음과 같이 적분을 사용하여 나타낼 수 있다.
여기에서 는 중력가속도, 는 액체의 밀도이고 는 깊이 에서의 평판의 가로 길이이다.
－ 제시문 출처 : (가) : 고등학교 수학 II 교과서, (주)금성출판사 외 (나), (다) : 미적분과 해석기하학, (주)대영사
논제 분석
• 유체의 압력에 의해서 평판이 받는 힘을 계산하는 방법이 주어졌을 때, 이를 구 체적인 상황에 적용할 수 있는가?
라는 공식을 알고 있을 때, 이 식의 적용 능 력을 묻고 있다. 즉, 위의 식은 높이에 대한 적분이므로 높이가 적분의 아래 끝 값 과 위 끝 값을 구성한다. 따라서 을 대입하고, 그림에서 임을 파악하면 문제는 해결된다. 이 문제는 기계적으로 해결하는 문제이므로 부분점수라 든가, 좋은 풀이로 분류될 여지가 거의 없는 문제이다. 계산실수 외에는 맞거나 틀 리거나 둘 중 하나인 문제이다.• [2]에서 주어진 식을 정리하여 의 길이를 구하고 제시문 (다)에 대입하여 적분 할 수 있는가?
타원의 식을 정리하고 제시문 (다)에 주어진 공식에 적용하여 적분계산을 할 수 있는가를 묻고 있다. 심화과정의 미분과 적분을 배운 학생이면 간단히 치환적분을 사용하여 계산할 수 있다.
19. 인하대학교 예시
개요 짜기
답안 작성
19. 인하대학교 예시