7. 부산대학교 수시
이 <그림>에서와 같이 태양광이 오른쪽으로부터 입사될 때 지구를 나타내는 원의 오른쪽 반은 지구의 낮이며 왼쪽 반은 밤이 된다. 는 북반구에서 위도 를 나타낸다. 지구를 완전한 구라고 가정하고, 이 <그림>을 이용하여 다음과 같 이 북위 인 지점에서 하지 때의 낮과 밤의 길이를 계산할 수 있다.
낮의 길이
× 시간, 밤의 길이 × 시간 ……… ① (단, 는 ․를 만족하는 ≤ ≤ 인 각을 나 타내며, 이 식은 위도 가 어떤 값 이하까지에서만 성립한다.)
동지 때는 하지 때와는 달리 태양광이 <그림>의 왼쪽에서 입사되므로 식 ① 에서의 밤의 길이와 낮의 길이를 바꾸면 된다. 또한, 춘분과 추분 때는 태양광이
<그림> 면과 수직으로 앞(춘분)과 뒤(추분)에서 입사되므로 밤과 낮의 길이는 동일하게 시간이 된다.
(다) 태양광이 지평면과 이루는 각 중 이하인 각을 태양 고도라 한다. 태양 고도는 하루 동안 시간에 따라 변하는데 정오 때 가장 크다. 이때 태양 고도를 남중 고도라고 한다. 남중 고도는 그 지점의 위도와 계절에 따라 달라진다. 가 령, 하지일 때 북위 ≥ 인 지역에서 남중 고도 는 앞 <그림>을 참고 하면 다음과 같이 나타난다.
또는 ……… ② 태양 고도가 높을수록 지표면에 도달하는 태양광 에너지는 많아진다. 가령, 하 지의 정오 때 단위 면적당 지평면이 받는 태양광 에너지의 세기 는 다음과 같 이 남중 고도 , 북위 에 관한 함수로 각각 나타낼 수 있다.
또는 ……… ③ 이 식에서 는 가 일 때(태양광이 지평면과 수직일 때) 의 값을 나 타낸 것으로, 의 최댓값에 해당한다. 지표면에 도달하는 태양광 에너지를 효율 적으로 획득하기 위해서는 태양전지를 설치하고 작동할 때 태양 고도를 중요하 게 고려해야 함을 말해 준다.
[1] 하지 때라고 가정하고, 다음 물음에 답하시오. [100점]
(1) 식 ①을 이용하여 적도에서 밤과 낮의 길이가 같음을 보이시오.
(2) 식 ①과 삼각함수의 증가와 감소의 성질을 이용하여, 적도에서 북쪽으로 갈수록(위도 가 높아질수록) 낮의 길이가 길어짐을 보이시오.
(3) 어느 위도 이상이 되면 낮의 길이가 시간이 되는 지점이 존재한다. 이 지점의 위도는 얼마인지 밝히시오.
[2] 다음 물음에 답하시오. [100점]
(1) 하지일 때의 태양의 남중 고도를 계산하는 식 ②를 참고하여, 우리나라(북위
≤ ≤ )에서 동지와 춘분 때의 태양의 남중 고도를 각각 북위
에 관한 함수로 표현하시오.
(2) 부산(북위 )에서 태양의 남중고도가 년 동안 어떻게 변하는지 설명하시오.
[3] 태양전지의 절대효율이 정해져 있다고 가정할 때, 태양전지를 이용하여 태양광 에너지를 더 효율적으로 획득하기 위한 방법을 태양고도와 연관지어 설명하시오.
[100점]
제시문 분석
• 밤과 낮의 길이
낮의 길이를 구하는 식이 낮의 길이
× 시간 이고, ․이므로 결국 밤, 낮의 길이는 위도 에 의해 결정된다.
• 남중고도를 구하는 식
간단한 평면 기하학적 원리로 남중고도를 구할 수 있다.
논제 분석
• 주어진 식을 이용하여 밤과 낮의 길이를 구할 수 있는가?
삼각함수의 증가, 감소를 이용하여 밤과 낮의 길이를 비교할 수 있다.
• 1년 동안 부산(북위 )에서 태양의 남중고도의 변화를 설명할 수 있는가?
하지 때 태양의 남중고도를 구하는 식을 이용하여 동지 때 태양의 남중고도를 구 하는 식을 평면기하학을 이용하여 구할 수 있다. 춘분과 추분 때는 태양광이 그림 면의 앞과 뒤에서 비침에 유의해야 한다.
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• 지구 자전의 증거1)
별의 일주운동이 지구의 자전으로 나타나는 현상이기는 하지만 옛사람들은 별이 움직이는 것으로 생각했기 때문에 지구 자전의 증거로는 미흡하였다. 지구 자전의 확실한 증거는 어떤 것이 있을까? 여러 가지가 있으나 그 중 가장 대표적인 것이 푸코의 전자다.
1851년, 푸코(Foucault 1819∼1868)는 파리 판테온 성당 천정에 즐의 길이 67m, 추의 무게 28㎏인 전자를 매단 다음 진자를 흔들어 진자의 진동 방향이 시계 방향 으로 회전하는 것을 보여 주었다. 즉, 진자를 일정한 방향으로 흔들어 놓았더니 진 동 방향이 시계 방향으로 약 31시간에 1회전하는 것을 관측할 수 있었다. 이는 지 구 자전의 확실한 증거가 된다. 즉, 진자가 진동하는 동안에 지면이 자전하기 때문 에 진자의 진동면은 지면에 대하여 반대 방향으로 도는 것 같이 보이는 것이다.
푸코 진자의 회전 방향은 북반구에서는 시계 방향이고, 남반구에서는 반시계 방 향이다. 이것은 천구상에서 볼 때 지구의 자전 방향이 북반구에서는 반시계 방향이 고, 남반구에서는 시계 방향이기 때문이다.
[판테온 성당에 있는 푸코의 진자]
－ 출처 : http://en.wikipedia.org/
1) 하이탑 지구과학II p73
예시답안
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논제 2 (1)
공전궤도면 적
도
동지 때는 앞의 그림과 같이 지구 왼쪽에서 태양광이 비친다. 위도점 에서 원에 그은 접선을 이라 하자. ∠ (∵맞꼭지각) 이므로 ∠ 이다.
따라서 동지 때 남중고도 는
∴
가 된다.
춘분 때는 <그림> 면과 수직되게 앞쪽에서 태양광이 비치므로 가 되므로 춘분 때 남중고도 는
∴
(2) 부산은 북위 에 위치하므로 춘분에 남중고도 에서 점점 고 도가 높아져서 하지 때 로 최고가 되고 또 다시 점점 낮아져 서 추분에 가 된다. 이 후 다시 고도가 낮아져서 동지 때
로 최저가 된다.
논제 3 에서 가 일 때 가 최대가 된다. 그러나 계절에 따라 남중고도가 변하므로 태양전지를 이용하여 태양광 에너지를 더 효율적 으로 획득하기 위해서는 계절에 관계없이 태양 전지판이 태양광과 이루는 각이 항 상 를 유지시켜 주는 기계장치(마치 해바라기가 햇빛을 쫓아가는 원리처럼)를 만들면 더 효율적이다.
제 시 문
(가) 현대는 디지털 시대이다. 이는 연속적인 것을 다루는 아날로그 방식의 사 고에서 이산적인 사고로 전환하였음을 의미한다. 그런데 이산적이라는 것은 유 한하거나 무한수열과 같이 자연수의 집합과 일대일 대응 관계에 있는 대상들을 다루는 것을 의미한다. 오늘날 이산수학은 대학에서 컴퓨터과학, 그 밖의 공학 이나, 통계학, 확률론 그리고 등을 공부하고자 하는 학생들에게 필수과목이 되고 있다.
그런데 이산수학에서 가장 기초적이며 중요한 것 중 하나는 유한집합의 원소 의 개수를 세는 것이다. 이를 위해서는 ⓐ 주어진 유한집합과 일대일 대응 관계 에 있으면서(따라서 두 집합은 개수가 같다), 보다 세기가 쉬운 다른 유한집합 (들)을 생각하며 이를 해결하는 것이 보통이다.
그런데 두 개의 집합 , 가 일대일 대응이라는 것은 에서 로의(또는 에서 로의) 전단사 함수가 존재한다는 것으로, 간단히 말하자면 하나의 집합 에서 다른 집합으로의 함수가 존재하고 또 이의 역함수가 존재하는 것과 같다.
ⓐ에 대한 예를 들자면 ⓑ 개의 원소로 이루어진 집합으로부터 중복을 허락하 여 개를 뽑아 만든 모든 중복집합의 개수 을 구하는 문제를 생각할 수 있다(여기서 중복집합에 있어서는 동일한 원소라 하더라도 서로 다르게 보나, 원소들의 순서는 고려하지 않는다).
가령 두 개의 원소로 이루어진 집합 ｛ ｝에서 중복을 허락하여 순서를 고 려하지 않고 세 개를 뽑아 만든 중복집합은 다음과 같이 네 가지임을 알 수 있 으므로 이다.
｛ ｝, ｛ ｝, ｛ ｝,｛ ｝
(나) 정보화시대에 살고 있는 우리는 모든 정보가 비트 수열로 변환되어 처리된 다는 것을 알고 있다. 컴퓨터에 비트 수열의 상태로 자료가 저장되고, 휴대폰을 통한 음성도 비트 수열 상태로 전송된다. 예를 들어, 8개의 축구팀이 있다면 각 각의 팀을 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111의 총 3개의 비트로 표현할 수 있다.
철수는 확률변수 의 값을, 현옥은 확률변수 의 값을 알고 있으며, 철수와 현옥 모두 와 의 비트 수열 표현 방법도 알고 있다. 현옥은 확률변수 의 값을 알기 원한다. 이를 위해 철수와 현옥은 서로 메시지를 일정 회수만큼 교환 한다. 메시지 전송이란 어느 한 사람이 다른 사람에게 비트 수열을 보내는 것을