제 시 문
(가) 적당한 도구를 사용하여 다양한 기하학적 도형을 그리는 것을 작도라 한다.
고대 그리스인들은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 할 수 있는 작도에 대해 연구 하여 여러 가지 도형들의 작도법을 발견하였다. 그 이후로 기하학적 작도는 그 들의 전통을 따라 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 하는 작도를 일컫게 되었다.
기하학적 작도에서 컴퍼스는 주어진 점을 중심으로 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그리는 도구이고, 눈금 없는 자는 주어진 두 점을 지나는 직선이나, 주어진 원에 원 바깥에 주어져 있는 점으로부터 접선을 긋는 도구이다. 예를 들 면, 주어진 선분의 수직이등분선, 주어진 각의 이등분선, 주어진 길이를 한 변으 로 하는 정삼각형, 정사각형 등은 기하학적으로 작도 가능한 도형이다.
임의의 각을 3등분하기, 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변을 작도하기, 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형의 한 변을 작도하기 등을 3대 작도불능 문제라 한다. 오랫동안 미해결로 남아있던 이 작도 문제들이 기하 학적으로는 불가능하다는 것이 근세에 대수적으로 증명되었다.
다소 변칙적인 방법으로 임의의 각을 3등분하는 방법은 오래 전부터 알려져 있다. 기원전 아르키메데스(Archimedes)는 뉴시스작도(neusis comstruction)라 는 방법으로 임의로 주어진 각을 3등분할 수 있다는 것을 보였다.
[그림1]
[그림1]에서 ∠가 주어진 각이고, ∠가 ∠의 3등분각이다.
∠를 작도하려면, 먼저 주어진 각의 꼭짓점인 를 중심으로 하는 원을 그 려서 주어진 각의 변과 만나는 점 와 를 구하고, 각의 변를 점의 방향 으로 연장한 직선을 긋는다. 다음으로 자를 직선와 맞추어 점와 에 대응 되는 위치를 자 위에 표시한다. 전통적인 기하학적 작도에서는 이렇게 자 위에 표시를 할 수 없다. 마지막으로 자 위에 표시된 이 점들이 직선 위의 점와 원 위의 점에 각각 위치하게 자를 움직여 점를 지나는 직선를 긋는다.
즉, 선분와 선분의 길이가 같아지게 직선를 긋는다. 이렇게 작도하면
∠가 ∠의 3등분각이 되는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.
14 아주대학교 예시(1)
이므로 ∆는 이등변삼각형이고
∠ ∠
따라서 ∠ ∠ ∠
∠
∠
그리고 이므로 ∆는 이등변 삼각형이고 ∠ ∠
따라서 ∠ ∠ ∠
∠
∠
그러므로 ∠ ∠ ∠
∠ ∠
∠
(나) [그림2]와 같이, 각의 한 변 위에 한 점 를 잡고 점 를 중심으로 하고 각의 꼭짓점를 지나는 원호를 그린다. 이 원호 위에 점를 잘 잡아 직선
와 각의 다른 변와의 교점에 대해 가 되면, ∠가 주어 진 각 ∠의 3등분각이 된다.
[그림2]
전통적인 기하학적 작도법이나 뉴시스작도법으로는 이와 같은 점를 작도할 수 없다. 그러나 다음과 같은 방법으로 에 임의로 가까운 점들을 작도할 수 있다. 먼저 원호 위에 한 점 을 잡고, 인 점 을 변 위에 잡는다. 다음으로 직선 과 원호의 교점을 라 하고 인 점
를 변 위에 잡는다. 이런 과정을 반복하여 원호 위에 점, , ,
…를 잡으면 이 점들은 한 점으로 수렴하게 되는데, 이 극한점이 점가 된다.
(다) 각을 3등분하는 것은 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 원이 각의 두 변에 의 해서 잘려진 원호를 3등분하는 것과 같다. [그림3]과 같이 현을 3등분하는 것으 로 3등분각을 작도할 수 없으나 주어진 각의 크기가 작을 때에는 3등분각에 가 까운 각을 얻을 수 있다.
14. 아주대학교 예시(1)
[그림3]
[그림3]에서 이고 점는 현를 2 : 1로 내분하는 점이다. ∠
와 ∠의 크기를 각각 와 라 하면 다음 부등식이 성립한다.
(1)
≦ (단, 각의 단위는 라디안(radian)이다.)
즉, 가 작을 때 는
의 근삿값이 된다. 실제로, ∠가 일 때
∠의 3배는 약 가 된다.
[1] [그림2]에서 이고 이면, ∠가 ∠의 3등분각이 됨 을 제시문 (가)를 참조하여 증명하라.
[2] 아래 그림에서 예각 ∠와 점는 고정되어 있고, 를 중심으로 하고
를 반지름으로 하는 원와 변의 교점은 이다. 점는 원 위를 움직이 며, 점는 직선와 변의 교점이다.
∠와 ∠의 크기를 각각 와 라 할 때,
lim
→
와
lim
→
를
구하고, 이를 이용하여 원 위에 인 점 가 존재함을 설명하라.
[3] 제시문 (나)에 나오는 점, , , …들이 점에 수렴함을 보일 때 다음 사실들을 이용할 수 있다.
(a) 이면 이다.
(b) 이면 이다.
(a)를 증명하라.
[4] [그림3]에서 ∠와 ∠의 크기를 각각 와 라 할 때, 를 에 관한 식으로 나타내어라.
[5] 다음 그림에서 는 ∠의 이등분선이고, 는 ∠의 이등분선이며, 점 는 현를 2 : 1로 내분하는 점이다. ∠와 ∠의 크기를 각각 와 라 할 때, 가
의 근삿값이 됨을 설명하고, 부등식
≦ 이 성립함을 증명하라.
14. 아주대학교 예시(1)
제시문 분석
눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하는 기하학적 작도로 풀리지 않는 3대 작도불능 문제 중 3등분각의 작도를 다소 변칙적 방법으로 풀 수 있다.
• 아르키메데스의 뉴시스작도
눈금 없는 자에 눈금을 표시하여 임의로 주어진 각을 3등분할 수 있고 이를 삼각 형의 성질을 이용하여 주어진 각이 3등분됨을 설명한다.
• 극한을 이용하는 방법
극한을 이용하여 임의로 주어진 각의 3등분각에 수렴하게 한다.
• 주어진 각의 크기가 작을 때 현과 호가 근사함을 이용
임의의 작은 각이 주어질 때 현의 삼등분점을 이용하여 3등분각에 가까운 근사각 을 얻을 수 있다.
논제 분석
• 제시문에 주어진 "이등변삼각형의 두 밑각은 같다.", "삼각형의 한 외각은 이웃 하지 않은 두 내각의 합과 같다."를 이용하여 3등분각이 됨을 설명한다.
• ∠ 의 변화에 따른
의 변화를 설명하고
인 점 P의 존재 근거를 제시할 수 있는가?
를 를 이용해 표현하고
lim
→
와
lim
→
값을 구한 후,
두 극한값 사이에
의 값이 변화함을 설명하고
인 점 가 존재하는 근거를 제시하여 설명한다.
• 이면 인 실수 가 존재한다.
• 삼각형의 한 변의 길이를 나머지 변과 각을 이용하여 표현하고 사이의 관 계식을 구한다.
• 제시된 그림에서 제시문 (다)의 를 적용할 수 있는 부분을 찾아 치환하여 근삿값이 됨을 설명하고 부등식을 증명한다.
배경지식 쌓기
• 중간값 정리
함수 가 구간 에서 연속이고 ≠ 일 때, 와 사이의 임 의의 값을 라 하면 인 가 개구간 사이에 적어도 하나 존재한다.
• 수열의 극한의 대소 관계 (1) 이면
lim
→∞
≤
lim
→∞
이다.
(2)
lim
→∞
lim
→∞
이면
lim
→∞
이다.
• 제2코사인법칙
(1) (2) (3)
풀 어 보 기 풀어보기
1. 방정식 은 오직 하나의 실근을 갖는다. 이 실근이 구간 (2, 3) 에 존재할 때, 정수 값을 구하시오.
2. 수열
이 모든 자연수 에 대하여 을 만족시킬 때,lim
→∞ ⋯
의 값을 구하시오.
14. 아주대학교 예시(1)
개요 짜기
답안 작성
예시답안
14. 아주대학교 예시(1)
이면 상의 점 에 대해 ∠ ∠ 이다.
14. 아주대학교 예시(1)
논제 5
∠ ∠
, ∠ 라 하면 가 작으므로(∠가 라
하더라도 ∠는 로 제시문의 보다 작다.) 제시문 (다)에 의해 는
에 근사한다. ∠ ∠ ∠이므로
≒
이다.
따라서, 는
에 근사한다.
∠와 ∠의 크기는 각각
와
이므로 ∆에 제시문 (다) 의 (1)식을 사용하면
≤
따라서 부등식
≤ 을 얻는다.
제 시 문
1827년, 영국의 식물학자 로버트 브라운은 액체속의 꽃가루를 현미경으로 관 찰하던 중 꽃가루 알갱이가 액체 속에서 끊임없이 불규칙한 운동을 하며 떠다 니는 현상을 발견하였다. 브라운은 꽃가루의 운동이 꽃가루 내부의 생명에너지 에 의해 일어난다고 생각하였으나, 물리학자들은 내부 유체의 불규칙한 유동현 상(유체분자의 충돌현상에 의해 일어남)이 꽃가루를 통하여 보이는 것이라고 결 론지었다. 그리고 이 현상을 발견한 과학자의 이름을 따서 브라운운동이라고 하 였다. 또 물리학자들은 온도가 높거나, 입자의 알갱이가 작을수록 브라운 운동이 활발해 짐을 발견했다. 특히 천재 물리학자 아인슈타인은 입자들의 평균이동거 리를 확률적 방법을 응용하여 계산하였다. 브라운운동은 분자레벨의 모든 자연 현상에서 일어나며 간단한 예로, 투명 용액 속에 붉은 잉크를 한 방울 떨어뜨릴 때, 잉크가 확산되어 전체용액이 오랜 시간 후 엷은 붉은색 용액으로 바뀌는 현 상을 들 수 있다. 현대에는 브라운현상이 물리적 현상뿐만 아니라, 정보망을 통 한 정보의 확산 과정, 주식의 가격변동 등 경제현상을 설명하는 주요한 수학적 도구로 활용되고 있다. 우리는 간단한 1차원 격자상의 불규칙한 유동현상(이를 랜덤워크라 부른다)실험을 통하여, 이 현상을 이해하고자 한다. 총질량 1그램의 물질을 고려해 보자. 물질은 3개의 격자점 위에만 분포하며, 매초마 다 물질은 반반씩 이웃하는 격자로 확산된다. 만일 을 초 후의 각 격자점에서의 물질의 질량이라고 정의하면, 초 후의 질량은 점화식
,
,
을 만족한다. 즉 초기 물질의 질량분포가 이라 하면, 초 후에는 이 되고, 초 후에는 이 된다.