(다) 그런데, 반드시 현의 길이의 합으로부터 호의 길이를 구하여야 할까? [그림 3]처럼 구간 를 매우 촘촘히 분할하여, ∆ ∣ ∣을 충분히 작게 한다면, 함수 값의 차, ∣ ∣(즉, 높이의 차 )와 현 는 매우 근사한 값을 가진다. 따라서 각 구간별 높이의 차를 더해감으로써 호의 길이를 근사하려고 한다.
9 서강대학교 수시(2)
9. 서강대학교 수시(2)
그렇다면, 연속적으로 미분 가능한 곡선 에 대한 호의 길이가 다음과 같이 계산될 수 있다:
lim
→∞
∣ ∣→∞lim
∣ ∆ ∣∆
∣′∣(라) 구간 에서 정의되고 각 변의 길이가 인 산(山)모양의 함수 을 [그 림 4]처럼 톱니 모양으로 바꾸는 변환을 적용하여 을 만든다. 이 함수들
｛｝은 구간 의 모든 점에서 으로 수렴하는 수열이 된다. 각 에 대해 서 곡선 의 길이는 항상 이다. 그러나 의 극한으로 만들어진 곡선은 축 의 과 같으므로, 그 길이는 이다. 이러한 결과로부터 구간 의 길이 에 대하여 무엇을 말할 수 있을까?
[그림 4]
[1] 제시문 (가)를 참고하여, (나)의 방법에서 곡선이 ‘연속적으로 미분가능하다.’는 조건이 반드시 필요한지, 그렇지 않다면 꺾인 곡선 또는 끊어진 곡선에 대해서 이 방법을 적용할 수 있는지에 대하여 예를 들어 논술하라.
[2] 제시문 (가)를 참고하여, (다)가 올바르다면 논증하고 그렇지 않다면 반례를 들 어 설명하되, (다)의 극한은 무엇을 뜻하는지 예를 들어 논술하라.
[3] 제시문 (나)를 참고하여, (라)의 올바른 결론에 관하여 적절한 예를 들어 논술하라.
제시문 분석
• 제시문 (가)에서는 정적분의 의미를 설명하고 있다.
• 제시문 (나)에서는 연속적으로 미분가능한 곡선의 호의 길이를 구분구적법으로 하는 방법을 설명하고 있다.
• 제시문 (다)는 정적분에 대한 오해를 예시한 지문이다.
• 제시문 (라)는 무한소의 합에 대한 오해의 예를 제시한 지문이다.
논제 분석
• [1]은 곡선의 길이를 구하려면 피적분함수가 연속적으로 미분 가능하다는 조건 이 반드시 필요한 것인지를 묻는 문제이다. 피적분함수가 유한개의 미분 불가능 한 점을 가지면 이때는 적분 구간을 나누어서 적분해야 한다. 그렇지 않고 그냥 적분을 하면 모순이 발생하는 사례를 알고 있는가를 물어보는 문항이다.
• [2]는 무한소라고 해서 무조건 서로 같다고 주장하면 모순이 있음을 설명하는 능력을 평가하는 문제이다. 또 주어진 정적분의 식을 보고 그 의미를 파악할 수 있는지를 평가하는 문제이다.
• [3]은 곡선의 길이를 구하는 올바른 방법을 알고 있는가와 무한소의 무한합이 1이 되는 경우와 1이 되지 않는 경우를 구분할 수 있는 능력을 묻는 문제이다.
배경지식 쌓기
• 적분 가능한 함수의 충분조건은 연속함수이다.
미분 가능한 함수는 흔히 곡선의 모양을 보고 바로 판정할 수 있다. 곡선이 매끄 러운 곡선(smooth curve)이면 미분가능하다. 그렇다면 “적분 가능한 함수의 충분조 건은 무엇인가?”라는 의문이 들 수 있다. 고등학교에서 직접적으로 적분가능 조건 을 언급하고 있지는 않지만 다음과 같이 유추할 수 있다. 엄밀한 증명은 대학교 과 정의 미적분에서 취급한다. 아래의 내용은 미적분학의 기본정리를 간단히 설명한 내용의 일부이다.
함수 가 폐구간[ ]에서 연속이고 ≦ ≦ 에서
와 직선 와 및 축 사이의 넓이를 라고 하면
일 때, 를 생각해 보자. (그림 참조)9. 서강대학교 수시(2)
구간 에서 의 최댓값을 M, 의 최솟값을 이라고 하면 ≦ ≦ 이다. 여기서 양변을 로 나누면 ≦
≦ 이고 여기에 극한을 취하면
lim
→
≦
lim
→
≦
lim
→
… ①이므로
임을 알 수 있다.위의 정리에서 핵심내용은 ①임을 알 수 있다.
①이 성립하려면 핵심적인 사항은
lim
→ 이 성립해야 한다.
이것은 바로 연속함수의 정의(definition)이다. 사실 연속함수의 정의는 적분 가능 성을 염두에 두고 수학자가 연속의 정의를 그렇게 만든 것이다.
풀 어 보 기 풀어보기
1. 곡선
의 에서 까지의 호의 길이를 구하여라.
기 기 기 기 기 기 기 기 기 기 기 자료 자료 자료 자료 자료 자료 자료 자료 자료 자료 자료
읽 기 자료
읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽 읽
• 구분구적법으로 구의 부피를 구해 보자.
반지름의 길이가 인 구의 부피를 구하기 위해 아래 그림과 같이 구를 얇은 판으로 나누자.
k번째원판 r/n
반지름 r r-{(kr)/n}
kr/n
우선 반구의 부피를 구분구적법으로 구해 2배 해 주자. 위 그림으로 부터 k 번째 원판의 두께는
이고, 원판의 반지름은 피타고라스 정리를 쓰면
이 된다.
따라서 원판의 부피들의 합은
이다.그러므로 반구의 부피는
lim
→∞
이고 이것은
가 된다.따라서 반구의 부피는
이므로 구의 부피는
이 된다.
9. 서강대학교 수시(2)
개요 짜기
답안 작성
예시답안
9. 서강대학교 수시(2)
논제 3
에서 ′는 직선의 기울기이므로 ′ 이다.
따라서 호의 길이를 라고 하면
∙
이다.
여기서 제시문 (라)에서처럼 높이가 에 근접한다고 해서 산 모양의 선분의 길이 의 무한 합이 밑변의 길이와 같다고 주장하는 것은 무리가 있다. 이것은 무한소의 무한합이 이 된다는 주장으로 다음과 같은 반례를 들 수 있다.
lim
→∞
⋯
lim
→∞
이것은 무한소의 무한 합이 이 아닐 수도 있음을 보여 준다.