제 시 문
(가) 물체가 벽이나 바닥에 탄성 충돌한 경우 충돌 전 후의 속도의 크기는 변하 지 않으며 방향만 바뀐다. [그림1]과 같이 점에서 물체가 출발하여 점에서 충돌한 후 점로 움직였다고 하자. 이 때, 점에서 바닥과 수직인 직선, 즉 법 선과 직선가 이루어진 각을 입사각이라 하고, 법선과 직선가 이루어진 각 을 반사각이라 한다. 충돌 후의 물체는 입사각 와 반사각 ′가 같은 방향으로 움 직인다.
[그림 1]
법선
경계면
′
(나) [그림2]와 같이 직교좌표계에서 일정한 높이에서 수평 방향으로 던진 물체는
방향으로는 힘이 작용하지 않기 때문에 등속도운동을 하고, 방향으로 중력
가 작용하여 가속도가 인 등가속도운동을 한다. 점 에서 의 속도로 수평으로 던진 물체가 경사각도가 (rad)인 경사면에 떨어지는 경우를 생각해 보자. 만약 중력을 무시할 수 있는 환경이라면( 무중력 상태) 물체는 [그림2]의 점선을 따라 직선으로 나아가 점에서 경사면과 충돌하게 되고 입사 각과 같은 각으로 반사되어 경로 방향으로 나아가게 될 것이다. 그러나 지표면 에서와 같이 일정한 중력이 작용한다면 물체는 중력에 의해 포물선의 경로를 따 라 떨어지게 될 것이며, 경사면과 만나는 점은 보다 아래쪽인 가 될 것이다.
이때 입사각과 반사각은 무중력 상태에 비해 작아지게 되고, 충돌 후의 물체는 좀 더 경사면의 법선에 가까운 방향으로 나아가게 된다.
20 인하대학교 수시2-1(1)
: 경사면의 식
[그림2]
물체가 경사면과 탄성 충돌한 후의 운동은 중력의 크기, 경사면의 경사각도, 물체의 초기 높이 및 초기 속도에 따라 여러 가지가 있을 수 있다. 예를 들어, 충돌한 점에서 물체의 궤적인 포물선의 접선의 기울기가 경사면에 수직이면, 입 사각이 0도가 되어 경사면에 충돌 후 물체는 다시 제 위치로 돌아간다.
[1] 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.
제시문 (나)에서 높이 이고 경사면의 식이
라 하자. 단, 중력가속도
는 이며 충돌은 탄성 충돌이다.
1-1. 수평으로 던진 물체가 경사면과 만나는 점에서 포물선에 접하는 접선의 기울기를 초기 속도 로 표현하시오. [10점]
1-2. 아래 그림과 같이 수평으로 던진 물체가 경사면과 충돌할 때의 입사각을 라 하자. 이때
를 초기 수평속도 의 함수로 표현하고, 연직 위로 오르게 되는 초기 수평속도
을 구하시오. [15점]
20. 인하대학교 수시2-1(1)
연직 위로
제시문 분석
물리와 수학의 혼합 형태로 물리 현상을 이해하고 수학의 여러 방법을 이용하여 논리적으로 수식을 세우는 과정과 더불어 계산하는 능력도 평가하고자 하였다.
• 제시문 (가)에서는 탄성 충돌인 경우, 벽면에 충돌하기 전후의 물체의 속도에 대한 제시문이다. 충돌 후의 물체 속도의 방향은 반사의 법칙이 성립하다고 설명하였다.
• 제시문 (나)에서는 물체가 경사면에 충돌할 경우에 발생할 수 있는 여러 현상을 설명하였다.
논제 분석
• 수평방향으로 물체를 던질 때 나타나는 포물선의 식을 표현하고 경사면의 식과 교점을 구하여 충돌지점을 찾은 후, 충돌지점에서 접선의 기울기를 초기 속도로 표현할 수 있는가?
위치를 각각 시간 에 대해 함수로 나타내고 매개변수 를 소거하면 포물 선의 방정식을 구할 수 있다. 경사면을 식으로 나타내어 포물선과의 교점을 구하고 그 교점에서의 포물선의 접선의 기울기를 구한다.
• 물체가 경사면에 충돌할 때, 입사각의 탄젠트 값을 삼각함수의 공식을 응용하여 초기 속도로 표현하고, 물체가 연직 방향으로 올라가는 조건을 논리적으로 찾은 후, 이 경우의 초기 속도를 구할 수 있는가?
1-1에서 구한 교점에서의 포물선의 접선과 경사면의 법선사이의 각을 입사각 라 두면 경사면의 법선과 축에 수직(연직 방향)인 직선사이의 각이 반사각이 된 다. 이때 각 직선이 축의 양의 방향과 이루는 각을 탄젠트 값으로 표시하고 입사 각과 반사각의 크기가 같다는 성질을 이용하여 초기 수평속도 를 구한다.
배경지식 쌓기
• 매개변수
에 대한 의 함수가
는 실수
의 관계식으로 나타낼 때 이 함수를 매개변수로 나타내어진 함수라 하며 를 매개 변수라 한다.
• 미분과 접선의 기울기
곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은
′
이다.
• 탄젠트에 대한 삼각함수의 덧셈정리
± ∓
±
풀 어 보 기 풀어보기
1.
에서 를 소거하여 만의 관계식으로 나타내어라.7)2. 수평면과 의 각을 이루는 방향으로 의 처음 속도로 던진 공의 초 후 위치를 라 할 때
으로 나타난다고 한다. 공이 최고 높이에 도달했을 때 속도 벡터 와 가속도 벡 터 를 각각 구하여라.
7) 양승갑 외 8인. (2002). 미분과적분. (주)금성출판사
20. 인하대학교 수시2-1(1)
3. 두 직선 ,
가 원 에 접하는 점을 각각 , 라 하고 ∠ 일 때, 의 값은? (단, ) [전국연합 2008년 7월]
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