제 시 문
수학에서 기호의 사용은 매우 중요하다. 복잡한 이론을 유도하는 데 수학의 기 호를 사용하는 것은 문제를 간결하고 명확하게 분석하는 데 효과적일뿐만 아니 라 그 내용을 왜곡됨이 없이 정확히 전달할 수 있기 때문이다.
많은 수학 기호 중에 개의 수열 ⋯ 들의 합을 의미하는 합의 기 호
는 자주 사용된다. 의 는 수열 ⋯ 에서 개개의 수를 구분하는 색인이다. 예를 들어
은 네 개의 수들의 합을 의미 한다. 이 경우 들의 색인은 로 개씩 차이가 나는 일련의 또 다른 수열이 됨을 알 수 있다. 만일 이렇게 색인들 간의 차가 등간격이 아닌 경우는
∈로 그 합을 표시할 수 있다. 여기서 는 색인들의 집합을 의미한 다. 가령 색인들의 집합을 로 정의한다면
∈는 의합을 의미한다.
⋯ 외에 또 다른 수열 ⋯ 이 있는 경우를 생각해 보자. 두 가 지 이상의 수열이 있는 경우 이들 간의 다양한 형태의 합을 계산하기 위해 합 의 공식이 사용될 수 있다.
은 , 들의 합을 나타낸다.물론 합의 기호의 성질을 이용하면
을 으로도 표현할 수 있다.
좀 더 복합한 예를 생각해 보자.
는 다음과 같 은 수들의 합을 구하는데 사용될 수 있다.
⋮
⋯
4 동국대학교 예시
재미있는 사실은 위와 같이 수들을 나열하여 봄으로써 그 합은 다소 복잡해 보이는
가 실은
으로도 표현될 수 있다는 점이다. 마치 똑같은 내용이 기술하는 사람에 따라 다양하게 표현되듯이수학의 기호를 통한 표현도 다양함을 알 수 있다. 물론 위 예의 경우는
이 그 수식의 목적을 전달하는 데는
보다 더 간결하고 효과적임을 알 수 있다.[1] 다음 두 수열 와 을 생각해 보자. 를 ⋯ 수열의 첫 번째부터 번째 수까지에서 각각 빼준 값들 모두를 더해 근을 구하고자 한다. 이에 대해 제시문 내용의 활용방안 을 기술하고 근을 구하시오.
4. 동국대학교 예시
제시문 분석
• 수학에서의 기호의 사용
수학에서의 기호는 문제를 간결하고 명확하게 분석하는 데 효과적이며 내용을 왜 곡됨이 없이 정확하게 전달할 수 있게 해 줌으로써, 이공계 학문에서의 하나의 언 어로 자리매김하고 있다.
• 다양한 기호의 표현
똑같은 내용이 기술하는 사람에 따라 다양하게 표현되듯이 수학의 기호를 통한 표현도 다양함을 예를 들어 설명하고 있다.
즉,
와
는 동일한 내용을 의미하는수식으로써 앞의 수식보다는
이 그 수식의 목적을 전달하는 데 더 간 결하고 효과적임을 언급하고 있다.논제 분석
• 수학적 표현을 다양하게 바꾸어 표현해 보고, 이를 구체적인 문제에 적용할 수 있는가?
제시문에서 주어진 내용을 구체적인 상황에 적용할 수 있는지를 묻고 있다. 정규 교육과정을 이수한 고등학생으로서는 합의 기호가 이중으로 겹쳐 있는 상황이 어색 할 수 있으나, 제시문의 내용과 논제의 상황을 비교하여 식을 만들면 충분히 해결 할 수 있을 것으로 생각된다. 고교과정에서 배우는 수열의 합을 표시하기 위해
와 같은 기호를 정의하고 이 기호를 좀 더 다양한 형태로 사용될 수 있는 예 를 소개하였다. 이러한 예를 통해 기호의 의미와 활용법을 명확히 이해하도록 하였 으며, 동일한 결과 또는 내용에 대해서 단일한 형태로만 표현되는 것이 아니라는 점을 제시하였다. 그리고 목적에 맞게 다양한 형태의 수식을 이용하는 것이 중요하 다는 사실을 보여주고 있다.
배경지식 쌓기
•
의 기본성질
±
±
(단, 는 상수)
(단, 는 상수)• 자연수의 거듭제곱의 합
⋯
⋯
⋯
풀 어 보 기 풀어보기
⋅
일 때, 의 값을 구하여라.4. 동국대학교 예시
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예시답안
4. 동국대학교 예시
과
은 동일함을 알 수 있다.수열 에 있어서 가 모두
가 되므로
× × × ×
제 시 문
(가) 수열은 어떤 규칙에 의해 순서가 정해진 채 나열되는 수들의 집합을 의미 한다. 이러한 수들의 관계가 수식으로 정의될 수 있다면 해당 수열에 대한 여러 가지 연산을 손쉽게 할 수 있다. 예를 들면, 을 자연수라 할 때 수열의 일반항
이 로 정의되면, 수열은 ⋯과 같은 홀수들을 나 타내는 것임을 쉽게 알 수 있다. 수열에 관한 이러한 식은 수들 간의 관계를 탐 구하고, 이를 간결하게 정리하는데 유용하다. 가령 번째 수를 알고자 한다면 일반항으로부터 × 임을 신속히 확인할 수 있다. 또한, 부터
까지의 합, 즉 ⋯
을 구하기 위해 ⋯의 값을일일이 구해서 합할 필요 없이 1부터 까지 자연수의 합이
이라는 사실을 이용하여
× 임을 쉽게 계산해 낼 수 있다.
(나) 수열들 중에는 재미있는 특성을 지닌 것도 있는데, 피보나치(Fibonacci) 수 열은 그 생성규칙의 특이성과 성질로 인해 문화, 예술 등에 많은 영향을 주었다.
피보나치수열은 다음과 같다.
⋯
이 수열을 수열의 초기 값과 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 구성되는 점 화식으로 표현하면, 피보나치수열이 어떻게 생성된 것인지를 이해하기가 매우 쉽다.
⋯
즉, 과 는 로 주어지고, 부터는 앞의 두 수의 합으로 정의된다는 것을 쉽 게 확인할 수 있다. 하지만 위의 점화식으로는 이 얼마인지 바로 확인하는 것 은 매우 어렵다. 왜냐하면 과 를 알아야 하는데 이 값들 역시 과
의 계산 없이 구할 수 없기 때문이다. 물론 일반항을 이용한다면 쉽게 계산