㉮ ㉯
㉰
③ 제2종 스털링 행렬
값을 그림과 같이 나타낸 행렬을 제2종 스털링 행렬이라 하며, ㉮+㉯×(열 번호)=㉰와 같은 관계를 관찰할 수 있다. 이것은 일반적으로 성립하는 성질로서 ㄱ열 법칙 이라고 부르기도 한다.
[정리] 의 ㄱ열 법칙
인 정수 , 에 대하여
④ 벨 수
명을 수 개의 그룹으로 나누는 방법의 수를 벨 수라고 하고 기호로 으로 나 타낸다. 명을 수 개의 그룹으로 나눌 때, 개, 개, … , 또 개의 그룹으로 나눌 수 있으므로
…
이다. 여기서 은 제 종 스털링 행렬의 행의 성분들의 합임을 알 수 있다.
예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안
풀어보기 1
1. (1) 의 종류에서 중복 허락하여 개의 문자를 고르는 문제와 같으므로
과 같다. 예를 들어 의 경우 는 번, 는 번, 는 번 선택했다고 생각 하면 된다. 따라서
(가지)
(2) 가 양의 정수이므로 각 개씩 선택되었다고 하면, 의 종류에서 중복 허락 하여 개의 문자를 고르는 문제와 같으므로
(가지)이다.
16. 아주대학교 수시
2. 의 5개의 숫자(5종류)에서 중복 허락하여 3개를 선택하는 경우와 같다.
예를 들어 의 경우는 함숫값의 부등호에 따라 , , 인 함수이다. 그러므로
(가지)이다.
3. 그림에서 알 수 있듯이, 그 접선은 축에 평행일 수 없으므로 접선의 방정식을
으로 놓고 접한다는 조건을 이용하여 의 값을 구한다.
에 관한 항등식으로 정리하면,
∴ ,
∴ , 따라서 구하는 접선의 방정식은 ,
논제 1-1 자장면, 짬뽕, 우동 10그릇을 주문할 때, 3종류의 음식을 적어도 한 그릇씩 반드시 포함해야하므로 을 구하는 것과 같다.
×
이므로 36가지이다.
논제 1-2 빨강, 파랑 2종류의 구슬에서 2개의 구슬을 선택하는 방법의 수는 중복조합이다. , 즉 빨강만 2개, 빨강 파랑 각 1개, 파랑만 2개를 선택하는 3가지이다.
빨강구슬 2개, 파랑구슬 2개(총 4개의 구슬)가 있는 가상의 주머니에서 빨강구슬 2개를 각각 , 파랑구슬 2개를 각각 라 둔다. 이때 2개를 선택하는 방법
의 수인 는 의 6가지이다. 이때
는 모두 빨강 1개, 파랑 1개를 선택하는 것으로 중복 계산한 것이다.
논제 1-3 , 이므로
이다. 따라서 이다.
논제 1-4
(1) 명의 학생을 (단, ≤ )개의 그룹으로 나누는 경우의 수 는 학생 1명 을 정해서 그 학생이 혼자 그룹을 이루고 있는 경우와 2명 이상의 그룹에 속해 있 는 경우로 나눌 수 있다. 혼자 그룹을 이루고 있는 경우는 나머지 명의 학생을
개의 그룹으로 나누는 경우와 같으므로 이다. 2명 이상의 그룹에 속해있는 경우는 명의 학생을 개의 그룹으로 나누고 처음 정한 학생 1명을
개의 그룹 중의 하나에 들어가는 경우와 같으므로 이다.
따라서 이다.
(2) 명을 개의 그룹 또는 개의 그룹으로 나누는 방법은 항상 한 가지이다.
즉, 이다.
(1)의 식에 의해
이다.
다른 풀이 1
는 명을 개의 그룹으로 나누는 방법의 수이다. 명이 2개의 그룹 중에 서 하나를 선택하는 가지 수에서 한 그룹에 모두 다 들어가는 2가지의 경우를 빼는 경우의 수는 이다. 그룹의 나열 순서는 고려할 필요가 없다.
따라서
이다.
은 명을 3개의 그룹으로 나누는 방법의 수이다. 명이 3개의 그룹 중에 서 하나를 선택하는 가지 수에서 두 그룹에만 들어가는 가지와 한 그룹 에 모두 다 들어가는 3가지의 경우를 빼는 경우의 수는 이다. 그룹 의 나열 순서는 고려할 필요가 없다.
16. 아주대학교 수시
논제 2-2
16. 아주대학교 수시
제 시 문
[1] 가스탄(폭발과 동시에 유해가스가 배출되는 폭탄)이 폭발하면서 아래 그림과 같은 반구의 모양으로 유해가스가 퍼져 나간다고 하자.(단, 부피의 시간에 대한 변화율은 일정하다고 한다.) 아래 표는 초당 가스의 부피를 나타낸 자료이다. 다 음 물음에 답하시오.
t (초) 5 (가) 30 60
V (㎦) 1,000π 2,250π (나) 14,750π
[1-1] 빈칸 (가), (나)의 값을 추정하시오.(10점)
[1-2] 위와 같이 가스가 퍼져갈 때, 반지름이 5㎞일 때 부피의 반지름에 대한 변화율을 설명하시오.(10점)
[1-3] 가스의 유해함을 막기 위해서는 반지름 r인 반구에 내접하는 최대 원기둥 의 부피에 해당하는 양의 해독가스가 필요하다고 한다. 반지름이 5㎞일 때 필요 한 해독가스의 양이 얼마인지를 설명하시오.(10점)