제 시 문
[그림3]
[가] 물체의 운동에너지 와 위치에너지 의 합을 역 학적 에너지라고 한다. 마찰력이나 공기의 저항을 무시 하고 물체가 중력만 받아 운동할 때 물체의 역학적 에 너지는 보존되는데 이것을 역학적 에너지보존법칙이라 고 한다.
일정
[나] [그림3]과 같이 질량 인 물체를 지구 표면에서 처음 속력 로 수직방향으로 발사한다고 하자. 이 때, 지구 표면에서 물체의 운동에너지는
이다. 지
구 표면에서 높이 까지 도달한 물체의 중력 위치에너 지의 변화는 다음과 같이 적분식으로 정의된다.
··· ①여기서, × 은 지구의 반지름이며, × ⋅ 는 만유 인력 상수이며, × 은 지구의 질량이다.
[다] 물체가 지구의 중력 영향으로부터 탈출하기 위한 처음 속력의 최솟값을 탈 출속력이라 한다.
[1] [나]에서 주어진 질량 인 물체가 지구 표면에서 높이 인 지점에 도달했을 때 속력을 라면, (1)의 적분 결과를 이용하여 지구 표면과 지구 표면에서 높 이 인 지점에서의 역학적 에너지를 각각 논하시오.
[2] 지구 표면에서 탈출속력으로 발사된 질량 인 물체는 지구 표면으로 부터 무한히 멀어지면(즉, →∞ 이면), 속력이 0에 가까워질 것이다(즉, →
이다). 이 사실과 [가]에 주어진 역학적 에너지보존법칙을 이용하여 [다]에 주어 진 물체의 지구 표면에서 탈출속력 에 대해 논하시오.
11. 성균관대학교 예시
제시문 분석
• [가]는 역학적 에너지(물체의 운동에너지 와 위치에너지 의 합)의 의미와 마찰력이나 공기의 저항을 무시하고 물체가 중력만 받아 운동 할 경우 물체의 역학적 에너지 보존법칙(일정)이 성립됨을 설명하고 있다.
• [나]는 질량이 , 초기속력 인 물체의 지구표면에서의 운동에너지가
임을 지구표면에서 높이 까지 도달한 물체의 중력 위치에너지의 변화를 적분식
로 정의됨을 설명하고 있다.(단, × : 지구의 반지름, × ∙ : 만유인력 상수,
× : 지구질량, : 지구중심에서 질량인 물체까지의 거리)
• [다]는 탈출속력에 대한 정의를 설명하고 있다.
논제 분석
• [1] 수학에서의 간단한 정적분을 이해함으로써 위치에너지를 알아내고 물리Ⅰ의 역 학적 에너지 보존에 대한 기본 내용을 이용하여 역학적 에너지를 추론하면 된다.
• [2] 주어진 제시문의 정보를 통하여 탈출속력을 유추하는 논리적인 능력을 평가 하기 위한 문제이다. 실제 숫자 계산과 주어진 계산식으로부터 논리적인 답안을 구성하면 된다.
배경지식 쌓기
• 정적분의 정의
함수 와 축으로 둘러싸인 부분 중 에서 까지, 넓이를 정적분이 라 한다. 기호로
라 하고, 를 아래 끝, 를위 끝이라 한다.
정적분의 정의 :
→∞lim
∆• 역학적 에너지보존법칙
11. 성균관대학교 예시
중력장을 간신히 벗어날 정도의 에너지, 즉 무한대의 거리에서 속력이 0일 조건 을 구하는 것이 목적이므로, 최종 상태에서의 운동에너지 및 위치에너지 와
는 모두 0이다.
따라서,
,
이 성립한다.형식적으로 정의하면, 탈출속도는 중력장 내에 위치한 초기 위치로부터, 무한대의 거리로 물체를 이동시키고 또한 최종속도가 0이 되도록 하는 초기속도를 의미한다.
반대로 말해서, 무한대의 거리의 초기속도 0인 물체가 단지 중력에 의해서 끌어당 겨져서 어떤 위치까지 이동했을 때의 속도가 바로 그 위치에서의 탈출속도가 된다.
일반적인 행성이나 위성에 대해 탈출속도를 언급할 때는, 표면을 초기 위치로 가정 한다. 지표면에서의 탈출속도는 대략 (마하 34)정도이다. 하지만 고도
에서는 대략 이하이다.
회전체에서의 탈출속도는 탈출하려는 물체가 향하는 방향에 좌우된다. 예로, 지구 의 회전속도는 적도를 기준으로 이므로, 지구의 적도에서 동쪽으로 향하는 접선상으로 발사된 로켓은 의 초기속도가 필요한 반면, 적도에서 서쪽 으로 발사된 로켓은 의 초기속도가 필요하다. 표면속도는 위도에 대한 코사인 함수의 형태로 감소하기 때문에, 우주선 발사 장소는 가능하면 적도 근처에 설치하려고 한다. 프랑스령 기아나에 위치한 기아나우주센터도 적도로부터 5도밖에 떨어져 있지 않다.
－ 출처 : http://ko.wikipedia.org/wiki
• 이상적분
이상적분은 구간의 길이가 무한하거나, 혹은 그 구간에서 함수가 발산하는 경우 등, 일반적인 정적분의 정의로는 정의되지 않는 경우에 대한 정적분이다.
이상적분은 일반적으로 더 작은 구간에서의 정적분에 대한 극한으로 정의된다.
예를 들어,
∞는 다음과 같이 정의한다.
∞ lim
→∞
마찬가지로
∞ → ∞lim
가 된다.11. 성균관대학교 예시
∞
○적분구간의 길이가 무한한 경우의 이상적분 ○함수가 발산하는 경우의 이상적분
또한, 발산하는 함수의 경우는 다음과 같이 정의한다.
lim
→
( 에서 발산)
lim
→
( 에서 발산)이러한 이상적분은 그 극한이 수렴할 경우에만 존재한다고 정의한다.
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11. 성균관대학교 예시