제 시 문
갑은 좌표공간에서 시각 에 따라 연속적으로 움직이는 평면도형 를 관찰하 고 있다. 는 모든 시각에 평면도형을 유지하나, 그 넓이와 모양은 연속적으로 변하고 있다. 갑은 을에게 관찰한 정보의 일부만을 알려주고, 을은 주어진 정보 를 수학적으로 분석하여 좌표공간에서 의 변화와 움직임을 알아내려고 한다.
- 시각 에서 도형 의 , , 평면 위로의 정사영의 넓이를 각각 ,
, 라 하고, 이들은 모든 시각 에서 연속함수라고 가정한다.
[1-1] 갑은 을에게 , , 를 각각 알려주었다. 을은 이 정보만으로 도형
의 넓이 를 알아내었다. 을의 해결 방법을 설명하고, 와 , ,
사이의 관계식을 구하시오. [10점]
[1-2] 갑은 을에게 시각 ≤ ≤ 에서 와 임을 알려주었다.
또한, 도형 위에 항상 존재하는 점 도 알려주었다. 그리고
, 는 구간 ≤ ≤ 에서 증가함수이고, 미분 가능하며, 또한 이들의 도함수가 연속이라는 조건을 알려주었다. 을은 에서 까지 도형 가 만든 입체도형의 부피를 정적분으로 표현할 수 있었다. 그 이유를 설명하 고, 입체도형의 부피를 적분변수 를 사용한 정적분으로 나타내시오. [15점]
[1-3] 갑은 시각 ≤ ≤ 에서 , , 각각을 모두 알고 있으나, 을에 게는 이들의 합인 함수 만을 알려주었다. 또한 이 구 간에서 도형 의 넓이 가 변하지 않았다는 정보도 알려주었다. 을은 이 두 가지 정보를 사용하여 어떤 조건하에서는 를 정확하게 구할 수 있었 다. 을은 먼저 함수 의 최댓값 과 최솟값 사이의 관계식을 구하였 다. 을이 구한 이 관계식을 구하고, 이로부터 의 넓이 를 구하는 방법 을 설명하시오. [15점]
18. 연세대학교 수시
제시문 분석
‘정사영’이란 화면에 수직이 되게 빛을 비추었을 때 생기는 어떤 도형의 그림자를 말한다.
논제 분석
• 어떤 도형의 정사영의 넓이를 구할 수 있는가?
평면도형 의 넓이를 , 이 도형을 평면 로 정사영한 도형의 넓이를 ′라 하면
′ (단, 는 와 평면 의 이면각의 크기)
• 입체도형의 부피를 구할 수 있는가?
구간 의 임의의 점에서 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 인 입체의 부피 는
• 주어진 조건에서 정사영넓이의 합의 최대, 최소를 구할 수 있는가?
주어진 구간에서 평면도형 의 넓이 가 일정하다는 사실을 이용하여 의 범위 를 구할 수 있다.
배경지식 쌓기
• 정사영의 넓이
공간상의 평면 의 넓이를 , 이 도형을 평면 로 정사영한 도형의 넓이를 ′라 하면
′ (단, 는 와 평면 의 이면각의 크기)
′
• 방향코사인(Direction Cosine)
공간벡터 가 축, 축, 축과 이루는 각을 각각 , , 라 할 때, , ,
를 벡터 의 ‘방향코사인’이라 한다. 이것은 벡터의 방향을 제시하기 때문에 이 렇게 부른 것이다.
벡터
라 하면
,
,
이므로
∴
• 점과 평면 사이의 거리
점 에서 평면 까지의 거리 는
풀 어 보 기 풀어보기
1. 한 변의 길이가 인 정사면체 가 있다. 세 삼각형 △ △ △
에 각각 내접하는 세 원의 평면 위로의 정사영을 각각 , , 이라 하자.
그림과 같이 세 도형 , , 으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 할 때,
의 값을 구하시오.
18. 연세대학교 수시
2. 그림과 같이 반지름의 길이가 모두 이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 위에 놓여 있다. 평면 와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중 심을 각각 , , 라 할 때, 삼각형 는 이등변삼각형이고, 평면 와 평면 가 이루는 각의 크기는 °이다. 세 원기둥의 높이를 각각 , , 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, ＜＜ )
α
개요 짜기
답안 작성
18. 연세대학교 수시
예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안 예시답안
1. 구하는 부분의 넓이는 오른쪽 그림에서 어두운 부분을 평면 ABC 위로 정사영 시킨 넓이와 같다. 정사면체에서 이면각 에 대해
이므로
×
×
∴
2. 점 를 지나며 평면 에 평행한 평면을 라 하자. 점 에서 평면 에 내린 수선의 발을 ′ ′이라 하고, ′ ′ 라 하자.
삼각형 ′′은 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 다음이 성립한다.
이 때, , 이므로 이 성립한다. 따라서 이다.
점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하면
이므로 삼각형 의 넓이는
이다.그런데 삼각형 의 정사영이 삼각형 ′′이고 삼각형 ′′의 넓이는
이다. 따라서 평면 와 평면 가 이루는 각의 크기가 이므로 삼각형
의 넓이는 이다.
, , ∴ 따라서 가 되어 이다.18. 연세대학교 수시