실증모형 및 추정방법

가. 단위근 검정⁴⁾

4) 단위근검정, 공적분검증, Granger 인과관계분석에 대한 추정방법에 대한 기술 은 윤원철, “유연탄 선도가격의 예측력 평가 및 지역간 동태적 상관관계 분석”, 에너지경제연구원, 기본연구보고서 06-16에서 원용하였다. 이는 이들 분석방법

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 33

어떠한 회귀분석(regression analysis)을 하기 전에 개개의 시계열 혹은 변수에 대하여 적분차수(order of integration)를 파악하는 것이 필요하다. 적분차수를 파악하는 것은 개개의 시계열을 안정시계열로 만들기 위하여 몇 번을 차분할지를 결정하는 것이다. 가령 단일시계 열 {

y

_t}를 안정적인 시계열로 만들기 위하여

k

번 차분한다면

{ y_t}∼I( k)라고 나타내고, 이를 "시계열 {

y

_t}가

k

번 적분되었다 (integrated of order k)"고 표현한다. 만약 {

y

_t}가 안정시계열이라면

{ y_t}∼I( 0)라고 나타낸다.

이러한 적분차수의 결정은 DF 단위근 검정(Dickey-Fuller unit root test)을 통해서 가능한데, 다음 회귀식의 추정에 근거한다.

Δy_t = α y_{t - 1} + u_t (1)

여기서 ^Δ는 1차 차분 연산자로서 _Δyt = y_t- y_{t - 1}이고

t

= 1, . . .,

_T

. 만약 ^α가 음이면, 다음의 식에서 _{ρ = 1+α}가 1보다 작아진 다.

y

_t = ρ y_{t - 1} + u_t (2)

식 (1)에서 DF 단위근 검정은 귀무가설

_H

₀: _{α = 0}, 대립가설

_H

₁: α < 0을 검정한다. 귀무가설의 기각은 식 (2)에서 ρ < 1, 따라서 { y_t}∼I( 0)로서 안정시계열임을 의미한다.

한 가지 유의할 사항은 이러한 단위근 검정을 위한 통계량의 극한 분포는 통계학에서 널리 알려진 확률분포, 예를 들어 Student-t-분포 등과는 전혀 다른 비표준적인 분포(nonstandard distribution)인 표준 브라운운동과정(standard Brownian motion process)의 함수로 표현

에 대한 것은 이미 일반화되어 있는 사실이기 때문이다.

된다는 점이다. 이 극한분포는 Fuller(1976)에 의해 처음으로 제시되 었고, 이후 통상적으로 Dickey-Fuller분포 혹은 단위근 검정통계량의 극한분포라는 의미에서 단위근 분포(unit root distribution)라고 부른 다. 이 분포는 널리 알려진 표준정규분포와 비교하여 왼쪽으로 조금 치우친 비대칭의 모양을 나타낸다. 따라서 단위근의 존재 유무를 검 정할 경우에 통상의 정규분포나 t-분포를 사용하여 통계적 추론을 한다면, 실제로 단위근이 존재할 경우라도 이를 기각하게 되는 잘못 을 범할 수 있다. 단위근검정의 기각역을 도표화한 것은 MacKinnon(1991)과 Charemza and Deadman(1992)에서 찾을 수 있 다.

그런데 DF 단위근 검정에서는 오차항 {

u

_t}의 자기상관 (autocorrelation)을 고려하지 않는다는 문제점이 있다. 만약 오차항 이 자기상관을 나타내면, 식 (4)에 대한 OLS 추정치는 비효율적이다.

따라서 오차항의 계열 상관(serial correlation)을 제거하여 백색잡음 으로 만들기 위하여 차분변수의 과거치(lagged difference)를 설명변 수에 포함시킬 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Δy _t = α y_{t - 1} +

∑

^k

i = 1

α iΔy_{t - i} + u_t (3)

식 (3)을 활용하여 단위근을 검정하는 것을 ADF 단위근 검정 (augmented Dickey-Fuller unit root test)이라고 한다.⁵⁾ DF 단위근검

5) Phillips(1987)는 ADF 단위근검정과 마찬가지로 오차항에 대한 보다 완화된 가 정하에서 적용 가능한 단위근 검정법을 제시하였다. ADF 단위근검정이 차분변 수의 과거치들인 {Δyt-1, . . ., Δyt-k}를 회귀식에 포함시킴으로써 오차항의 계열 상관을 제거시킨 반면, Phillips 단위근검정은 비모수적인 방법(nonparametric method)을 이용하여 이들의 계열상관을 제거한다. Phillips 단위근검정에서 확 정적 추세가 존재하는 경우의 단위근검정을 특히 Phillips-Perron 단위근검정이

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 35

정과 마찬가지로 귀무가설

H

₀: α = 0, 대립가설

H

₁: α < 0을 검 정한다. 여기서 차분변수의 과거치 개수(

k

)가 0이면, ADF 단위근검 정은 단순히 DF 단위근검정이 된다.

차분변수 과거치의 개수(

k

)는 자유도(degree of freedom)를 확보 하기 위해서는 상대적으로 적으면서도 오차항의 계열 상관을 제거하 기 위해 충분히 클 필요가 있다(Charemza and Deadman, 1992). 하 지만 ADF 단위근검정에서 과거치의 적정한 개수는 알려져 있지 않 다. 하나의 대안은 몇 가지의 정보기준(information criterion)에 근거 하여 모형 선택 절차(model selection procedure)를 활용하는 것이다.

주로 사용되는 정보기준으로는 AIC(Akaike's information criteria), BIC(Schwarz's information criteria), 그리고 PIC(Phillips-Ploberger's information criteria) 등이다. AIC와 BIC는 각각 다음의 식을 최소화 하는 과거치 개수(

k

)를 선택한다.

AIC:

T ln (Σk) + 2k

BIC:

T ln (Σk) + k ln (T)

여기서

_T

는 표본수이고, _Σk는

_k

개의 과거치를 적용할 경우의 분 산이다.

다른 대안으로는 Said and Dickey(1984)가 제시한 결과에 근거한 다. 가령 자기상관의 차수가 표본수인

T

와 비례하여 조정된 비율인

T

^1/3으로 증가한다면 ADF 단위근검정은 점근적으로 (asymptotically) 유효하다고 한다. 예로서 1,000개의 표본수를 가진 시계열의 경우, 자기상관의 적정차수는 10이 된다.

식 (3)은 상수항(drift)인 ^μ와 확률적 추세(stochastic trend)로서 나

라고 부른다.

타나는 시계열의 적분차수를 검정하기 위해 다음과 같이 나타난다.

이 경우에 귀무가설

H

₀: α = 0, μ = 0, 대립가설

H

₁: α < 0, μ≠0을 검정한다.

Δy_t = μ + α y_{t - 1} +

∑

^k

i = 1

αiΔy_{t - i} + u_t (4)

식 (4)에 확정적 추세(deterministic trend)인

_t

를 포함하는 시계열 의 적분차수를 검정하기 위해 다음과 같이 변형된다. 이 경우에 귀 무가설

_H

₀: _{α = 0}, _μ≠0, _{δ = 0}, 대립가설

_H

₁: α < 0, _μ≠0,

δ≠0을 검정한다.

Δy _t = μ + δt + α y_{t - 1}+

∑

^k

i = 1

αiΔy_{t - i} + u_t (5)

식 (4)과 식 (5)의 경우에도 귀무가설

H

₀: _{α = 0}, 대립가설

H

₁: α < 0을 검정한다. 만약 식 (5)에서 대한 검정통계량이 ADF분포의 기각역보다 작다면 혹은 음이면서 절대값으로 비교할 경우 ADF분 포의 기각역보다 크다면, 시계열 {

y

_t}에서 확정적 추세만을 제거하 면 안정시계열을 구할 수 있다는 의미에서 추세 안정적(trend stationary, TS)이라고 한다. 반면에 대한 검정통계량이 ADF분포의 기각역보다 크다면 혹은 음이면서 절대값으로 비교할 경우 ADF분 포의 기각역보다 작다면, 시계열 {

y

_t}를 1차 차분해야만 안정시계열 을 구할 수 있다는 의미에서 차분 안정적(difference stationary, DS) 이라고 한다.

나. 공적분 검정

시계열자료를 이용한 회귀분석의 경우, 시계열자료가 비정상적이

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 37

면, 기존의 회귀분석이론에 입각한 추정과 검정은 오류가 생길 수 있다. 변수 간에 상관관계가 없음에도 불구하고 비정상적인 변수간 의 회귀분석 결과에서

_R

²값과

_t

-통계량이 높게 나타나며 Durbin-Watson(DW) 통계량은 매우 낮게 나타나는 가성회귀 (spurious regression) 현상이 발생된다.

일반적으로 단위근 시계열들로 이루어지는 선형결합도 역시 단위 근 시계열이다. 하지만 특별한 경우에 다음의 식 (9)에서 시계열들간 의 어떤 특정한 선형조합이 정상시계열이 되는 경우가 있다.

y

_t - xt = ut (6)

이러한 경우 {

_y

_t}와 {

_x

_t} 각각은 단위근 시계열로 그 시간경로들 이 확률추세를 가지게 되지만, 두 시계열의 차이가 정상시계열이어 서 그 둘의 확률추세가 같게 된다. 다시 말해, 두 단위근 시계열 {

y

_t}와 {

x

_t}는 하나의 확률추세를 공유하게 된다. 이러한 경우에 "

{

y

_t}와 {

x

_t}는 서로 공적분되어(cointegrated) 있다"고 한다.

경제학적 관점에서는 식 (6)에서의 두 변수 {

_y

_t}와 {

_x

_t}의 공적분 을 상호 장기 균형관계(long-run equilibrium)로 보고, 경제체제 내에 둘의 균형 상태로 머물게 하려는 힘(equilibrium force)이 있다고 해 석한다. 공적분 회귀모형에 대한 OLS 추정량은 안정적인 시계열로 이루어진 회귀식에서의 OLS 추정량보다 더 빠르게 극한분포로 수렴 해 간다. 이러한 OLS 추정량의 성질을 흔히 초일치성 (super-consistency)이라고 한다.

식 (6)에서 {

y

_t}와 {

x

_t}가 서로 공적분관계가 있는 경우 그들의 차 이인 {

u

_t}는 정상시계열이 되어, 이의 평균인 0으로 회귀하고자 하

는 성향을 보인다. 식 (6)에서 잔차항 {

u

_t}의 평균회귀 특성은 {

y

_t} 와 {

x

_t}}를 서로 같게 유지시켜 제멋대로 떨어져 진행할 수 없도록 묶어주는 역할을 한다.

식 (6)로 주어지는 단순한 형태의 공적분관계는 일반화시킬 수 있 다. 이제 {

z

_t}를

r

-다변량 시계열로 정의하고, 이를 구성하는 개별 시계열들이 모두 단위근 시계열이라고 가정한다. 그리고 이들 개별 시계열들간의 특정한 선형결합을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

α' z_t = u_t (7)

이 경우에 오차항 {

_u

_t}이 안정시계열로 남을 때 {

_z

_t}는 공적분되 어 있고, 선형결합의 가중치를 주는

r

-차원 벡터 ^α를 공적분 벡터 (cointegrating vector)라고 부른다. 식 (10)으로 주어지는 공적분관계 가 의미하는 장기 균형관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

α' z_t = 0

{

y

_t}를 단일시계열로, {

x

_t}를 (

r×l

)-차원 다변량 시계열로 정의하 면, 식 (7)에 의해 일반화된 공적분관계식은

z

_t= ( y_t, x_t

')'

과 같이 나타낼 수 있고, α = (1,β')'로 표준화(normalization)하면 다음의 회귀방정식 형태로 나타낼 수 있다.

y

_t = x_t

'β + u

_t (8)

식 (7)과 같은 형태의 공적분 벡터는 1개 이상일 수 있기 때문에,

r

-차원 다변량 시계열의 경우 최대 (

r - 1

)개의 선형독립인 벡터들 이 존재할 수 있다. 따라서 보다 일반적으로

l < r

의 관계인

l

-개 의 선형독립인 벡터가 존재한다고 하여 다음과 같이 나타내고, (

r×l

)-차원 행렬

A

의 각 열들은 공적분 벡터를 의미한다.

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 39

A'z

_t = u_t (9)

식 (7)에 주어진 공적분관계식이 식 (8)의 회귀방정식으로 표시된 것처럼, 식 (9)에 정의된 공적분관계식은 다중회귀방정식으로 모형화 할 수 있다. 구체적 형태는 모형구조에 따라 다변량 회귀모형 (multivariate regression), 외견상무상관회귀모형(seemingly unrelated regression, SUR), 혹은 연립방정식모형(simultaneous equation model, SEM) 중의 하나로 표현된다.

공적분은 기본적으로 정적(static) 관계를 나타내는 개념이다. 특정 시점에서의 변수들 간의 관계가 아닌 장기적인 균형관계를 모형화하 는 공적분관계식은 포함된 변수들의 특정 시점에서의 값에 무관하게 주어진다. 다시 말하면, 회귀방정식 형태인 공적분방정식 식 (9)은 주어진

t

-시점에서의

y

_t와

x

_t의 관계가 아닌 시계열 {

y

_t}와 {

x

_t}의 관계인 것이다.⁶⁾

공적분관계식을 단기 동태적(short-run dynamics)인 관계와 함께 고려한 동태적인 모형으로는 오차수정모형(error correction model, ECM)이 있다. 이 모형을

_r

-차원의 다변량 시계열 {

_z

_t}로 나타내면 다음과 같다.

Δz_t = τ A'z_{t - 1} +

∑

p i = 1

τiΔz_{t - i} + ε_t (10)

여기서 ^Δ은 차분연산자를 표시하고,

A

는 식 (9)에서 정의된 것처럼 각 열들이 공적분 벡터인 (

r×l

) 행렬이고, {^ε_t}는 자기상관이 없는 백색잡음 오차항이다. 식 (10)에서

A'z

_{t - 1}항은 (

t - 1

)-시점에서의

6) 예를 들면, 가령 (yt - xt'β)가 정상시계열이라면 (yt-1 - xt'β)도 안정적이 되어 yt-1과 xt 쌍은 yt와 xt 쌍과 같은 공적분 관계를 갖게 된다.

불균형오차를 나타내고, 계수 ^τ에 의해 다음

t

-시점의 {

z

_t}에 영향 을 미친다. 이와 같은 이유로 (

r×l

) 계수행렬 {^τ}를 오차수정계수 (error correction coefficient)라고 한다.

상기의

p

-차 오차수정모형 식 (10)은 {

z

_t}의 수준으로 표시하면 (

p + 1

)-차 벡터자기회귀모형(vector autoregression, VAR)이 된다.

반대로 {

_z

_t}가 (

_{p + 1}

)-차 VAR을 따른다면, 이들 구성요소들이 단위 근을 가지는 시계열들로서 식 (9)에서 주어진 것처럼 공적분을 가진 다면 ECM모형의 식 (10)을 유도해 낼 수 있다. 시계열 {

_z

_t}를 구성 하는 개별 시계열들이 단위근을 가지기 때문에 ECM모형은 기본적 으로 차분된 {_Δzt}로 표현되고, 수준변수(level variable)는 오직 공적

분관계

_A'z

_{t - 1}로만 모형 내에 포함되기 때문에 ECM모형 식 (13)

내에 포함되어 있는 모든 변수는 본질적으로 정상시계열이 된다.

다. Granger 인과관계 분석

앞서의 공적분관계가 변수들 간의 장기 균형관계와 관련된 것인 반면, 인과관계는 변수들 간의 단기적인 예측가능성(short-run forecastability)과 연관된다. 다음에서는 Granger(1969)가 제시한 인 과관계검정(causality test)에 대하여 기술한다. 인과관계에 대한 Granger의 정의를 따르면, “다른 정보가 동일한 상황 하에서, 현재 치인

y

가

x

의 과거치를 활용하여 예측이 더욱 잘 된다면,

x

는

y

에 Granger-인과관계(Granger-cause,

x → y

)를 준다"고 한다. 또한 현재치인

_y

가

_x

의 현재치와 과거치를 활용하여 예측이 보다 잘 될 수 있다면,

x

는

y

에 즉각적인 Granger-인과관계(instantaneous

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 41

Granger-cause,

x → y

)를 준다고 한다.

실제로, Granger-인과관계는 일상에서 사용되는 인과관계와는 다 른 의미로 해석된다. 사건 A가 사건 B보다 후행된 경우, 사건 A가 사건 B에 원인을 주었다고 할 수 없다. 만약 사건 A가 사건 B보다 선행된 경우, 사건 A가 사건 B에 반드시 원인을 주었다고 할 수 없 다. 예로서 비가 올 것이라는 기상예보가 비가 내린 것보다 먼저 일 어났다고 해서 기상예보가 비를 내렸다고 할 수 없는 것이다. 따라 서 Granger-인과관계는 단지 경제변수들 간의 선행, 후행, 혹은 동시 발생 관계를 말하는 것이지, 반드시 변수들 간의 인과관계를 나타내 는 것은 아니다.

Granger-인과관계검정을 위하여 다음과 같은 회귀식을 설정한다.

y

_t = A₀

D

_t +

∑

^k

i = 1

αi

y

_{t - i} +

∑

^k

i = 1

βi

x

_{t - i} + ε_t (11) 여기서

A

₀

D

_t는 상수항, 추세, 더미변수 등의 확정적(deterministic) 요소를 포함한다. 만약 귀무가설

H

₀:

∑

^βi= 0이 기각되지 않는다 면,

x

는

y

에 Granger-인과관계를 주지 않는다는 것을 알 수 있다.

라. VAR모형과 충격반응 분석

차원의 다중시계열



^



가

_ __{  }⋯ __{  } _ (12)

로 주어진 다변량 모형을 보면, 여기서 교란항인



^



는 백색잡음 과정(white noise)으로서



^



^{∼ ∑ }이다. 즉, _와 _는 모두

다중시계열로서 ^



^_⋯_



^′이고 ^



^_⋯_{ }



^′이다.

이 모형은 시차연산자 을 이용하여

  _ _

와 같이 간단한 형식으로 표현할 수 있다. 이 때 ^는

      _ ⋯ _^ (13)

로 주어진 다항식행렬(polynomial matrix)이므로 ^은 시차연산 자들의 다항식행렬로 구성된  × 행렬이다. 모형식 (12)은 시계열



^



에 대해 개의 과거시차를 설명변수로 가지므로 차 벡터자기 회귀(vectorautoregression: VAR)모형이라 하며, 줄여서 VAR(^)모형 이라고 쓴다. 실증분석에서는 식 (12)에 상수항이나 시간추세 등의 여러 가지 적절한 결정적(deterministic) 변수들이 추가된 VAR모형 을 사용한다.

VAR모형은 어떤 단일시계열의 현재 움직임이 자신의 과거값뿐만 아니라 다른 시계열의 과거값에 의해서도 영향을 받아 결정될 때 유 용한 모형이다. 식 (12)에서 _의 구성요소(component)

_{ }  ⋯들이 자신의 과거값들뿐만 아니라 다른 구성요소

_ ≠ 들의 과거값들에 의해서도 영향을 받음을 알 수 있다. 경제 시계열 자료를 가지고 실증분석을 할 때, 각 경제시계열 자료들을 독립적으로 분석하는 것보다는 서로 연관성이 있다고 생각되는 다른 경제시계열들과의 관계를 고려하여 분석하는 것이 적절하다. 따라서 실제로 경제시계열을 분석할 때에는 단일시계열모형보다는 VAR모

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 43

형을 많이 사용한다.

VAR(^)모형은 추정과 계산의 편이를 위하여 종종 다음과 같이 이 VAR(1) 모형으로 표현되기도 한다.

_ _{  } _

^









_

_{  }



_{    }

 ^









_ _{  }_

   

   

   

 ^









_







(14)

VAR모형은 최소자승 추정방법을 이용하여 추정할 수 있다. VAR () 모형식 (12)은

_′  _{  }′_′  _{  }′_′ ⋯ _{  }′_′  _′





^  ′_{  }′⋯_{  }′







_′

_′

⋮

_′





 _′

(15)

와 같이 쓸 수 있고

 





_{  }′

_{  }′

⋮

_′





  





_′ _{  }′ ⋯ ′

_{  }′ _′ ⋯ ′

⋮

_{  }′ _{  }′ ⋯   ′





  





_′

_′

⋮

_′





  





_{  }′

_{  }′

⋮

_′





로 정의하면서 식(15)은

     (16)

와 같은 회귀모형형태로 바꾸어 쓸 수 있다.

식(16)에서 알 수 있는 바와 같이 VAR모형은 피설명변수가 다수 존재하는 다변량 선형회귀모형이다. 따라서 VAR모형의 회귀계수들 에 대한 추정값은 식(16)의 최소자승(OLS) 추정량인





^′



^{ }′

로부터 구할 수 있다.

충격반응분석(impulse response analysis)은 VAR모형의 추정결과 를 분석하고 해석하는 데 가장 많이 사용하는 방법이다. 이 분석방 법이 가지는 의미를 이해하기 위해서

_ _{  } _ (17)

로 주어진 AR(1)모형을 먼저 살펴보자. 이제 0기에만 ^ 만큼의 충격이 발생하고, 그 이후에는 충격이 발생하지 않아 0기 이후의 모 든 시점 에 대하여 _ 이라 하자. 그러면 식 (17)으로부터

_ 

_ _ _     

_ _ _     ^

⋮

Ⅳ. 배출권거래 가격과 화석연료가격과의 상관관계 45

와 같이 0기에 발생한 충격에 대하여 변수 ^의 반응을 추적하여 볼 수 있다. 이와 같이 충격반응분석이란 어떤 특정한 시기에 한 번 의 충격(impulse)이 발생하였다고 하고 그 충격 이후의 변수 _의 시간에 따라 반응(response)을 살펴보는 것을 말한다. 식 (17)으로 주 어진 AR(1)모형에서   이면

_ _ _{  } ^_{  }⋯

로 표현할 수 있음을 앞에서 보았다. 이 때 ^ 이라면 ^의 충 격반응은 위에서 주어진 이동평균표현의 계수를 따라 읽음으로써 구 할 수 있다.

이제 일반적인 VAR모형에서의 충격반응분석을 생각해 보자.

VAR(^)모형인 식 (12)은 식 (14)의 VAR(1)형식을 나타낼 수 있으므 로 이 식으로부터 이동평균계수 _들을 구할 수 있다. 이제 이 계수 들로부터 다음의 이동평균표현

_



  

∞

__{  }

을 얻을 수 있다. 이 때 번째 이동평균계수행렬을 ^ __로 표시하면, ^번째 축약형 교란항(reduced form error)에서 발생한 충 격에 대한 ^번째 변수의 ^기에서의 반응은 _로 주어지며, 이를 충 격반응함수(impulse response function)라 부른다.

단일시계열분석에서와 같이 실제 분석에서는 VAR()모형의 차수

문서에서 연 구 책 임 자 : 책 임 연 구 원 김 수 이 (페이지 62-77)