시계열 모형 - 배출권 시장의 동시적 인과관계 분석 - 연 구 책 임 자 : 책 임 연 구 원 김 수 이

V. 배출권 시장의 동시적 인과관계 분석

1. 시계열 모형

본 연구에서는 다변량 시계열 분석을 사용한다. 다변량 시계열 분 석은 외부충격이 발생 시 내생변수들 간의 동태적 반응을 분석할 수 있다는 점에서 폭넓게 이용되고 있다. 가장 널리 사용되는 대표적인 다변량 시계열 모형으로는 벡터자기회귀 (VAR: vector autoregressive)와 벡터오차수정모형 (VECM: vector error correction model)을 들 수 있는데, 시계열간의 공적분(cointegration) 유무에 따 라 후자 또는 전자의 모형이 선택된다.

VAR와 VECM 모형은 시계열 변수의 개수가 증가함에 따라 추정 해야 하는 파라미터의 개수도 급증하는 특징을 갖기 때문에 연립추 정식 자체의 관찰만으로는 관련 파라미터에 대한 직관적인 해석을 얻기 어려울 때가 많다. 따라서 대부분의 연구자는 외생적인 확률충 격이 내생변수에 미치는 영향 등을 살펴보기 위해 충격반응분석 (impulse response analysis)과 예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition) 등을 이용한다. 이 과정에서 이른바 촐레스 키 분해(Cholesky decomposition)를 이용하여 오차항간에 발생하는 이분산성의 문제를 제거한다.

하지만 이러한 방법에 관한 주된 비판은 변수의 나열순서에 따라

8) 본 절에서 기술되는 이론모형에 관한 소개는 박호정(2003, 2006)을 크게 의존하 였다.

Ⅴ. 배출권 시장의 동시적 인과관계 분석 131

충격반응 및 예측오차 분산분해의 결과가 달라진다는 것이다.

Cooley and Dwyer(1998)가 지적하는 바와 같이, VAR(또는 VECM) 는 연구자의 주관적인 경험과 관찰에 의해 상정된 모형구조에 의해 영향을 받기 때문에, 전제되어 있는 구조모형과 독립적으로 해석할 수 없다는 한계를 지닌다.

변수의 임의나열 문제를 해결하고자 Sims(1986), Bernanke(1986)는 구조 VAR 모형(structural VAR model)을 제시하였다. 변수 간에 단 기에 주고받는 영향을 상정할 때 경제이론에 부합하는 인과관계를 부과한다는 것이 구조 VAR 모형의 기본 발상이다. 하지만, 비록 경 제이론을 이용하여 구조적 확률오차를 식별한다 하더라도 연구자의 선험적인 지식(a priori knowledge)에 의존한다는 점에서 여전히 임 의성이 존재한다. 더욱이, 거시경제 분석에서처럼 이론이 풍부하고 잘 정립되어 있는 경우가 아니면 모형의 전제가 인과관계를 미리 규 정하는 오류를 범하게 된다. 이러한 이유로 VAR 모형은 흔히 이론 이 없는(atheoretical) 모형이라는 지적을 받는다(Cooley and LeRoy, 1985).

물론 모형의 식별에 상관하지 않는 Pesaran and Shin (1997)의 ‘일 반화된 충격반응함수’와 같은 방안이 제안될 수 있으나, Swanson and Granger (1997)는 변수의 임의적인 선택을 배제하기 위한 또 다 른 방법으로 그래프 이론이 유용함을 보여 주었다. 특히 그래프 이 론은 내생변수 간의 동시적 인과관계 (contemporaneous causality)를 규명해 준다는 장점이 있기 때문에, Swanson and Granger(1997) 이 후 방향지시 비순환 그래프(directed acyclic graph, DAG)를 중심으 로 경제변수의 구조적 관계를 식별하는 연구가 활발히 진행되었다.

그 중 Spirtes, Glymour and Scheines(2000)가 개발한 알고리즘 (PC 알고리즘)이 특히 VAR 및 VECM의 모형식별과 연관하여 자주 활용 되고 있다.⁹⁾

논문에서 DAG에서 도출되는 인과성은 Granger 인과성에서 말하 는 개념과 상이하다는 점에 유의할 필요가 있다. 후자는 시간상의 인과성(time sequence causality)으로서, 즉, 어떤 원인(cause)이 효과 (effect)에 대해 시간적으로 선행한다(precede).¹⁰⁾ 반면, 그래프 분석 에 의존한 인과성은 시간의 흐름에 따른 인과관계를 의미하지 않고, 동시적인 인과성을 말한다.

근간에 다수의 관련 논문들이 나오고 있는데, 그 중 Haigh and Bessler(2003)는 미국 내 주요 곡물시장간 가격의 발견과정(price discovery process)을 이해하기 위해 VECM-DAG 모형을 사용하였 다. 유사한 방법을 이용하여 Bessler and Yang(2003)은 주가지수의 국가간 변동 및 상호 영향을 분석하였다. Jeon(2002)은 아시아 금융 위기 당시 동북아시아 여러 금융당국의 화폐정책 반응을 분석하기 위해 VAR-DAG 이론을 이용하였으며, Haigh, Park and Bessler(2003)는 미국 재무성의 30년 만기 채권의 거래 시 장내거래 의 음향크기가 채권가격 변동성과 거래량에 미치는 영향을 살펴보고 자 VAR-DAG를 이용하였다. 국내에서는 박호정(2003, 2006)이 각각 대두가격, 국제원유가격을 대상으로 가격발견과정을 연구한 바 있으

9) 경제모형에서의 인과성 식별문제를 특별주제로 다룬 Journal of Econometrics의 Vol. 39, No.1-2 (1988)는 경제이론, 철학 등 다양한 측면의 광범위한 논의를 제 공하고 있다. 이후 Pearl(1995), Swanson and Granger(1997) 등의 노력에 의해 변수들의 인과관계를 구축하기 위한 그래프이론의 기초가 정립되었다.

10) 전기의

x

_{t - 1}^{이 금기의}

y

_t에 영향을 미치면,

x

_t^는

y

_t의 Granger 원인 이 된다고 한다.

Ⅴ. 배출권 시장의 동시적 인과관계 분석 133

며, 박해선(2006)은 미국 LNG 가격을 대상으로 분석하였다.

가. VAR 모형¹¹⁾

K

개의 시계열자료가 있으며, 이의 벡터를

y

_t= [ y_1t, ...,y_Kt]' 로 표기하자. 시차가

p

일 때 벡터자기회귀 VAR(

p

)의 축약형 모형 을

y

_t= A₁

y

_{t - 1}+ ... +A_p

y

_{t - p}+ ε_t (1)

와 같이 나타낼 수 있다. 잔차항 벡터^ε_t_{= [ ε}_1t_,...,ε_Kt_]'는 ε∼ N_m( 0, Σε)의 다변량 정규분포를 따른다. 여기서, ^Σε는 시간 불변 공분산행렬(time invariant covariance matrix)을 나타낸다.

VAR 모형은 시계열 분석에 매우 유용한 도구이지만, 추정 파라미 터의 개수가 많은 관계로 모형을 통해 내생변수들에 대해 직관적인 정보를 제공하는데 한계가 있기 때문에 연구자들은 아래에서 소개되 는 충격반응 분석을 자주 사용한다. 계수행렬

_A

_i 가 _{|z |≤ 1}에 대 해

det(I_k- A₁z - ... - A_pz^p)≠0 (2)

을 만족하면 시계열 (1)은 안정적이라고 한다. 안정성의 조건을 만

11) 논의를 단순화하기 위해 VAR 시계열 분석에서 중요한 계절성 등의 주제는 본 논문에서 다루지 않는다. 다만, 단위근과 적정시차 선정에 대해서는 뒤에서 간략히 소개하기로 한다.

족하면 VAR 모형을 이동평균형태로 전환시킴으로써 잔차항의 변화 에 대한 시계열 변수의 반응크기를 측정할 수 있다. Wold 정리에 의해 (1)을 축차연산하면

y

_t= Φ₀ε

t+ Φ₁ε

t - 1+ Φ₂ε

t - 2+ ... (3)

와 같은 무한차수 벡터이동평균모형으로 나타낼 수 있다. 여기서, Φ0= I_K 이며, ^Φ _s는

K×K

계수행렬로서 ^Φ_s= Σ_{j = 1}^s Φ

s - j A_j 와 같다.¹²⁾

(3)에서 ^ε_t의 한 단위 변화인 확률충격(random shock 또는 innovation)이

_s

기의

_y

에 미치는 영향을 _{∂ y}_{t + s}_{/ ∂ ε}_t_{= Φ}_s로 부터 구할 수 있다. 보다 구체적으로 살펴보면, ^ε_t의 첫 번째 항이

δ1만큼 변하고, 두 번째 항이 ^δ₂, 그리고

K

번째 항이 ^δ_K만큼 변한다고 하자. 그러면 이들 변화가

y

_{t + s}에 미치는 영향은 아래와 같다.

Δ y_{t + s}= ∂ y_{t + s}

∂ ε_{1 t} δ

1+ ∂ y_{t + s}

∂ ε_2t δ

2+ . .. + ∂ y_{t + s}

∂ ε_{K t} δ

K= Φ_sδ . (4)

여기서, _{δ' = [δ}₁,...,δ_K]다. 결국 확률오차인 ^ε_t에 의한

y

_t 의

12) 무한합의 수렴을 위해서는 lim

s→ ∞

Φs= 0 을 만족하여야 한다.

Ⅴ. 배출권 시장의 동시적 인과관계 분석 135

충격반응 요인은 ^Φ _s의 항들에 의해 측정되는데, 충격반응은 일회 성의 확률오차가 금기 및 다음 기의 내생변수에 미치는 영향을 추적 한다는 점에서 예측오차 충격반응(forecast error impulse response) 이라고 불리기도 한다.

(4)에서 문제는 VAR 모형의 추정에서 나온 공분산 행렬 ^Σε이 대각행렬이 아니라는 점이다. 즉, ^ε _{i t}와 ^ε _{j t}가 계열상관뿐만 아니 라 동시상관(contemporaneous correlation)까지 보일 수 있으므로, 미래 어느 시점에 변수의 변화의 순 효과를 측정할 수 없다. 따라서, 오차항간에 서로 동시상관하지 않도록 오차항 벡터를 직교화할 필요 가 있으며, 이를 위해 일반적으로는 다음에서 소개되는 촐레스키 분 해(Cholesky decomposition)가 사용된다.

E [ ε

_tε_t

' ] = Σ

ε는 대칭양부호행렬이므로 항상 다음과 같이 나타 낼 수 있다.

Σ_ε= ADA'

여기서

D

는 대각행렬이고,

A

는 역행렬이 존재하는 하방삼각행 렬로서 대각행렬원소가 1로 이루어져 있다. 이와 같은 전환을 촐레 스키 분해 또는 삼각분해(triangular factorization)라 한다. 그 다음, 행렬

_A

를 이용하여 직교잔차항 벡터를

_u

_t_{= A}^{- 1}^ε_t 와 같이 정의 한 후, 벡터곱에 기댓값을 취하면

E [ u

u

' ] = E [ A

^{- 1}ε

tε

'

(

A

^{- 1})

' ] = A

^{- 1}( A DA' )(

A

^{- 1})

' = D

(5)

를 얻는다.

D

는 정의에 의해 대각행렬이므로 오차항간에 직교화 가 이루어졌으며, 따라서 동시상관을 배제한 충격반응을 분석할 수 있다.¹³⁾ 하지만,

_Au

_t_{= ε}_t 를 행렬형태로 전개한

















1 0 0 ⋯ 0

a

_{2 1} 1 0 ⋯ 0

a

_{3 1}

a

_{3 2} 1 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

a

_{K 1}

a

_{K 2}

a

_{K 3} ⋯

a

_{K K}

















u

_{1 t}

u

_{2 t}

u

_{3 t}

⋮

u

_{K t}

















ε1 t

ε2 t

ε3 t

ε⋮

K t

(6)

오차항이

_u

_1t_{= ε}_1t ,

_u

_2t_{= ε}_2t_{- a}₂₁

_u

_1t_{= ε}_2t_{- a}₂₁^ε_1t 와 같이 축차적으로 정의되기 때문에 변수의 나열순서에 따라 충격반응의 분 석 결과가 달라진다. 즉,

y

_{1 t} 는 다른 변수들에 대해 전혀 영향을 받지 않으나,

_y

_{2 t}는

_y

_{1 t}에 영향을 받고,

_y

_{3 t}는

_y

_{1 t}과

_y

_{2 t}에 영 향을 받는다는 식의 인과순위(causal ordering)가 전제되어야 한다.

Sims(1986)와 Bernanke(1986)는 VAR 모형의 확률오차를 구조적으 로 식별하기 위하여 경제이론과 부합하는 구조 VAR 모형을 제안하 였다. 구조 VAR 모형은 거시이론 분야에서처럼 통계적으로 검정하 고자 하는 이론이 잘 정립되어 있는 경우에는 매우 유용한 방법이 다.

13) 직교충격반응 분석에 대한 자세한 설명은 김명직, 장국현(2002, pp.382-385)를 참조하기 바란다.

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하지만, 만일 상이한 경제이론이 적용되거나 한 연구자의 주관적 인 경험과 판단이 다른 연구자의 그것과 일치하지 않으면 인과순위 가 달라지며, 그 결과 상이한 충격반응 분석결과를 얻게 된다는 점 에서 구조 VAR 모형 역시 VAR 모형의 한계를 완전히 극복하지는 못했다고 볼 수 있다.

예를 들어, 본 연구의 응용분야에서처럼 지역 간 재화가격의 상호 연관에 대해 사전적으로 뚜렷한 인과순위를 정하기 어려운 경우에는 모형의 식별은 전적으로 연구자의 판단에 의존해서 이루어진다. 이 와 같은 이유로 그래프이론이 최근 시계열 분석에 도입되기 시작했 다.

나. ECM

시계열 분석기법을 이용한 상당수의 많은 연구들이 분석 데이터의 공적분 관계를 바탕으로 Johansen의 다변량 기법을 채택하고 있다.



개의 시계열 벡터 _ _

 

__에 대해 시차가 인 의 벡터 자기회귀식이 존재한다고 하자. 이 때 가 비정상적(non-stationary) 이고 시계열 간에 공적분이 존재한다면 벡터자기회귀 모형은    시차를 가진 VECM으로 전환될 수 있다 (Johansen and Juselius, 1990).

_ _{  } _{  }^{  }



^^^^{  } ^{ }^

^

^{  }

^{  }

^. ⁽⁷⁾

_의 변화에 대한 단기 및 장기조정은 각기

_  



 _ _



 _와   



 _



 _에 의해 설명된다. 만일   이면 모든 시계열간에 공적분 관계가 존재하 지 않기 때문에 변수를 1차 차분한 후 VAR로 적절히 추정할 수 있 다. 반면,  ≠ 일 경우에 VAR로 추정을 하면 모형의 식별오류 (misspecification)가 발생할 수 있기 때문에 VECM으로 추정하는 것 이 바람직하다.

위에서  ≠ 이고 행렬이 최대계수(full rank) 미만이면   

로 나타낼 수 있다. 계수를 이라 할 때 와 는  ×  행렬을 나 타내며, ′은 에서 개의 선형독립인 행을, 는 에 있는 행들

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을 선형독립의 결합관계로 표현하기 위해 필요한 파라미터를 나타낸 다. 의 계수(rank)는 공적분 벡터의 수와 일치한다. Johansen의 공적분 검정은 아래와 같은 귀무가설을 통해 행렬 의 계수에 대한 검정을 실시하는 것으로 이루어진다.



      . (8)

단기조정 과정을 설명해 주는 

 

_{  }와는 별도로, 를 추정함 으로써 장기균형에 대한 조정속도를 파악할 수 있다.

위의 VECM에서 추정 파라미터의 개수가 많은 관계로 모형을 통 해 내생변수들에 대해 직관적인 정보를 제공하는데 한계가 있기 때 문에 많은 연구자들이 주로 충격반응 분석을 이용한다. VAR 모형의 추정에서 나온 공분산 행렬 ^Σε이 대각행렬이 아니기 때문에^ε _{i t}와 ε j t가 계열 상관(serial correlation)뿐만 아니라 동시상관 (contemporaneous correlation)까지 보일 수 있다. 따라서 미래 어느 시점에 변수의 변화의 순 효과를 측정할 수 없으므로, 오차항간에 서로 동시상관하지 않도록 오차항 벡터를 직교화할 필요가 있다. 이 를 위해 VAR에서와 마찬가지로 촐레스키 분해를 사용한다. 따라서 충격반응분석을 할 때 인과순위를 임의적으로 나열하는 동일한 문제 에 직면하기 때문에 VECM 역시 VAR에서와 동일한 한계점을 갖는 다.

특히, 본 연구와 같은 지역 간에 재화가격의 상호연관성을 연구할 경우, 사전적으로 뚜렷한 인과순위를 정하기 어려운 경우에는 모형 의 식별은 전적으로 연구자의 판단에 의존해서 이루어진다. 이와 같

은 이유로 그래프이론이 최근 시계열 분석에 도입되기 시작했다. 아 래에서는 그래프 이론을 간략히 소개하도록 한다.

문서에서 연 구 책 임 자 : 책 임 연 구 원 김 수 이 (페이지 160-170)