DEA 모형 이론 및 분석모형

가. DEA 모형

DEA(Data Envelopment Analysis)는 Farrel의 효율성 측정개념을 근

거로 하고 있으며 다수의 투입요소와 다수의 산출요소를 가진 유사 조직체(이하에서는 의사결정단위 혹은 DMU로 함)들 간의 경험적 프 론티어 형성을 통해, 조직체들 간에 상대적 효율성을 평가하기 위한 일종의 선형계획모형이다. DEA 모형은 Farrell의 상대적 효율성의 개 념을 토대로 하여 DMU의 효율성 평가를 위해 개발되었다. 이는 다수 의 투입 및 산출요소를 동시에 고려하여 효율적 DMU를 준거집단으 로 설정하고, 준거집단을 기준으로 비효율적인 DMU의 상대적 효율 성을 측정하는 방법이다. 그러므로 비효율적 DMU는 효율적 DMU와 비교해 실현 가능한 목표치를 설정할 수 있고 비효율성의 정도와 원 인도 함께 파악할 수 있다. DEA 모형은 비효율성을 측정하여 투입요 소의 절감가능성에 초점을 두는가 아니면, 산출요소의 확대가능성에 초점을 두는가에 따라 전자는 투입지향 모형(input-oriented model), 후자는 산출지향 모형(output-oriented model)으로 구분된다.

1) CRS 모형

DEA

모형은 규모에 대한 수익불변(Constants Returns to Scale:

CRS)을 가정하는 CRS

⁵⁾ 모형과 규모에 대한 수익변화(Variable

Returns to Scale: VRS)를 가정하는 VRS

⁶⁾ 모형이 대표적이다.

5) Charnes, Cooper and Rhodes(1978)에 의하여 제시되어 CCR 모형이라고도 한다. 6) Banker, Charnes and Cooper(1984))에 의하여 제시되어 BCC 모형이라고도 한다.

CRS

모형은 DEA 기본 모형으로 모든 DMU들은 각각의 투입요소 가중합계에 대한 산출요소 가중합계의 비율이 1을 초과하지 못하며, 각 투입요소와 산출요소의 가중치들은 0 이상이라는 가정을 만족해야 한다. 즉, 모든 투입요소와 산출요소를 고려한다는 단순한 제약조건 하에서 평가의 대상이 되는 DMUs의 투입요소 가중 합에 대한 산출 요소 가중 합의 비율을 최대화 하고자 하는 선형분수계획모형

(fractional linear programming model)이다.

기술적 효율성(technical efficiency: TE)⁷⁾은 사용한 투입량에 대한 산출량의 비율로 측정된다. 단일 투입요소로 단일 산출물을 생산하는 경우는 효율성 측정이 간단하나 다수의 투입요소를 사용하여 다수의 산출물을 생산하는 경우 투입요소의 가중 합과 산출물의 가중 합의 비율(ratio) 값으로 나타낸다. 특정 _의 기술적 효율성은 다음 수식과 같이 나타낼 수 있다.

  __ __ ⋯ _{ }_{ }

__ __⋯ _{ }_

 _{  }



^{  }_{  }



^{ }

여기서 _은 산출물의 가중치이며 _ 투입물의 가중치로 모두 비율 이다. CCR 비율모형은 모든 DMU의 투입에 대한 산출의 비율이 1을 초과해서는 안 되며 각 투입 및 산출요소의 가중치는

0보다 크다는

제약 하에 투입과 산출비율을 최대화시킬 수 있는 가중치를 결정하는

7) Farrell(1957)이 기술적 효율성의 개념을 제시한 Debreu(1951)과 Koopmans(1951) 연구 를 기반으로 기술적 효율성 측정방법을 제시하였다. 이후 효율성 측정방법은 계량경제 학적 모형(econometric model)과 수리계획법 모형(mathematical programming model)

선형분수계획모형(fractional programming model)으로 다음과 같이 수 식화 된다.

Max TE

_j

 

r  s



_r

y

_rj

 

i  m



_i

x

_{ij (1)}

st 

r  s



_r

y

_rj

 

i  m



_i

x

_ij

≤  j  ⋯n



_

≥    ⋯



_

≥    ⋯

여기서 TE_j는 j번째 DMU의 효율성,

는 투입요소, 은 산출요소, x

_ij는 j번째 DMU의 번째 투입요소 사용량,

y

_rj는 j번째 DMU의 번 째 산출요소 산출량,



_는 번째 투입요소 가중치,



_는 번째 산출요 소 가중치이다. 식(1)은 비율모형(Ratio Model)으로



_의 기술적

효율성(_

)을 투입 가중치 

_와 산출 가중치 _을 사용하여 극대화

하는 것이다. 제약조건식은 투입과 산출에 대한 동일한 가중치(_와



_

)가 모든 대상에 적용 될 때,

어떠한 효율성도 1이 넘지 않도록 하

기 위한 것이다. 따라서 TE는 0에서 1 사이의 값을 갖게 되고

,

효율적 인 DMU들은 TE=1을 갖는다. 식(1)은 분수계획모형으로 비선형과 비 볼록성(non-convex)을 가지고 있어 한 해를 갖기 때문에 선형계획모 형⁸⁾으로 변환할 수 있다.

선형계획모형의 형태로 변환한 모형을 승수모형(Multiplier Model)

8) 비율모형은 분수형태의 항을 갖는 비선형 문제로 최적 해를 구하기 위해서는 비선형 계획법의 알고리듬을 사용해야 하는데, 이를 승수모형으로 변환하면 심플렉스 알고리 듬과 같은 선형계획법의 알고리듬을 사용하여 최적 해를 구할 수 있다.

이라 한다. 승수모형은 투입지향 승수모형과 산출지향 승수모형으로 구분된다. 비율모형 식(1)에 목적함수에서 분모를 제거하기 위해 분모 의 값을 1(



i  m

_ix_ij 

)로 하고 이것을 제약조건에 추가함으로써 분자만

최대화하는 선형계획함수의 목적함수가 되며, 식(2)와 같이 승수모형 을 얻을 수 있다.

Max TE

_j

 

r  s



_r

y

_{rj (2)}

st 

i  m



_i

x

_ij

 

r



  s



_r

y

_rj

 

i  m



_i

x

_ij

≤  j  ⋯n



_

 

_

≥  ≻ 

식(2) 승수모형은 투입요소의 가중 합이 1이 되도록 제약하고 그때 의 산출물의 가중 합을 최대화하는 산출물 가중치와 투입물 가중치를 구하는 것이다. 승수모형에서 분석하고자 하는 DMU의 수가 늘어날 수록 제약식의 수(DMU 수+1)는 증가된다. 제약식의 수가 많아지면 계산이 복잡하고 계산시간이 증가하므로 쌍대모형으로 바꾸어 해를 구하는 것이 편리하다. 따라서 승수모형을 원본모형으로 하는 쌍대모 형을 정의하면 식(3)과 같은 CRS 포락모형을 도출할 수 있다.

Min    

i

^

  m

s

_i^



_r



_{ }^s

^s

^r



⁽³⁾

st 

i  m



_j

x

_ij

 s

_i^

 x

_ij

i  ⋯ m

r



  s



_j

y

_{r j}

 s

_r^

 y

_rj

r   s



_

≥     

여기에서

와 

_은 식 (2)의 첫 번째와 두 번째 제약식에 대응되는 쌍대변수(dual variable)이고, _^와 _^ 는 식 (2)의 투입요소와 산출 물에 대한 여유변수를 의미한다.

는 분석대상

_의 효율성 측 정값으로 일정한 양의 산출물을 생산하는데 있어 다른 DMU들에 비 하여 상대적 투입요소 사용량을 나타낸다.



_은 참조대상들의 선형조 합 비율을 나타내는 밀도변수로서 _가 효율적 프론티어 구성을 위한 공헌도를 측정한 것이다. 최적해



^는 _의 기술적 효율성 을 나타낸다.



^

=1이고 투입요소 및 산출물의 여유변수

S^-_i

,

S⁺_r

=0

이면, 특정 _가 상대적으로 효율적임을 의미한다. 만일

가 1보

다 작다면   만큼 생산요소를 다른 효율적 DMU들에 비해 상대적 으로 더 사용하고 있는 비효율적인 DMU이다. 식(3)에서 _^와 _^ 는 잉여변수(surplus) 역할을 하고 있으므로 이를 제거하면 다음과 같이 간단한 모형으로 표현할 수 있다



^

 Min 

(4)

st 

i  m



_j

x

_ij

≤ x

_ij

i  ⋯ m

r



  s



_j

y

_rj

≥ y

_{r j}

r  s



_

≥     

2) VRS 모형

규모에 대한 수익변동(variable return to scale: VRS)을 가정하는 경 우에는

CRS

모형 수식(3)에 볼록성(convexity) 제약조건 ∑_

 을

추가하면 된다. 수식은 다음과 같다.

Min    

i

^

  m

s

_i^



_r



_{ }^s

^s

^r



⁽⁵⁾

st 

i  m



_j

x

_ij

 s

_i^

 x

_ij

i  ⋯ m

r



  s



_j

y

_{r j}

 s

_r^

 y

_rj

r  s

  







_

 



_

≥     

CRS

모형 수식(4)에 볼록성(convexity) 제약조건

∑

_

 을 추가하

면 수식(6)과 같다.



^

 Min 

(6)

st 

i  m



_j

x

_ij

≤ x

_ij

i  ⋯ m

r



  s



_j

y

_rj

≥ y

_{r j}

r  s

  







_

 



_

≥     

VRS

모형의 실행가능영역은 CRS 모형의 실행가능영역의 부분집합 이 되기 때문에 VRS 모형의 효율성이 CRS 모형의 효율성보다 크게 된다.



는 순수 기술 효율성(pure technical efficiency: PTE)으로 CRS 모형에 의한 TE에는 규모의 비효율성이 포함되어 있기 때문에 TE에 서 규모의 비효율성을 제거한 것이 PTE이다. 식(4)과 식(6)에서 구한

TE와 PTE를 이용한 규모의 효율성(scale efficiency: SE)은 다음과 같

이 측정된다.

SE  TEPTE   

₍₇₎

평가대상 DMU가 CRS의 상태에 있는 경우에는 SE = 1로 규모의 비효율성이 존재하지 않으며, SE < 1인 경우에는 규모에 대한 수익증 가 혹은 규모에 대한 수익감소의 상태에 있기 때문에 규모의 비효율 성이 존재한다.

3) 기술적 효율성, 순수 기술 효율성 및 규모 효율성 관계

TE에서 규모의 효과를 제거한 것이 PTE이며, SE는 DMU가 얼마나

규모의 경제에 접근하여 생산 활동을 하는가를 측정한 것이다. 주어진

산출물을 최소의 투입으로 생산하기 위한 투입거리함수에 근거한다.

[그림

Ⅴ

-1]에서 OBE는 규모에 의해 투입 및 산출이 달라지지 않는

최적의 프론티어의 집합인

CRS

프론티어이며, GBH는 규모에 따라 투입 및 산출이 달라지는 최적 프론티어의 집합인 VRS 프론티어이 다. DMU A의 투입기준 TE는 Oa/Oc로서 TE＜

1인 비효율적인 DMU

이다. 만약 DMU A가 K에 위치한다면 TE는 Oa/Oa = 1로서 효율적인

DMU이다. DMU A가 최적 기술을 도입하여 보다 효율적일 수 있는

최대치는 VRS 프런티어 상의 J로 이동하는 것이다.

PTE는 DMU A와 VRS

프론티어 GBH와의 거리로 Ob/Oc로 측정

된다. 그러나 VRS 프런티어 상의

J로 이동하여도 여전히 최적 규모의

상태가 아니기 때문에 규모의 효율성을 통해 더 효율적일 수 있는 여 지가 있다(Oa/Ob). DMU A의

SCE는 Oa/Oc(TE/PTE)로 측정된다.

SE = 1이면 DMU A는 규모의 비효율성이 없으며, SE

＜

1이면 규모

의 비효율성이 존재한다. DMU가 B에 위치한다면

SE=1이며, TE와 PTE도 1이 된다. B에 위치한 DMU는 투입물 x를 효율적으로 산출물 y로 전환시키는 효율적인 DMU이다.

[그림 Ⅴ-1] 기술적 효율성, 순수 기술 효율성 및 규모 효율성 관계

나. 분석모형 및 방법

CRS

모형(4)과 VRS 모형(6)은 일정한 생산수준을 유지하면서 모든 투입요소를 동일한 비율로 최대 어느 정도 줄일 수 있는가 또는 총요 소 생산성을 분석하는데 이용되고 있다. 에너지와 다른 투입요소간의 강한 보완관계를 가지고 있을 경우 에너지 효율성 분석에도 활용될 수 있다. 또한 일정 생산수준을 유지하면서 에너지와 함께 다른 투입요소 도 동시에 어느 정도 줄일 수 있는가를 분석하는데 활용할 수 있다.

본 연구에서는 다른 투입요소의 추가 투입 없이 최대로 절감 가능 한 에너지 수준을 파악하기 위해 수식(4)을 토대로 CRS 에너지효율 분석모형을 수식(8)과 같이 설정하였다. 여기서 자본, 노동, 원자재 등 다른 투입요소가 추가투입 되지 않고 또한 생산(부가가치)도 줄어들지 않도록 제약조건식을 두었다



^

 Min 

(8)

 

i  m



_j

E

_j

≤ E

_o

E  에너지

i



  m



j

k

_j

≤ k

_o

k  자본

i



  m



_j

L

_j

≤ L

_o

L  노동

i



  m



_j

M

_j

≤ M

_o

M  원자재

i



  m



_j

Y

_j

≤ Y

_o

Y  생산부가가치



_

≥     

수식(6)을 토대로 에너지 이외에 자본, 노동, 원자재 등 다른 투입요 소가 추가투입 되지 않고 또한 생산(부가가치)도 줄어들지 않도록 제 약조건식으로 VRS 에너지효율 분석모형을 설정하였다.



^

 Min 

(9)

 

i  m



_j

E

_j

≤ E

_o

E  에너지

i



  m



_j

k

_j

≤ k

_o

k  자본

i



  m



_j

L

_j

≤ L

_o

L  노동

i



  m



_j

M

_j

≤ M

_o

M  원자재

i



  m



_j

Y

_j

≤ Y

_o

Y  생산부가가치

  







_

 



_

≥     

투입요소인 에너지의 효율성을 측정하고 비효율성 크기를 통해 에 너지 절감 잠재력을 파악하기 위해 투입지향 모형을 사용한다. CRS 모형(수식8)과 VRS 모형(수식9)을 이용하여 효율성을 측정한다. CRS 모형을 이용해 업종별 기술적 효율성(TE)을 측정하고, VRS 모형을 이용해 업종별 순수 기술 효율성(PTE)을 측정한다. 그리고 이들 측정 결과를 이용하여 업종별 규모의 효율성(SE)을 측정한다.

문서에서 요 약 - 에너지경제연구원 (페이지 103-113)