이차방정식 활용문제를 다루는 교수 시스템의 생태

중학교 3학년 교과서 이차방정식 활용 단원에서 미지수를 정할 때,‘구 하려는 것을 미지수 로 놓는다’고 서술하면서 미지수가 1개인 이차방정 식을 세워 푸는 것을 가르칠 지식으로 하고 있다.

1) 익숙함과 낯설음이 공존하는 교사A의 교실

➀ 다양한 풀이

교사A는 수에 관한 기본 문제로 연속한 세 자연수와 연속한 두 홀수의 문제를 다루고 있었다. 다음은 수에 관한 연속한 세 자연수에 대한 문제로 교사가 순회하면서 학생들의 풀이를 보고, 새연, 민우, 은지 순서대로 3명 의 학생이 나와서 풀도록 요청하였다.

13-1. 연속하는 세 자연수가 있다. 가장 큰 수의 제곱이 나머지 두 수의 제곱의 합 과 같을 때, 이 세 자연수의 합은?

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[그림 Ⅴ-18]과 같이 새연이는 연속하는 세 자연수를         으 로 놓았으며, 민우는 가장 큰 수를 로 나머지 두 자연수를      로 놓고, 은지는       로 놓고 풀이를 하였다. 교사A는 학생들이 풀이 를 비교해보도록 한 후에 를 무엇으로 놓는지에 따라 풀이가 다름을 확 인시켜주었다.

[그림 Ⅴ-18] 새연, 민우, 은지의 13-1번 문제 풀이

이와 같이 세 명의 학생을 정하여 다양한 풀이 방법을 보여준 데에는 교 사A의 교육학적 철학이 담겨 있다. 교사A는 학생들이 친구들의 다양한 풀 이를 보면서 자신이 한 풀이를 정교화해보고 자신에게 맞는 풀이를 찾아 쓰는 것이 중요하다고 생각하고 있었다. 이때, 교사가 보이고자 하는 의도 가 분명히 있을 경우 있을만한 오류를 보인 풀이를 제일 먼저 발표자로 하 고, 점점 세련된 풀이를 한 학생들 순서대로 발표자를 정하고 있었다. 이 과정에서 교사는 한발 뒤로 물러서 있지만, 학생들의 수준은 상승될 수 있 다고 생각하였다. 앞서 살펴본 세 명의 학생의 경우 은지의 풀이가 가장 세련된 풀이라고 볼 수 있는 것이다.

[교사A와의 인터뷰 중]

교사A: 왜 그런 거 있잖아요. 전형적으로 틀린 애들. (...) 틀린 애들 발표할 때 쟤가 틀린 게 굉장히 잘 틀렸다. 틀린 게 굉장히 우리한테 기여를 많이 해준다. 박수 쳐줘라. 그리고 풀이의 수준이라는 것이 있잖아요. 굉장히 무식하게 접근해서 푸 는 애가 있고, 세련되게 접근해서 푸는 애가 있고 그럼 무식한 놈을 먼저 보여주

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고 점점 세련된 순서로 보여주고. 그거는 의도적으로 뭐랄까 계속 관찰하고 순서 대로 뽑아내고. 니가 먼저 하고 니가 해라. 이런 식으로. 그게 있어야 수업 안에 서 일단 제 역할이. 제가 빠질 수 있고 수업에서. 애들이 설명하는 가운데 수준 의 상승이 있어야 되는데 그러려면 랜덤으로 시킬 수는 없겠더라구요.

수업 중에 다양한 풀이가 나타나도록 하는 데에 교사의 순회지도가 매우 큰 역할을 하고 있었다. 또한, 미지수를 무엇으로 잡으라고 한정하지 않고

무엇을 로 놓는 게 합리적인 방법일지 스스로 판단해보도록 한 것도 영

향을 미쳤을 것으로 보인다.

[교사A와의 인터뷰 중]

교사A: 특별히 무엇을 안했던 것 같아요. 그냥 문제에서 구하고 싶은 게 뭐냐. 무엇으 로 놓는 게 합리적이겠느냐? 그런 얘기는 했었어요. 문제에 따라 를 이렇게 놓 을 때랑 저렇게 놓을 때랑 식이 달라지잖아요.

교사A가 제시한 연속한 세 자연수의 문제에 대해 교과서에서는

      (황선욱 외, 2015, p. 80),       (정상권 외, 2015, p. 74;

신준국 외, 2015, p. 74)로 놓거나,       (교학사, p. 95)의 세 가지 방법으로 미지수를 정하고 있었다. 앞의 두 가지 방법은 미지수를 생각하 기 편한 방법, 마지막 방법은 풀이가 간단한 방법으로 볼 수 있다. 교과서 에 제시된 방법처럼 은지는 풀이가 간단한 방법으로, 민우는 미지수를 생 각하기 편한 방법으로 잡은 반면, 새연이는 어느 교과서에서도 제시되지 않은 미지수 정하기 방법을 보여주고 있었다. 새연이가 정한 방법과 같이 미지수를 놓지 않는 이유는 식과 풀이 과정이 복잡해지기 때문이다. 결국, 연속하는 자연수는 1씩 차이가 난다는 원리에 따라 미지수를 잡게 되는데,

를 어떻게 잡느냐에 따라 풀이가 간단하게 또는 복잡하게 되는 것이다.

교사A가 수업 중에 드러낸 다양한 풀이를 통해 학생들은 자신의 풀이와 같은 풀이나 다른 풀이를 보면서 익숙함 또는 낯설음을 경험하고, 자신에 게 맞는 방법으로 체화하고 있었다. 이와 비슷한 상황이 다음의 연속한 두 홀수에 관한 문제에서도 나타나고 있었다.

13-3. 연속하는 두 홀수의 제곱의 합이 74일 때, 이 두 수의 곱을 구하여라.

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은혁이와 지원이 두 학생이 [그림 Ⅴ-19]¹²⁾과 같이 풀었다. 은혁이는 연 속하는 두 홀수를    로 놓고 문제를 풀었다. 방정식의 해 중에 어떠한

의 값을 택했는지 적지는 않았지만,  ×  을 통해 문제에서 요구하는

의 값으로 5를 넣어서 풀었음을 알 수 있다. 반면, 지원이는 연속하는 두 홀수를      이라고 두고 풀었다. 이차방정식을 푼 것으로   만 적 었지만, 설명할 때는 제곱근을 이용하여 의 값이 ±이 나오고, 홀수가 나와야 하니까 의 값을 으로 택해서 답을 구했다고 하였다. 지원이의 풀 이에서 이차방정식을 풀어   이라 적은 것은 실행과 함께 자연수라는 조건에 대한 반성이 함께 작용하여 나온 결과라고 볼 수 있다.

연속하는 두 홀수      

^     ^     

^   

^   

^ 

  



[그림 Ⅴ-19] 13-3문제에 대한 은혁(좌), 지원(우)의 풀이

두 학생 모두 이차방정식의 풀이 단계와 문제의 뜻에 맞는 답을 선택하 는 것 사이에 구분하지 않고 해를 2개가 아닌 필요만 답만 적고 있었다.

이에 교사A는 단계를 구분하지 않고 풀이한 학생들이 문제 상황을 숙지하 고 있었기 때문에 이차방정식을 푸는 과정을 표현하지 않은 것뿐이지 그 과정이 없다고 생각하지 않았다. 즉, 머릿속으로 작용한 과정을 볼 수 없기 때문에 문제 상황에 맞게 쓴 것을 보고 잠정적으로 했다고 보는 것이다.

12) 지원이의 풀이는 캡쳐 화면의 가독성이 떨어져서 타이핑하여 나타내었음.

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따라서 교사A는 학생들에게 특별히 그 단계를 구분지어 서술해야 한다고 강조하지 않았다.

[교사A와의 인터뷰 중]

교사A: 저는 그 과정이 없었다고 생각하지 않거든요. 표현하지 않은 것뿐이지. 이미 문 제 상황을 숙지를 하고 있으니까 굳이 플러스 마이너스를 쓸 필요가 없이 그냥 바로 는 6 그렇게만 썼다라고 생각을 해요.

교사A: 생략과는 조금 다른 거 같은데. 그게 안한 게 아니잖아요. 잠정적으로 해서 우 리가 볼 수 없었던 것 하고 애가 머릿속으로 해서 우리가 관찰할 수 없는 것과 하지 않은 것은 다르다고 생각하거든요.

교사A는 앞의 두 학생의 풀이에 대해 학생들에게 풀이를 감상해보도록 한 후에 서로 마음에 드는 풀이를 골라 보도록 하였다. 학생들은 풀이의 간단함이냐, 미지수 잡기의 간단함이냐에 따라 자신이 마음에 드는 풀이를 선택하였다. 은혁이의 풀이는 가장 일반적인 풀이 방법으로 미지수를 잡기 쉬운 대신 풀이가 복잡하고, 지원이의 풀이는 미지수를 잡기는 어려웠던 대신 풀이가 간단하였다.

[교사A의 1차시 수업 중]

교사A: 오케이. 지원이는 이게(지원이의 풀이가) 왜 마음에 들어요?

지원: 간단해서.

(중략)

교사A: (...) 그 다음에 세빈아 왜 이게(은혁이의 풀이를 가리키며) 마음에 들었어?

세빈: 저는 를 일단 두고 하는 게 그 다음 정하기 좋은 거 같아요.

(중략)

교사A: 각자 장단점이 있다 라는 겁니다. 지원이 같은 경우는 이게(미지수 잡기를) 생 각하기 어렵지만, 풀이는 간단하고, 은혁이는 세팅을 쉽게 했으니까 계산은 힘들 지만 어쨌든 값을 찾아낼 수 있었죠. 장단점이 있다라는 겁니다. 좀 얘기를 첨언 을 하면은 중학교 수준에서는 5를 선택해서 35를 뽑아내는 게 맞아요. 중학교 수 준에서는. 왜냐하면, 홀수, 짝수를 음수에서 다루지 않았으니까. 그런데 음수에서 도 사실은 홀수, 짝수가 존재하기는 합니다. (...) 그러면 마이너스 7과 마이너스 5 가 되겠지? 곱하면 얼마야? 35가 되겠죠? 같은 답이 나오게 될 겁니다. 그래서 문제를 일부러 곱으로 만든 거예요.

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교사A가 홀수로 음수가 가능하다고 설명하게 된 배경에는 학생들이 모 둠별로 문제를 푸는 중간에 의 값 중에 홀수가 음수로 나올 수 있는지에 대한 질문을 했기 때문이다. 그 질문에 대한 답으로 교사A는 전체 학생들 을 대상으로 학문적 지식의 수준에서는 가능하지만, 중학교 수준에서는 자 연수에서만 생각한다고 설명하였다. 그러나 이와 같은 학문적 지식과 중학 교에서 가르치는 사이의 혼란에 대해 답이 한 개만 나오도록 문제 상황을 일부러 곱으로 구하는 문제를 냈다고 교사의 의도를 이야기해주었다. 실제 로 수업 후에 이 문제에 대한 교사와의 면담을 살펴보면, 홀수, 짝수가 음 수냐 양수냐의 문제보다는 나머지가 1이냐 0인가가 더 중요한 문제이기 때 문에 학생들이 음수를 썼어도 맞았다고 할 것이라고 이야기하였다.

[교사A와의 인터뷰 내용 중]

교사A: (...) 그래서 애들이 헷갈릴 테니까 음수든 양수든 상관없이 곱으로 내버리자.

라고 생각해서 곱으로 냈던 거예요. (...) 솔직히 애들한테 홀수, 짝수가 음수, 양 수 맥락에서 별로 중요하지 않잖아요. 수학적인 배경은  이나 . 그러니까 나머지가 1이냐 0이냐가 중요한 거지.

교과서에서는 짝수나 홀수를 구하는 문제에서 모두 양수만 답으로 택하 고 있었다(강옥기 외, 2015, p. 90; 신항균 외, 2015, p. 87). 짝수와 홀수에 대한 정의는 초등학교 1학년 때, 자연수의 범위에서 둘씩 짝을 지을 수 있 는 수는 짝수, 둘씩 짝을 지을 수 없는 수는 홀수로 정의한다. 그리고 수의 확장을 하고 나서 짝수, 홀수에 대한 정의를 새로 하지 않는다. 따라서 학 교수학에서 당연하게 자연수에서만 짝수, 홀수를 다루고 교과서에서 양수 만 답으로 택하는 것이다. 실제로 이 문제를 가르친 지식에서만의 아니라 평가의 맥락으로 확장해서 학생들이 음수를 답으로 썼다면 어떻게 할 것인 가에 대한 질문에 대해 교사A는 중학교 수준에서는 자연수에서만 다루니 까 중학교 수준에서 채점하는 것이 아니라 자신이 그렇게 가르쳤고 그 내 용이 상위 수준의 수학에서 맞는 말이기 때문에 정답으로 인정할 것이라고 답하였다. 또한, 이러한 평가가 가능한 이유로 학년 전체를 혼자서 채점하 는 환경이 있기 때문이라고 하였다.