이차방정식 관련 개념 교과서 분석

이차방정식과 관련된 개념을 살펴보기 위해 박윤범 외(2014)가 제시한 중 학교 문자와 식 영역의 내용 계통도 중에 이차방정식과 직접적으로 관련된 부분만 살펴보면 [그림 Ⅳ-3]과 같다.

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[그림 Ⅳ-3] 중학교 문자와 식의 계통도 일부(박윤범 외, 2014, p. 84 일부 발췌)

계통도에서 살펴볼 수 있듯이 일차방정식, 다항식, 인수분해 개념이 이차 방정식과 연결되어 있다. 일차방정식 관련 개념은 이차방정식 교과서 분석 시에 서술할 것이기 때문에 관련개념으로 다항식, 인수분해의 개념에 대해 서만 살펴보도록 하겠다. 우선 학교수학과 대학수학에서‘다항식’을 각각 어떻게 서술하고 있는지 살펴보자. 학교수학에서 다항식은 중학교 1학년 때 처음으로 등장하는데, 2009개정 교육과정으로 사용하는 13종의 교과서 중에서 12종의 교과서에서 ‘한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어 진 식을 다항식이라고 한다.’(이강섭 외, 2013, p. 63)로 한 개 이상의 의 미가 들어가도록 정의하고 있었다. 오직 1종의 교과서에서만

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‘    와 같이 몇 개의 항의 합으로 이루어진 식을 다항식이라고 한다.’(황선욱 외, 2013, p. 81)로 정의하여 다항식에서 한 개의 항에 대한 의미를 찾아보기 힘들었다. 그러나 단항식을 정의할 때는 항이 모두 한 개 라고 모든 교과서에서 똑같이 제시하고 있었다. 11종의 교과서에서는‘다 항식 중에서 하나의 항으로만 이루어진 식을 단항식이라고 한다.’(강옥기 외, 2013, p. 97)로 다항식의 하위 범주로 서술된 반면, 2종의 교과서에서는

‘특히 하나의 항으로만 이루어진 식을 단항식이라고 한다.’(고호경 외, 2013, p. 85)와 같이 정의 속에 다항식이 포함되어 있지는 않지만 다항식 설명 후의 특별한 설명으로 서술하거나, 참고로 ‘다항식의 특수한 경우가 단항식이므로 단항식도 다항식이다.’(정상권 외, 2013, p. 74)라는 설명을 하고 있었다. 이와 같이 교과서에서 단항식은 다항식의 부분집합으로서 설 명하고 있었다.

3종의 교과서(이강섭 외, 2013, p. 63; 김원경 외, 2013, p. 76; 이준열 외, 2013, p. 99)에서 다항식이나 단항식의 이해를 돕기 위해 각각의 용어에 대 한 한자 풀이로 다항식에서‘多’는 항이‘많다’라는 뜻이고, 단항식에서

‘單’은 항이‘하나’라는 뜻이라는 설명을 하고 있다. 이러한 설명은 단 항식이 다항식의 부분집합으로서의 의미를 담고 있다고 보기 어려워 보인 다. 따라서 주어진 설명은 학교수학에서 학생들이 이해하는 다항식의‘다 항’의 개념이 일상 언어의‘다항’의 의미로 오해할 우려가 있다.

대학수학의 박승안, 김응태(2009)는 다음과 같이 다항식을 정의하고 있 다.

가환환 R과 부정원 에 대하여, 다음과 같은 꼴의 형식적인 무한합(formal infinite sum)을 R위의 (에 관한) 다항식(polynomial)이라고 한다.

    _ _ ⋯  _^⋯

(유한 개를 제외한 모든 에 대하여 _ )

그리고 R 위의 에 관한 다항식 전체의 집합을 R x로 나타낸다.

또   인 모든 에 대하여 _ 일 때 를     _ _ ⋯ _^으로 나타낸다. 상수항을 제외한 계수가 모두 인 다항식을 상수다항식(constant polynomial)이라 하고, 특히 모든 계수가 인 다항식을 영다항식(zero polynomial)이 라고 한다(pp. 181-182).

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대학수학에서 다항식을 정의할 때 단항식이라는 개념 설명은 없지만, 상 수다항식 및 영다항식이라는 개념이 포함되어 있다. 중학교 1학년 교과서 에서 서술된 다항식의 정의에 따르면 한 개의 항만으로 이루어진 경우, 특 히 그것이 상수항만으로 이루어진 경우도 다항식에 포함이 된다. 따라서 대학수학의 정의와 마찬가지로 상수항은 상수다항식으로 이해할 수 있으므 로 자연스럽게 다항식에 포함된다. 이처럼 학교수학과 대학수학에서의 다 항식의 정의는 일상 언어로 이해할 수 있는 수준의‘다항(항이 많음)’이 아니라, 수학적 맥락에서 정의하고 있다는 공통점을 갖고 있다. 다시 말해, 상수다항식이 일상 언어의‘다항’의 의미를 따른다면, 다항식의 범주에서 탈락되어야 할 것이지만, 수학적 맥락 안에서 다항식으로 인정된다는 것이 다. 그러나 실제로 학교수학에서 상수다항식을 다루고 있지는 않다. 반면,

_을 제외한 모든 _가 0인 다항식 또는 상수항으로 한 개의 항으로만 이 루어진 다항식으로서 단항식을 다루고 있다. 이는 학교 수학에서의 다항식 은 연산으로 연결되어 있는 각각의 항에 집중되어, 다항식의 연산에 치중 하여 설명하기 때문이다. 다시 말하면, 학교수학에서는 다항식과 단항식에 대한 정의 후에, 다항식의 연산을 다루기 전에 단항식의 곱셈과 나눗셈, 단 항식과 다항식의 곱셈, 나눗셈의 연산을 다루기 때문에 단항식이라는 개념 이 필요한 것이다. 대학수학에서의 정의는 수학 내적으로 연결된 다양한 개념들이 복합되어 서술 가능할지라도, 학교수학 수준에서 설명하기 위해 서는 정의의 한쪽 측면을 부각하여 일부의 내용에 집중한 서술과 함께 학 교수학에서 필요한 수준의 새로운 정의의 서술이 불가피해지는 것이다.

대학 수학에서 다항식은 미지수가 1개인 다항식을 다루며, 이를 바탕으 로 수의 범위를 확장한다. 반면, 중학교에서의 다항식은   ,      와 같이 미지수가 1개인 다항식뿐만 아니라 여러 개인 다항식도 다룬다.

이는 중학교에서 다루는 다항식의 범위가 대학 수학보다 크다고 볼 수 있 다. 그 이유는 대학 수학은 미지수가 1개인 식으로부터 내용을 서술하는 반면, 중학교 수학은 연산에 치중되어 있기 때문이다. 초등학교 때는 문자 를 사용하지 않은 ‘□’를 사용한 식으로만 표현하다가 중학교 때 다항식 을 정의한 이후부터 연산이 가능해진다. 다항식을 정의하고 나서 덧셈과

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곱셈에 관하여 단위원을 가진 가환환을 이루면 다항식의 환을 이야기할 수 있기 때문이다. 그리고 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 연산을 배운 후에 이를 바탕으로 방정식과 함수를 다루게 되는데, 모두 연산이 주된 내 용이다. 또한, 다항식의 계수를 살펴보면, 대학 수학에서 다루는 다항식의 계수는 환에서 정의된 반면, 학교 수학에서는 다루는 다항식의 계수에 대 해서는 2009개정 교육과정 상에 명확하게 제시하고 있지 않다. 따라서 교 과서에 제시된 표현이 대부분 정수를 다루고 있으면서 가끔 유리수도 다루 고 있기 때문에 그 계수를 유리수로 추측할 뿐이다.

앞서 살펴본 대학수학의 다항식의 정의에 따라 다항식을 인수분해하는 것은 중학교 교육과정에서 2가지로 나누어 볼 수 있을 것이다. 하나는 상 수다항식의 인수분해, 즉 중학교 1학년 때 배우는 자연수의 소인수분해라 고 볼 수 있으며,  ≥ 인 다항식 중에 이차 다항식은 중학교 3학년 때 배 우는 다항식의 인수분해로 볼 수 있다. 이차방정식을 풀기 위한 관련개념 으로 다항식의 인수분해에 초점을 두고 살펴보도록 하겠다. 중학교 3학년 에서 처음 나오는 인수분해는 인수에 대한 정의와 함께 [그림 Ⅳ-4]와 같 이 전개의 역과정으로 인수분해를 정의하고 있다.

[그림 Ⅳ-4] 인수분해 정의(고호경 외, 2015, p. 64)

위의 정의에서 다항식이라는 광의의 개념에도 불구하고 중학교 3학년 교 과서에서 다루고 있는 예제나 문제를 보면, 이차식에서만 인수분해를 다루 고 있다. 2009개정 교육과정의 <교수 ․ 학습상의 유의점>에서 ‘인수분해는 이차방정식의 해를 구하는 데 필요한 정도로 다룬다.’(교육과학기술부, 2011, p. 30)로 서술되어 있기 때문에 중학교 과정에서 암묵적으로 이차식 만 다루고 있음을 받아들일 수 있다.

대학 수학에서는 인수분해에 관해 유일인수분해정역의 정의와 유일인수

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분해정리를 순서를 달리할 뿐이지 모두 다루고 있어, 이 2가지를 함께 서 술하고자 한다. 대학수학에서 다루는 유일 인수분해 정역(Unique Factorization Domain, 이하 UFD)의 정의는 다음 두 조건을 만족하는 정역 D이다.

1) 0도 아니고 가역원도 아닌 D의 모든 원소는 유한개의 기약의 곱으로 나타난다.

2) _ ⋯ _과 _ ⋯ _가 D의 같은 원소를 기약의 곱으로 나타낸 식이면,   이 고, _의 순서를 적당히 바꾸면 _와 _가 동반원이다. (Fraleigh, 2003, p. 390)

1)의 정의가 학교수학의 인수분해 정의와 같은 맥락을 하고 있는데,‘가 역원’과‘기약’에 대한 언급에서 차이가 있다.‘가역원’은 곱셈항등원 (1≠0)을 갖는 환 R의 0이 아닌 원소가 환 안에서 곱셈역원을 가지는 것을 말한다. 또한, 체 F 위에서‘기약’은 영도 아니고 가역원도 아닌 정역 D 의 원소 p가 D의 가역원이 아닌 두 원소의 곱으로 표현되지 않을 때, 이러 한 p를 말한다. 즉, p가 D의 기약이고   이면 가 가역원이거나 가 가 역원이다.

예를 들어, 2는 유리수 집합에서는 곱셈역원 

이 존재하고, 정수 집합 에서는 역원이 존재하지 않기 때문에 유리수 집합에서 수 인수는 가역원이 지만, 정수 집합에서는 그렇지 않다. 따라서 UFD의 정의에 따르면, 정역이 무엇인지에 따라 수 인수를 기약다항식으로 다룰 것인지 말 것인지가 문제 가 된다. 또한, 인수분해를 하는 것은 기약다항식의 곱으로 나타내야 하므 로 ^ ^   =  ^   와 같이 곱으로 표현했다고 해서 인 수분해가 된 것이 아니라   ^  와 같이 기약다항식의 곱으로 나타 냈을 때 비로소 인수분해 되었다고 말할 수 있다.

학교수학에서 인수분해를 하는 다항식의 형태는 이원 1차 다항식, 일원 2차 다항식, (특수한 형태의)이원 2차 다항식, 조립제법을 이용하여 인수분 해 가능한 3차 다항식, 조립제법 및 치환으로 인수분해 가능한 4차 다항식 이다. 인수분해할 때, 대학 수학은 미지수가 1개인 다항식에 대해 서술하고 있는 반면, 학교 수학에서는 꼭 미지수가 1개인 것만 아니라 중학교 수학