IV. 교육과정, 교과서 분석을 통한 가르칠 지식
2. 교과서 분석
2.2. 이차방정식 활용 단원의 가정된 SRP 분석
2009개정 교육과정에서 사용되는 13종의 교과서의 이차방정식 활용 단원 의 예제, 문제, 중단원/대단원 평가에서 다루고 있는 소재를 정리해보면
<표 Ⅳ-18>와 같다.
2009개정 교육과정에서 제시된 소재의 분류와 이정미(2009)의 분류를 바 탕으로 2009개정 교육과정으로 사용되는 총 13종의 교과서의 예제나 문제 에서 제시된 소재를 정리하였다. 이정미(2009)가 제시한‘속력과 거리’에 관한 소재는 ‘높이’에 관한 소재로 명칭을 바꾸고, 문제 유형에서 도형 의‘기타’에 관한 항목은 삭제하고, 수에 관한 소재는 좀 더 세분화하여 나타내었다. 높이에 관한 문제는 ‘속력 응용’이라는 문제 유형을‘거
- 129 -
리’로 수정하였다. 이와 같이 각 유형별 세부 항목에 약간의 수정 및 추 가를 하여 도형에 관한 문제, 수에 관한 문제, 높이에 관한 문제의 3가지로 나누어 과제의 개수를 정리하면 [표 Ⅳ-19]와 같다. 리그전과 악수 문제는
‘기타’로 분류하여 제외하였다. 높이에 관한 문제는 거리에 관한 1문제 를 제외하고는 모두 같은 형태였고, 도형에 관한 문제는 넓이에 관한 문제 를, 수에 관한 문제는 합, 차, 곱에 관한 문제를 가장 많이 다루고 있어, 이를 바탕으로 각 유형별 대표 문제를 한 개씩 뽑아 분석하였다.
소재 문제유형 A B C D E F G H I J K L M 계
도형
넓이* 2 2 2 2 1 1 2 1 1
26
길/폭 1 1 1 1 1 2 1
부피 1 1 1 1
수
합,차,곱* 2 2 2 2 2 2 1
19
나이 1 1
달력 1
책 1 1
그외 1
높이 높이* 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2
거리 1 28
기타 2 2
합계 7 7 5 5 4 5 4 4 7 4 7 9 7 75
<표 Ⅳ-19> 이차방정식 활용에 관한 과제 유형별 분류
(1) 도형
도형을 주고 길이를 구하는 문제로‘유리네 주말 농장은 그 둘레의 길이 가 인 직사각형 모양이고, 넓이가 이다. 이 주말 농장의 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 구 하여라’(강옥기 외, 2015, p. 92)를 살펴보자.
1) 문제 분석
대부분의 도형 문제를 보면 미지수를 한 개만 정해서 풀 수 있는 문제의 형태, 둘레의 길이 대신 가로의 길이가 세로의 길이보다 얼마가 더 길다고
- 130 -
주는 것인데 반해, 위의 문제는 직사각형의 둘레의 길이와 넓이를 조건으 로 주어 꼭 미지수가 한 개인 식이 아닌 미지수가 2개인 두 개의 식도 가 능한 문제 형태이다.
우선, 미지수를 1개로 놓는 경우로, 가로의 길이를 라고 하면, 직사각형 의 둘레의 길이가 이므로 세로의 길이는 이다. 따라서 넓이가
m이므로 으로 미지수가 1개인 식을 세울 수 있다. 이와 같이 미지수 한 개를 이용하여 이차방정식을 세우는 방법은 우리나라 모든 교과서에서 가르칠 지식으로 제시되어 있다.
다음은 미지수를 2개로 놓는 경우로, 가로와 세로의 길이를 각각 라 하면, , 의 연립이차방정식을 세울 수 있다. 이러한 형태 의 풀이는 고등학교에서 다루지만, 중학교 2학년 때 학습한 내용으로 풀 수도 있다.
먼저, 일차식을 한 문자에 관해 푼 다음에 이차식에 대입하여 미지수가 1개인 이차방정식으로 바꾸어 풀 수 있다. 즉, 을 에 관해 풀면,
이다. 에 대입하면, 의 미지수가 1개인 이차 방정식으로 풀 수 있다. 이는 고등학교에서 배우는 내용이지만, 중학교 2학 년에 배우는 대입을 이용하여 충분히 변형시킬 수 있다. 또한, 미지수가 1 개인 이차방정식으로 변형시키는 방법은 바빌로니아인들이 사용했던 방법 으로(Burton, 2011/2013) 풀어볼 수도 있다.
,
( )으로 두자.
이므로
,
,
,
. 따라서
,
이다.
바빌로니아인들이 사용했던 방법은 미지수 2개에 또 다른 문자 하나를 더 추가하여, 제곱근을 이용하여 푼 것이다. 바빌로니아 수학에서 이차방정 식을 탄생시킨 것은 직사각형에 관한 문제로 주어진 테크닉에 대한 테크놀 로지는 다음과 같다. 직사각형의 둘레의 길이의 반의 값과 넓이가 주어졌 을 때, 즉 , 를 만족하는 풀이를 살펴보자.
- 131 -
,
라고 하면,
,
로부터 의 값이 커짐에 따라 넓이가 줄
어든다는 것을 살펴볼 수 있다. 또한,
이므로
이다. 따라서
,
이 된다. 이때, 음수 근은 무시한다.또 다른 방법으로는
× 이므로 과 함께 차 수를 낮추어 연립방정식으로 풀 수 있다. 이때, 두 수의 차는 을 이용하여 곱셈공식의 변형으로부터 구한 것이다.
이와 비슷하게 조선시대 경선징의 <묵사집산법>의 개방해은문 제 24문에서 의 문제는 두 수의 곱과 합이 주어져있을 때, 두 수의 차를 구하여 연립일 차방정식으로 문제를 해결하였다(장혜원, 2006, pp. 187-189). 조선 시대에 두 변의 차와 곱이
로 주어졌을 경우,
와 로부터
,
로 풀 수 있으며,
이와 유사하게 두 변의 합과 곱이
로 주어졌을 경우
와 로부터
,
와 같이 풀었다. 이 테크닉에는 곱셈 공식의 변형을 수학적 내용의 기저로 하고 있으며, 미지수가 두 개인 연립 방정식으로 푼 것이다.
마지막으로, , 는 두 근의 합이 13, 곱이 36이므로
두근의합 두근의곱 을 이용하면, 을 만족한다.
이는 근과 계수와의 관계를 수학의 기저로 하고 있다. 그러나 근과 계수와
- 132 -
의 관계는 고등학교에서 다루므로 이와 같은 방법은 중학교 교실에서는 드 러나지 않고, 고등학교에서 접근 가능한 테크닉이라 볼 수 있을 것이다. 근 과 계수와의 관계는 고등학교에서 테크닉적으로 접근시키고 있지만, 다음 과 같은 테크놀로지를 갖고 있다.
이차방정식 (≠)의 두 근을
,
라 하면,
×
이므로, 두 근의 합이나 곱이 주어졌을 때, 이를 이용하여 이차방정식을 세울 수 있는 것이다.
2) 가정된 SRP 다이어그램
주어진 문제를 초기 질문으로 하고, Polya의 문제해결 4단계에서 문제이 해, 미지수 정하기, 식 세우기, 풀기를 각각의 파생질문으로 하여 위의 분 석 중에 현재 수학 교실에서 사용하는 방법으로 한정하여 가정된 SRC 다 이어그램으로 그려보면 [그림 Ⅳ-18]과 같다.
Q: 유리네 주말 농장은 그 둘레의 길이가 인 직사각형 모양이고, 넓 이가 이다. 이 주말 농장의 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 구하여라.
- 133 -
[그림 Ⅳ-18] 도형에 관한 가정된 SRP 다이어그램
문제에서 주어진 정보에 대한 질문은 둘레의 길이, 넓이, 가로와 세로 사 이의 관계의 3가지로 답할 수 있다. 미지수를 어떻게 정하는가에 대한 질 문으로는 가로를 (또는 세로를 )로 하여 1개의 미지수만 정하는 방법 (A2,1,1), 가로와 세로를 각각 로 하여 2개의 미지수를 정하는 방법 (A2,2)으로 답을 나눠볼 수 있다. 이때, 미지수를 1개로 잡았을 경우에는 직사각형의 둘레의 길이(A1,1)와 직사각형의 둘레의 길이가
×가로의길이 세로의길이임을 이용하여 세로의 길이를 미지수 를 사용하여 (A2,1,2)로 나타낼 수 있다. 미지수를 1개로 정할 경우에는 직사각형의 넓이(A1,2)와 직사각형의 넓이가 (가로)×(세로)임을 이용하여 식 (A3,1)을 세울 수 있다. 미지수를 2개로 정할 경우에는 둘 레(A1,1)와 넓이(A1,2)를 이용하여 (A3,2,1)과 (A3,2,2)의 식 을 세운 후에 일차식을 한 문자에 관하여 정리한 후 이차식에 대입하면, 식 (A3,1)과 같아진다. 근과 계수와의 관계를 이용하여 식을 세우면 식 (A3,2*)이 되며, 를 이용하 여 식 ×(A3,2**)을 정리하여 의 값을 구할 수 있다.
- 134 -
이차방정식의 풀이(Q4)는 식 A3,1은 A3,2*의 과정을 거쳐 인수분해하여
또는 (A4,1)에 이르게 되고, A3,2**로부터 얻은 의 값과
(A3,2,1)을 연립방정식으로 풀어 답을 구할 수 있다. 최종의 답 A 는 가로와 세로 사이의 관계인 (가로의 길이)>(세로의 길이)(A1,3)을 통해 이끌어낼 수 있다.
중학교 3학년에서 가르쳐야 하는 이차방정식 활용문제는 미지수가 1개인 이차방정식을 세우도록 가르치고 있으나, 이와 같이 문제의 형태에 따라 미지수를 2개로 놓고 식을 세울 수도 있다. 미지수가 2개인 연립이차방정 식은 고등학교 과정에서 나오지만, 한 문자에 관해 정리한 후 식에 대입하 면 미지수가 1개인 이차방정식으로 바꾸어 풀 수 있다. 또한, 곱셈공식을 이용하여 미지수가 2개인 연립일차방정식을 풀거나, 합과 곱이 주어졌을 때 근과 계수와의 관계를 이용하여 이차방정식을 세워서 풀 수도 있다. 학 생들이 세울 것이라 가정한 세 가지 식은 미지수나 주어진 정보를 어떻게 이용하는가에 따라 중학교 과정 또는 보다 상위의 과정인 고등학교 수준으 로 나올 수 있음을 살펴볼 수 있었다. 이와 같이 가정된 SRP 다이어그램에 서 미지수를 세워 식을 세우는 과정이 매우 복잡하게 되어 있는 것은 문제 이해 및 계획하기 단계에서 질문과 답하는 과정을 많이 필요로 하여 학생 들이 어려워하는 부분이 될 수 있다고 볼 수 있다.
(2) 수
수에 관한 문제는 연속하는 두 자연수, 세 자연수에 관한 문제와 함께 두 홀수에 관한 문제, 차가 주어진 두 수에 관한 문제를 많이 다루고 있었 다. 그러한 수들의 합, 차, 곱에 대한 예로 다음의 문제를 살펴보자.
‘연속하는 두 홀수의 제곱의 합이 34일 때, 두 홀수를 구하여라.’(신항 균 외, 2015, p. 86)
1) 문제 분석
연속하는 두 홀수를 미지수로 정하기 위해서는 나눗셈 알고리즘이 필요 하다. 대학 수학에서는 나눗셈 알고리즘에 의해 홀수를 다음과 같이 정의
- 135 - 하고 있다.
“모든 정수 은 또는 로 나타낼 수 있다. 정수 이 적당한 정수 (=0,
±1, ±2, …)에 대하여 일 때, 을 짝수라 하고 또 일 때, 을 홀수 라고 한다. (김응태, 박승안, 2000b, p. 10)”
이는 나머지가 1이냐 0이냐로 홀수와 짝수를 구분하는 것이다. 따라서 대학 수준에서는 연속하는 두 홀수를 과 같이 놓을 수 있다.
미지수 를 처음부터 홀수로 가정하거나, 를 두 홀수 사이에 있는 짝수
로 놓고, 연속하는 두 홀수 사이의 차가 2임을 이용하여 미지수를 잡는 방 법은 중학교 교과서에서 흔히 볼 수 있는 방법이다. 그러나 대학 수학에서 나눗셈 알고리즘에 의한 정의로부터 홀수를 로 정의하는 것은 분명 중학교 학생들에게 어려운 방법이지만, 수학적으로는 매우 엄밀한 방법이 기도 하다. 여기서 문제가 되는 것은 대학 수학의 홀수의 정의에 따르면 음수가 가능한데, 학교 수학에서는 홀수나 짝수를 양수의 범위에서만 다룬 다는 것이다. 중학교에서는 나눗셈정리를 정수가 아닌 자연수에서만 하고 있기 때문에 교육과정상 음수가 되는 것은 제외시키는 것이 타당하다. 학 문적 지식이 학교 수학의 지식으로 변환되면서 엄밀성이 탈락된 예라고 볼 수 있다.
2) 가정된 SRP 다이어그램
주어진 문제를 가정된 SRP 다이어그램으로 그려보면 [그림 Ⅳ-19]와 같 다.
Q: 연속한 두 홀수의 제곱의 합이 34일 때, 두 홀수를 구하여라.