III. 연구 방법
3. 분석방법
교사C의 2차시 수업은 한 시간 동안 학생들이 모둠별로 문제를 해결 하고 교사는 개인지도로 수업을 진행하였다. 따라서 2차시는 카메라가 학생들의 풀이를 보여줄 수가 없기 때문에 교사C가 핸드폰을 이용하여 교실을 순회하면서 동영상으로 직접 촬영하였다.
를 풀 수 있다.’와‘이차방정식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.’로 제시하고 있다(교육과학기술부, 2011, p.28). 첫 번째 학습 내용 성취기준으로부터 교과서의 서술을 살펴보면, 일부는 주어진 성취 기준처럼 통합하여 단원명을 제시하거나, 일부는 뜻과 해, 풀이 부분을 구분하여 제시하고 있었다. 이 논문에서는 보다 상세하게 분석하기 위해 첫 번째 학습내용 성취기준을 2가지로 나누어 이차방정식과 그 해의 의 미를 ‘개념’으로, 이차방정식을 푸는 것을 ‘풀이’로 구분하였으며 두 번째 학습내용 성취기준으로 제시된 내용을‘활용’으로 명명하였다.
[그림 Ⅲ-4] 중학교에서 다루는 이차방정식 내용
이를 바탕으로 개념과 풀이의 2가지에 대해 코드를 정하였다. 활용은 문장제 문제를 해결하는 것이기 때문에 특별히 유형화시킬 필요가 없어 서 코드화하지 않았다. 개념은 세부항목으로 뜻과 해의 2가지로 나누었 다. 풀이는 주어진 이차방정식을 푸는 것과 이차방정식을 이용하여 값을 구하는 것으로 나누어서 분류하였다. 주어진 이차방정식을 푸는 문제는 가장 기본이기 때문에 교과서의 본문에 제시되는 예제 및 문제로 살펴보 았으며, 이차방정식을 이용하여 값을 구하는 문제는 좀 더 다양한 형태 의 문제를 보여주는 중단원 연습문제, 대단원 확인문제 등에 제시된 문 제들을 살펴보았다.‘방정식을 풀어라’의 세부 항목은 교과서에서 제시 된 방법이며, ‘값을 구하여라’의 세부항목으로는 단순히 이차방정식을
푸는 것처럼 절차적인 것은‘단순한 풀이’로, 다양한 이차방정식의 개 념을 이용해서 푸는 문제는‘개념을 이용한 복잡한 풀이’로 정하였다.
각각의 용어를 영어로 표기한 후 약자를 따서 [표]와 같이 코드화하였다.
13종의 교과서를 임의로 각각 A, B, C, …, M으로 이름을 붙여 각 교과 서에 나온 문제를 코드명을 이용하여 분류한 후 대부분의 교과서에서 다 루고 있는 과제로 이차방정식의 과제의 유형을 선택하였다.
분류 세부항목 코드명
개념(Concept) 이차방정식 뜻(Definition) C-D-number
해(Root) C-R-number
풀 이
방정식을 풀어라.
(Solve an equation)
( )( )의 꼴 (pre-Factorization) S-pF-number 인수분해 이용(Factorization) S-F-number 제곱근 이용(Square Root) S-SR-number 완전제곱식 이용(Perfect Square
expression) S-PS-number
근의 공식 이용(Quadratic Formula) S-QF-number 값을 구하여라.
(Find a value)
개념을 이용한 복잡한 풀이
(Complex solution) F-C-number 단순한 풀이(Simple solution) F-S-number
<표 Ⅲ-3> 교과서 문제 분류를 위한 코드화
선택된 과제의 유형별로 과제를 1개 이상 선택하여 가능한 테크닉 및 테크놀로지나 이론에 대해 분석한 후에 한국의 제도에서 받아들여지는 테크닉, 관련된 테크놀로지, 이론의 네 가지 측면으로 프락시올로지를 표로 정리하였다.
3.2. 수업 분석
이차방정식 활용과 관련된 수업을 녹화하여 전사한 자료를 교수학적 국면과 수학적 프락시올로지에 맞추어 코딩을 하였다. 이때 발생하는 교 사가 가르친 지식과 학생이 학습하는 지식을 교과서의 가르칠 지식과 비 교하였으며, 학생이 학습하는 지식은 SRP(Chevallard, 2006; Winsløw et al., 2013)의 다이어그램을 이용하여 수업 중에 질문하고, 답하는 유형도
에피소드 교수학적 국면 주된 대상 수학적 대상 관찰된 교수학적 활동
<표 Ⅲ-4> 수업에 대한 1차 분석 함께 분석을 진행하였다
수업에 대한 코딩은 Barbé 외(2005)에 따라, <표 Ⅲ-4>와 같이 교수학 적 국면에 초점을 맞추어 1차 분석을 하고, 2차 분석7)은 프락시올로지와 교수과정의 좀 더 자세한 분석을 위해 <표 Ⅲ-5>와 같이 하였다.
1차 분석에서‘에피소드’는 교수과정의 가장 처음에 이루어지는 직관 적인 분석을 담고 있다.‘교수학적 국면’은 관찰자가 교수 과정의 발달 을 이해하는데 도움을 줄 수 있는 요약된 정보로서 연구 국면의 주요한 범주를 보여준다.‘주된 대상’은 비록 서로 상호작용을 했을 지라도 특 별한 수학 과제를 전개시키는 데 책임이 있는 사람을 의미한다. 즉 교실 에서는 교사 또는 학생이 될 수 있다. ‘수학적 대상’은 각 에피소드에 서 교사 또는 학생의 언어 또는 글로 나타난 공적 담화에서 명백하게 드 러나는 것이다.‘관찰된 교수학적 활동’은 교실에서 기록되고 관찰된 공적인 활동의 세부사항을 포함한다. 이 표는 수업에 대한 세부사항과 교수학적 과정의 첫 번째 일련의 과정(sequence)을 보여준다. 이는 수학 적 조직화를 생성하는 데 있어 필수적인 요소를 포함하는 에피소드와 국 면으로 조직되어 있다. 사실 이 표는 처음에 구조화되어 있지 않고, 분 석되지 않은 것처럼 보일 수 있는 ‘날 자료(raw material)’를 나타낸 다. 그러나 분석의 다음 단계를 위한 경험적인 토대를 제공해주고, 국면 이라는 교수학적 과정의 틀을 명시하기 위한 목적을 갖고 있다(Barbé et al., 2005, p. 247).
2차 분석은 교수학적 과정의 좀 더 자세한 분석을 제공한다. <표 Ⅲ -5>는 교수학적 과정이 어떻게 발달되고, 다른 국면이 어떻게 연결되고, 어떠한 수학적 대상들(과제의 유형, 테크닉, 테크놀로지-이론 요소 등)이 7) 수업에 대한 1차 분석은‘부록’에 교사A의 3차시 수업 사례를 실었으며, 2차 분석은 수업 시에 관찰된 특징별로 세 교사의 수업 분석을 묶어서 표로 보여주었음.
나타나는지, 모든 교수학적 국면에서 그것의 기능은 무엇이었는지를 보 여준다. 이는 교수학적 프락시올로지의 실제적 블록을 설명한다(Barbé et al., 2005, p. 248).
세션 수학 과제 유형
수학적 테크닉
분명한 테크놀로 지- 이론 요소
지배적 국면 과 하위 국면
교수학적 테크닉의 요소
<표 Ⅲ-5> 수업에 대한 2차 분석
이때, 2차 분석에서 각 교사별로 세션 항목이 있었으나, 이 논문에서 세 교사의 분석을 함께 제시할 때는‘세션’대신에‘교사’로 바꾸어 서 술하였다.
3.3. SRP 다이어그램 분석
이정미(2009)는 제7차 교육과정에서 사용되던 ‘9-가’수학 교과서 10 종의 이차방정식에 관한 문장제 문제를 분석하여 공통적으로 다루고 있 는 소재와 유형에 따라 <표 Ⅲ-6>과 같이 수에 관한 문제, 속력과 거리 에 관한 문제, 도형에 관한 문제의 세 가지로 유형화하였다.
소재 문제유형
수
합, 차, 곱 관련 수 비교
생활 속 수 관련
속력과 거리 높이
속력 응용
도형
넓이 관련 길 문제 부피 관련 기타
<표 Ⅲ-6> 이차방정식에 관한 문장제 유형 분류(이정미, 2009, p. 26)
2009개정 교육과정으로 사용된 총 13종의 교과서에서 문제로 제시되고 있는 소재를 분류해본 후에 이정미(2009)의 분류를 바탕으로 명칭 및 유 형별 세부 항목을 수정하였다. 수정된 문장제 유형 분류표를 바탕으로 A
교과서부터 M교과서의 예제나 문제에 제시된 소재별 문제의 개수를 정 리하여 각 유형별로 대표 유형 문제를 한 문제씩 선택하였다.
선택된 3가지 유형의 문제를 각각 수학적으로 분석하고, 이를 바탕으 로 학생들이 학습과 연구의 과정에 대한 가정된 SRP를 살펴보았다. 이때 구조가 잘 보이도록 하기 위하여 SRP 다이어그램을 그려보았다. SRP에 서 생성질문, 즉 가장 초기 질문은 학생들의 흥미를 끌 수 있고, 학습과 연구에 많은 질문이 열려 있도록 충분한 힘이 있어야 한다(Chevallard, 2006). 교과서에서 주어진 활용 문제가 그러한 생성질문에 완전히 부합 하지는 않지만, 실생활의 도입과 같이 문제해결을 위한 측면에서 학생들 이 질문을 하며 답할 수 있는 가능성이 어느 정도는 있다고 판단되었다.
또한, 학생들이 교과서에서 제시된 이차방정식의 활용문제를 푸는 4단계 인 미지수 정하기, 방정식 세우기, 방정식 풀기, 확인하기 단계에 따라 문제를 해결하도록 가르치고 있으므로 이 단계에 따른 질문을 하며 문제 를 해결해 나갈 것이기 때문에 이를 학생들이 질문으로 던질 수 있을 것 이라 생각되었다. 따라서 교과서에서 주어진 질문을 생성질문으로 하고, Polya의 문제해결 4단계의 질문을 하위 질문으로 하여, 질문과 답하는 방식의 SRP 다이어그램을 그려보았다. 모든 유형별로 각각의 하위 질문 은 다음과 같이 정하였다.
: 주어진 정보는 무엇인가?
: 미지수를 무엇으로 놓을 수 있을까?
: 식을 어떻게 세울 수 있을까?
: 방정식을 풀면 어떻게 되는가?
‘계획하기’의 단계의 질문을 2가지로 세분화하여 , 로 제시하 고,‘반성하기’단계는 최종의 답을 이끌어내기 위해 거쳐야 하는 과정 이므로, 하위 질문으로 포함시키지는 않았다. 질문과 답은 순서에 따라 번호를 부여하여 각각 , 로 표시하였다. 질문이나 답이 여러 개인 경우는 , , , 와 같이 표시하고, 답이 정리되어 표현될 때 는 와 같이 표시하였다. 여러 질문이나 답이 연결되어 있을 경우에는
화살표를 사용하여 수형도로 표현하였다.
이와 같은 방법으로 교과서 분석을 통해 가정된 SRP 다이어그램을 먼 저 그려보았다. 그 후 대표유형으로 선택한 문제를 세 교사가 수업 중에 다루었을 경우 실행된 SRP 다이어그램을 그려 가정된 SRP 다이어그램과 비교를 해봄으로서 구조적인 차이점을 살펴보았다. 이는 Winsløw(2011) 가 학생들과 실제로 활동하기 전에 SRP8)가 따를 수 있는 궤적에 관한 가설을 세우기 위해 생성 질문을 미리 조사함으로서 학생들의 프락시올 로지에 관한 어떠한 가정을 할 수 있다고 보고 가정된 SRP, 실행된 SRP 로 나누어 살펴보았던 것에 기반한 것이다.
3.4. 분석의 타당성
분석의 타당성을 확보하기 위해 같은 전공의 박사 및 박사과정 연구자 5명과 함께 총 4차의 검토를 통하여‘삼각검증’을 사용한 분석을 <표Ⅲ -7>과 같이 진행하였다.
차시 검토 내용 반영 결과
1차
-교육과정에 대한 핵심 키 워드
-교과서의 과제 추출 및 프 락시올로지 분석의 적합성
- 변화의 양상을 표로 정리하며, 공통점 과 차이점을 좀 더 명확히 보이도록 함 - 프락시올로지 분석에서 실천적 부분과
이론적 부분과의 연결 수정, 보완
2차 - 수업 분석의 적합성
- 1차의 수업 분석으로부터 수업 사례의 공통점을 찾아 생태학적 특징을 서술한 후, 교사의 수업 사례를 제시
- 교수학적 국면의 분석을 수정·보완 3차
- 교육과정 및 교과서 분석 에 대한 타당도
- 수업 분석에 대한 일치도
- 타당도 및 일치도가 높게 나타나, 분석 을 다듬으며 해석을 함.
4차 - 결론의 적합성 - 관련되는 이론적 배경을 추가 서술하여
신뢰성 높임
<표 Ⅲ-7> ‘삼각검증’ 분석
8) Winsløw(2011)는 논문에서 SRC로 표현하였으나, 용어의 일관적인 사용을 위해 이 논 문에서는 SRP로 나타내었다.