이차방정식 단원의 프락시올로지 분석

도입부에 사용된 생각열기를 살펴보면 [그림 Ⅳ-5]와 같은 일반적인 상 황이나 역사적인 수학 문제를 주고 식을 세워보도록 하거나, 식과 값을 주 고 이를 이용하여 등식을 세워보도록 하는 생각열기로 구분해볼 수 있었 다. 이 때 등식으로 나타내는 정도만 하거나, 이 식을 변형하여 (이차식)=0 의 꼴로 나타내는 것까지 해보도록 하는 정도에만 차이가 있을 뿐, 모두 이차방정식의 뜻을 설명하기 위한 상황의 도입이라는 점에서는 모든 교과 서의 생각열기 흐름은 동일했다.

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[그림 Ⅳ-5] 탐구활동(황선욱 외, 2015, p. 68; 우정호 외, 2015, p. 79; 고호경 외, 2015, p. 81)

생각열기를 바탕으로 이차방정식의 뜻과 해를 서술하고 있는데, 중학교 1학년 때 다루는 일차방정식을‘(에 대한 일차식)=0의 꼴로 나타낼 수 있 는 방정식’으로 정의하는 것과 마찬가지 방법으로 정의하고 있다. 또한, 일차방정식의 해를 정의하는 것과 같은 방법으로 방정식이 참이 되게 하는 값으로 이차방정식의 해를 [그림 Ⅳ-6]과 같이 정의하고 있다. 중등 수학에 서 다루는 방정식은 모두 같은 방법으로 정의되면서 최고차항의 차수로 방 정식의 이름이 결정됨을 알 수 있다.

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[그림 Ⅳ-6] 이차방정식의 뜻과 해(고호경 외, 2015, pp. 81-82)

이차방정식의 뜻에 대해 [그림 Ⅳ-6]처럼 정의한 후에 문자를 이용하여 이차방정식 형태를 정리하였는데 대부분의 교과서가 [그림 Ⅳ-7]의 상과 같이   의 조건을 상수로 준 반면, 2종의 교과서에서는 [그림 Ⅳ-7]의 하처럼 실수로 정의하였다. 이차방정식을 배우기 전에 다루었던 인수분해 는 그 범위가 ℤ또는 ℚ이므로, 정수 또는 유리수에서만 인수분해를 할 수 있다. 그런데, 이차방정식의 계수를 실수로 놓게 되면 다항식을 다루 는 범위가 실수(ℝ)가 되면서 ^ 의 다항식을  ^_{  }^ 와 같 이 인수분해 할 수 있다. 일반적으로 중학교에서 다루는 인수분해의 범위 는 유리수인데, 실수로 놓게 되면 무리수에서도 인수분해가 가능하기 때문 에 인수분해를 하는 범위가 애매하게 된다. 따라서 대부분의 중학교 교과 서에서 엄밀성을 탈락시켜   가 어떠한 수의 집합이 아닌 상수로 설명 하고 있다고 볼 수 있다.

[그림 Ⅳ-7] 이차방정식의 형태(정상권 외, 2015, p. 61; 우정호 외, 2015, p. 79)

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현대대수학에서 김응태, 박승안(2000a)은 다항식의 근 또는 해의 정의를 다음과 같이 제시하고 있다.

체 가 체 의 부분체일 때, 임의의 ∈와 다항식

    _ _ ⋯ _^∈

에 대하여 의 원소 _ _ ⋯ _^을   로 나타낸다. 즉,

    _ _ ⋯ _^∈

특히,     일 때, 를 에서의 다항식   의 근 또는 해라고 한다. (p. 24)

현대대수학에서는 따로 방정식을 정의하지 않고, 다항식으로 풀어나간다.

따라서 다항식을 먼저 정의하고 그 값이 0이 되는 것으로서 근 또는 해를 설명하고 있다. 이때, 다항식을 이차식으로 한정하여   ^      이 되는 를 구하는 것은 결국 중학교에서 정의하는 해의 의미에 따라 이 차방정식의 의 값에 수를 대입하여 0이 되는 것을 찾는 것과 같다. 이러 한 학문적 정의에 따라 중학교 1학년 때 배우는 일차방정식이나 고등학교 때 배우는 삼차, 사차방정식의 해도 같은 방법으로 정의가 되는 것이다.

특히, 대학 수학에서는 다항식 의 해로 개념을 설명하고 있기 때문 에 방정식이 아닌 다항식의 풀이로 설명한다. 이때, 다항식의 해로부터 주 어진 체에서 인수분해를 하는 것은 다항식이 기약인지 가약인지를 구별하 게 하며, 기약 다항식은 그것의 근을 포함한 새로운 체로의 확장을 가능하 게 하여 수를 확대하기 때문에 매우 중요하다. 최상기(2013, p.186)는 ‘다 항식에 관한 이해와 계산도구는 방정식의 풀이를 위해 필요하다. 가

의 기약다항식일 때, ／에 갈루아이론을 적용하여 방정식

  의 근을 이해할 수 있고, 또 거듭제곱근(^{ })으로 방정식의 근을 나타낼 수 있는지 판정할 수 있다,’라고 하며 다항식에 대한 이해가 매우 중요함을 강조하고 있다.

중등 수학에서 이차방정식을 정의한 보조단에 이차식과 이차방정식에 대 한 구분을 해주고 있다. 대학 수학에서는 이차방정식에 대한 설명 없이 이 차식만 있으면 되지만, 중등 수학에서는 다항식을 좀 더 세분화시켜 다항 식과 방정식을 각각 정의하고 있기 때문에, 이와 같은 참고 사항이 유의미

- 83 - 하다.

교과서의 문제의 유형을 분류하기 위해 이차방정식의 뜻과 해에 대해 교 과서에서 다루고 있는 본문의 예제나 문제를 정리하면 <표 Ⅳ-6>과 같다.

과제 유형 A B C D E F G H I J K L M

이 차 방 정 식 개 념 (C)

뜻 (D)

C-D-1.이차방정식을

모두 찾아라. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C-D-2.그 외 √

해 (R)

C-R-1. (의 값이 여 러 개 주어지고) 이차 방정식의 해를 모두 구하여라./풀어라.

1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

C-R-2. (의 값이 한 개 주어지고) 주어진 수가 이차방정식의 해 인 것을 찾아라.

1 1 2 1 1 1 1 1

<표 Ⅳ-6> 이차방정식 뜻과 해에 관한 과제 유형별 분류

이차방정식을 모두 찾는(C-D-1) 과제는 모든 교과서에서 제시되고 있었 다. 이차방정식의 해를 구하는 과제 중에 의 값이 여러 개 주어지고, 이 차방정식의 해를 모두 구하는 과제(C-R-1)는 1종의 교과서를 제외하고 모 든 교과서에서 제시되고 있었으며, 의 값이 한 개만 주어지고, 주어진 수 가 이차방정식의 해인 것을 찾으라는 과제(C-R-2)는 8종의 교과서에서만 제시되고 있었다. C-D-2로 분류된 과제는‘다음 이차방정식을

^     의 꼴로 나타낼 때, 상수   의 값을 각각 써 보아라.’,

‘방정식       ^은 가 어떤 수일 때, 이차방정식이 되는지 말하여라.’,‘(문장을 주고) 다음을 구하여라(식을 세워라).’로서 1종(M)의 교과서에서 유일하게 제시된 과제이기 때문에 분석할 과제의 유형으로 포 함시키지 않았다.

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정리하면, C-D-2로 분류된 과제를 제외하고, C-D-1의 과제를 _으로, C-R-1과 C-R-2의 과제를 _로 하여 교과서에 제시된 이차방정식의 뜻과 해에 관한 과제 유형을 두 가지 형태로 분류할 수 있다.

_: 이차방정식을 모두 찾아라.

_: 이차방정식의 해를 구하여라.

_ 중의 하나로 주어진 방정식 중에 이차방정식을 찾는 다음의 과제를 살펴보자.

_: 다음 중 이차방정식을 모두 찾아라(우정호 외, 2015, p. 79).

(1) ^   (2) ^      (3)      (4)  ^ ^

_의 과제에 대한 테크닉은 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여‘=0’

꼴로 나타낸 후 좌변을 정리한 식이 이차식임을 살펴보면 된다. 예를 들어, (4)의 경우는   ^ ^ , ^     ^ ,      이므로 이차 방정식이 아니다. 이때, 사용된 수학적 개념은 이항, 이차식에서 동류항 계 산, 전개이다.

이차방정식 해에 관한 부분에서는‘해’라는 개념을 이해하도록 하기 위 해 의 값을 몇 개로 한정하여 제시하고 있다. 그러나 일반적으로 이차방 정식의 해의 범위에 대해 우정호 외(2015, p. 80)는 <참고>로 ‘에 관한 이차방정식에서 의 값의 범위가 주어지지 않을 때에는 실수 전체를 그 범위로 생각한다’와 같이 서술하면서 이차방정식의 해의 범위가 실수임을 제시하고 있는 교과서도 있었다.

_의 과제는 두 가지 형태로 살펴볼 수 있는데, 그 중 한 가지는 의 값 을 몇 개주고 이차방정식을 푸는 다음과 같은 유형의 과제이다. 동사는

‘풀어라’또는‘해를 모두 구하여라’로 제시되어 있다.

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_: 의 값이       일 때, ^    을 풀어라. (고호경 외, 2015, p. 82)

이 과제에 대한 테크닉은 주어진 수를 에 대입하여 방정식이 참이 되 는 값을 찾으면 된다. 이러한 유형의 문제에 대한 교과서의 풀이를 보면 표를 이용하여 등식의 참, 거짓으로 해를 찾고 있었다. 이와 같은 테크닉에 대한 테크놀로지는 수를 대입하여 그 값이 0이 될 때의 값이 다항식 

의 근 또는 해가 된다는 해의 정의가 된다.

_에 대한 또 다른 과제는 의 값을 한 개 주고, 주어진 수가 이차방정 식의 해인지 알아보는 것이다.

_: 다음 [ ]안의 수가 주어진 이차방정식의 해인지 알아보아라. (정상권 외, 2015, p. 62)

(1)        [3] (2) ^      [2]

이 과제는 _과 비슷한 형태이지만 의 값을 한 개만 제시하고 있다는 점에서 차이가 있다. 이는 주어진 수만 대입하여 참이 되는지 판단하는 것 으로 _과 같은 테크닉, 테크놀로지를 사용하게 된다. _, _에 대한 프락 시올로지 분석을 정리하면 <표 Ⅳ-7>과 같다.

과제 유형 테크닉 테크놀로지 이론

_ 이차방정식을 모두 찾아라.

등식의 모든 항을 좌변 으로 이항하여 ‘=0’꼴로 나타낸 후 좌변의 식의 차수로 판별

다항식 정의 다항식환

_ 이차방정식의 해를 구하여라.

주어진 수를 에 대입 하여 방정식이 참이 되 는 값 찾기

다항식 

의 근 또는 해 의 정의

다항식환

<표 Ⅳ-7> 이차방정식의 뜻과 해에 관한 프락시올로지

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_의 과제 중에 _와 같은 과제는 주어진 수가 해인지 아닌지 판단하는 정도만 그치고, 이차방정식의 해가 두 개라는 것에 대한 직관을 제시해주 지는 못한다. 반면, _과 같이 주어진 의 값의 범위 안에서 해가 두 개인 문제를 제시해주는 경우는 이차방정식의 해가 한 개가 아님을 직관적으로 이해할 수 있다. [그림 Ⅳ-8]과 같이 교과서의‘생각해볼 코너’에서 수를 한 개 대입해서 해를 찾아보고, 다른 해가 없는지 질문을 던져봄으로서 이 차방정식의 해가 한 개가 아님을 암시하고 있는 문제도 있다.

[그림 Ⅳ-8] 해에 관한 ‘생각해볼 코너’(강옥기 외, 2015, p. 72)

중학교 1학년 때 배우는 일차방정식은 유리수 범위에서 해가 많아야 1 개, 3학년 때 배우는 이차방정식은 실수 범위에서 해가 많아야 2개이지만 복소수 범위에서는 일차방정식과 이차방정식 모두 근을 각각 1개씩, 2개씩 갖는다. 특히 수의 범위를 복소수까지 확장하여 다루는 고등학교에서는 삼 차, 사차방정식에서는 해가 각각 3개, 4개가 된다. 물론 교과서에 이러한 설명이 참고사항으로 나오고, 실근의 개수는 그래프 개형을 들어 경우를 나눠 일반화하지만, 복소수 범위에서 근의 개수를 직접적으로 언급하고 있 지는 않다. 그러나 어떤 방정식이라도 복소수 범위에서는 반드시 근을 갖 는다는 것을 함의하고 있다. 이와 같은 다항식의 근의 존재성은‘차 방정 식은 복소수 체 ℂ에서 반드시 근을 가진다,  ≥ 차의 임의의 다항식