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정답 및 해설Ⅳ. 도형의 성질
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1. 아래 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이고,
∠ B = 60 ° 이다. 다음은 AI, CI 의 연장선이 BC, AB 와 만나는 점을 각각 D, E 라 할 때,
∠IEA +∠IDC 의 크기를 구하는 과정이다. ①~⑤의
□ 안에 들어갈 각의 크기로 옳지 않은 것은?
∠ B = 60 ° 이므로 ∠A+∠ C = ① 점 I 는 △ABC 의 내심이므로
∠ IAC +∠ICA = ∠IAE+∠ICD = ②
……㉠
∴ ∠AIC = 180 ° - ② = ③ 한편, △IEA 와 △ICD 에서
∠ IAE +∠IEA = ∠AIC = ③
∠ ICD +∠IDC = ∠AIC = ③ 이므로
∠ IAE +∠IEA +∠ICD +∠IDC = ④ ( ∠ IAE +∠ICD) +( ∠IEA +∠IDC) = ④
……㉡
㉠ , ㉡ 에서
② +∠IEA+∠IDC = ④
∴ ∠IEA+∠IDC = ⑤
① 120 ° ② 60 ° ③ 120 °
④ 200 ° ⑤ 180 °
(답) ④
(풀이) ① ∠A +∠ C = 180 °- ∠B
= 180 ° - 60 ° = 120 °
② ∠ IAE +∠ ICD = 1
2( ∠ A +∠C )
= 1
2 ×120 ° = 60 °
④ 120 ° + 120 ° = 240 °
2. 다음은 삼각형의 외심과 내심에 관한 설명이다. 옳지 않은 것은?
① 내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이다.
② 예각삼각형은 삼각형의 내부에 외심이 있다.
③ 외심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
④ 삼각형의 내심에서 삼각형의 각 변에 수선을 그으면 각 변이 이등분된다.
⑤ 직각삼각형은 빗변 위에 외심이 있다.
(답) ④
(풀이) ④ 삼각형의 외심에서 삼각형의 각 변에 수선을 그으면 각 변이 이등분된다.
3. 다음 그림과 같이 ∠ C = 90 ° 인 직각삼각형 ABC 에서 점 M 은 AB 의 중점이고 AB = 16 cm ,
∠ B = 50 ° 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① CM = 8 cm
② ∠ MCB = 40°
③ ∠ AMC = 100°
④ △AMC 는 이등변삼각형이다.
⑤ 점 M 은 △ABC 의 외심이다.
(답) ②
(풀이) 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로
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점 M 은 △ABC 의 외심(⑤)이다.
즉, AM = BM = CM 이므로 CM = 1
2 AB = 1
2 ×16 = 8 ( cm) (①)
△MBC 에서 MB = MC 이므로
∠ MCB = ∠MBC = 50 °
∴ ∠ AMC = 50 ° +50 ° = 100 ° (③)
또 AM = CM 이므로 △AMC 는 이등변삼각형(④)이 다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
4. 다음 그림에서 점 O 는 △ABC 의 외심이다.
∠OBA = 18 ° , ∠ OCA = 22° 이고 OC = 36 cm 일 때, ⁀의 길이는?BC
① 4 π cm ② 6 π cm ③ 8 π cm
④ 12 π cm ⑤ 16 π cm
(답) ⑤
(풀이) ∠ OAB = ∠OBA = 18 ° ,
∠ OAC = ∠OCA = 22° 이므로
∠ BAC = 18 °+22 ° = 40 ° 점 O 가 △ABC 의 외심이므로
∠ BOC = 2∠BAC = 2×40 ° = 80 °
∴ ⁀ = 2π×36× 80BC
360 = 16 π ( cm)
5. 다음 그림과 같이 두 점 A , B 를 지나는 직선 l 과 두 점 C , D 를 지나는 직선 m 은 서로 평행하다. AD 와
BC 의 교점을 E , △AEB 의 내심을 I , △ECD 의 외심을 O 라 할 때, ∠ BIE 의 크기는?
① 122 ° ② 122.5 ° ③ 123 °
④ 123.5 ° ⑤ 124 °
(답) ④
(풀이) 점 O 가 △ ECD 의 외심이므로
∠ OCD = ∠ODC = 35 ° 이때 l // m 이므로
∠ ABE = ∠ECD = 23 ° +35 ° = 58 ° 점 I 가 △AEB 의 내심이므로
∠ IBE = 1
2 ∠ABE = 1
2 ×58 ° = 29 °
△OCD 에서
∠ COD = 180 ° -( 35 °+ 35 °) = 110 °
∴ ∠ CED =1
2 ∠COD =1
2 ×110 ° = 55 ° 이때 ∠ AEB = ∠CED (맞꼭지각)이고
∠ IEB = 1
2 ∠AEB = 1
2 ×55 ° = 27.5 ° 따라서 △IEB 에서
∠ BIE = 180 ° - ( 29 ° +27.5 °) = 123.5 °
6. 다음 그림에서 점 O 는 △ABC 의 외심이고, 점 D 는 AO 의 연장선과 BC 의 교점이다. ∠OAC = 22° ,
∠ C = 45° 일 때, ∠BOD의 크기는?
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① 90° ② 95° ③ 100°
④ 105° ⑤ 110°
(답) ① (풀이)
OC 를 그으면 점 O 는 △ABC 의 외심이므로
∠ OCA = ∠OAC = 22°
∠ OBC = ∠OCB = 45°-22° = 23°
또, △ADC 에서 ∠ADB = 22°+45° = 67°
∴ ∠ BOD = 180° -( 23°+67°) = 90°
7. 다음 중 옳지 않은 것은?
① 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.
② 삼각형의 내심은 항상 삼각형의 내부에 있다.
③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.
④ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
⑤ 내심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
(답) ⑤
(풀이) ⑤ 삼각형의 외심의 성질이다.
8. 다음 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이다.
∠ C = 72° 이고 ∠IAB = 24° 일 때, ∠IBA의 크기를 구하여라.
(답) 30°
(풀이) ∠ AIB = 90° + 1
2 ×72° = 126°
△IAB 에서 ∠ IBA = 180 °- (24° +126°) = 30°
9. 다음 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이고 DE // BC 이다.
AB = 10 cm , AC = 12 cm 일 때, △ADE 의 둘레 의 길이를 구하여라.
(답) 22 cm (풀이)
점 I 가 △ABC 의 내심이므로 ∠DBI = ∠IBC DE // BC 이므로 ∠DIB = ∠ IBC (엇각) 따라서 ∠DBI = ∠ DIB 이므로 DB = DI 마찬가지 방법으로 EI = EC
∴ ( △ADE 의 둘레의 길이)
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= AD + DI + EI + AE
= AB+ AC
= 10+ 12 = 22 ( cm)
10. 다음 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이다. △ABC 의 둘레의 길이가 28 cm 이고 넓이가 42 cm 2일 때, 내 접원의 반지름의 길이 r 의 값을 구하여라.
(답) 3 cm (풀이) 1
2( AB + BC + CA)r = 42 , 1
2 ×28×r = 42 ∴ r = 3 ( cm)