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정답 및 해설

Ⅳ. 도형의 성질

청담초등학교 홍길동

수학

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1. 아래 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이고,

∠ B = 60 ° 이다. 다음은 AI, CI 의 연장선이 BC, AB 와 만나는 점을 각각 D, E 라 할 때,

∠IEA +∠IDC 의 크기를 구하는 과정이다. ①~⑤의

□ 안에 들어갈 각의 크기로 옳지 않은 것은?

∠ B = 60 ° 이므로 ∠A+∠ C = ① 점 I 는 △ABC 의 내심이므로

∠ IAC +∠ICA = ∠IAE+∠ICD = ②

……㉠

∴ ∠AIC = 180 ° - ② = ③ 한편, △IEA 와 △ICD 에서

∠ IAE +∠IEA = ∠AIC = ③

∠ ICD +∠IDC = ∠AIC = ③ 이므로

∠ IAE +∠IEA +∠ICD +∠IDC = ④ ( ∠ IAE +∠ICD) +( ∠IEA +∠IDC) = ④

……㉡

㉠ , ㉡ 에서

② +∠IEA+∠IDC = ④

∴ ∠IEA+∠IDC = ⑤

① 120 ° ② 60 ° ③ 120 °

④ 200 ° ⑤ 180 °

(답) ④

(풀이) ① ∠A +∠ C = 180 °- ∠B

= 180 ° - 60 ° = 120 °

② ∠ IAE +∠ ICD = 1

2( ∠ A +∠C )

= 1

2 ×120 ° = 60 °

④ 120 ° + 120 ° = 240 °

2. 다음은 삼각형의 외심과 내심에 관한 설명이다. 옳지 않은 것은?

① 내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이다.

② 예각삼각형은 삼각형의 내부에 외심이 있다.

③ 외심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

④ 삼각형의 내심에서 삼각형의 각 변에 수선을 그으면 각 변이 이등분된다.

⑤ 직각삼각형은 빗변 위에 외심이 있다.

(답) ④

(풀이) ④ 삼각형의 외심에서 삼각형의 각 변에 수선을 그으면 각 변이 이등분된다.

3. 다음 그림과 같이 ∠ C = 90 ° 인 직각삼각형 ABC 에서 점 M 은 AB 의 중점이고 AB = 16 cm ,

∠ B = 50 ° 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① CM = 8 cm

② ∠ MCB = 40°

③ ∠ AMC = 100°

④ △AMC 는 이등변삼각형이다.

⑤ 점 M 은 △ABC 의 외심이다.

(답) ②

(풀이) 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로

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정답 및 해설

Ⅳ. 도형의 성질

청담초등학교 홍길동

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점 M 은 △ABC 의 외심(⑤)이다.

즉, AM = BM = CM 이므로 CM = 1

2 AB = 1

2 ×16 = 8 ( cm) (①)

△MBC 에서 MB = MC 이므로

∠ MCB = ∠MBC = 50 °

∴ ∠ AMC = 50 ° +50 ° = 100 ° (③)

또 AM = CM 이므로 △AMC 는 이등변삼각형(④)이 다.

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

4. 다음 그림에서 점 O 는 △ABC 의 외심이다.

∠OBA = 18 ° , ∠ OCA = 22° 이고 OC = 36 cm 일 때, ⁀의 길이는?BC

① 4 π cm ② 6 π cm ③ 8 π cm

④ 12 π cm ⑤ 16 π cm

(답) ⑤

(풀이) ∠ OAB = ∠OBA = 18 ° ,

∠ OAC = ∠OCA = 22° 이므로

∠ BAC = 18 °+22 ° = 40 ° 점 O 가 △ABC 의 외심이므로

∠ BOC = 2∠BAC = 2×40 ° = 80 °

∴ ⁀ = 2π×36× 80BC

360 = 16 π ( cm)

5. 다음 그림과 같이 두 점 A , B 를 지나는 직선 l 과 두 점 C , D 를 지나는 직선 m 은 서로 평행하다. AD 와

BC 의 교점을 E , △AEB 의 내심을 I , △ECD 의 외심을 O 라 할 때, ∠ BIE 의 크기는?

① 122 ° ② 122.5 ° ③ 123 °

④ 123.5 ° ⑤ 124 °

(답) ④

(풀이) 점 O 가 △ ECD 의 외심이므로

∠ OCD = ∠ODC = 35 ° 이때 l // m 이므로

∠ ABE = ∠ECD = 23 ° +35 ° = 58 ° 점 I 가 △AEB 의 내심이므로

∠ IBE = 1

2 ∠ABE = 1

2 ×58 ° = 29 °

△OCD 에서

∠ COD = 180 ° -( 35 °+ 35 °) = 110 °

∴ ∠ CED =1

2 ∠COD =1

2 ×110 ° = 55 ° 이때 ∠ AEB = ∠CED (맞꼭지각)이고

∠ IEB = 1

2 ∠AEB = 1

2 ×55 ° = 27.5 ° 따라서 △IEB 에서

∠ BIE = 180 ° - ( 29 ° +27.5 °) = 123.5 °

6. 다음 그림에서 점 O 는 △ABC 의 외심이고, 점 D 는 AO 의 연장선과 BC 의 교점이다. ∠OAC = 22° ,

∠ C = 45° 일 때, ∠BOD의 크기는?

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정답 및 해설

Ⅳ. 도형의 성질

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① 90° ② 95° ③ 100°

④ 105° ⑤ 110°

(답) ① (풀이)

OC 를 그으면 점 O 는 △ABC 의 외심이므로

∠ OCA = ∠OAC = 22°

∠ OBC = ∠OCB = 45°-22° = 23°

또, △ADC 에서 ∠ADB = 22°+45° = 67°

∴ ∠ BOD = 180° -( 23°+67°) = 90°

7. 다음 중 옳지 않은 것은?

① 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.

② 삼각형의 내심은 항상 삼각형의 내부에 있다.

③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.

④ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.

⑤ 내심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

(답) ⑤

(풀이) ⑤ 삼각형의 외심의 성질이다.

8. 다음 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이다.

∠ C = 72° 이고 ∠IAB = 24° 일 때, ∠IBA의 크기를 구하여라.

(답) 30°

(풀이) ∠ AIB = 90° + 1

2 ×72° = 126°

△IAB 에서 ∠ IBA = 180 °- (24° +126°) = 30°

9. 다음 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이고 DE // BC 이다.

AB = 10 cm , AC = 12 cm 일 때, △ADE 의 둘레 의 길이를 구하여라.

(답) 22 cm (풀이)

점 I 가 △ABC 의 내심이므로 ∠DBI = ∠IBC DE // BC 이므로 ∠DIB = ∠ IBC (엇각) 따라서 ∠DBI = ∠ DIB 이므로 DB = DI 마찬가지 방법으로 EI = EC

∴ ( △ADE 의 둘레의 길이)

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Ⅳ. 도형의 성질

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= AD + DI + EI + AE

= AB+ AC

= 10+ 12 = 22 ( cm)

10. 다음 그림에서 점 I 는 △ABC 의 내심이다. △ABC 의 둘레의 길이가 28 cm 이고 넓이가 42 cm 2일 때, 내 접원의 반지름의 길이 r 의 값을 구하여라.

(답) 3 cm (풀이) 1

2( AB + BC + CA)r = 42 , 1

2 ×28×r = 42 ∴ r = 3 ( cm)

참조

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