(1)지수함수와 로그함수

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(1)지수함수와 로그함수. 너트. 아름다운 선율과 화음을 들려주는 현악기에서 고정된 현의 음높이는 현의 길이에 따라 결정된다. 기타 연주자는 프렛(GSFU) 사이를 손가락으로 짚어 현의 길이를 조정하여 연주한다. 현이 시작되는 브리지(CSJEHF). 지판 프렛. 에서 각 프렛까지의 길이에 따라 음높이가 정해지는데, 프렛의 간격은 AA 배씩 늘어난다. 음높이를 결정하는 프렛의 위치에는 지수와 로그가 적용되어 있다. 출처 Dover, R., Harless, P., 「Don’t fret over exponential functions」. 포지션 마크. 브리지. 준비 학습 ●지수법칙, 로그의 성질. 1 다음 식을 간단히 하시오.. 자신 있음 복습 필요. ●역함수 자신 있음 복습 필요. 36 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. A ÃBA>A 단, B. AÃÂBAA@AÃÂBAA. ⑴ AA . ⑵. ⑶ MPHAAMPHA. ⑷ MPHA@MPHA@MPHA. 2 일차함수G Y ÅY

(2) 의 역함수가GA Y BY

(3) C일 때, 상수 B, C의 값을 각각 구하시오..

(4) 지수함수의 뜻과 그래프 학습 목표 •지수함수의 뜻을 안다. •지수함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이해한다.. 개념. 1. ḧᙿ⧏ᙿ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 몇 장의 사진을 이용하여 동영상을 만드는 프로그램 이 있다. 이 프로그램은 재생 속력에 따라 초 동안 재생하는 사진의 장수를 변화시키는 방식으로 동영상 을 만드는데, 재생 속력이 씩 커질 때마다 초 동안 재생하는 사진의 장수는 배씩 증가한다고 하자. 물음에 답하여 보자.. 1. 2. 이 프로그램의 재생 속력에 따라 초 동안 재생하는 는 사진의 장수를 나타낸 표를 완성해 보자. 보자 재생 속력. . . 초 동안 재생하는 사진의 장수. . . . . . . . 이 프로그램에서 재생 속력 Y를 선택했을 때, 초 동안 재생하는 사진의 장수를 Z라고 하자. Y와 Z 사이의 관계를 식으로 나타내 보자.. 임의의 실수 Y에 Y을 대응시키는 관계를 생각해 보자. 실수 Y에 Y을 대응시키면 Y의 값에 따라 Y의 값은 하나로 정해지므로 이 대응은 함수이다. 이 함수를 ZY으로 나타낸다. 이때 이 함수의 정의역은 실수 전체의 집합 이다.. 지수함수 ZB Y에서 지수 가 실수일 때의 밑의 조건 에 따라 B일 때만 생각 한다. 이때 B이면 함수 ZB Y은 상수함수 Z이 되므로 B일 때는 제외 한다.. B이고 B

(5) 일 때, 실수 Y에 BY을 대응시키면 Y의 값에 따라 BY의 값은 하나로 정해지므로 이 대응은 함수이다. 이 함수를 ZBY으로 나타낸다. 이때 이 함수의 정의 역은 실수 전체의 집합이다. 이와 같이 정의역이 실수 전체의 집합인 함수 ZBY B, B

(6) . 을 밑이 B인 지수함수라고 한다. 2. 지수함수와 로그함수 │ 37.

(7) 문제. 1. 다음 중 지수함수인 것을 모두 찾으시오. Y. ⑴ ZY. 2. 개념. ⑶ Z[Å]. ⑵ ZYA. . ⑷ Z[:Å]. . ḧᙿ⧏ᙿᮿɟ௿⥫ᪧɟᖘḯᮧᨛਇ⧇ʳ" 지수함수 ZY의 그래프를 그려 보자. 실수 Y의 여러 가지 값에 대응하는 Z의 값을 표로 나타내면 다음과 같다. Y. U. . . . . . . . U. Z. U. Å. Å. Å. . . . . U. Y, Z의 값의 순서쌍 Y, Z 를 좌표로 하는 점을 좌표평면. Z . Z. 위에 나타내고, 이를 매끄러운 곡선으로 연결하면 오른쪽 . 그림과 같이 함수 ZY의 그래프를 얻는다. 배웠어요!. 함수 ZY의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양. . 의 실수 전체의 집합이다. 이때 Y의 값이 증가하면 Z의 값도. . 고1. 점근선 그래프가 어떤 직선에 한 없이 가까워질 때, 이 직 선을 그 그래프의 점근선 이라고 한다.. 증가함을 알 수 있다. 또한, Y의 값이 감소하면 Z의 값은 양. Y. Y. 함수 ZY의 그래프를 이용하여 함수 Z[Å] 의 그래프를 그리시오.. Y. 함수 ZG Y 의 그래프와 함수 ZG Y 의 그래프 는 Z축에 대하여 서로 대 칭임을 이용한다.. . 0. 점근선은 Y축이다.. 예제. 1. . 수이면서 에 한없이 가까워지므로 함수 ZY의 그래프의. 풀이. Z. Z[Å] YY이므로. Z. Z. Y. 함수 Z[Å] 의 그래프는 함수 ZY의 그래프를 Z축에. . . 대하여 대칭이동한 것이다. Y. 따라서 함수 Z[Å] 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. 0. . Y. 풀이 참조. 문제. 2. 다음 함수의 그래프를 그리시오.. ⑴ ZY. 38 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. . ⑵ Z[Å]. Y.

(8) 지수함수 ZBY B, B

(9) 의 그래프는 B의 값에 따라 다음 그림과 같은 곡선이 된다. B. B. Z. ZB. ZB. Z B . B B . 0. B. . Y. . . 0. Y. 위의 그래프에서 지수함수 ZBY B, B

(10) 은 B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가하고, B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소함을 알 수 있다. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 지수함수 ZBY B B

(11) 의 성질. 1. 2. 3. 4.. 정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다. 그래프는 점 , 을 지난다. 그래프의 점근선은 Y축이다. B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가한다. B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소한다.. 예제. 2. 함수 ZG YN

(12) O의 그래프는 함수 ZG Y 의 그래프를 Y축의 방향으로 N만큼, Z축의 방향으로 O 만큼 평행이동한 것이다.. 함수 ZY

(13) 의 그래프를 그리시오.. 풀이. 함수 Z Y

(14) 의 그래프는 함수 Z Y의 그래프를. Z. Z. Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 따라서 함수 ZY

(15) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. Z

(16) . 0. . Y. 풀이 참조. 문제. 3. 다음 함수의 그래프를 그리시오.. ⑴ ZY

(17) . ⑵ Z Y

(18) 2. 지수함수와 로그함수 │ 39.

(19) 예제. 3. 지수함수의 성질을 이용하여 다음 두 수의 대소를 비교하시오. Å. A A, 주어진 두 수를 밑이 인 지수로 나타낸 후 지수함 수 ZY의 성질을 이용하 여 주어진 두 수의 대소를 비교한다.. 풀이. 주어진 두 수를 밑이 인 지수로 나타내면 다음과 같다.. Z. Å Å Å Å A A A , A . Z. . 지수함수 ZY의 밑이 보다 크므로 Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가한다.. . 따라서 Å에서 Å이므로 A AÅ. 0. . Y Å. A A. 문제. 4. 지수함수의 성질을 이용하여 다음 세 수를 작은 것부터 차례로 나열하시오.. , mA, Å . 예제. 4. 주어진 정의역에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.. 정의역이 \Y]Y^인 함수 ZY

(20) 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하 시오.. 풀이. 함수 ZY

(21) 의 그래프는 함수 ZY의 그래프를 Y축의. Z. 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이. . Zt. 므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 함수는 Y일 때, 최솟값 Y일 때, 최댓값 . . 0 . 를 가진다.. Y. . 최댓값: , 최솟값: . 문제. 5. 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.. ⑴ 정의역이 \Y]Y^인 함수 ZY ⑵ 정의역이 \Y]Y^인 함수 Z[Å]. 40 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. Y

(22) .

(23) .

(24) 로그함수의 뜻과 그래프 학습 목표 •로그함수의 뜻을 안다. •로그함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이해한다.. 개념. 1. ೃɟ⧏ᙿ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기 역함수가 존재할 조건은 무엇일까?. 지수함수 ZY의 역함수가 존재하는지 재하는지 생각해 보자. 지수함수 ZY의 역함수가 존재할까?. 함수 GA:9A ZAA:가 일대일 대응일 때, 역함수 AGA:A:A ZA9가 존재한다.. 위의 생각 열기에서 지수함수 ZY은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합 으로의 일대일대응이므로 역함수가 존재한다. 지수함수 ZBY B, B

(25) 은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로 의 일대일대응이므로 역함수가 존재한다. 이 역함수를 구해 보자. ZBY에서 YMPHBAZ 이므로 이 식에서 Y와 Z를 서로 바꾸면 ZBY의 역함수 ZMPHBAY B, B

(26) . 를 얻는다. 이 함수를 밑이 B인 로그함수라고 한다. 로그함수 ZMPHBAY B, B

(27) 는 지수함수 ZBY의 역함수이므로 정의역은 양 의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다.. 문제. 1. 다음 중 로그함수인 것을 모두 찾으시오.. ⑴ ZYAMPHA. ⑵ ZMPHA. ⑶ ZMPHAY. ⑷ ZMPHAY 2. 지수함수와 로그함수 │ 41.

(28) 개념. 2. ೃɟ⧏ᙿᮿɟ௿⥫ᪧɟᖘḯᮧᨛਇ⧇ʳ" 로그함수 ZMPHAY는 지수함수 ZY의 역함수이므로. Z Z. ZY. 함수 ZMPH AY의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 함수 함수 ZG Y 의 그래프와 그 역함수 ZGA Y 의 그래프는 직선 ZY에 대 하여 서로 대칭이다.. ZY의 그래프를 직선 ZY에 대하여 대칭이동한 것이. . 다. 이때 함수 ZMPHAY의 정의역은 양의 실수 전체의 집. ZMPHmAY Y. 0 . 합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다. 또, 함수 ZMPHmAY 의 그래프의 점근선은 Z축이다.. B, B

(29) 일 때, 로그함수 ZMPHBAY의 그래프는 지수함수 ZBY의 그래프와 직 선 ZY에 대하여 대칭이므로 B의 값에 따라 다음 그림과 같은 곡선이 된다.. B. Z ZB. B. ZY. B. ZB. Z ZMPHbAY ZY. ZMPHbAY. . B 0. . B. Y. 0B . Y. 위의 그래프에서 로그함수 ZMPHBAY B, B

(30) 는 B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가하고, B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소함을 알 수 있다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 로그함수 ZMPHBAY B, B

(31) 의 성질. 1. 2. 3. 4.. 정의역은 양의 실수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합이다. 그래프는 점 , 을 지난다. 그래프의 점근선은 Z축이다. B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가한다. B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소한다.. 문제. 2. Y. 함수 ZY, Z[Å] 의 그래프를 이용하여 다음 함수의 그래프를 그리시오.. ⑴ ZMPHAY. 42 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑵ ZMPHÅAYA.

(32) 예제. 1. 함수 ZMPHAY의 그래프를 이용하여 다음 함수의 그래프를 그리시오.. ⑴ ZMPHA Y. 함수 ZMPHfAY의 그래프 와 함수 ZMPHfA Y 의 그래프의 관계를 파악한다.. 풀이. ⑵ ZMPHA Y

(33) . ⑴ 함수 ZMPHA Y 의 그래프는 함수 ZMPHAY 의 그래프를 Z축에 대하여 대칭이동한 것이다. 따라서 함수 ZMPHA Y 의 그래프는 오른쪽 그. Z ZMPHfA Y. 림과 같다.. . ⑵ 함수 ZMPHA Y

(34) 의 그래프는 함수. . Z. ZMPHfAY. 0 . . Y. ZMPHfA Y

(35) . ZMPHAY의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축 의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.. . 따라서 함수 ZMPHA Y

(36) 의 그래프는 오른. 0. ZMPHfAY . . Y. 쪽 그림과 같다. ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조. 문제. 3. 다음 함수의 그래프를 그리시오.. ⑴ ZMPHAY. 예제. 2. ⑵ ZMPHÅA Y

(37)

(38) . 로그함수의 성질을 이용하여 다음 두 수의 대소를 비교하시오.. AMPHA, AMPHA 주어진 두 수를 밑이 인 로그로 나타낸 후 로그함 수 ZMPHAY의 성질을 이 용하여 두 수의 대소를 비 교한다.. 풀이. 주어진 두 수를 밑이 인 로그로 나타내면 다음과 같다.. Z ZMPHmAY. AMPHAMPHA AMPHA@. MPHA MPHA @ MPHA MPHA AMPHA. 로그함수 ZMPHAY의 밑이 보다 크므로 Y의 값이 증가하면. 0. . Y. Z의 값도 증가한다. 따라서 에서 MPHAMPHA이므로 AMPHAAMPHA이다. AMPHAAMPHA. 문제. 4. 로그함수의 성질을 이용하여 다음 세 수를 작은 것부터 차례로 나열하시오.. ÅAMPHÅA, MPHÅA, MPHAA. 2. 지수함수와 로그함수 │ 43.

(39) 예제. 3. 주어진 정의역에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.. 정의역이 \Y]Y^인 함수 ZMPHA Y

(40) 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.. 풀이. Z. 함수 ZMPHA Y

(41) 의 그래프는 함수 ZMPHAY 의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으. ZMPHmA Y

(42) . 로 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. . 따라서 주어진 함수는. . 0. . Y. Y일 때, 최솟값 MPHA

(43) Y일 때, 최댓값 MPHA

(44) 를 가진다. 최댓값: , 최솟값: . 문제. 5. 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.. ⑴ 정의역이 \Y]Y^인 함수 ZMPHA Y

(45) ⑵ 정의역이 \Y]Y^인 함수 ZMPHÅA Y

(46) . 문제 해결. 생각과 표현. 추론. 창의・융합. 다음 대화를 보고, 함수 ZMPHAYA 의 그래프를 그리고, 함수 ZAMPHAY의 그래프와 비교해 보자. 함수 ZMPHAY 의 그래프는 어떻게 그릴까?. 44 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 각각의 정의역을 생각해 보면 …. 함수 ZAMPHAY의 그래프랑 똑같겠지.. 의사소통.

(47) 수학 들여다 보기. 공학 도구. 개념 탐구 하. ḧᙿ⧏ᙿᮿɟ௿⥫ᪧೃɟ⧏ᙿᮿɟ௿⥫. 중. 상. 난이도. 지수함수 ZY과 로그함수 ZMPHAY는 서로 역함수 관계이므로 지수함수 ZY의 그 래프와 로그함수 ZMPHAY의 그래프는 직선 ZY에 대하여 서로 대칭이다. 이것을 컴퓨터 프로그램을 사용하여 확인해 보자.. 활동. ❶ 입력 창에 ‘y=2^x’를 입력하여 지수함수. ❷ 입력 창에 ‘y=log(2, x)’를 입력하여 로그함수. Y. Z 의 그래프를 그린다. Z▲. ZMPHmAY의 그래프를 그린다. Z▲. ZY. ZY. ZMPHAY 0. 입력:. Y. 0. y=2^x. 입력:. y=log(2, x). ❹ 지수함수 ZY의 그래프와 직선 ZY를 차. ❸ 입력 창에 ‘y=x’를 입력하여 직선 ZY를 그린 다음. ▲. ▲. Y. 례로 선택하면 Z Y의 역함수의 그래프를. 직선에 대하여 대칭을 누른다.. 얻을 수 있다. 이때 이 역함수의 그래프가 로 그함수 ZMPHmAY의 그래프와 일치하는 것을 확인할 수 있다. Z ▲ ZY. Z ▲ ZY. ZY. ZMPHAY. ZMPHAY. ▲. 입력:. ▲. 0. ZY. Y. 0. Y. y=x. Y. 탐구. 컴퓨터 프로그램을 사용하여 지수함수 Z[Å] 의 역함수의 그래프가 로그함수 ZMPHÅAY의 그래프 와 일치하는지 확인해 보자.. 2. 지수함수와 로그함수 │ 45.

(48) 지수함수와 로그함수의 활용 학습 목표 •지수함수와 로그함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.. 개념. 1. ḧᙿᨷၟḧᙿgᯯ‫ۻ‬႐ᱼᝄţᇧक़ᝄᮧᨛਢó⣧ʳ". 생각 열기. 국수는 밀가루 반죽의 양 끝을 잡고 늘였다 접기를 반복하여 가닥의 수를 늘려 가는 손작업을 통해 만들 수 있다. 처음 한 가닥이었던 밀가루 반죽 을 늘였다가 한 번 접으면 가닥이 되고, 다시 이것을 늘였다가 접으면 가닥이 된다. 이와 같이 밀가루 반죽을 늘였다가 접는 라고 것을 반복하여 Y번 접었을 때, 국수 가닥의 수를 Z라고 하면 ZY이다. 가닥의 국수를 만들었을 때, 밀가루 반죽을 몇 번 접은 것인지 말하여 보자.. 지수함수 ZBY B, B

(49) 은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 다음이 성립한다. B, B

(50) 일 때, BYBYm 11 YY. Y. 이를 이용하여 방정식 Y, [Å] Å과 같이 지수에 미지수가 있는 방정식을 풀 수 있다. 좌변과 우변에 있는 거듭 제곱의 밑을 서로 같게 만 든 후 지수를 비교한다.. 보기. ⑴ 방정식 Y에서 A 이므로 YA 밑이 같으므로 Y Y. . Y. ⑵ 방정식 [Å] Å에서 Å[Å] 이므로 [Å] [Å] 밑이 같으므로 Y. 문제. 1. 다음 방정식을 푸시오. Y. ⑴ [Å] . 46 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑵ YY. .

(51) 지수에 미지수가 있는 부등 식을 풀 때에는 밑에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있다는 것에 유의한다. B. Z BY BY. 지수함수 ZBY B, B

(52) 은 B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가하고, B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소하므로 다음이 성립한다. Y Ym 1. B일 때, B B 11 YY Y Ym 2. B일 때, B B 11 YY. ZB. . Y. 0 Y Y. 이를 이용하여 부등식 Y, [Å] Å과 같이 지수에 미지수가 있는 부등식을 풀. Y. 수 있다.. B Z. ZB. BY BY. 보기. . ⑴ 부등식 Y에서 YA이고, 밑이 보다 크므로 Y Y. Y. . ⑵ 부등식 [Å] Å에서 [Å] [Å] 이고, 밑이 보다 작은 양수이므로 Y Y Y 0. Y. 문제. 2. 다음 부등식을 푸시오.. ⑴ Y

(53) . 개념. 2. ⑵ [Å]. Y. Y

(54) . y[]. ೃɟᮿḫᙿᨷၟḧᙿgᯯ‫ۻ‬႐ᱼᝄţᇧक़ᝄᮧᨛਢó⣧ʳ" 로그함수 ZMPHBAY B B

(55) 는 양의 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합 으로의 일대일대응이므로 다음이 성립한다.. B, B

(56) 이고, Y, Y일 때 Q 1. MPHBAYQ 11 YB 2. MPHBAYMPHBAY 11 YY. 이를 이용하여 방정식 MPHAY, MPHA Y MPHA과 같이 진수에 미지수가 있 는 방정식을 풀 수 있다. 보기. ⑴ 방정식 MPHAY에서 YA 이때 는 진수의 조건 Y을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다. ⑵ 방정식 MPHeA Y MPHA에서 Y이므로 Y 이때 는 진수의 조건 Y, 즉 Y을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.. 2. 지수함수와 로그함수 │ 47.

(57) 문제. 3. 다음 방정식을 푸시오.. ⑴ MPHA Y . 진수에 미지수가 있는 부등 식을 풀 때에는 밑에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있다는 것에 유의한다.. 로그함수 ZMPHBAY B, B

(58) 는 B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가 하고, B일 때 Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소하므로 다음이 성립한다.. B. Y, Y일 때. Z MPHbAY MPHbAY 0. ⑵ MPHA Y Å. 1. B일 때, MPHBAYMPHBAY 11 YY 2. B일 때, MPHBAYMPHBAY 11 YY. ZMPHbAY. Y. Y Y. 이를 이용하여 부등식 MPHAY과 같이 진수에 미지수가 있는 부등식을 풀 수 B Z ZMPHbAY. Y. 있다.. Y Y. MPHbAY 0 MPHbAY. 보기. 부등식 MPHAY에서 MPHAYMPHA이고, 밑이 보다 크므로 Y. UU ㉠. (진수)이므로 Y. UU ㉡. 따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 Y의 값의 범위는 Y. 문제. 4. 다음 부등식을 푸시오.. ⑴ MPHÅAAY. 생각과 표현. ⑵ MPHAYyMPHA Y

(59) . 문제 해결. 추론. 창의・융합. 찬열이는 방정식 MPHA Y

(60) MPHA Y

(61) 의 해를 오. MPHmA Y

(62) MPHmA Y

(63) Ṡ᦬. 른쪽과 같이 구하였다. 풀이 과정에서 잘못. MPHmA Y Y

(64) . 된 부분을 찾아 바르게 고쳐 보자. 그리고 진. Y Y

(65) A YA YA. 수에 미지수가 있는 방정식을 풀 때 주의해 야 할 점을 이야기해 보자.. 48 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. YຠତY. වဌ᦬ᒹ₥᭭Ῠ⸄ତYຠତY. 의사소통.

(66) 3. 개념. ᝋᕄ⫃ᨷᖃḧᙿ⧏ᙿᪧೃɟ⧏ᙿ෣ᨛਢó⫃ᬐ⧇ʳ" 지수함수와 로그함수를 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.. 예제. 1. 품질이 우수한 쌀을 생산하기 위해서 수분 함량이 정도일 때 벼를 수확하여 수분 함량이 가 되도록 건조시키려고 한다. 수확할 때 수분 함량이 인 벼를 시간이 지날 때마다 남아 있는 수분의 씩 건조시키는 건조기에 넣으면 건조시킨 지 Y시간 후에 남아 있는 수분 함량은 Y. @[iz ] 이다. 이 벼를 수분 함량이 가 되도록 건조시키는 데 걸리는 시간을 구하시오.. 풀이. 출처 농촌진흥청, 2015. 건조시킨 지 Y시간 후 남아 있는 수분 함량이 라고 고하 하면 면 라고 Y. @[iz] Y. @[fz] Y. . [] Å>에서 Å>[] 이므로 Y. . [] [] , 즉 Y 따라서 수분 함량이 가 되도록 건조시키는 데 걸리는 시간은 시간이다.. 문제. 5. 시간. 세기가 B인 전파가 어떤 벽을 투과하면 세기가 Z인 전파로 바뀌고, 이때 전파의 세기가 감쇠 한 비를 ' E#이라고 하면 . ZB@. 이 성립한다고 하자. 벽을 투과한 전파의 세기가 투과하기 전 세기의 d이 되었다면 이 벽의 전파의 세기가 감쇠한 비는 몇 E#인지 구하시오. (단, MPHA로 계산한다.). 문제. 6. 어느 지역 하천의 수질은 현재 급수로 생화학적 산소 요구량 (#0%)이 이라고 한다. 이 지 역 주민들이 오염된 하천의 수질을 개선하기 위해 적극적인 운동을 벌여 #0%가 매년 씩 감소한다면 이 하천의 수질이 급수로 #0%가 이하가 되는 것은 몇 년 후인지 구하시 오. (단, MPHA로 계산한다.). 2. 지수함수와 로그함수 │ 49.

(67) 자신감을 키우는. 지수함수와 로그함수. 바탕 다지기 1 지수함수 ZB B, B

(68) 의 성질 Y. ⑴ 정의역은 실수 전체의. B Z. B. 01. 안에 알맞은 것을 써넣으시오.. ⑴ 함수 ZY

(69) 의 그래프는 함수 ZY의. 집합, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.. 다음. ZB. ZB. 그래프를 Y축의 방향으로. . ⑵ 그래프는 점 , 을. 이동한 것으로 그래프의 점근선은. Y. 0. 지난다.. 만큼 평행. 이다.. ⑶ 그래프의 점근선은 Y축이다.. ⑵ 함수 ZMPHmAY

(70) 의 그래프는 함수. ⑷ B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가한다.. ZMPHmAY의 그래프를 Z축의 방향으로. B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소. 만큼 평행이동한 것으로 그래프의 점. 한다.. 이다.. 근선은 2 로그함수 ZMPHBAY B, B

(71) 의 성질. ⑴ 정의역은 양의 실수 전. Z ZMPHbAY. B. 체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합이다.. 0. . ⑵ 그래프는 점 , 을 지난다.. Y B. 02. 다음 함수의 그래프를 그리고, 그 그래프의 점근 선을 구하시오.. ZMPHbAY. ⑴ ZY. ⑶ 그래프의 점근선은 Z축이다.. ⑵ ZMPHA Y. ⑷ B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가한다. B일 때, Y의 값이 증가하면 Z의 값은 감소 한다.. 3 지수함수의 활용. ⑴ B, B

(72) 일 때, BYBYm 11 YYm. 03. 다음 방정식을 푸시오.. ⑴ YY

(73) . ⑵ B일 때, BYBYm 11 YYm. ⑵ MPHA Y . B일 때, BYBYm 11 YYm. 4 로그함수의 활용. ⑴ B, B

(74) 이고, Y, Ym일 때 MPHBAYQ 11 YBQ MPHBAYMPHBAYm 11 YYm ⑵ Y, Ym일 때 B일 때, MPHBAYMPHBAYm 11 YYm B일 때, PHBAYPHBAYm 11 YYm. 50 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 04. 다음 부등식을 푸시오. Y. ⑴ [Å]. A. ⑵ MPHA Y MPHA Y.

(75) 정답 및 해설 162쪽. 08. 기본 익히기. 05. 지수함수의 성질을 이용하여 세 수 A, Å, A. 함수 Z Y

(76) B

(77) C. Z. Y

(78) B. Z.

(79) C. 를 작은 것부터 차례로 나열하시오.. 의 그래프가 오른 쪽 그림과 같을 때,. . 상수 B, C의 값을 각각 구하시오.. . (단, 점선은 그래프. 0. Y. 의 점근선이다.). 09. 다음 함수의 정의역이 \Y]Y^일 때, 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.. ⑴ ZY ⑵ ZMPHÅA Y

(80) . 06. 함수 ZMPHA Y

(81) B

(82) C의 그래프가 점 , 를 지나고 점근선이 직선 Y일 때, 상수 B, C의 값을 각각 구하시오.. 10. 물질의 산성 또는 염기성의 정도를 나타내는 Q) 는 수소 이온 농도를 <)

(83) >라고 할 때, Q)MPHA<)

(84) > 로 정의한다. 올해 한 도시의 빗물의 평균 Q)가 이라고 하자. 년 후 이 도시의 빗물의 평균. 07. 수소 이온 농도가 올해 빗물의 평균 수소 이온 오른쪽 그림은 함수. ZY. Z. 농도의 배라면 이때의 Q)를 구하시오.. ZMPHmAY의 그래프. (단, MPHA으로 계산한다.). 와 직선 ZY이다.. ZMPHmAY. 이때 실수 B의 값을 구하시오.. 0 . B. Y. <)

(85) > A A Q) 산성. 중성. 염기성. 확인 학습 문제│ 51.

(86) 자신감을 키우는. 11. 정답 및 해설 163쪽. 두 함수 ZG Y 와 ZMPHeA Y

(87) B 의 그래프 는 직선 ZY에 대하여 서로 대칭이다. 다음은. 14. 현재 은수의 하루 열량 섭취량은 LDBM이 다. 은수는 열량 섭취량을 매달 씩 줄여. 점 1 , 이 함수 ZG Y 의 그래프 위의 점. LDBM 이하가 되면 그 섭취량을 유지하기로. 일 때, 상수 B의 값을 구하는 과정이다.. 하였다. 열량 섭취량을 조절하기 시작한 지 몇. 안에. 개월 후부터 LDBM 이하를 유지할 수 있는지. 알맞은 것을 써넣으시오.. 구하시오. 두 함수 ZG Y 와 ZMPHA Y

(88) B 의 그. (단, MPHA, MPHA로 계산한다.). 래프가 직선 ZY에 대하여 서로 대칭이 므로 함수 ZG Y 는 함수 ZMPHA Y

(89) B 의. 이다.. 점 1 , 이 함수 ZG Y 의 그래프 위 의 점이므로 점. 는 함수. ZMPHA Y

(90) B 의 그래프 위의 점이다. 즉,. MPHA.

(91) B 에서.

(92) B 따라서 B. 생각 톡!톡!. 15. Y. 다음은 가인이가 함수 Z[Å] 의 그래프를 이 Y. 용하여 부등식 [Å] 을 푼 것이다. 가인이의 풀이를 바탕으로 함수 ZMPHfAY의 그 래프를 이용하여 부등식 MPHfAY를 푸는 방법. 실력 키우기. 을 친구에게 설명해 보자.. 12. 함수 Z[Å]. Y.

(93) L의 그래프가 제 사분면을. 지나지 않도록 하는 상수 L의 최댓값을 구하시오.. Y Z[@] . Z Z. . Y. 0 Y. 13. 함수 ZMPHBAY

(94) C의 그래프와 그 역함수의 그 래프가 두 점에서 만난다. 이 두 점의 Y좌표가 각 각 , 일 때, 상수 B의 값을 구하시오. (단, B, B

(95) , C는 상수이다.). ‫ڈ‬ቌṠ᦬ⷸ᪨Z[Å] Ῠ‫ڈ‬ဨⶔỐ ≑ᦰZ ቜनତ₠ῨYℜⳬତ ୴ Y. වဌ᦬ᘐඁ᭭[Å] Ῠ⸄ତ Yy. 52 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수.

(96) ●로그를 알면 자연이 보인다.. 생각을 넓히는 수학. 창의. 융합. 수연이가 속한 수학 동아리에서 수학 잡지를 만들려고 한다. 수연이는 지수함수와 로그함수에 관련된 기사 작성을 맡았는데, 어느 누리망 신문에서 별의 등급을 정할 때 로그가 활용된다는 다음 기사를 읽었다.. 별의 밝기를 수로 나타낸다. 가. 가. 밤하늘의 별은 각각 밝기가 다르다. 밤하늘에 빛나는 별들의 밝기는 어떻게 나타낼 수 있을까? 고대 그리스의 수학자 히파르코스 )JQQBSDIPT #$ _#$ 는 맨눈으로 보이는 가장 밝은 별을 1등급으로, 맨눈으로 겨우 볼 수 있는 별을 등급으로 정하였다. 이후 세기 영국의 천문학자 포그슨 1PHTPO /3 _ 은 별의 등급별로 빛의 양을 실제로 측정하고 수치화했다. 그 결과 히파르코스의 등급 별이 등급 별보다 약 배 밝다는 것을 알아냈다. 등급별로 밝기가 일정한 비율로 늘어난다면, 한 등급이 올라갈수록 밝기는 제곱해서 이 되는 수인 A배씩, 즉 약 배씩 밝아진다. 예를 들어 어떤 별의 밝기가 등급인 별보 다 배 밝으면 이 별의 등급은 얼마일까? 를 네제곱하면 약 가 되므로 이 별의 등급은 등급보다 네 등급 밝은 등급이 된다. Y, 즉 YMPHA. 별의 밝기와 로그 1등성 2등성 3등성 4등성 5등성 6등성. 출처 우에노 겐지, 와다 스미오, 『과학을 발전시킨 수학의 세계 지수・로그・벡터』. 탐구. 수연이는 별의 밝기에 따라 겉보기 등급을 정한 것처럼 자연 현상 속에서 일정한 비율로 변하는 것 을 발견한다면 로그를 이용하여 그 변화를 설명할 수 있다고 생각했다. 로그를 이용하여 설명할 수 있는 자연 현상을 조사하여 위와 같은 기사를 작성해 보자. 지진의 크기를 나타내는 리히터 규모, 산성의 지표 (pH), 소리의 크기 (dB). 생각을 넓히는 수학│ 53.

(97) 실력을 쌓는. 01. 02. I . 지수함수와 로그함수. B, A C일 때, A BCQR을 만족시키는 유리수 Q, R가 존재한다. 이때 Q

(98) R의 값은?. ①. ② Å . ④. ⑤. 다음 중 옳은 것은?. 04. ③. 05. MPHBA, MPHCA일 때, MPHBAC의 값은? (단, B, C, B

(99) , C

(100) ). ①. ② . ④ . ⑤ . ③ . 이차방정식 YY

(101) 의 두 근을 =, >라고. ① @AA. 할 때, MPHA =

(102)

(103) MPHA >

(104) 의 값은?. ② AÃ. ① . ② . ③ AÃAAA . ④. ⑤. ④. ③. A A. ⑤ A@ . 06 03. 다음 중 함수 ZY

(105) 의 설명으로 옳지 않은 것은?. 다음 중 옳지 않은 것은?. ① 정의역은 실수 전체의 집합이다.. ① MPHA. ② 치역은 \ Z]Z^이다.. ② MPHAÅ. ③ 그래프의 점근선은 직선 Z이다.. ③ MPHA ④ MPHA

(106) MPHA ⑤ MPHAÅ

(107) MPHA. 54 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ④ Y의 값이 증가하면 Z의 값도 증가한다. ⑤ 그래프는 함수 ZY의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다..

(108) 정답 및 해설 163쪽. 07. 세 수 A, A, A를 작은 것부터 차례로 나열. 08. Y에서 정의된 함수 ZY@Y

(109) . 하시오.. 11. 12. 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.. 함수 ZMPHA YAY

(110) 의 최솟값을 구하 시오.. 함수 G 가 G Y Y일 때, 다음 중 항상 참인 것 을 모두 고르면? (정답 개). ① AG ② AG Y

(111) Z G Y @G Z. ③ AG YZ G Y

(112) G Z. ④ AG Y . G Y. ⑤ AG YO \AG Y ^O 단, O은 자연수. 09. 함수 ZMPHsAY의 그래프를 평행이동 또는 대칭 이동하여 그 그래프를 얻을 수 있는 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은? 보기. ㄱ. ZMPHsA Y ㄴ. ZMPHsA: ㄷ. ZAMPHsAY. ㄹZY. 13. 뜨거운 차를 실내에 놓아두면 아두면 르 차의 온도는 처음에는 빠르. ① ㄱ, ㄴ. ② ㄷ, ㄹ. 게 식다가 어느 정도 시. ③ ㄱ, ㄴ, ㄹ. ④ ㄴ, ㄷ, ㄹ. 간이 지나면 주위의 온. ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ. 도에 가까워진다. 온도 가 5인 어떤 물체를 주위의 온도가 54인 곳에 놓고 U분 후의 이 물체의 온도를 5라고 하면 UAMPHA. 554 5

(113) 54. 554. 가 성립한다고 하자. 온도가 인 차를 온도. 10. 세 수 MPHA, MPHA, MPHA을 작은 것부터. 가 로 일정한 실내에 놓을 때, 분 후의. 차례로 나열하시오.. 이 차의 온도를 구하시오.. 마무리 문제 │ 55.

(114) 서술. 실력을 쌓는. 정답 및 해설 164쪽. 형. 14. Å. . 양수 B가 B

(115) BÅ 를 만족시킬 때, BA

(116) B. 문제 해결. 의 값을 구하시오. (풀이 과정을 자세히 쓰시오.). 16. 중고 제품을 거래하는 어떤 중고 거래 사이트에 서는 거래하고자 하는 물품의 거래 가격을 최초 구매 시점에서 년이 지날 때마다 씩 낮춘 가격으로 설정한다고 한다. 최초 구매 가격이 만 원이었던 어떤 제품이 이 사이트에서 만 원 이하로 가격이 설정되었다면 구입한 지 몇. 서술. 년 이상 된 제품인지 구하시오.. ⑴ 구하려고 하는 것은 무엇인가?. 형. 15. 두 함수 ZMPHfAY, ZMPHfAZ의 그래프와 두. ⑵ 설정 가격에 대한 부등식을 만드시오.. 직선 Y, Y으로 둘러싸인 도형의 넓이를. ⑶ ⑵에서 만든 부등식을 푸시오.. 구하시오. (풀이 과정을 자세히 쓰시오.). ⑷ 구한 답이 문제의 뜻에 맞는지 확인하시오.. 이 단원에서 나의 학습을 되돌아보며 스스로 평가해 보세요.. 40 %. 60 %. 20 %. 40 % 80 %. 학습 계획 실천. 60 %. 20 %. 40 % 80 %. 교과 서 내용 이해. 100 %. 20 %. 100 %. 나의 모습 ✽지수가 정수, 유리수, 실수로 확장될 수 있음을 이해한다.. 내용 이해. ✽로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다. ✽지수함수와 로그함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이해한다. ✽지수의 성질을 이용하여 로그의 성질을 논리적으로 설명할 수 있다는 것이 신기했다.. 태도 및 실천. ✽빠르게 증가하거나 감소하는 수량이나 현상을 지수함수와 로그함수로 설명하는 것에 관 심을 갖게 되었다. ✽지수함수와 로그함수를 학습하는 동안 포기하지 않고 도전하였다.. 이 단원을 복습하며 흥미로웠던 내용과 내가 더 공부해야 할 내용을 써 보세요.. 56 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 60 % 80 %. 흥미와 자 신감. 만족. 100 %. 보통. 부족.

(117) 꿈을 키우는 수학. 항해사는 어떤 일을 하나요? 항해사는 선박의 방위를 측정하여 배가 안전하게 항해하 도록 항로를 결정하고, 다른 선박이나 해양 교통 관제사와 통신하는 등 갑판 업무의 전반을 관리합니다. 항해 기기를 정비하고 관리하는 것도 항해사의 일입니다.. 직업 전망은 어떤가요?. 어떤 준비가 필요한가요? 우리나라에서는 해양 수산부 장관이 시행하는 해기사 시. 항해사 면허를 취득하면 해운 회사, 해운・항만 관련 업. 험에 합격하여 면허를 받으면 항해사가 될 수 있습니다. 면. 체, 해양 수산부, 해양 경찰청, 해운 조합, 해운 수산 관련 연. 허 등급에 따라 승선할 수 있는 선박의 크기와 하는 일이 달. 구소 및 교육 기관, 조선소 등으로 진출할 수 있습니다. 우리. 라지지요. 바다에서 활동하는 시간이 많으므로 바다를 좋아. 나라는 면이 바다로 둘러싸여 있어서, 해양 산업이 경제. 하며 거친 바다를 상대로 도전하는 정신과 막중한 책임감. 발전에 중요한 역할을 담당하고 있어요.. 을 감당할 수 있는 사람에게 적합합니다.. 항해사가 알아야 하는 수학은 무엇인가요? 항해사는 배 위에서 별과 태양의 위치를 관찰하고 그 값을 계산하여 배의 현재 위치를 파악할 수 있어야 합니다. 평소에는 (14를 사용하지만, (14가 고장나거나 전지가 수명을 다하여 사용할 수 없는 경우에 대비해야 하는데 이때 큰 수의 복잡한 계 산을 쉽게 할 수 있는 로그를 활용하게 되지요. 항해사들은 로그의 눈금이 새겨진 로그자를 사용하기도 합니다. 출처 •사쿠라이 스스무, 『재밌어서 밤새 읽는 수학자들 이야기』 •고용노동부 워크넷, 2016. 꿈을 키우는 수학│ 57.

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