10.4 회전 운동 에너지 10.5 관성 모멘트 계산 10.6 토크

10장. 고정축에 대한 강체의 회전

(Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)

10.1 각위치, 각속도, 각가속도

10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체 10.3 회전 운동과 병진운동의 물리량

10.4 회전 운동 에너지 10.5 관성 모멘트 계산 10.6 토크

10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체 10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰

10.9 강체의 굴림 운동

1

o Rotations of Rigid Bodies

- 바퀴, 회전 톱날, 선풍기등의 회전 : - 각 질점들은 각각의 다른 운동!

- 그러나 각 질점들의 운동의 모양은 한가지!

cf) Dyanmic Quantities in a Rotational Problem : Force F → Torque τ

Mass M → Moment Of Inertia I Momentum p → Angular Momentum L

10.1 각위치, 각속도, 각가속도

(Angular Position, Velocity and Acceleration)

10.1 각위치, 각속도, 각가속도

(Angular Position, Velocity and Acceleration)

바퀴처럼 부피를 갖는 물체가 한 축을 중심으로 회전할 때는, 물체를 하나의 입자로 취급하여 그 운동을 분석할 수 없다.

물체의 각 부분들이 주어진 시각에 각각 다른 선 속도와 선 가속도를 갖기 때문이다.

회전하는 물체를 다룰 때 그 물체를 강체라 가정하면 분석이 아주 단

순화된다. 강체(rigid body)는 변형이 없는 물체를 말한다.

 r s 

r

 s

 단위: 라디안(radian)

◎ 각변위

- 물체의 회전 운동 → 각 질점은 원운동 - P점의 위치 [x(t), y(t)] → [r, θ(t)]

- 이 경우 r 은 고정 된다

◎

Define

Radian

- 질점 P 가 움직인 거리 = 호의 길이 S

] 1 ] [

[ ] [ 

L L

각 θ 의 Unit (Dimension) = 1

(단위가 없다, Dimensionless)

- Define) 1 Radian : If r = s → θ = 1 ⇒ 1 rad (Radian)

∴ 1 rad = 원 궤적의 반지름 r 과 호의 길이가 같아질 경우 이루어지는 각

) deg 180 (

) rad

(  

 

_

o Radian .vs. Degree

- 한 바퀴 : 원주의 길이 = 2πr, 한 바퀴 도는 각도 = 360°

) (

2 2 )

(

360 rad

r rad r

r

S _  _ 





 

3 . 2 57

1  360  rad 

) 6 (

180 30

30

_

_  _{ }  rad ) 4 (

180 45

45

_

_  _{ }  rad

) 3 (

180 60

60

_

_  _{ }  rad ) 2 (

180 90

90

_

_  _{ }  rad ) (

180 180

180

_

_  _{ }  rad

기준선으로부터 각 θ 만큼 이동하면 강체에 속한 모든 다른 입자들도 같은 각도 θ 만큼 회전한다. 각 입자와 마찬가지로 전체 강체에 각 θ 를 부여할 수 있으므로, 회전하는 강체의 각위치(angular position)를 정의할 수 있다. 이 때 각변위는

i

f





  



t t

t

_{f i}

i f



 



    



dt d t

t



  



 





lim

0

평균 각속력:

(average angular speed)

순간 각속력:

(instantaneous angular speed)

단위: rad/s 또는 s

^-1

t t

t

_{f i}

i f



 



    



_avg

dt d t

t



  



 





lim

0

o 강체내의 각 질점의 각 가속도:

- 고정축에 대한 강체내의 모든 질점들은

같은 크기의 각속도와 각가속도를 가진다.

평균 각가속도

(average angular acceleration)

순간 각가속도

(instantaneous angular acceleration)

강체가 고정축에 대하여 회전할 때,

물체 위의 모든 입자는 주어진 시간 간격 동안에 같은 각만큼 회전하고 같은

각속력과 같은 각가속도를 갖는다.

보다 일반적인 회전 운동에서 각속도와 각가속도는 벡터량이다.

동일한 강체가 회전축이 바뀌면 회전 운동

의 형태도 바뀌기 때문이다.

o 각속도( ) 의 방향 : 오른손의 법칙을 따른다

반시계 방향 →

시계 방향 →

  ˆ   zˆ ˆ  zˆ



i

t

f

 

  

2 2

1

t

i

t

i

f

  

   

) (

2

2

2

i f

i

f

   

   

f

t

i i

f



₂¹

(   )

   

10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체

(Analysis Model: The Rigid Object Under Constant Angular Acceleration)

10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체

(Analysis Model: The Rigid Object Under Constant Angular Acceleration)

고정축을 중심으로 회전하는 강체의 운동은 각가속도가 일정한 경우 가 많다. 따라서 ‘각가속도가 일정한 강체’라고 하는 회전 운동에 대한 분석 모형을 만들자. 이 모형은 등가속도 선운동의 경우와 유사하다.

각가속도 α가 일정한 경우,

회전 바퀴

예제 10.1

바퀴가 3.50rad/s²의 일정한 각가속도로 회전하고 있다.

(A) 만일 t_i=0에서 바퀴의 각속력이 2.00rad/s라면, 2.00초 동안 이 바퀴가 회전한 각변 위를 구하라.

풀이

(B) 이 시간 간격 동안에 바퀴는 몇 바퀴 회전하였는가?

t=2.00s일 때

2 2

1

t

i

t

i

f

  



    









270 rev

1

630 )

/rad 57.3

(11.0rad)(

rad 0 . 11

) 00 . 2 )(

rad/s 50

. 3 ( 초 )

00 . 2 )(

rad/s 00

. 2

(

¹₂ ^{2 2}















  초

rev 75 . 360 1

rev 630 1  



 



 

 ^ _

(C) t =2.00s에서 바퀴의 각속력을 구하라.

rad/s 00

. 9

) 00 . 2 )(

rad/s 50

. 3 ( rad/s 00

.

2

²











_i

t 초

f

 



☆

10.3 회전 운동과 선운동의 물리량

(Angular and Translational Quantities)

10.3 회전 운동과 선운동의 물리량

(Angular and Translational Quantities)

속도에 대한 식을 미분하면

dt r d dt

v _ ds _  v  r 

dt r d dt

a

_t

_ dv _  a _t  r 

2 2

r  r

a

_c

 v 

4 2

2 2 2

2 2

2

        

 a a r r r

a

_{t r}

강체가 고정축에 대해서 회전할 때 이 강체의 모든 입자들은

회전축을 중심으로 원운동을 한다.

10.4 회전 운동 에너지

(Rotational Kinetic Energy)

10.4 회전 운동 에너지

(Rotational Kinetic Energy)

전체 운동 에너지는

2 2

1

i i

i

m v

K 





 ^{ }



i

i i i

i i i

i

R

K m v m r

K

₂^{1 2} ₂^{1 2}



²

2 2

2 1 2

2

1

m v  I 

K

i

i i

R

 



 



  

강체를 작은 입자들의 집합으로 생각하고, 이 강체가 고정된

z-축을 중심으로 각속력 ω 로 회전한다고 가정하자. 먼저, 질량 m_i인 입자가 회전축으로부터 r_i 떨어진 점에서 접선 속력 v_i 로 운동하는 경우

◀ 회전 운동 에너지





i

i i

r m

I

²

^{◀ 관성 모멘트}

(Rotational Inertia, or Moment of Inertia)

2 2

1 ^I 

K _R 



회전하는 네 개의 물체

예제 10.3

네 개의 작은 구가 xy 평면에서 질량을 무시할 수 있는 두 막대의 끝에 묶여 있다. 구의 반지름은 막대기의 크기에 비해 아주 작다고 가정한다.

(A) 계가 y축을 중심으로 ω의 각속력으로 회전할 때, 이 축에 대한 관성 모멘트와 회전 운동 에너지를 구하라.

풀이

2

2 2

2

2Ma

Ma Ma

r m I

i

i i y







 

2 2 2

2 2

2 1 2

1

I  ( 2 Ma )  Ma 

K

_R



_y

 

회전 운동 에너지는 새로운 형태의 에너지가 아니다.

강체를 이루는 입자들의 각각의 운동 에너지의 합으로부터 유도하였으므로 일반적인 운동 에너지이다.

(B) 이 계가 O를 관통하는 축(z축)을 중심으로 xy 평면에서 회전한다고 가정하자. 이 축 에 대한 관성 모멘트 및 회전 운동 에너지를 구하라.

2 2

2 2

2 2

2

Ma Ma mb mb 2 Ma 2 mb

r m I

i

i i

z

       

2 2

2 2

2 2

2 2 1

2

1

I  ( 2 Ma 2 mb )  ( Ma mb ) 

K

_R



_z

   

☆

여기서,

dm   dv   dA   dl

◎ 강체의 관성 모멘트 (Moments of Inertia for Rigid Body) - 질량소 Δm → 0 :

10.5 관성 모멘트 계산

(Calculation of Moments of Inertia)

10.5 관성 모멘트 계산

(Calculation of Moments of Inertia)

dm r

m r

I

i

i

m_i



i

^{ } 





 

2 2

lim

0

여기서 r

은 위치벡터가 아니라 회전축으로부터의 직선 거리이다.

 ^



i

i

i

m

r

I

²

dm r

I ^ 



²

cf) dm ? - 밀도 (질량 밀도 : Density Of Mass)

· 체(적) 밀도 : 단위 체적(부피)당의 질량 dV

dm V

m

V

 

 



lim

 0



_dm

 

_dV

I ^  r

²

dm ^  ^ r

²

dV

dA dm A

m

A

 

 



lim

 0



^dm

 

^dA

I ^  r

²

dm ^  ^ r

²

dA

dx dm dL

dm L

m

L



 

 



lim

 0



_dm

 

_dx

I ^  r

²

dm ^  ^ r

²

dx

· 면(적) 밀도 : 단위 면적당의 질량

· 선밀도 : 단위 길이당의 질량

▣ 평행축 정리(parallel-axis theorem)

dm y

x dm r I

) ( ^{2 2}

2























 

 

 

 



 



 



dm y

x dm

y y

dm x x

dm y

x

dm y

y x

x I

) (

2 2

] ) ( )

[(

] ) (

) [(

2 CM 2

CM CM

CM 2

2

2 CM 2

CM

2

CM MD

I

I  



삼차원 물체를 평평한 물체로 압축 시킨다고 가정하면

O좌표계에서 질량 중심의 좌표가 이라면

0 이므로 '

, '

,

'     

 x x y y y z z

x

_{CM CM}

D² I_CM

) 0 , ,

( x

_CM

y

_CM

16

◎ 평행축 정리

(The Parallel-Axis Theorem)

- 임의의 축에 대한 관성 모멘트 (계산시 유용하게 사용)

= 질량 중심에 대한 관성 모멘트 (I_CM)

+ CM과의 거리 d에 대한 관성모멘트(I') cf )

2 2

2

dm d dm Md

r

I     

^∵

 ^{dm  M}

∴

I  I

_CM

 I '  I

_CM

 Md

² "평행축 정리

(The Parallel-Axis Theorem)"

Aside) o Proof of the Parallel-Axis Theorem

균일한 강체 막대

예제 10.4

길이가 L이고, 질량이 M인 균일한 강체 막대가 있다. 막대에 수직이고 질량 중심을 지나 는 축(y축)에 대한 관성 모멘트를 구하라.

풀이

L dx dx M

dm   

2

2 /

2 / 2 3

/ 2 /

2 2 /

2 /

2 2

12 1

3 ML

x L dx M

L x M

L dx x M

dm r

I

L

L L

L

L CM L



 

 



 







 









2

12

1 ML I

_CM



☆

dx dm dl

dm l

m L

M  



 

 

o 막대의 한 끝(y)에 대한 관성 모멘트 I_끝

2

0 3

0 2 0

2 2

3 1

3 ML

x L dx M

L x dx M

L x M dm

r I

L L

L



 

 



 





   

끝

cf)

- CM은 막대의 중심에 위치 :

- 막대의 한끝에서의 관성 모멘트 I :

· CM에서 막대의 끝까지의 거리 :

2

12

1 ML I

_CM



2 d  L

2 2

4 1

' L 2 ML

M

I  



 



 

2 2

2 2

3 1 12

3 12

1 4

1 12

' 1 ML ML ML ML

I I

I

_CM

 



 



 











∴

평행축 정리의 이용

예제 10.6 I  I

_CM

 I '  I

_CM

 Md

²

o 얇은 고리, 굴렁쇠 (Hoop) : 두께를 무시 - z-축에 대한 관성 모멘트 I_z

cf) Hoop에서의 반경 R 은 고정된 값

o 원판 (Disk) cf )

dm r

I

_z

^ 

²

^{0  r  R}

dA

dm   dA  d (  r

²

)  2  rdr

2 2

2

dm R dm MR

r

I

_z

    

2 4

0 4

3 2

2

2 1 2

1 4

2 1

2 2

MR R

r

dr r rdr

r dm

r I

R z











   









dA dm A

m A

M 



 

 

o (도넛) 내부 반경이 R₁, R₂ 이면,

dm r

I

_z

^ 

²

^R

¹

^{ r  R}

²

dA

dm   dA  d (  r

²

)  2  rdr

) )(

2 ( ) 1

2 ( 1 4

2 1

2 2

2 1 2

2 2

1 2

2 4

1 4

2 4

3 2

2

2

1

R R

R R

R R

r

dr r rdr

r dm

r I

R

R z

















   











) ( R

₂²

R

₁²

A

M     

- 도넛의 질량 :

∴

( )

2

1

₂

2 2

1

R

R M

I

_z

 

균일하게 속이 찬 실린더

예제 10.5

반지름은 R, 질량이 M 그리고 길이가 L인 속이 찬 균일한 실린더가 있다. 중심축(z축)에 대한 관성 모멘트를 구하라.

풀이 dm   dV  2  Lrdr

4 2

1 0

3 2 2

2

) 2

(

LR dr

r L

dr Lr r

dm r

I

R z





















L R M AL

M V

M



2

   

2 2

4 1 2 2

1

LR MR

L R

I

_z

M  



 



 

 

이므로

◎ 수직축 이론

(Perpendicular-Axis Theorem) - xy 평면에서 대칭을 이루는 강체의 경우

-

pf)

cf) 대칭성이 있는 강체 :

ex) Hoop

 

y x

z

I I

dm y dm

x

dm y

x dm

r I























2 2

2 2

2

y x

z

I I

I  

z y

x

I I

I 2

 1



MR

2

I

_z



²

2

1 MR I

I

_x



_y



10.6 토크

(Torque)

10.6 토크

(Torque)

o Torque : 물체를 회전시키는 힘의 능력 cf) 원운동 → 접선 성분의 힘만 작용

∴ Torque τ = 접선 성분의 힘 × 힘의 작용점까지의 거리(r)

ex) wrench에 작용하는 Torque :

Wrench는 원운동 → 접선 성분의 힘만 작용 (F sinΦ)

Fd

rF 

 

 sin

 sin r

d 

^{: 팔의 길이}

∴ τ = 힘 × 기준점에서의 수직 거리(팔의 길이)

축이 고정되어 있는 강체에 힘을 작용하면, 강체는 그 축에 대하여 회전하려 한다. 이와 같이

어떤 축에 대하여 물체를 회전시키고자 하는 힘의 능률을 토크(또는 돌림힘, torque)라 하며 벡터량이다.

단위: Nm (Joule이 아님)

2 2 1

1 2

1

F d F d

Net

  ^  ^  ^  



둘 이상의 힘이 한 물체에 작용할 때 각 힘이 물 체에 토크를 작용한다. 토크는 벡터량이므로 회 전 방향을 고려해야 한다.

※ Torque는 기준점(작용점)이 정해져야만 적용할 수 있다

- Torque에서 τ 는 두 개의 Vectors r, F 의 곱이고 결과가 벡터이므로

where Φ : r 와 F 와의 사이각 "Vector Product"

or "Cross Product"

) (

sin  방향

   r   F   rF

o Net Torque :

cf) Torque Sign !

반시계방향 (Counter Clockwise) : "+"

시계방향 (Clockwise) : "-" Sign

원통에 작용하는 알짜 토크

예제 10.7

큰 원통에서 가운데 부분이 튀어나온 2단 실린더가 있다. 실린더는 중심축에 대하여 자 유롭게 회전하고 있다. 그림과 같이 힘 T₁ 및 T₂가 작용한다.

(A) 회전축(z축)에 대하여 실린더에 작용하는 알짜 토크를 구하라.

풀이

2 2 1

1 2

1

   R T  R T

 ^  ^{ }

m 2.5N

m)(15N) 50

. 0 ( N) (1.0m)(5.0









 ^ 

(B) T₁=5.0N, R₁=1.0m이 고 , T₂=15.0N, R₂=0.50m라고 하자. 회전축에 대한 알짜 토크 를 구하라. 그리고 정지 상태에서 시작하였다면 어느 방향으로 원통이 회전하겠는가?

두 힘이 실린더를 각각 시계 방향과 반시계 방향으로 회 전시키려 하므로 토크의 방향도 반대 방향이다. 반시계 방향을 (+)방향으로 정하면

※ Torque의 단위 : [τ]=[Nm] cf) 일의 단위 : W = Fd = [Nm] - Torque는 일(Work)과 같은 단위를 가진다.

- Torque는 힘(Force)이 아니다

☆

입자에 작용하는 알짜 토크는 각가속도에 비례하고, 그 비례상수는 관성 모멘트이다.

t

t

ma

F 



r ma r

F

_t

 (

_t

)

 

 ^

c

c

ma

F 



 이므로

r a

_t



- 토크와 각가속도 사이의 관계 : 토크에 대한 뉴턴의 제2법칙 - 강체에 대한 돌림힘과 각가속도

10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체

(Analysis Model: Rigid Object Under a Net Torque)

10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체

(Analysis Model: Rigid Object Under a Net Torque)

외력의 영향을 받아 고정된 점을 중심으로 원을 따라 회전하는

입자의

경우를 생각해 보자. 접선 방향의 알짜힘과 지름 방향의 알짜힘에 의하여 반지름 r 인 원주 위를 회전하는 질량 m인 입자의 경우





  ( mr ) r  ( mr

²

)

 



  I

  ^{(  F  ma )}

t

t

dm a

dF  ( )

rdm a

rdF

d  

_t



_t

dm r

d   

²



 ^{ }  ^{ r}

²

^{dm   r}

²

^dm

이 결과를 고정축을 중심으로 회전하는 임의의 모양의

강체에 관해 확장하자.

강체는 아주 작은 크기의 질량 요소 dm 이 무한히 많이 모여 있는 것으로 생각할 수 있다

강체에 작용하는 알짜 토크는 각가속도에 비례하고, 그 비례상수는 강체 전체의 관성 모멘트이다.







_Net

  I

  ^{(  F  ma )}

회전하는 막대

예제 10.8

길이가 L이고 질량이 M인 균일한 막대의 한쪽 끝이 마찰이 없는 회전축에 연결되어 있 고, 수직인 평면에서 이 회전축에 대하여 자유롭게 회전한다. 막대가 수평 위치에서 가 만히 놓여진다. (A)막대의 처음 각가속도와 막대의 오른쪽 끝의 처음 선가속도를 구하라.

풀이

회전축을 통과하는 축에 대한 토크에 기여하는 유일 한 힘은 막대에 작용하는 중력 Mg 뿐이다.

 

 



 

 sin 2 L

Mg rF 



L g ML

L Mg

I 2

3 3

1

) 2 / (

2





 



g g

L

a

_t

   2

 3

· 각가속도는 오른쪽 끝점에 대하여 고려하여야 한다

2

3 1

ML I_끝



※ 막대의 모든 점에

대하여 각가속도는 같다 오른쪽 끝에서의

(접)선 가속도

(c) 막대 한 끝에 동전을 올려놓은 후, 막대를 놓으면 어떻게 될까? 동전이 막대에 계속 붙어 있을까?

L r g g

a

_t

2

 3



앞에서 가속도가 g보다 크므로 막대의 끝은 동전보다 빨리 떨어진다. 따라서 동전은 막대에 붙어있지 않는다. 계속 붙어있을 수 있는 점을 구하면

(접선가속도 = g 인 위치)

L r r g

a

_t

2

 3

  r L

3

 2

(b) 막대의 CM에서의 접선가속도는?

g L g

g r L

a

tCM

    4

3 2

3

 2

바퀴의 각가속도

예제 10.10

반지름 R, 질량 M 그리고 관성 모멘트가 I 인 바퀴가 마찰이 없는 수평 축에 설치되어 있다. 바퀴에 감긴 가벼운 줄에 질량 m인 물체가 달려 있다.

바퀴의 각가속도, 물체의 선가속도, 줄에 걸린 장력을 구하라.

풀이

회전축을 통과하는 축에 대한 토크에 기여하는 유일 한 힘은 바퀴에 작용하는 중력 mg 뿐이다.

☆

i) 각가속도 α : F =T, r =R, r⊥T

z RT T

r F

r     ˆ

    

 



  I ^I

 TR

 ) 1 (

ii) (접)선가속도 a_t :

t

Net

T mg ma

F      

m T a

_t

 mg  2

) , / (

1 mR

²

I T mg

 

 ,

) /

(

1

I mR² a_t g

 

) /

( I mR R

g R

a

 

 

ii) Also a_t :

a

_t

 R   

m T mg I

R TR R

a

_t

    

3

10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰

(Energy Considerations in Rotational Motion)

10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰

(Energy Considerations in Rotational Motion)

회전 운동의 에너지의 관점에서 접근해보자. 힘 F_{가 작용하여 회전축} O에 대해 작은 거리 ds=rdθ 만큼 회전시킬 때 한 일은



 rd F

d

dW  F  s  ( sin )

 이므로

 r  F sin

dt d dt

dW      

dt P dW

“Chain Rule”



 d dW 



강체가 고정축에 대해서 회전할 때, 외부 힘이 한 일은 회전 운동 에너지의 변화와 같다: 회전 운동에 대한 일-운동 에너지 정리

 









 

 d

I d dt

d d

I d dt

I d

I   

 









 d  dW  I d

  ^{( dW   d  )}

2 2

2 1 2

1

i

f

I

I d

I

W

^f

i













 



  

회전 운동에 대한 일-운동 에너지 정리

(work-kinetic energy theorem for rotational motion)

회전하는 막대 다시 보기

예제 10.11

길이가 L이고 질량이 M인 균일한 막대의 한쪽 끝이 통과하는 마찰이 없는 핀을 중심으 로 회전하고 있다. 정지 상태에 있던 이 막대를 수평 위치에서 놓는다.

(A) 막대가 가장 낮은 위치에 도달했을 때 각속력을 구하라.

풀이

(B) 수직 위치에 있는 경우, 질량 중심의 접선 속력과 막대의 가장 낮은 점의 접선 속력 을 구하라.

에너지 보존 법칙에 따라

i i

f

f

U K U

K   

2 ) ( 1 0

2 0

1

₂

L Mg

I    

L g ML

MgL I

MgL 3

2 3

1





 

L gL r

v 3

2 1

CM

   2   v  2 v

_CM

 3 gL

에너지와 애트우드 기계

예제 10.12

도르래를 통하여 줄로 연결된 서로 다른 질량 m₁ 과 m₂ 를 가진 두 실린더를 생각해 보 자. 도르래의 반지름은 R 이고, 관성 모멘트는 I 이다. 줄은 도르래에서 미끄러지지 않고 전체 계는 정지 상태에서 시작하였다. 실린더 2가 거리 h 만큼 내려 왔을 때, 각 실린더 의 선속력을 구하고, 이때 도르래의 각속력도 함께 구하라.

☆

풀이

^{에너지 종류를 보면}

에너지 보존 법칙에 따라

R

Tot

PE KE PE KE KE

E 

₁



₁



₂



₂



cf) 실린더 2가 내려올 때 1은 올라간다

2 2 2

2 1 1

2 2 2

2 1 2 2

2 1 2 1

1

2 2

2 1 2 2

2 1 2 1

1 1

2

f

f f

f

f f

f

R v m I

m

R v v I

m v

m

I v

m v

m gh

m gh

m

 

 



  















 

2 / 1

2 2

1

1 2

/ ) (

2 



 









 

 m m I R

gh m

v

_f

m

2 / 1

2 2

1

1 2

/ ) (

2

1 



 









 

 m m I R

gh m

m R

R v

_f



f

cf) 도르래의 회전 운동의 무시한 예제 (5.9)와 비교해보라.

10.9 강체의 굴림 운동

(Rolling Motion of a Rigid Object)

10.9 강체의 굴림 운동

(Rolling Motion of a Rigid Object)

회전 운동과 병진 운동을 동시에 하는 경우를 생각해보자.

- 움직이는 축에 대한 강체의 회전

- 강체의 굴림 운동의 해석 (Rolling Motion of a Rigid Body)

- 각 θ 회전시 굴러간 거리 S =Rθ - CM (질량 중심)의 속도와 가속도 : 미끄러지지 않고 수평면 위에서

굴러가고 있는 반지름 R 의 원통을 고려하면

  dt R R d dt

v

_CM

 ds  

  dt R R d dt

a

_CM

 dv

^CM

 

속력 v_CM 으로 구르는 물체를 따라 움직이고 있다고 가정하면, 물체의 질량 중심은 마치 정지해 있는 것 같다.

- 접지점 P 점에서의 해석

마지막 그림에서

물체는

P

점을 중심으로 회전 운동하는 것으로 생각할 수

있으므로 2

2

1 I

_P

 K 

2 CM 2

CM

2

1 2

1 I Mv

K  

 

2 2 2

CM

2

1 2

1 I  MR 

K  

※ 전체 운동 에너지 = 질량 중심의 회전 운동에너지

+ 질량 중심의 병진 운동에너지

2

P

I MR

I 

_CM



(평행축 정리)

◎ 경사면을 굴러가는 원통의 해석 (미끄러짐이 없는 경우) - 높이 h에서의 원통의 PE =mgh

- Energy 보존을 고려하면 : PE=KE_total

구르는 물체의 전체 운동 에너지는 질량 중심에 대한 회전 운동 에너지와 질량 중심의 병진 운동 에너지의 합이다

순수 굴림 운동의 경우 v_CM =Rω 이므로

2 CM 2

CM CM

2 CM 2

CM

2

1 2

1 2

1 2

1 Mv

R I v

Mv I

K  



 



 



 

^CM_{2 CM}²

2

1 M v

R

K I 



 



 





i i

f

f

U K U

K   

구가 경사면 바닥에 있을 때

중력 위치 에너지가 영이라고 하면

Mgh v

R M

I    



 



  0 0

2

1

₂

2 CM CM

구르지 않고 미끄러지는 경우보다 느리다!

2 / 1

2 CM

CM

1 ( / )

2  

 





 

 I MR

v gh

- 원통의 경우 : ²

2

1 MR I

_원통



Mgh

Mv v

M R MR

v R M

KE I



 



 



 

 



 



 



^CM_{2 CM}² ₂ ² _CM² _CM²

4 3 2

1 1 2 1 2

1

gh v

_CM

3

 4

- 구의 경우 : ²

5

2 MR I

_구



Mgh

Mv v

M R MR

v R M

KE I



 



 



 

 



 



 



^CM_{2 CM}² ₂ ² _CM² _CM²

10 7 5

2 1 2 1 2

1

gh v

_CM

7

 10

※ 경사면을 구르는 굴림 운동의 경우, 질량과 반경에 무관하게,

구르는 물질의 형태에 따라 속도가 정해진다.

cf) 미끄러지는 경우:

- 마찰이 없다면 구르지를 못하고 미끄러지게 된다.

-

- v_미끄러짐 > v_굴림

Mgh Mv

²



2

1 v  2 gh

o 굴림 운동시 마찰에 의한 일 :

- 매 순간마다 접촉점이 달라진다.

- 접촉점의 방향은 접촉면에 수직이다.

- 접촉점에서 정지마찰력에 의한 일

- 굴림 운동시 정지 마찰력에 의한 일은 0 이다.

- 굴림 마찰(력 or 계수)에 의해서만 마찰이 작용

0 90

cos  





 F d F d

W

_fr



_fr



_fr

둥근 실패 당기기

예제 10.14

실패가 마찰이 있는 수평 탁자 위에 정지해 있다. 반지름 r인 축에 감긴 질량이 없는 줄 을 손으로 잡고, 수평 방향으로 크기 T인 일정한 힘을 사용하여 오른쪽으로 당기고 있다.

그 결과, 실패는 굴림 마찰이 없는 탁자를 따라 길이 L 만큼 미끄러지지 않고 굴러간다.

(A) 실패의 질량 중심의 나중 선속력을 구하라.

풀이

에너지 보존 법칙에 따라, 손이 한 일 W는

 

^{1 W  K  K}_trans ^K_rot

R r L r 

 

축이 회전한 호의 전체 길이는



) / 1

( r R L

L  

 

손이 당기는 힘의 작용점이 움직인 거리는

  



 

  

 R

TL r

W 1

2

2 CM^{2 1}₂ ²

1

1

mv I 

R

TL r   



 

  

) / (

1

₂

2 CM 2

2 1 2 CM

1

v R

R I v R mv

TL r    

_CM



 

   

정지 상태에서 출발하여 등가속도로 운동하는 입자의 경우, 질량 중심의 평균 속도 가 나중 속도의 절반임을 알 수 있다.

   

) /

1 (

/ 1

3

_CM

2

₂

mR I

m

R r v TL



 

(B) 마찰력 f의 값을 구하라.

  ^{4 ( T  f )  t  m ( v}

_CM

^{ 0 )  mv}

_CM

 

CM avg

CM,

5 2

v L v

t  L 



CM CM

) 2

( mv

v f L

T  

L T mv

f 2

2



CM



 

 







 

 

 

 



 







 

 ( 1 / )

) / 1

1 ( )

/ 1

(

) / 1

( )

/ 1

(

) / 1

( 2

2

^{2 2}

I mR

²

R T r

mR I

R T r

mR T I

m

R r TL

L T m

f