회로

회로

 축전기 회로

 병렬연결:

 직렬연결:

1 n

eq i

i

C C



 

1

1 ⁿ 1

eq i i

C   _ C

 저항기 회로

 병렬연결:

 직렬연결:

1

1 ⁿ 1

eq i i

R   _ R

1 n

eq i

i

R R



 

직류회로

 복잡한 다중고리의 회로

 시간에 따라 변하는 전류

 예:

키르히호프의 규칙

 복잡한 회로를 다루려면 키르히호프의 규칙이 필요하다..

 접점은 세 개 이상의 도선들이

서로 연결되어 있는 회로의 한 점이다.

•

접점에서 나가는 전류의 합과 같아야 한다.

 회로의 고리는 닫힌 경로를 형성하는 연결된 도선과 회로요소들의 집합이다.

•

키르히호프의 접점규칙

 키르히호프의 접점규칙은 전하 보존법칙의 직접적인 결과이다.

•

•

i ₁  i ₂  i ₃

접점으로 들어오는 전류의 합은

접점에서 나가는 전류의 합과 같아야 한다.

키르히호프의 고리규칙

 키르히호프의 고리규칙은 퍼텐셜이

단일값 함수라는 사실의 직접적인 결과이다.

 이 규칙이 성립하지 않는다고 가정해 보자.

•

•

 키르히호프의 고리규칙도 단순히 에너지 보존법칙의 결과이다. 회로의 한 고리를 완전히 돌아가면서 퍼텐셜차를

더한 합은 0이다

emf 장치 - 방향

 emf 장치(전지…) 는 양단자(+)의 전기퍼텐셜을 음단자(-)보다 높게 유지하는 장치이다.

 전지를 회로에 연결하면 화학반응으로 음단자에서 양단자로 알짜 전류가 흐르게 된다(빨간색 화살표 방향).

 또는 양의 전하운반자가 전기퍼텐셜이 낮은 음단자에서 전기퍼텐셜이 높은 양단자로 움직인다.

 이러한 전류가 회로에 같은 방향으로 흐르게 된다.

 여러 emf 장치와 저항기가 연결된 단일고리 회로를 분석하면서 복잡한 회로를 살펴 보자.

 키르히호프의 법칙을 적용한다.

 먼저 회로의 각 요소에서 발생하는

퍼텐셜강하의 방향과 회로를 분석하는 방향을 규정해야 한다.

 회로에 흐르는 전류의 실제 방향을

모르므로 일단 임의로 선택한 방향으로 출발해야 한다.

 물론 회로를 분석하는 방향도 임의로 선택할 수 있다.

•

단일고리 회로: 방향 (1)

단일고리 회로: 방향 (2)

 전류와 같은 방향으로 회로를 분석하면 저항기의 퍼텐셜강하는 음수이다.

 전류와 반대 방향으로 회로를 분석하면 저항기의 퍼텐셜강하는 양수이다.

 전류와 같은 방향으로 회로를 분석하면 emf 장치의 퍼텐셜강하는 양수이다.

 전류와 반대 방향으로 회로를 분석하면 emf 장치의 퍼텐셜강하는 음수이다.

 실제 전류의 방향은 회로의 분석이 끝난 후에 결정한다.

•

• 전류는 선택한 방향으로 흐른다.

•

• 전류는 선택한 방향과 반대로 흐른다.

V

 iR

  

회로분석에 대한 규약

Element Analysis Direction Current Direction Voltage Drop

  iR

  iR

  iR

  iR

 V

 V

 V

 V

i 는 저항기에 흐른다고 가정한 전류이다.

단일고리 회로 (1)

i

i

 일반 회로를 분석하기 위하여 먼저 두 기전력장치

V _{emf , 1}

V _{emf , 2}

R ₁

R ₂

 두 기전력장치 의 극성은 일단 반대방향으로 가정한다.

 전류가 시계방향으로 흐른다고 선택한다..

 점

a

V

분석한다.

 단일고리의 회로요소들은 모두 직렬연결이므로 같은 전류

i

 점 a에서 출발한 후 처음으로 만나는 회로성분이

V _{emf ,1}

V _{emf ,1}

 다음은 저항기

R ₁

퍼텐셜강하가 생긴다.:

V ₁

iR ₁

 계속해서 고리를 따라가서 만나는 저항기

R ₂

퍼텐셜강하가 생긴다:

V ₂

iR ₂

 끝으로 만나는 두 번째 기전력장치

V _{emf ,2}

V _{emf ,1}

V _{emf ,2}

 이제 고리를 완전히 돌아서 다시

V

a

단일고리 회로 (2)

,1 1 2 ,2 ,1 1 2 ,2 0

emf emf emf emf

V    V V V  V  iR  iR  V 

 키르히호프의 고리규칙에 따라

퍼텐셜 변화를 모두 더하면 다음을 얻는다.

 일반 규칙: 단일고리 회로의

성분들에서 발생한 퍼텐셜 변화의 합은 반드시 0이다.

 This statement must be qualified with conventions for assigning the sign of the voltage drops around the circuit

단일고리 회로 (3)

,1 1 2 ,2 ,1 1 2 ,2 0

emf emf emf emf

V    V V V  V  iR  iR  V 

i

i

 이번에는 점

a

 The first circuit element is

V _emf,2

 The next element is

R ₂

단일고리 회로 (4)

단일고리 회로 (5)

 전류가 시계방향으로 흐른다고 가정하고 고리를 반시계방향으로 분석하므로,

규약에 따라 퍼텐셜 변화는

+iR ₂

 그 다음 요소

R ₁

+iR ₁

 마지막 요소는

V _emf,

반대방향이므로, 퍼텐셜 변화는 -

V _emf,1

 키르히호프의 고리규칙:

 시계방향의 결과:



회로의 분석에서 방향의 선택은 문제가 되지 않는다 .

i

i

,2 2 1 ,1 0

emf emf

V  iR  iR  V 

,1 1 2 ,2 0

emf emf

V  iR  iR  V 

다중고리 회로 (1)

 다중고리 회로를 분석하려면 키르히호프의 고리규칙과 키르히호프의 접점규칙 모두 필요하다.

 다중고리 회로를 분석하는 순서는, 먼저 회로에서 완전한

고리와 접점들을 정하고, 키르히호프의 규칙들을 각각의 고리에 적용하는 것이다.

 다중고리 회로의 단일고리들은 키르히호프의 고리규칙으로, 접점들을 키르히호프의 접점규칙으로 분석하면 여러 개의 미지변수들이 연립된 방정식들을 얻는다.

 연립방정식을 푸는 방법

•

•

 다음의 보기문제에서 다중고리 회로의 분석에 대해 설명한다.

보기문제 26.1: 다중고리 회로의 분석 (1)

 세 저항기

R ₁

R ₂

R ₃

두 기전력장치

V _emf,1

V _emf,2

 직렬연결이나 병렬연결로 분해할 수 없다.

 회로를 분석하기 위해, 저항기들을 통해 흐르는 전류의 방향을 지정해야 한다.

 물론 임의로 방향을 선택할 수 있다(최종결과에서 전류값을 음수로 얻으면 잘못 선택한 사실을 알 수 있다).

 회로에서 자주색 화살표로 전류들의 방향을 지정한다.

 먼저 접점

b

 접점

a

 이것은 접점 에서 얻은 결과와 같다!

 지금은 세 개의 미지수와 한 개의 방정식을 가지므로

회로의 전류를 결정할 수 없다. 독립적인 방정식이 2개 더

필요하다.

보기문제 26.1: 다중고리 회로의 분석 (2)

2 1 3

i   i i

1 3 2

i   i i

 다음에는 키르히호프의 고리규칙을 적용한다. .

 3개의 고리가 가능하다.

• 왼쪽 고리

•

R ₁

R ₂

V _emf,1

• 오른쪽 고리

•

R ₂

R ₃

V _emf,2

• 바깥 고리

•

R ₁

R ₃

V _emf,1

V _emf,2

보기문제 26.1: 다중고리 회로의 분석 (3)

보기문제 26.1: 다중고리 회로의 분석 (4)

 점

b

 점

b

 바깥 고리에서 점

b

 이 식은 새로운 정보가 없다. 두 식에서 얻을 수 있다.

1 1

,1 2 2 0 1 1

,1 2 2 0

i R V i R i R V i R

       

3 3

,2 2 2 0 3 3

,2 2 2 0

i R V i R i R V i R

       

3 3

,2

,1 1 1 0

i R V V i R

    

 세 방정식은 …

 세 미지수 …

i ₁

i ₂

i ₃

 최종 결과

보기문제 26.1: 다중고리 회로의 분석 (5)

1 3 2

i   i i ^{i R} _{1 1} ^{ V}

_,1 ^{ i R} _{2 2} ^{ 0} i R _{3 3}  V

_,2  i R _{2 2} 

2 3 ,1 2 ,2

1

1 2 1 3 2 3

3 ,1 1 ,2

2

1 2 1 3 2 3

2 ,1 1 2 ,2

3

1 2 1 3 2 3

( )

( )

emf emf

emf emf

emf emf

R R V R V

i R R R R R R

R V R V

i R R R R R R

R V R R V

i R R R R R R

 

   

  

 

  

   

전류계와 전압계

 전류를 측정하기 위해 사용하는 장치를 전류계라고 한다.

 퍼텐셜차를 측정하기 위해 사용하는 장치를 전압계라고 한다.

 전류를 측정하려면 전류계를 반드시

직렬로

 퍼텐셜차를 측정하려면 측정하고자 하는 회로성분의 양단에 전압계를 반드시

병렬로

전압계

병렬연결, 고전압 전류계

직렬연결, 저전압

RC 회로 (1)

 지금까지 기전력장치와 저항기들을 포함하는 회로를 다뤘다.

 이들 회로에서 전류는 시간에 따라 변하지 않는다.

 이제 기전력장치와 저항기에 축전기를 포함하는 회로를 생각해 보자. ⇒ RC 회로

 RC 회로에서는 전류가 시간에 따라

변한다 .

 RC회로 요소

•

V _emf

•

R

•

C

 그림 처럼, 초기에 스위치가 열려있어서 축전기에는

전하가 없다.

RC 회로 (2)

 스위치를 닫으면 회로에 전류가 흐르면서

 축전기 판에 서로 반대부호의 전하들이 축적되어 축전기 양단에 퍼텐셜차 를 만들기 시작한다.

 일정한 퍼텐셜차를 유지시키는 기전력장치에서 계속 전류가 흘러서 축전기가 완전히 충전되면, 회로에 더 이상의 전류가 흐르지 않는다.

 그 후에는 축전기 양단에 걸린 퍼텐셜차는 기전력장치의

퍼텐셜차와 같고, 축전기 판에 저장된 총 전하의 크기는

q _tot

CV _emf

축전기 충전하기 (1)

 키르히호프의 고리규칙을 고리에 반시계방향으로 적용하면 다음을 얻는다.



i

dq

dt

 미분방정식의 해

 …

q ₀

CV _emf



RC

emf R C emf 0

V V V V iR q

     C 

^emf

emf

dq q dq q V

R V

dt  C   dt  RC  R

( )

0

t

q t q  e ^{ } 

   

 

V

^{항은 음수이다} . 축전기 위판은 전지의 양단자에 연결되어 있기 때문이다 .

따라서 반시계방향으로 분석할

때 축전기에서 퍼텐셜강하가

생긴다 .

축전기 충전하기 (2)

 전하의 시간미분이 곧 전류이다.

 전하와 전류는 시간의 하수로 다음과 같이 변한다.

(시간상수:



RC

t

emf RC

dq V

i e

dt R

  

 

 

 

   

 

( ) 0 1

t

q t q  e ^{ } 

   

  ^

 이번에는 저항기

R

C

 회로에 전류가 흐르면서 축전기가 방전하기 시작한다.

 축전기가 방전하는 동안에 키르히호프의 고리규칙을 시계방향으로 적용하여 다음을 얻는다.

축전기 방전하기 (1)

0 0

C

q dq q

iR V iR R

C dt C

        

축전기 방전하기 (2)

 미분방정식의 해:

 전하의 시간미분:

 축전기의 충전과 방전을 기술하는 식들은 모두 지수함수

e ^-t/RC

 저항과 전기용량의 곱을 RC 회로의 시간상수

τ

 RC 회로의 시간상수를 명기하면 회로의 특성을 알 수 있다. 큰 시간상수는 충전시간이 길고, 작은 시간상수는 충전시간이 짧다는 뜻이다.

0

t

q q e RC

  

 

 



0

t

q RC

i dq e

dt RC

  

 

 

 

   

 

보기문제 26.3: 축전기 충전시간

 RC 회로: 12.0 V 전지, 50.0





 초기에는 축전기가 완전히 방전되어 있다..

문제: 축전기를 최대 전하의 90%로 충전하려면 회로를

닫은 후 시간이 얼마나 걸리는가 ?

답:

 인 시간을 구한다.

 따라서 다음과 같이 얻는다.

  ₀ ^{1 RC t}

q t q  e ^ 

   

 

 

₀

q t q 

0.10

t

e ^ RC

 t   RC ln(0.10) 11.5 ms 

풀이문제 26.4 ⇔ RC 회로의 시간상수 (1)

 15.0 k





Question:

회로의 시간상수



Answer:

요점: 축전기 충전하기

( ) 0 1

t

q t q  e

^ 

   

 

with q ₀  CV _emf and   RC; V t   ^{ q t}   ^{/ C}

V t   ^{ V} _emf  ^{1  e t /RC}  ^{at t  1.3 } s, we have V t   ^{ 5 V}

풀이문제 26.4 ⇔ RC 회로의 시간상수 (2)

V (t)  V _emf 1  e ^

t

 RC







V 1.3   s  ^{ 5 V }   ^{12 V}  ^{1  e   1.3  s  / RC} 

  5 V  12 V  ^{/ 12 V}   ^{ e   1.3  s  / RC}

ln 7 / 12   ^{ }  ^{1.3  s}  ^{/ RC}

RC    1.3   s  / ln 7 / 12   ^{ 2.41  s}

Math reminder:

ln e

 

^{ x}