6.6 전단

Mechanic

6.6 전단

- 단면 전

 1 축

- 좌 - - 부

- P

-

cs of Materials

단중심의 개

이 대칭평면 전단중심(She

대칭 단면을 좌표축의 원점

z -축이 대칭 부재 단면에는

P 는 S _{를 통} S _{: 전단중심}

굽힘 중심

s, 7^th ed., Jame

개념

면이 아닐 ear Center)에

을 가지는 캔 점 = 도심 칭축이며 xy _평

는 P 에 의해

통과하여야 비 심 (Shear Cen

심 (Center o

es M. Gere &

경우 비틀 에 작용하여야

틸레버 보 (자

평면이 굽힘 해 M

_발생

비틀림이 발생 nter) 혹은 of Flexure)이라

Barry J. Goo

틀림 없이

야 함

자유단에 하

평면

(그림 (b) 참

생하지 않음

라고 부름

dno

보가 굽어지

중 P 작용)

참조)

지기 위해서

Pa

서는 하중이

age 06-42

단면의

Mechanic

 하중

 비 (전단 흐

 2 축

- 전 - 도

 1 축

- 전

위 - 하

cs of Materials

이 S _{가 아닌}

비틀림 모멘트 흐름에 의한

대칭보 (그림 전단중심 S

도심에 작용하

대칭 보 (그 전단중심 S

위치함

하중 P 를 y

s, 7^th ed., Jame

닌 A 점에 작 트 T 가 추가

모멘트 때문

림 (a))

와 도심 C _는

하는 하중 P

그림 (b))

와 도심 C _는

y _{축 성분과}

es M. Gere &

작용하는 경우 가로 작용함 문, 6.9 참조)

는 일치함

P 는 비틀림

는 모두 y _축

z 축 성분으

Barry J. Goo

우

없이 굽힘을

축 (대칭축) 상

으로 분해하여

dno

을 일으킴

상의 서로 다

여 해석함

제 6 장

다른 점에

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-43

Mechanic

 비대

- 도 - 주 - 하

(

 전단

- 2 - 1 - 일 - 일 - 열

cs of Materials

칭 단면 도심 C _{를 찾}

주축 y  z _축

하중을 y _축

(일반축에 대

중심의 계산 2 축 대칭인 1 축 대칭인 일반단면  일부 공학편람 열린 단면: W

s, 7^th ed., Jame

찾고,

축을 찾고, 성분과 z 축

대하여 일반이

산방법

경우  도심 경우  대칭

2 축의 위치 람에 전단중 WF 보, 채널,

es M. Gere &

축 성분으로

이론을 사용하

심과 일치 칭축 상에서 치를 모두 계산

심 계산 공식 앵글, T 형 보

Barry J. Goo

분해하여 해

하는 것도 가능

위치를 결정 산 하여야 함 식 제공

보, Z 형 보 

dno

해석함

능함)

정하여야 함 함

 상용 구조

조용 강재 (비

Pa

틀림에 취약

age 06-44

약)

Mechanic

6.7 두께

전단응력

여기서 Q

 얇은

- 벽 - 속

cs of Materials

께가 얇은 열

력 구하는 공식

Q _{는 전단응}

두께의 열린 벽 두께가 단 속이 빈 상자

 구

s, 7^th ed., Jame

열린 단면

식 (직사각형

력을 구해야

린 단면 (thin 단면의 높이와 자형 보의 경우

구조용 단면

es M. Gere &

보의 전단응

형 보, 원형 보

 

야 하는 바깥쪽

n-walled op 와 폭에 비하 우와 같이 닫

(Structural

Barry J. Goo

응력

보, 플랜지를

VQ Ib

쪽 단면의 1

en cross sec 여 작고, 닫힌 단면이

section) 또는

dno

갖는 웨브),

차 모멘트이

ction)

아닌 열린 형

는 프로파일

제 6 장

(식 5.83 에서

다.

형태의 단면

단면 (profile

장 보의 응력 (

Pa

서 유도)

(6-41

e section)

심화 주제)

age 06-45

)

Mechanic

- 임의 단 - y _와 z

- 하중 P

지나서

 z 축이 굽힘 발생

보의 임의

cs of Materials

단면의 중앙선

z 축은 주도심

P 는 전단중심 서 y _{축에 평}

이 중립축이 힘은 xy _평면에

생함.

의의 점에서의

1 0

F  

2 0

F  

s, 7^th ed., Jame

선 mm

심축 심 C

평행 되고, 에서

의 수직응력은

0 s

x

dA M

  

0 s

x

dA M

  

es M. Gere &

은 

  M

1 0 z s

z

M y dA

I  ^:

2 0 z s

z

M y dA I 

Barry J. Goo

z z

M y

I ^(6-

: ad _{면에 작} A _: bc 면에 작

dno

42)

작용하는 합력

작용하는 합력

력

력

Pa

age 06-46

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-47

ad 단면의 모멘트가 더 크기 때문에 F

 F

이며 평형을 위하여 전단응력  가 cd 면에 필요함 따라서  t dx  F

 F

 0 _또는  t dx  F

 F

1

z

M M

dx I t y dA

 _{ } ^{  } _

  

여기서 ( M

 M

) / dx 는 굽힘 모멘트의 변화율 dM dx / 이며 단면에 작용하는 전단력과 같음,

dM M

M

dx dx V

  

   

 

여기서 V

_는 y _{축에 평행하며} y 축의 음의 방향을 양으로 함 (4 장의 부호 규약) 따라서 전단응력은

y s y z

z z

V V Q

I t y dA I t

    ^{, 여기서 Q}

^ _

^{y dA}

- 전단응력은 단면의 중앙선을 따라 단면의 가장자리에 평행하게 작용함.

- 이 응력은 벽의 두께 t 에 걸쳐 일정한 세기를 갖는 다고 가정함.

- 두께가 얇은 경우에 유효하며, 벽의 두께는 일정할 필요가 없고 s 의 함수로 변화 가능.

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-48

 전단흐름 (Shear Flow)

- 그 점에서 전단응력과 두께의 곱.

z

f t V Q

 I

 

- 여기서 전단흐름 f _는 ^V

_와 I

가 일정하기 때문에 Q

에 정비례 함.

- 단면의 위와 아래의 가장자리에서 Q

 0 _ f   t  0

- z 축에 평행한 하중에 의한 굽힙의 경우 (전단중심 통과하는 경우)  xz _{평면이 굽힘평면}

동일한 해석방법에 의해

y

V Q

  I t _,

y

f t V Q

 I

  ₍ y _{축이 중립축)}

여기서 V

_는 z 축에 평행한 전단력, Q

_는 y 축에 대한 1 차 모멤트임.

 전단력이 전단중심을 지나 작용하고, 주도심축의 하나에 평행한 경우 적용가능함

- 전단력이 경사지게 작용하면, 주축에 평행한 성분으로 분해하여 각각 해석하여 중첩함.

Mechanic

6.8 WF

 상부

- 단면 - 거리 - 점 a

- 이 면 중립 - 점 a

- 따라

cs of Materials

보의 전단

플랜지의 전

bb 에서의

s _는 a _를 a 와 단면 bb

면적의 도심으 축 까지의 거

a _{와 단면} bb

서 Q

 st

s, 7^th ed., Jame

응력

단응력 전단응력 고 원점으로 측

b 사이 면적은 으로부터 거리는 h / 2

b _{사이 면적은}

f

h / 2

es M. Gere &

고려 정 은 st

은 st

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-49

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-50

- 단면 bb 에서의 플랜지의 전단응력은

( / 2) 2

y z f

f

z z f z

V Q P st h shP

I t I t I

   

- 응력의 방향은 그림 (c)를 고려함.

- 방향은 그림 (d)에 도시함.

- 응력은 점 a ( s  0) _에서 0 _으로부터 s  b / 2 _{에서 최대값} 

_{까지 변화함.}

-

4

bhP

  I , 이에 대응하는 전단흐름은

4

f f

z

bht P

f t

 I

 

- 상부 플랜지의 좌측 부분상의 점 c _{로부터 우측으로} s 를 측정하여 플랜지 좌측 계산.

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-51

 웨브의 전단응력

- 웹의 상단을 수평으로 잘라낸 부분 (플랜지와 웨브의 접합부)을 고려하면, Q

 bt h

/ 2

- 이에 대응하는 전단응력은

2

f z w

bht P

  I t _{, 전단흐름은}

2

f w

z

bht P

f t

 I

  (6-51, 52) - 주목!! f

 2 f

 플랜지 좌/우의 전단흐름이 합해져서 웹으로 전단됨.

- 단면 dd _에서는

2

/ 2

2 2 ( ) 2 2 2 4

f f w

z w

bt h h h r bt h t h

Q       r    t              r   

- 따라서 중립축으로부터 거리 r 떨어진 웹의 전단응력은

2 2

4 2

f w

w z

bt h h P

t r I

  ^    ^ 

  ^(6-53)

- r  h / 2 일때 이 식은 (6-51, 52)로 축소됨.

- r  0 일때 최대 전단응력 이 구해짐.

4 2

f

w z

bt h Ph

t I

  ^   ^ 

 

- 모든 계산은 단면의 중앙선 치수를 근거로 계산  근사계산값임 (cf. 5.10 절 결과) - 웨브의 전단응력은 포물선 분포, 그리고

2

1 4

w f

ht bt



 ^{ }

- h  2 b _이고 t

 2 t

인 값을 취하면 

/ 

 1.25

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-52

 하부 플랜지의 전단응력

- 하부 플랜지도 같은 방법으로 해석 가능한.

 일반적인 유의사항

- 상/하부 플랜지의 전단력 합계는 서로 상쇄됨.

- 웨브에서의 전단응력은 합력 R 을 가지며, 전단응력을 웨브의 높이에 걸쳐 적분하여 구함.

2

/ 2 / 2 2

2

0 0

2 2

4 2 6 2

h h f f w

w w

w z w z

bt h h P bt h h t P

R dA t dr t r dr

t I t I

  ^{     }

            

 

   

   ^(6-56)

- I-Beam 의 관성 모멘트는

3 2

12 2

w f z

t h bt h

I   , 윗식에 대입하면, R  P

Mechanic

6.9 두께

 채널

- 플랜

- 따

- 웨

- 중

cs of Materials

께가 얇은 열

단면

지의 최대 전

따라서 플랜지

웨브의 상부에

중립축에서

s, 7^th ed., Jame

열린 단면의

전단 응력을

지의 최대 전

에서의 응력은

면적의 1 차

es M. Gere &

의 전단중심

구하기 위해

전단응력은 

은

z w

V Q

  I t

모멘트는 Q

Barry J. Goo

심

해 (I-형 보와

1

y z z f

V Q

  I t 

2

z f y

w w z

Q bt hV

 t I

2

f z

bt h h

Q  

dno

동일); Q



2

y z

bhV I

2 4 ht

         h 

제 6 장

f

/ 2

 bt h

4 2

w f

ht h bt    

장 보의 응력 (

Pa

2 h

심화 주제)

age 06-53

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-54

- 따라서 최대 전단응력은

4 2

y z f y

z w w z

V Q bt h hV

I t t I

   ^   ^ 

 

- 각 플랜지에 걸리는 수평 전단력

2 1

1

( )

2 4

f y f

z

hb t V

F b t

I

  

   

  (그림 (b)의 삼각형 면적) - 웹의 수직력은 사각형 면적 + 포물선의 면적

- 즉

3 2

2 2 max 2

2 ( )

3 12 2

f y

w

w w

z

bh t V

F ht ht t h

   ^{ } I

          

- 여기에

3 2

12 2

w f z

t h bt h

I   _{를 대입하면} F

 V

(예상된 결과)

- 두개의 F

_과 F

(  V

) 은 전단중심에 대해 비틀림을 유발하지 않아야 함.

- 즉 F h

 F e

 0 , 이식을 풀면, 전단중심의 위치는

2 2 2

3

4 6

f f

z w f

b h t b t e  I  ht bt



Mechanic

 앵글

- b

- 단

- 여

- 그

cs of Materials

단면

bb _단면의

단면 끝에서

여기서 I



그러므로  

s, 7^th ed., Jame

z

Q st  b 

  

s _{떨어진 점}

2

2 tb

I 

  

3

3 2 V s

b t b

   

es M. Gere &

/ 2 2

 s 

  ^{; (면적}

점의 전단응력

3 3

6 3

b  tb

 

 ⁽

2 s 

  

Barry J. Goo

적  중립축에

력은

z

V Q

  I t

(부록 D 의 경

dno

서 면적의 도

2

z y

z

Q V s t I

   

경우 24 의 

제 6 장

도심거리)

2 b s 

  

45

  _{인 경}

장 보의 응력 (

Pa

경우)

심화 주제)

age 06-55

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-56

- 최대 전단응력은 s  b _{에서 발생함}

3

2 2

V

  bt

- 각 변의 전단력은 2

( )( )

3 2

V

F   b t 

- 힘 F 의 수평 성분은 서로 상쇄

- 수직 성분은 F / 2  V

/ 2 , 즉 수직합력은 전단력 V

_{와 같다.}

- 합력은 두개의 힘 F 의 작용선의 교차점을 통과  전단 중심 S 는 앵글 두 변의 교차점

Mechanic

 두 개

- 각

 Z 형

cs of Materials

개의 좁은 직

각 단면의 합

단면

s, 7^th ed., Jame

사각형을 접

합력을 고려하

es M. Gere &

접합하여 만든

하면 쉽게 S

Barry J. Goo

든 단면

를 구할 수

dno

있음.

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-57

Mechanic

 예제

문제 전단중심 풀이 - 전단중 - 점 a _로

단면 b

- 점 a _와

1 차 모 적분하

- Q

- 단

- 여 - 확

cs of Materials

6-8

심의 위치 구하

중심은 z 축상 로부터 s _의

bb 를 고려하 와 단면 bb 사 모멘트는 면적 하여 구할 수

Q

  y dA

단면 bb 에서

여기서 I



확인:   0

s, 7^th ed., Jame

하기

상에 위치함.

거리에 위치 하자.

사이의 단면적 적요소 dA _를

있다.

0^

( cos r 

 

서의 전단응력

3

/ 2

 r t _(부

또는   

es M. Gere &

치한 점의

적의 를

)( tr d ) r

  

력은

z

V Q

  I

부록 D 의 경우

 일 때  

Barry J. Goo

2

sin r t 

2

sin

z y

z

Q V r t  I

우 22, 23)을

0

dno

n 

대입하여 

2 V

sin rt

 

 

Pa



age 06-58

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-59

-    / 2 일때 최대 전단응력 발생 - 전단응력의 합력은 수직 전단력 V

- 중심 O 에 대한 전단응력의 모멘트 M

_{는 전단력} V

_{(전단중심} S 통과)의 모멘트와 동일.

- 즉 M

 V e

_(g)

- dA 요소에 의한 모멘트는

2 sin 2 sin

( ) V

dA rV

d

dM r dA

t

  

  

  

- 전단응력에 의한 모멘트는

2 rV

sin d 4 rV

M dM

 

 

    

- (g)에 대입하여

4

1.27

y

M r

e r

V 

  

Mechanic

*

6.10 탄

- 선형 영 - 그림과 - 구조용 - 변형경 이를 고려

 항복

중립축에 항복응력

M

_ 

cs of Materials

탄소성 굽힘

영역을 넘어서 과 같은 탄소성 용 강재 (변형

화는 강도의 려할 경우 부

모멘트

에서 가장 멀리 력에 도달할 때

Y

Y

I S

c

  

s, 7^th ed., Jame

힘

서는 하중에 성 거동을 가

경화는 무시 의 증가를 일으

부담할 수 있는

리 떨어진 점 때의 모멘트

es M. Gere &

대한 해석 가정

)

으키므로 는 모멘트가

점 c _가

 항복모멘

Barry J. Goo

증가

멘트

dno

Pa

age 06-60

Mechanic

 소성모

(c): 최대 (d)(e): 최

- 보 - z

(f) 보 전 - 최 - 모 - 최

* 모든 경

cs of Materials

모멘트와 중립

변형률이 항 최대 변형률은 보의 중앙부(탄 축이 대칭축 전체가 완전소 대 모멘트 저 모든 단면의 응

대변형률은 경우 변형률은

s, 7^th ed., Jame

립축

항복 변형률 은 계속 증가

탄성핵심부)는 축이 아니면,

소성 상태가 된 저항 능력에 응력값이 

항복변형률 은 선형을 유

es M. Gere &



_{에 도달함}

함

는 탄성을 유 중립축은 도 된 경우

도달함 (이때

Y

이 됨.



_{보다 매우}

유지함.

Barry J. Goo

함: 모멘트의

지하나 바깥 도심이 아님

때의 모멘트를

우 커짐

dno

크기는 항복

영역은 완전

를 소성모멘트

제 6 장

복모멘트 M

전 소성상태

트 M

_라고

장 보의 응력 (

Pa

Y

가 됨

(응력은 

함)

심화 주제)

age 06-61

을 유지)

Mechanic

중립축은

T  C 

1 2

A  A

즉, 완전 두개의 같

소성모멘

P

Y

M



 



혹은

M

 C

cs of Materials

은 축방향 힘의

 

A

  / 2

 A

소성상태의 같은 면적으로

멘트는 모멘트

1 1

( )

A

Y Y

y dA y A





 





1 2

Cy _ Ty _ 

s, 7^th ed., Jame

의 평형으로부

2 Y

A



중립축은 단 로 나누어서

트 평형조건으

1

2 2

( )

( )

A Y

Y

y y A





 

 



1 2

( )

2

Y

A y y

 

es M. Gere &

부터,

단면을 구함.

으로부터,

2

1 2

( 2

A Y

Y

dA y

A y y











)

Barry J. Goo

2

) y dA

dno

Pa

age 06-62

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-63

 소성계수 및 형상계수

위의 식에서 (

)

2 A y y

Z 

 를 단면에 대한 소성계수로 정의하면,

P Y

M   Z

소성모멘트/항복모멘트 비율  형상계수 (shape factor) f 라고 부름 (단면 형태만의 함수)

P Y

M Z

f  M  S

- 항복이 처음 시작된 후의 보의 예비강도의 척도

- 재료가 중립축 가까이 있으면 그 값이 커짐 (e.g. 중실 원형단면)

- 재료가 중립축 멀리 있으면 그 값이 작아짐 (e.g. WF 단면)

Mechanic

 직사각

단면계수

따라서 항

1 2

y  y

소성모멘

형상계수

cs of Materials

각형 단면 보

수는

2

6 S  bh

항복모멘트 M

4

 h _이므로

멘트 M

_ 

수는

Y

M Z

M  S

s, 7^th ed., Jame

2

6

Y Y

M _  bh

소성계수는

2

4

Y

bh



3 2 Z S 

es M. Gere &

2

(

2 Z A y 



Barry J. Goo

2

)

2 2

y bh

   



dno

4 4

h h b

    

 

2

4 h

Pa

age 06-64

Mechanic

M

 M

1 1

C  T 

2 2

C  T

1

M C







cs of Materials

M  M

_{인 경}

2

b h e

 ^

   

2

Y

e

 b



2

2

3 2

6 2

Y

h e C

bh e

h

   

 

 

 

 

s, 7^th ed., Jame

경우의 고찰

e 

 

2

2 2

4 3

3 2

Y

Y

C e

e M

h

   

 

 

 

  

 

es M. Gere &

2 2

2 3 2 2

Y

b h e

e h

  

 

 

  



Barry J. Goo

2 2

Y

b h  e     

dno

4

2 3

be  e 

 

 

M

제 6 장

M

 M  M

장 보의 응력 (

Pa

M

심화 주제)

age 06-65

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-66

Check: e  h / 2 _{일 때} M  M

Check: e  0 _{일 때} M  3 M

/ 2  M

위 식을 e 에 대해 풀어쓰면,

굽힘모멘트를 알 때 탄성핵심부의 크기를 구할 수 있음

1 3

2 2

e h M

M

 

   

 

Check: M  M

_이면 e  h / 2

Check: M  M

 3 M

/ 2 _이면 e  0

Mechanic

 WF 보

(

f

f

Z bt

bt

  





1 12 t S 

f Z

 S

WF 보에 보통 WF

cs of Materials

보

2 2

( )

f f

f w

h t

h t t

 

 

 

 

 

 ² 

w f

t h  t

대한 Z 값은 F 보의 f  1

s, 7^th ed., Jame

( ) 2

2 2

w f

f

t h t

h t

   



 

 

 

 

1

2 12

2 bt

h

  



은 AISC 매뉴

1.1 ~ 1.2

es M. Gere &

2

1 2 2

1 (

4

f

h

bh b

  

 

 

  



f

2 h t bt 

  



뉴얼(혹은 부록

Barry J. Goo

)( 2

f

w f

t

t h t

 

 



 

2

2 t

 

 

  

록의 단면표)에

dno

)



에 있음

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-67

Mechanic

 예제

문제 원형 단면 풀이

M





4 A _  d

( Z  A y

M

 

P Y

f M

 M

cs of Materials

6-9

면에 대한 항

Y

I

( d

c d

  



2

1 2

y  y

1 2

)

2 6

y  y  d

3

6

Y Y

Z  d

 

16 1.7 3

P

Y

^  ^

s, 7^th ed., Jame

항복모멘트/소

4

/ 64)

/ 2

d  

2 3

d

  _(부록

3

6

70

es M. Gere &

소성계수/소성

3 Y

32

 d

 

 

 

록 D 의 경우

Barry J. Goo

성모멘트/형상



-9/10)







dno

상계수 구하기

기

Pa

age 06-68

Mechanic

 예제

문제

탄소성 재 플랜지는

5.0 b 

cs of Materials

6-10

재료 ( 

 3

는 항복상태,

in, 4.0 b



s, 7^th ed., Jame

33 ksi) _{의 박}

웨브는 선형

in, 9.0 h  i

es M. Gere &

박스형 보 탄성거동일

in, 7.5 h

 i

Barry J. Goo

때 M 구하기

in

dno

기

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-69

Mechanic

풀이

모멘트를 (1) 탄성핵 (2) 플랜지

1

S (b 



cs of Materials

를 2 부분으로 핵심부 웨브 지에서의 항

2 1

)

6

 b h

s, 7^th ed., Jame

로 나누어서 생

의 모멘트 M

복응력 

_에

es M. Gere &

생각함

M

에 의한 모멘

Barry J. Goo

멘트 M

dno

Pa

age 06-70

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-71

2 1 1

1 1

( )

6

Y Y

b b h M   S   ^

플랜지 부분의 응력에 대한 모멘트를 구하기 위한 플랜지에서의 합력 F 는

1 Y

2

h h F   b ^  ^{ } 

 

2 2

1 1

2

( )

2 4

h h

b h h M  F        

 

2 2

1 2

3 ( 2 )

12

M _ M _ M _ 

_ bh _{ } b b h _

 

수치를 대입하면, M  1330 k-in

주: 이 예제에서 M

 1196 k-in _, M

 1485 k-in (문제 6.10-13)에서 구해짐

이 예제의 M 은 M

_와 M

사이의 값이다.