정규분포 정규분포

이기훈

정규분포 정규분포

통계학 개론 6 주차 강의

이기훈

오늘 배울

내용은

• 지난 주엔

• 확률분포 중에서 먼저

• 이항분포 배웠고

• 오늘은 정규분포

� ₁ ^{� 2 � 3 � 4 � 5 � 6}

⋯

연속형 (continuous) 분포 이산형 (discrete) 분포

이기훈

정규분포 (Normal Distribution)

• Normal?

• 정상적인 ?

• 과거에는 모든 분포가 이런 모양이 어야 정상이라 생각

• 특징

• 평균을 중심으로 좌우대칭

• 평균주변의 확률이 가장 높다

• ±3σ 안에 대부분

X~N(μ, σ

)

� 

�

�+�  ^{�+2 �  �+3 �} 

�−3 �  ^{�−2 �  �− �} 

�

이기훈

정규분포 의 예

교재 88 쪽

• 성인남자의 신장

• X~N(172,3

)

3

�

172  ^{175  178  181}  1 63  ^{166  1 69} 

이기훈

정규분포 의 예

교재 88 쪽

• 일반여성의 임신기간

• X~N(270,10

)

10

�

270  ^{280  290  300}  240  ^{250  260} 

이기훈

정규분포 의 예

교재 88 쪽

• A 제품의 길이

• X~N(100, 0.5

)

0.5

�

100  ^{1 00.5  101.0  1 01.5} 

98.5  ^{99.0  99.5} 

이기훈

정규분포의 대략적인 확률은

�  ^{�+�  �+2 �  �+3 �} 

�−3 �  ^{�−2 �  �− �} 

�

68.3%95.4%

99.7%

이기훈

정규분포 X 의 확률값

계산은 ?

^⋯

연속형 (continuous) 분포의 확률은 ?

이산형 (discrete) 분포의 확률은 ?

Pr(^�2≤ � ≤ �₄)^=¿

Pr(^{� ≤ � ≤ �})^=¿

�

�

세분화하여 각점에서

확률을 더해줌 = 적분

¿ ∫

�

�

�

�

��

이기훈

정규분포의 확률값은 표준정규분포를 이용한다

X~N(μ, σ

)

� 

�

�+�  ^{�+2 �  �+3�} 

�−3 �  ^{�−2 �  �− �} 

�

Z~N(0, 1)

0  1 

1  ^{2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

� 

�

�

¿ ∫

�

�

1

√ ^{2 � � �}

−(� − �)²

2�²

ⅆ �

¿ ∫

�^′

�^′

1

√ ^{2 � �}

− �²

2

ⅆ �

� = � − �

�

이기훈

표준정규분포 의 확률은

• 책뒤의 부록표에서 구한다

– 교재 389 쪽입니다

• 표준정규분포표를 이용하려면 먼저 표준화부터

• X~N(172,3

) 에서

X=172 => Z= ? X=175 => Z= ? X=178 => Z= ? X=169 => Z= ? X=165 => Z= ?

� = � − �

�

0 1

2 -1 -7/3

엑셀에서는 쉽게 확률을 구할 수 있음

이기훈

표준정규분포는

•X ~ N(μ, σ ² )

•Z ~ N(0, 1)

표준화

X~N(μ, σ

)

�  ^� 

Z~N(0, 1)

0  � − �

  �

표준정규분포 표에서 찾음

이기훈

표준정규 분포표 보는 법

Z~N(0, 1)

0   1

Z~N(0, 1)

0  1.64 

이기훈

예제 2.

9

• X ~ N(180, 50

)

1) 270 이상일 확률은

3) 180 에서 230 사이의 확률은 2) 상위 5% 안에 들려면 ?

50

�

180  ^{230  280  330}  30  ^{80  130  270} 

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.8} 

270− 180

50 =1.8  

이기훈

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.8} 

.9641

1-.9641

=.0359

이기훈

예제 2.

9 • X ~ N(180, 50

)

1) 270 이상일 확률은

3) 180 에서 230 사이의 확률은 2) 상위 5% 안에 들려면 ?

�

180  ^{230  280  330}  30  ^{80  130} 

50

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

230− 180

50 =1

이기훈

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

.8413

0.8413-0.5

=.3413

이기훈

예제 2.

9

• X ~ N(180, 50

)

1) 270 이상일 확률은

3) 180 에서 230 사이의 확률은 2) 상위 5% 안에 들려면 ?

50

�

180  ^{230  280  330}  30  ^{80  130  ? ? ? ?} 

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.645} 

0.05

0.05

이기훈

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

.9495

1.6 4

이기훈

예제 2.

9

• X ~ N(180, 50

)

1) 270 이상일 확률은

3) 180 에서 230 사이의 확률은 2) 상위 5% 안에 들려면 ?

50

�

180  ^{230  280  330} 

30  ^{80  130   �}

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.645} 

0.05

0.05

�−180

50 =1.645

�=180+50 ×1.645=262.25

이기훈

표준정규분포 상위백분위수

• Z

• 표준정규분포에서 상위 α 확률이 되는 z 값

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1}   

�

�

이기훈

연습

• Z

• Z

• Z

1 

� 

0   ^{1 2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

�

0.025

1 

� 

0   ^{1 2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

�

0.05

1 

� 

0   ^{1 2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

�

0.01

이기훈

참고 1> 표준점수

• 수능표준점수

• A 과목의 60 점 ( 원점수 )

• B 과목의 60 점 비교

• A 에서 Z 값은 -1

• B 에서 Z 값은 +1

• A 에서 표준점수는 100+20*(-1)

• B 에서 표준점수는 100+20*(+1)

• A 에서 만점자의 표준점수는 ?

• B 에서 만점자의 표준점수는 ?

10

�

60  ^{70  80  90}  30  ^{40  50} 

10

�

60  ^{70  80  90}  30  ^{40  50} 

이기훈

참고 2> 골다공증 표준점수

• T-score & Z-score

• T-score 는 전체분포에서 표준화

• Z-score 는 동일연령대에서 표준화

• T-score 가 -2.5 미만이면 골다공증 판정

• 골다공증 환자의 비율은 ?

• =1-0.9938=0.0062

1

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

�

이기훈

�  ^{�+�  �+2 �  �+3 �} 

�−3 �  ^{�−2 �  �− �} 

�

�

• 품질관리

• 생산제품이 항상 일정한 양을 유지

• 표준편차가 작아지도록 품질관리

• 불량율을 최대한 줄이는 방식

• 이때 불량율은 ?

참고 3> six-sigma

우량 불량

불량

� 

�  ^{�+3 �  �+6�} 

�−6 �  ^{�−3 �} 

이기훈

수고하셨습니다 수고하셨습니다

정규분포의 확률계산은 엑셀로 …