개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
개념편 Ⅲ. 도형의 닮음
01 닮은 도형
△ABC ª△DEF [참고] 대응점의 순서를 맞추어 쓴다.
⑴ FG” ⑵ ∠H ㄴ, ㅁ
일정한 비율로 확대하거나 축소하여도 항상 모양이 같은 도 형을 찾는다.
①, ④ 1 유제 필수`예제2 필수`예제1 개념확인
1 도형의 닮음
P. 98
4, 4, 1, 2
⑴ 2：3 ⑵ ⑶ 100˘
⑴ BC”：FG”=4：6=2：3이므로 ABCD와 EFGH 의 닮음비는 2：3이다.
⑵ AB”의 대응변은 EF”이므로 AB”：4=2：3 ∴ AB”=
⑶ ∠D의 대응각은 ∠H이므로
∠D=∠H=360˘-(100˘+90˘+70˘)=100˘
DE”=12 cm, ∠C=80˘
닮음비가 4：8=1：2이고, DE”의 대응변은 AB”이므로 6：DE”=1：2 ∴ DE”=12 (cm)
∠C의 대응각은 ∠F이므로 ∠C=∠F=80˘
2：3
BC”의 대응변은 FG”이고 닮음비가 2：3이므로 BC”：9=2：3 ∴ BC”=6 (cm)
평행사변형의 대변의 길이는 같으므로
ABCD의 둘레의 길이는 2_(4+6)=20 (cm) 마찬가지로 4：EF”=2：3에서 EF”=6 (cm)
EFGH의 둘레의 길이는 2_(6+9)=30 (cm) 따라서 둘레의 길이의 비는 20：30=2：3
[참고] 서로 닮은 두 평면도형에서 둘레의 길이의 비는 닮음비 와 같다.
3 유제
2 유제
;3*;
8 3 3
필수`예제 개념확인
P. 99
3, 2, 3
⑴ 2：3 ⑵ x=8, y=
⑴ 대응하는 모서리의 길이의 비가 닮음비이므로 AB”：A’'B'”=4：6=2：3
⑵ x：12=2：3 ∴ x=8 5：y=2：3 ∴ y=
⑴ 3：4 ⑵ 12 cm
⑴ 두 원기둥의 높이의 비가 닮음비이므로 27：36=3：4
⑵ 큰 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 x cm라 하면 9：x=3：4 ∴ x=12
따라서 큰 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 12 cm이다.
두 삼각뿔의 닮음비는 9：12=3：4 x：10=3：4 ∴ x=
6：y=3：4 ∴ y=8
∴ x+y= +8=31 2 15
2
15 2 31
5 2 유제
4 유제
15 2
15 4 2
필수`예제 개념확인
P. 100
P. 101
개념누르기한판
1 ⑴ 3：4 ⑵ 3 cm ⑶ 60˘ 2 1：1 3 30 4 48 5 ⑴ 5 cm ⑵ 5：8
5
⑴ △ABCª△DEF이므로 BC”：EF”=6：8=3：4 따라서 닮음비는 3：4이다.
⑵ AB”의 대응변은 DE”이므로 AB”：4=3：4 ∴ AB”=3 (cm)
⑶ ∠E의 대응각은 ∠B이므로
∠E=∠B=180˘-(90˘+30˘)=60˘
서로 합동인 삼각형은 대응변의 길이가 같으므로 닮음비는 1：1이다.
2 1
정답과해설_ 개념편
△DEF의 가장 짧은 변은 DE”이고 AB”：DE”=12：8=3：2
즉, △ABC와 △DEF의 닮음비는 3：2이다.
18：EF”=3：2 ∴ EF”=12 15：DF”=3：2 ∴ DF”=10
∴ (△DEF의 둘레의 길이)=DE”+EF”+DF”
=8+12+10=30 [다른 풀이]
△ABC와 △DEF의 닮음비가 3：2이고,
△ABC의 둘레의 길이가 12+18+15=45이므로 45：(△DEF의 둘레의 길이)=3：2
∴ (△DEF의 둘레의 길이)=30
ABCDª DAEF이므로 AB”：DA”=AD”：DF”에서 15：12=12：DF” ∴ DF”=
∴ AE”=DF”=
⑴ 작은 원뿔과 큰 원뿔의 닮음비가 10：16=5：8이므로 작은 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r：8=5：8 ∴ r=5
따라서 작은 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 5 cm이다.
⑵ 작은 원뿔의 밑면의 둘레의 길이는 2p_5=10p (cm) 큰 원뿔의 밑면의 둘레의 길이는 2p_8=16p (cm) 따라서 두 원뿔의 밑면의 둘레의 길이의 비는 10p：16p=5：8
[다른 풀이]
두 원뿔의 밑면의 둘레의 길이의 비는 두 원뿔의 닮음비와 같으므로 5：8이다.
5
48 5
48 5 4
3
02 삼각형의 닮음조건
⑴ 2, 2, 2, △DEF
⑵ 4, 8, 4, E, △DEF, SAS
⑶ D, E, △DEF, AA
⑴ 대응하는 세 쌍의 변의 길이의 비가 같으므로
△ABCª△DEF(SSS 닮음)
⑵ 대응하는 두 쌍의 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크 기가 같으므로 △ABCª△DEF(SAS 닮음)
⑶ 대응하는 두 쌍의 각의 크기가 각각 같으므로
△ABCª△DEF(AA닮음)
△ABCª△OMN(AA 닮음)
△DEFª△PQR(SSS 닮음)
△GHIª△LKJ(SAS 닮음) 필수`예제1
개념확인
P. 102
⑴ AD”, 3, A, △AED, SAS
⑵ A, C, △DAC, AA
⑴ ⑵ 6
⑴ △ABC와 △ADB에서
AB”：AD”=AC”：AB”=3：2, ∠A는 공통이므로
△ABCª△ADB(SAS 닮음) 즉, 10：x=3：2 ∴ x=
⑵ △ABC와 △EBD에서
∠A=∠E=90˘, ∠B 는 공통이므로
△ABCª△EBD (AA 닮음) 즉, (10+x)：8=20：10 ∴ x=6
4 cm
△ABC와 △AED에서 AB”：AE”=AC”：AD”
=5：2,
∠A는 공통이므로
△ABCª△AED (SAS 닮음)
즉, 10：DE”=5：2 ∴ DE”=4 (cm) A
B C
A
E D
10cm 15cm
10cm
4cm 6cm 1
유제
20 3 20
2 3 필수`예제 개념확인
P. 103
⑴ 10 ⑵ 12
⑴ AB”¤ =BD”_BC”이므로 12¤ =8_(8+x) ∴ x=10
⑵ BC”¤ =CD”_CA”이므로 6¤ =3_x ∴ x=12
BD”= cm, CD”= cm, AD”=12cm 5 16
5 9
2 5 유제
3 필수`예제
P. 104
△ABC와 △OMN에서
∠A=∠O=90˘, ∠C=∠N=35˘이므로
△ABCª△OMN(AA 닮음)
△DEF와 △PQR에서
DE”：PQ”=EF”：QR”=DF”：PR”=1：2이므로
△DEFª△PQR(SSS 닮음)
△GHI와 △LKJ에서
GH”：LK”=HI”：KJ”=2：1, ∠H=∠K=20˘이므로
△GHIª△LKJ(SAS 닮음)
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
⑴ △ABC'ª△DC'E(AA 닮음)
⑵ 2：1 ⑶ 4 cm
⑴ △ABC'과 △DC'E에서
∠A=∠D=90˘,
∠ABC'+∠BC'A=90˘
이고
∠BC'A+∠DC'E=90˘
이므로 ∠ABC'=∠DC'E
∴ △ABC'ª△DC'E(AA 닮음)
⑵ BC'”=BC”=10 cm C'ÚE”=CE”
=CD”-ED”
=8-3=5 (cm) 이므로
B’C'”：C'ÚE”=10：5=2：1 따라서 닮음비는 2：1이다.
⑶ 8：C'ÚD”=2：1 ∴ C'ÚD”=4 (cm)
⑴ 이등변삼각형 ⑵ 5 cm ⑶ cm
⑴ ∠EBD=∠DBC`(접은 각), ∠DBC=∠EDB`(엇각) 따라서 ∠EBD=∠EDB이므로 △EBD는 이등변삼각 형이다.
⑵ △EBD가 이등변삼각형이므로 BF”=DF”= BD”=1_10=5 (cm)
2 1 2
15 4 4
유제
8 cm
3 cm 5 cm 10 cm
A C'
B
C'
D E
8 cm
3 cm 10 cm
A D
B C
C'
E 필수`예제4
P. 105 AB”¤ =BD”_BC”이므로
3¤ =BD”_5 ∴ BD”= (cm) AC”¤ =CD”_CB”이므로
4¤ =CD”_5 ∴ CD”= (cm) AD”¤ =DB”_DC”이므로
AD”¤ = _ ∴ AD”= (cm)
10¤ =6_(6+x) ∴ x=
y¤ = _{ +6} ∴ y=
∴ y-x= - =8 3 32
3 40
3
40 3 32
3 32
3
32 3 8
3 3 유제
12 5 16
5 9 5
16 5 9 5
⑶ △EBF와 △DBC에서
∠EBF=∠DBC(접은 각), ∠BFE=∠BCD=90˘
이므로 △EBFª△DBC(AA 닮음)
EF”：6=5：8 ∴ EF”= (cm)
⑴ △DBA'ª△A'CE(AA 닮음) ⑵
⑴ △DBA'과 △A'CE에서
∠B=∠C=60˘,
∠BA'D+∠BDA'=120˘이고
∠BA'D+∠CA'E=120˘이므로
∠BDA'=∠CA'E
∴ △DBA'ª△A'CE(AA 닮음)
⑵ DB”=12-x이므로 (12-x)：8=4：5
∴ x= :™5•:
B A' C D A'
E 12-x
4
8
5
60˘ 60˘
60˘
D A
B C
E 12
4 7 x
A' :™5•:
유제5
15 4 10 cm E
B F
D
B C
6 cm
5 cm 8 cm
1 ⑴ △ABCª△DBE(AA 닮음)
⑵ △ABCª△BDC(SAS 닮음)
⑶ △ABCª△CBD(SSS 닮음) 2 ⑴ 15 ⑵ 11
3 ⑴ BC”, 5 ⑵ DC”, 12 ⑶ AD”, ⑷ BC”, 6
⑸ AD”, 9 ⑹ BD”, 6
60 13
P. 106
한번더연습
⑴ ∠A=∠BDE=60˘,
∠B는 공통이므로
△ABCª△DBE (AA 닮음)
⑵ AC”：BC”=BC”：DC”=2：1,
∠C는 공통이므로
△ABCª△BDC(SAS 닮음)
⑶
AB”：CB”=BC”：BD”=AC”：CD”=4：5이므로
△ABCª△CBD(SSS 닮음)
A C
B C B D
4cm 8 cm 8cm
5 cm 10 cm 32 cm5
A
B C D C
8cm B
4cm 4cm 2cm A
C E
60˘ 60˘D
B B
1
정답과해설_ 개념편
교과서 확인과 응용 P. 108~110
1 ③ 2 ④, ⑤ 3 6p cm 4 ④ 5 ④ 6 3 cm 7 cm 8 2 cm 9 ⑤ 10 4 cm 11 ② 12 ① 13 2 cm 14 20cm 15 4 cm¤
16 cm17 ③ 18 ② 19 16, 과정은 풀이 참조
20 45 cm, 과정은 풀이 참조 4
12 5
25 4
③ AD”의 대응변은 PS”, PQ”의 대응변은 AB”이므로 AD”
와 PQ”의 길이의 비는 알 수 없다.
1 P. 107
개념누르기한판
1 ⑴ 6 ⑵ 62 ⑴ △ABCª△EAD(AA 닮음) ⑵ 3 6 cm 4 ④ 5 10 cm
9 2
⑴
C A
D C
x 4 12 8 16
8
B B
△ABCª△CBD (SAS 닮음)이므로 16：8=12：x
∴ x=6 1
⑴ △ABDª△CBA (SAS 닮음)이므로 12：8=x：10
∴ x=15
⑵ △ABOª△CDO(SAS 닮음)이므로
：x=5：10 ∴ x=11
⑴
⑵
⑶ △ABC의 넓이에서
_AB”_AC”= _BC”_AD”이므로 _5_12= _13_x ∴ x=
⑷
⑸ 15¤ =x_25
∴ x=9 [확인]
25：15=15：x
⑹ x¤ =4_9
∴ x=6
[확인] x：4=9：x B C
D D
A B
x 9
4 x
A
B C
A
C D
25
15 15 x
A
B C
B
D C 12
x
x
3 x¤ =3_(3+9) ∴ x=6
[확인] 12：x=x：3
60 13 1
2 1
2
1 2 1
2
A
B D
6
x A D
C 3 6 6¤ =x_3
∴ x=12 [확인] 6：3=x：6
B C
A 6
4+x
D
B A
4
6 6¤ =4_(4+x)
∴ x=5 [확인]
6：4=(4+x)：6 3
11 2
A
B D B A
12 x C
18 12
10 8
2 ⑵ △ABCª△ACD
(AA 닮음)이므로 (2+x)：4=4：2
∴ x=6
⑴ DA”// BC”이므로
∠ABC=∠EAD`(엇각) AC”//DE”이므로
∠BAC=∠AED`(엇각)
∴ △ABCª△EAD`(AA 닮음)
⑵ BE”=x라 하면 (3+x)：3=5：2
∴ x=
따라서 BE”=
△ABDª△ACE (AA닮음)이므로 10：8=5：AE”
∴ AE”=4 (cm)
∴ BE”=AB”-AE”
=10-4=6 (cm) 6¤ =DB”_4에서 BD”=9 (cm)
∴ △ABC= _BC”_AD”
= _(9+4)_6=39 (cm¤ )
△AEB'ª△DB'C(AA 닮음)이므로 AE”：DB'”=AB'”：DC”에서
3：DB'”=4：8 ∴ DB'”=6(cm)
∴ BC”=AD”=AB”'”+B'Ú’D”=4+6=10(cm) 5
1 2 1 2 4
A
B D
A
C E
10cm 5cm 8cm
3
9 2 9 2
A
B C
E
A D
3+x 5 3 2
A D
E C B
2
A
B C
2+x 4 A
C D
4 2
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
물의 높이는 20_ =10 (cm)
원뿔 모양의 그릇과 원뿔 모양으로 물이 담긴 부분의 닮음비 는 20：10=2：1
수면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 6：r=2：1 ∴ r=3
따라서 수면의 둘레의 길이는 2p_3=6p (cm)
④ ∠A=∠D=40˘, ∠C=∠E=80˘이므로
△ABCª△DFE(AA 닮음)
AB”：CB”=BC”：BD”이므로 8：10=10：BD” ∴ BD”=
△ABCª△AED(AA 닮음)이므로 AB”：AE”=AC”：AD”에서
10：5=AC””：4 ∴ AC””=8 (cm)
∴ CE”=AC”-AE”=8-5=3 (cm)
△DPOª△DBA`(AA 닮음)이므로 PD”：BD”=DO”：DA”에서
PD”：10=5：8 ∴ PD”= (cm)
△ABCª△EDC(SAS 닮음)이므로 AB”：ED”=AC”：EC”에서
6：DE”=9：3 ∴ D’E”=2 (cm)
∠A=∠C, ∠AFD=∠CDE(엇각)이므로
△AFDª△CDE(AA 닮음) AF”：CD”=AD”：CE”에서
6：4=8：CE” ∴ CE”= (cm)
∠DEF=∠BAE+∠ABE
=∠CBF+∠ABE=∠ABC
∠EFD=∠CBF+∠BCF
=∠ACD+∠BCF=∠BCA 이므로 △ABCª△DEF`(AA 닮음) AB”：DE”=BC”：EF”에서
6：3=8：EF” ∴ EF”=4 (cm)
△ABCª△MBD(AA 닮음)이므로 AB”：MB”=BC”：BD”에서
8：5=10：BD” ∴ BD”=25 (cm) 4 11
10
16 3 9
8
25 4 7
6
25 2 5
4
1
3 2 ∠C=
●, ∠CEF=_로 나타내면
△EFC에서 ●`+_=90˘
∠DEF=∠ADE=∠C=●`
∠EDF=∠DAE=∠CEF=_
이때 ∠CAB의 크기가 90˘인지 알 수 없으므로 △ABD에 서 직각을 뺀 나머지 두 각의 크기는 ●, _인지 알 수 없다.
∴ △CADª△DAEª△CDEª△EDFª△CEF (AA`닮음)
△ABDª△ACE(AA닮음)이므로 AB”：AC”=AD”：AE”에서
AB”：8=3：4 ∴ AB”=6 (cm)
∴ BE”=AB”-AE”=6-4=2 (cm)
15¤ =9_(9+HC”) ∴ HC”=16(cm)
AC” ¤ =16_(16+9)에서 AC”¤ =400 ∴ AC”=20(cm)
2¤ =DB”_1 ∴ DB”=4 (cm)
∴ △ABD= _BD”_AD”
= _4_2=4 (cm¤ )
△ABC에서 AD” ¤ =8_2
∴ AD”=4 (cm)
점 M 은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 A’M”=B’M”=C’M”=5 cm
∴ MÚD”=BD”-BM”=8-5=3 (cm) 따라서 △AMD의 넓이에서
_5_DH”= _3_4
∴ DH”= (cm)
∠EBF=∠DBC(접은 각), ∠BFE=∠BCD=90˘이므로
△EBF∽△DBC(AA 닮음) BF”：BC”=EF”：DC”에서
10：16=EF”：12 ∴ EF”= (cm) BF”：BC”=EB”：DB”에서
10：16=EB”：20 ∴ EB”= (cm)
이때 ∠EBD=∠DBC(접은 각), ∠EDB=∠DBC(엇각) 이므로 ∠EBD=∠EDB
따라서 △EBD는 이등변삼각형이므로 DE”=BE”=25cm
2
25 2 15 2 17
12 5
1 2 1
2
A
M D
H 4cm
5cm
3cm
16
1 2 1 2 15
14 13
B C
A
D F E
12
AD”=DE”이므로 AB”=BC”=AC”=15
∴ EC”=BC”-BE”=15-5=10
△DBE와 △ECF에서
∠B=∠C=60˘,
∠BDE+∠BED=120˘이고
∠BED+∠CEF=120˘이므로 ∠BDE=∠CEF
∴ △DBEª△ECF(AA 닮음) DE”：EF”=DB”：EC”에서 7：EF”=8：10 ∴ EF”=
∴ AF”=EF”=
닮음비가 5：10=1：2이므로
x：8=1：2 ∴` x=4 y`⁄
y：12=1：2 ∴` y=6 y`¤
3：z=1：2 ∴` z=6 y`‹
∴ x+y+z=4+6+6=16 y`›
△ABC와 △ADB에서
AB”：AD”=AC”：AB”=4：3, ∠A는 공통이므로
△ABCª△ADB(SAS 닮음) y`⁄
BC”：DB”=4：3이므로
15：DB”=4：3 ∴ BD”=45(cm) y`¤
4 20
19
35 4
35 4 18
정답과해설_ 개념편
⁄ x의 값 구하기
¤ y의 값 구하기
‹ z의 값 구하기
› x+y+z의 값 구하기
30%
30%
30%
10%
채점 기준 배점
⁄ △ABCª△ADB임을 알기
¤ BD”의 길이 구하기
60%
40%
채점 기준 배점
01 삼각형과 평행선
△EFC
△ADEª△EFC(AA 닮음)이므로 AD”：EF”=AE”：EC”에서 DB”=EF”
∴ AD”：DB”=AE”：EC”
⑴ x= , y= ⑵ x= , y=
⑴ 4：7=3：x ∴ x=
4：3=y：2 ∴ y=
⑵ x：3=14：4 ∴ x=
5：y=4：10 ∴ y=
⑴ x=3, y=9 ⑵ x= , y=
⑴ 8：4=(9-x)：x ∴ x=3 8：12=6：y ∴ y=9
⑵ 3：7=x：6 ∴ x=
3：7=y：4 ∴ y=12 7 18
7
12 7 18 1 7
유제
25 2 21
2 8 3 21
4
25 2 21
2 8
3 21 1 4
필수`예제 개념확인
2 닮음의 활용
P. 112
△ADE, ∠ADE
△ABC와 △ADE에서
AB”：AD”=AC”：AE”=3：2, ∠A는 공통
∴ △ABCª△ADE(SAS 닮음)
따라서 ∠ABC=∠ADE, 즉 동위각의 크기가 같으므로 BC”//DE”
②, ⑤
AB”：AD”=AC”：AE”인지 확인한다.
DE”
4.5：6+4：5
따라서 DF””와 BC”는 평행하지 않다.
6：4.5=8：6
∴ DE”//AC”
8 6
D
E 4.5 6
A
B C
4.5 6
A
B C
4 5 D F
유제2 2 필수`예제 개념확인
P. 113
P. 111
시험에 나오는 스토리텔링
△ABCª△BCDª△CDEª△DEF(AA 닮음)이고 BC”：CD”=1.6：1에서
64：CD”=1.6：1 ∴ CD”=40 CD”：DE”=1.6：1에서
40：DE”=1.6：1 ∴ DE”=25 DE”：EF”=1.6：1에서
25：EF”=1.6：1 ∴ EF”=125 8 125
답 8
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
P. 116
개념누르기한판
1 ⑴ x=3, y= ⑵ x=6 2 ⑤ 3 36 cm¤
4 ⑴ △ACF, △CDF ⑵ 2 cm ⑶ 2：3 5 2：3 10
3
⑴ 6：(6+4)=x：5 ∴ x=3 6：(6+4)=2：y ∴ y=
⑵ 3：x=6：12 ∴ x=6
⑤ DE”：BC”=AE”：AC”에서
DE”：10=4：7 ∴ DE”= (cm) [참고]DE”：BC”`+`AE”：EC”임에 주의한다.
BD”：CD”=AB”：AC”=12：8=3：2이므로
△ABD：△ADC=3：2
∴ △ABD= △ABC= _60=36 (cm¤ )
⑴ △ABE와 △ACF에서
∠AEB=∠AFC=90˘, ∠BAE=∠CAF이므로
△ABEª△ACF(AA 닮음)
△BDE와 △CDF에서
∠BED=∠CFD=90˘, ∠BDE=∠CDF`(맞꼭지각) 이므로 △BDEª△CDF(AA 닮음)
⑵ △ABEª△ACF이므로 BE”：CF”=AB”：AC”에서 BE”：3=4：6 ∴ BE”=2 (cm)
⑶ △BDEª△CDF이므로 BD”：CD”=BE”：CF”=2：3
[참고] 내각의 이등분선의 비에 대한 설명이 이루어진다.
⑵, ⑶에서 AB”：AC” (=BE”：CF”)=BD”：CD”
BD”：CD”=AB”：AC”=5：3이므로 BC”：CD”=2：3
∴ △ABC：△ACD=BC”：CD”=2：3 5
4
3 5 3
5 3
40 7 2
10 3 1
5：4+6：8
따라서 FE””와 AB”는 평행하지 않다.
A
B C
4 5
8 6
F
E
⑴ 이등변삼각형, BD” ⑵ 이등변삼각형, BD”
⑴ △BCE에서 BA”：AE” =BD”：DC”이고,
△ACE는 이등변삼각형이므로 AE”=AC”
∴ AB”：AC” =BD”：CD”
⑵ △BDA에서 BA”：FA”=BD”：CD”이고,
△AFC는 이등변삼각형이므로 FA”=AC”
∴ AB”：AC”=BD”：CD”
⑴ 9 ⑵
⑴ x：6=6：4 ∴ x=9
⑵ 6：8=x：(10-x) ∴ x=30 7 30
3 7 필수`예제 개념확인
P. 114
⑴ 12 cm ⑵ 6 cm
⑴ ∠BAD=∠BEC(동위각), ∠DAC=∠ACE(엇각) 이므로 ∠ACE=∠AEC이다.
따라서 △ACE는 이등변삼각형이다.
∴ AE”=AC”=12 cm
⑵ △BCE에서 BA”：AE”=BD”：DC”이므로 16：12=8：DC” ∴ DC”=6 (cm)
16 cm¤
BD”：DC”=9：12=3：4이므로
△ABD：△ADC=3：4
즉, 12：△ADC=3：4 ∴ △ADC=16 (cm¤ ) 35 cm¤
BD”：DC”=AB”：AC”=5：2이므로
△ABD：△ADC=5：2
즉, △ABD：14=5：2 ∴ △ABD=35 (cm¤ )
⑴ 12 ⑵ 3
⑴ 10：8=15：x ∴ x=12
⑵ 6：x=8：4 ∴ x=3 필수`예제5
4 유제
4 필수`예제
3 유제
P. 115
10 cm DB”=x cm라 하면
12：8=(x+5)：x ∴ x=10
∴ DB”=10 cm [다른 풀이]
점 B를 지나고 AD” ”에 평행한 직 선을 그어 AC”와 만나는 점을 E라 하면 △CAD에서
4：8=5：DB”
∴ DB”=10(cm)
5cm 4cm x
8cm A
D B C
E 유제5
정답과해설_ 개념편
⑴ 3, 1, 1, 3, 4
⑵ 6, 2, 3, 2, 2, 2, 4
점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABH에서
AE”：EB”=5：2이므로 5：7=3：x ∴ x=
∴ BC”= +4=
⑴ x= ⑵ x= , y=5
⑴ △ABH에서
3：8=x：4 ∴ x=
⑵ △CDA에서 CG”：CA”=2：5이므로 2：5=x：4 ∴ x=
△ABC에서 3：5=3：y ∴ y=5 8
5 3 2
A
E G
B H
5
4 5
3 5 x 8
5 3
2 2 유제
41 5 21
5
21 5
A
E
B H C
F 4 D
4 4 3
x 41
2 5 필수`예제 개념확인
P. 118
⑴ △CDE, 1, 2, △BDC, BD”, 3
⑵ cm
⑵ △BCD에서 BE”：BD”=1：3이므로 EF”：2=1：3 ∴ EF”= (cm)
⑴ AB”// EF”// DC” ⑵ cm ⑶ cm
⑴ 동위각의 크기가 90˘로 같으므로 AB”// EF”//DC”
⑵ △ABEª△CDE(AA 닮음)이고 닮음비가 2：3이므로 BE”：ED”=2：3
즉, △BCD에서 2：(2+3)=EF”：6
∴ EF”= (cm)
⑶ △BCD에서 BF”：FC”=BE”：ED”=2：3
∴ CF”= BC”= _8= (cm)
⑴ x= , y=5 ⑵ x=
⑴ △ABEª△CDE(AA 닮음)이고 닮음비가 5：3이므로 BE”：ED”=5：3
즉, BE”：BD”=5：(5+3)=5：8이므로
△BCD에서 x：3=5：8 ∴ x=
y：8=5：8 ∴ y=5
⑵ △AEBª△CED(AA 닮음)이고 닮음비가 3：4이므로 BE”：ED”=3：4
즉, BE”：BD”=3：(3+4)=3：7이므로
△BDC에서 x：8=3：7 ∴ x=24 7 15
8 24
7 15
3 8 유제
24 5 3
5 3 5 12
5
24 5 12
3 5 필수`예제
2 3 2
3 개념확인
P. 119
P. 120
개념누르기한판
1 ⑴ x= ⑵ x=15, y=
2 ⑴ x=12, y= ⑵ x=
3 ③
4 ⑴ x=2, y= ⑵ x=20, y=15 3 20
3
9 2 52
3
24 5 36
5
⑴ 6：4=x：(12-x) ∴ x=36 1 5
02 평행선과 선분의 길이의 비
[그림] a', b' a', b' [비례식] a', b'
⑴ ⑵
⑴ x：18=20：16 ∴ x=
⑵ 4：(x-4)=6：10 ∴ x=
⑴ x= , y= ⑵ x=10
⑴ (10-x)：x=4：8 ∴ x=
10：3=12：y ∴ y=
⑵ 12：6=x：(15-x) ∴ x=10 18
5 20
3 18
5 20 1 3
유제
32 3 45
2 32
3 45 1 2 필수`예제 개념확인
P. 117
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
⑴ SAS, ABC, BC”, 2,
⑵ 1, NC”
5
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 MN”= BC”= _10=5
AC”=12, BC”=10
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 NC”=AN”=6 ∴ AC”=6+6=12
BC”=2MN”=2_5=10 유제1
1 2 1 2 1 필수`예제
1 개념확인 2
P. 121
15
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DE”= AC”, EF”= AB”, DF”= BC”
∴ DE”+EF”+DF”= (AC”+AB”+BC”)
= _(8+12+10)=15
⑴ △AMN™△CME ⑵ 4 cm
⑴ △AMN과 △CME에서
∠MAN=∠MCE(엇각), AM”=C’M”,
∠AMN=∠CME(맞꼭지각) 이므로
△AMN™△CME(ASA 합동)
⑵ △AMN™△CME이므로 AN”=CE”
△DBE에서 DA”=AB”, AN”” //BE”이므로 DN”=NE”이고, AN”= BE”= _8=4 (cm)
∴ CE”=AN”=4 cm
⑴ 4 cm ⑵ 6 cm
⑴ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
△ABF에서 DE”//BF”이므로
△CED에서 DE”=2PF”=2_2=4 (cm) 유제3
1 2 1 2
M
B C
A N
D
8 cm E 필수`예제2
1 2 1 2
1 2 1
2 1
2 2 유제
P. 122
⑵ 10：4=x：6
∴ x=15
10：4=12：y
∴ y=
⑴ 점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABG에서 10：5=x：6 `∴ x=12 10：15=(y-12)：8
∴ y=
⑵ 점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선 을 그으면 △ABG에서
2：5=1：(x-2)
∴ x=
△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 2：3이므로 AO”：OC”=DO”：OB”=2：3
△ABC에서 2：5=EO”：6 ∴ EO”= (cm)
△DBC에서 2：5=OF”：6 ∴ OF”= (cm)
∴ EF”=EO”+OF”= + = (cm)
⑴ △ABEª△CDE`(AA` 닮음)이고 닮음비는 2：1이므로
BE”：ED”=2：1
즉, BE”：BD”=2：(2+1)=2：3이므로
△BCD에서 x：3=2：3 ∴ x=2 y：10=2：3 ∴ y=
⑵ △AFBª△DFC(AA 닮음)이고 닮음비는 4：5이므로
AF”：FD”=4：5
즉, AF”：AD”=4：(4+5)=4：9이므로
△ACD에서 x：15=4：9 ∴ x=
12：y=4：5 ∴ y=15
20 3 20
3 4
24 5 12
5 12
5
12 5 12
5 3
9 2
2 2
A D
E F
B G C
2
2 3
3 x-2
x 1 52
3
A D
E F
B G C
12
12 20
10
5 y-12x
6 8
12
2
24
5 y
10 12
4
l
m n 10
4 6 x
l
m n
03 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
정답과해설_ 개념편
⑵ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
△ABF에서 BF”=2DE”=8 (cm)
∴ BP”=BF”-PF”=8-2=6 (cm) 평행사변형
대각선 BD를 그으면 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
△ABD에서 P’SÚ//BD”, P’SÚ= BD”
△CDB에서 QR”//BD”, QR”= BD”
따라서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 PQRS는 평행사변형이다.
34 cm
PQ”=SR”= AC”, PS”=QR”= BD”
∴ PQ”+QR”+RS”+SP”=AC”+BD”
=16+18=34 (cm) 1
2 1
2 4
유제
1 2 1 2
A S
P
B Q C
R D 필수`예제3
x=5, y=7
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 AD”//MÚN”//BC”이므로
△ABD에서 x= AD”= _10=5
△DBC에서 y= BC”= _14=7
⑴ 25 cm ⑵ 5 cm
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 AD”//MN” //BC”이므로
⑴ △ABC에서 MÚQ”= BC”= _30=15 (cm)
△ACD에서 QN”= AD”= _20=10 (cm)
∴ MN”=MQ”+QN”=15+10=25 (cm)
⑵ △ABD에서 MP”= AD”= _20=10 (cm)
∴ PQ”=MQ”-MP”=15-10=5 (cm) 8 cm
AD”//MN” //BC”이므로
△ABC에서 MP”= BC”= _12=6 (cm)
∴ PN”=MN”-MP”=10-6=4 (cm)
△ACD에서 AD”=2PN”=2_4=8 (cm) 1
2 1 2 5
유제
1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 필수`예제4
1 2 1 2
1 2 1
2 개념확인
P. 123
P. 125
개념누르기한판
1 3 cm 2 4 cm 3 7 cm
4 ⑴ 마름모 ⑵ 마름모 ⑶ 직사각형 ⑷ 정사각형 5 x=16, y=2
1 30 2 9 cm 3 15 cm 4 12 cm P. 124
한번더연습
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
△ABC에서 BC”=2MN”=2_10=20
△DBC에서 PQ”= BC”= _20=10
∴ PQ”+BC”=10+20=30 AN”//BC”이므로
△AMN™△CME(ASA 합동)
∴ MN”=MÚE”=3 cm
△DBE에서
DA”=AB”, AN”//BE”이므로 DN”=NE”=3+3=6 (cm)
∴ D’M”=DN”+NM”=6+3=9 (cm) [참고]DN”：NM”：ME”=2：1：1
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
△ABF에서 DE”//BF”이고, BF”=2DE”=2_10=20 (cm)
△CED에서 GF”= DE”= _10=5 (cm)
∴ BG”=BF”-GF”=20-5=15 (cm)
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해
△AEC에서 DF”//EC”이고, DF”= EC”= _8=4 (cm)
△DBG에서 DG”=2EC”=2_8=16 (cm)
∴ FG”=DG”-DF”=16-4=12 (cm) 1
2 1 2 4
1 2 1 2 3
3cm 6cm A
B C
M N
3cm D
E
2
1 2 1 2 1
14 cm
AD”//MN” //BC”이므로
△ABD에서 MP”= AD”= _8=4 (cm)
∴ MQ”=MP”+PQ”=4+3=7 (cm)
△ABC에서 BC”=2MQ”=2_7=14 (cm) 1
2 1
2 유제6
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
따라서 네 변의 길이가 같고 네 내각의 크기가 90˘이므로 PQRS는 정사각형이다.
AD”//MÚN”//BC”이므로
△ABC에서 MQ”= BC”= _20=10 MÚP”=QN”=MÚN”-MQ”=18-10=8 이므로 y=MQ”-MP”=10-8=2
△ABD에서 x=2MÚP”=2_8=16 1 2 1 2 5
△DBC에서 BC”=2PQ”=2_5=10 (cm)
△ABC에서 MN”= BC”= _10=5(cm)
∴ RN”=MN”-MR”=5-2=3(cm)
점 D를 지나고 BC”에 평행한 직선을 그어 AF”와 만나는 점을 G라 하면
△DEG™△CEF(ASA 합동)이므로 DG”=CF”
△ABF에서 DG”= BF”
따라서 FC”= BF”이므로
BC”=BF”+FC”=BF”+ BF”= BF”=6 (cm)
∴ BF”=4 (cm)
△CEB에서 BE”=2DF”이므로 21+GE”=2DF” y`㉠
BE”//DF”이므로 △ ADF에서 DF”=2GE” y`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 21+GE”=4GE”
∴ GE”=7 (cm)
⑴ 등변사다리꼴이므로 AC”=BD”
PQ”=SR”= AC”, P’S’=QR”= BD”
따라서 네 변의 길이가 같으므로 PQRS는 마름모이다.
⑵ 직사각형이므로 AC”=BD”
PQ”=SR”= AC”, P’S’=QR”= BD”
따라서 네 변의 길이가 같으므로 PQRS는 마름모이다.
⑶ 마름모이므로 AC”⊥BD”
BD”//PS”//QR”, AC”//PQ” //SR” 이므로
∠PQR=90˘
따라서 네 내각의 크기가 90˘이 므로 PQRS는 직사각형이다.
⑷ 정사각형이므로 AC”=BD”, AC”⊥BD”
PQ”=SR”= AC”, PS”=QR”= BD”이고,
BD”//PS”//QR”, AC”//PQ”//SR”이므로
∠SPQ=90˘
1 2 1 2
A D
B
P R
C Q S A
D B
P
R C Q
S 1
2 1 2
A D
B
P R
C Q S 1
2 1 2
A D
B
P R
Q C
4 S
3
3 2 1 2 1
2 1 2
A
B F C
6 cm
D G
E
2
1 2 1 2 1
04 삼각형의 무게중심
△DEG, 2, 1, △DHF, 2, 1
⑴ x=6, y=8 ⑵ x=6, y=12
⑴ 점 D는 BC”의 중점이므로 x= BC”= _12=6 AG”：GD”=2：1이므로 y：4=2：1 ∴ y=8
⑵ △ADF에서 AG”：AD”=2：3이므로 x：9=2：3 ∴ x=6
BG”：GE”=2：1이므로 y：6=2：1 ∴ y=12
[다른 풀이] 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 이용 하기
BD”=DC”, BE”//DF”이므로 x+y=2_9=18
∴ x=18_ =6 , y=18_ =12
⑴ x=15, y=10 ⑵ x=16, y=6
⑴ 직각삼각형에서 빗변의 중점 D는 외심이므로 AD”=BD”=CD”
∴ x= AB”= _30=15 CG”：GD”=2：1이므로 y=15_ =10
⑵ △ADF에서 AG”：GD”=2：1이므로 AE”：4=2：1 ∴ AE”=8 AB”=AC”이므로
x=AC”=2AE”=2_8=16
△EBC에서 점 D는 BC”의 중점이고 BE”//DF”이므로 y= BE”=1_12=6
2 1 2
2 3
1 2 1
2 1
유제
2 3 1
3 1 2 1 2 1 필수`예제 개념확인
P. 126
정답과해설_ 개념편
⑴ , , 15 ⑵ , , , 5
⑴ 20 cm¤ ⑵ 10 cm¤
⑴ AFGE= △ABC= _60=20 (cm¤ )
⑵ △BGE= △BGA= _{ △ABC}
= △ABC= _60=10 (cm¤ )
36 cm¤
△AGE=△BDG= _12=6 (cm¤ )
∴ △ABC=6△AGE=6_6=36 (cm¤ ) 1
2 유제2
1 6 1
6
1 3 1 2 1
2
2 6 2
6 2
필수`예제
1 6 1 6 1 3 1
2 1 개념확인 2
P. 127
⑴ 2 cm ⑵ BP”=4 cm, PQ”=4 cm, QD”=4 cm
⑴ DO”=BO”=6 cm이므로 QO”= DO”= _6=2 (cm)
⑵ BD”=2BO”=2_6=12 (cm)이므로 BP”=PQ”=QD”= BD”= _12=4 (cm)
15 cm
OA”=OC”이므로 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다.
∴ BP”=2PO”, DQ”=2QO”
∴ BD”=BP”+PQ”+QD”
=2PO”+PO”+QO”+2QO”
=3(PO”+QO”)=3PQ”=3_5=15 (cm) 8 cm
OA”=OC”이므로 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다.
∴ PQ”=PO”+OQ”= BO”+ DO”
= (BO”+DO”)= BD”= _24=8 (cm)
4 cm¤
OA”=OC”이므로 점 P는 △ABC의 무게중심이다.
∴ △APO= △ABC= _{ ABCD}
= ABCD= 1 _48=4 (cm¤ ) 12
1 12
1 2 1 6 1
6 유제4
1 3 1 3 1
3
1 3 1 3 유제3
필수`예제3
1 3 1 3 1 3 1 3 개념확인
P. 128
P. 129
개념누르기한판
1 ⑴ x= , y= ⑵ x=4, y=2 ⑶ x=4, y=3 2 ⑴ 2 cm ⑵ 3：1：2 `⑶ 4배 3 36 cm¤ 4 10 cm¤
:¡3º:
;3%;
⑴ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GD”= AD”= _15=5 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 x= GD”= _5=
y= GD”= _5=
⑵ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG”：G’M”=2：1
즉, x：2=2：1 ∴ x=4 A’M”이 중선이므로 B’M”=MÚC”=3
△ABM에서 y：3=2：3 ∴ y=2
⑶ 빗변의 중점 E는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 BE”=AE”=CE”= AC”= _12=6
⑵
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BG”：GE”=2：1∴ x= BE”= _6=4 GE”= BE”= _6=2 이므로
△ADF에서 2：y=2：3 ∴ y=3
⑴ △CGHª△DGF(AA 닮음)이므로 GH”：GF”=CG”：DG”=2：1 이때
GH”= AH”= _12=4 (cm)
∴ FG”= GH”
= _4=2 (cm)
⑵ AF”= AH”= _12=6 (cm)
∴ AF”：FG”：GH”=6：2：4=3：1：2
⑶ △GBC= _8_4=16 (cm¤ )
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DE”= BC”= _8=4(cm)
△GDE= _4_2=4 (cm¤ )
따라서 △GBC의 넓이는 △GDE의 넓이의 4배이다.
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1
2 1 2 1 2
1 3 1
3
A
E 12 cm G
8 cm F
H C B
D
2
1 3 1 3
2 3 2
3
1 2 1 2
:¡3º:
2 3 2 3
5 3 1 3 1
3
1 3 1
3 1
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
G’G'”：G’'D”=2：1이므로
△GBG'：△G'BD=2：1
∴ △GBD= △GBG'= _4=6 (cm¤ )
∴ △ABC=6△GBD=6_6=36 (cm¤ )
평행사변형 ABCD에서 BP”=PQ”=QD”이므로
△APQ= △ABD= _{ ABCD}
= ABCD=1_60=10 (cm¤ ) 6
1 6
1 2 1 3 1
3 4
3 2 3
2 3
05 닮은 도형의 넓이와 부피
⑴ 2：3 ⑵ 2：3 ⑶ 4：9
⑶ 2¤ ：3¤ =4：9 [확인] ⑵ 8：12=2：3
⑶ (2_2)：(3_3)=2¤ ：3¤ =4：9
⑴ 1：2 ⑵ 24 cm¤
⑴ BC”：EF”=4：8=1：2
⑵ 넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4이므로
6：△DEF=1：4 ∴ △DEF=24 (cm¤ )
64 cm¤
△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 12：16=3：4이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16 즉, 36：△COB=9：16 ∴ △COB=64 (cm¤ )
⑴ 4：9 ⑵ cm¤
⑴ △EDAª△EBC(AA 닮음)이고 닮음비가 6：9=2：3이므로 넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9
⑵ AE”：EC”=2：3이므로 AE”：AC”=2：5
△AFEª△ABC(AA 닮음)이고 닮음비가 2：5이므로 넓이의 비는 2¤ ：5¤ =4：25
즉, 6：△ABC=4：25 ∴ △ABC=75(cm¤ ) 2 75
2 2 유제 유제1
1 필수`예제 개념확인
P. 130
⑴ 2：3 ⑵ 4：9 ⑶ 8：27
⑵ 2¤ ：3¤ =4：9
⑶ 2‹ ：3‹ =8：27 개념확인
P. 131
⑴ 3 cm ⑵ 500 m(=0.5 km)
⑴ (축도에서의 길이)=0.3 km_
=30000 cm_
=3 cm
⑵ (실제 거리)=5 cm÷
=5 cm_10000
=50000 cm
=500 m(=0.5 km) 640 m
(축척)= = =
따라서 축척이 인 축도에서 거리가 4 cm인 두 지점 사이의 실제 거리는
4 cm÷ 1 =4 cm_16000=64000 cm=640 m 16000
1 16000
1 16000 3 cm
48000 cm 3 cm
480 m 유제5
1 10000
1 10000 1 10000 필수`예제3
P. 132 [확인] ⑵ (2¤ _6)：(3¤ _6)=2¤ ：3¤ =4：9
⑶ (2_2_2)：(3_3_3)=2‹ ：3‹ =8：27
⑴ 2：3 ⑵ 100 cm¤ ⑶ 270 cm‹
두 원뿔 A와 B의 닮음비는 2：3
⑵ 옆넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9이므로 (A의 옆넓이)：225=4：9
∴ (A의 옆넓이)=100 (cm¤ )
⑶ 부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27이므로 80：(B의 부피)=8：27
∴ (B의 부피)=270 (cm‹ )
⑴ 1：2 ⑵ 1：4 ⑶ 1：8 두 구 O와 O'의 닮음비는 2：4=1：2
⑵ 1¤ ：2¤ =1：4
⑶ 1‹ ：2‹ =1：8
⑴ 27：125 ⑵ 196 mL
⑴ 원뿔 모양으로 물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비가 12：20=3：5이므로 부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125
⑵ 부은 물의 양이 54 mL이므로 가득 찼을 때 물의 양을 VmL라 하면 54：V=27：125 ∴ V=250
따라서 더 부어야 하는 물의 양은 250-54=196 (mL) 12 cm
물 그릇
20 cm 4
유제 유제3
2 필수`예제
정답과해설_ 개념편
3.2 m
입사각의 크기와 반사각의 크기는 같으므로
△ABCª△DEC(AA 닮음) AB”：DE”=BC”：E’C”에서
1.6：DE”=2：4 ∴ DE”=3.2 (m) 따라서 국기게양대의 높이는 3.2 m이다.
6 m
△ABCª△DBE(AA 닮음)이므로 1.5：DE”=2：8 ∴ DE”=6(m) 따라서 나무의 높이는 6 m이다.
6 유제
A
B C
D
4 m E 2 m
1.6m
입사각 반사각 필수`예제4
P. 133
개념누르기한판
1 ⑴ △EBD, 64：25 ⑵ △CFB, 9：16 2 cm¤
3 ⑴ 1：4 ⑵ 1：2 ⑶ 12 cm¤ 4 54 cm‹ 5 50 m :™2∞:
⑴ △ABCª△EBD`(AA 닮음)
닮음비가 8：5이므로 넓이의 비는 8¤ ：5¤ =64：25
⑵ △AFEª△CFB`(AA 닮음)
닮음비가 6：8=3：4이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16
△ABCª△ADB(AA 닮음)이고
닮음비가 6：4=3：2이므로 넓이의 비는 3¤ ：2¤ =9：4 즉, △ABC：10=9：4 ∴ △ABC= (cm¤ )
∴ △DBC=△ABC-△ABD= -10= (cm¤ )
⑴ △AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 4：8=1：2이므로 넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4
⑵ △AOD와 △ABO는 높이가 같고 DO”：OB”=1：2이므로 넓이의 비는 1：2
⑶ △AOD=a라 하면
△ABO=△DOC=2a,
△OBC=4a이므로
a+2a+2a+4a=36 ∴ a=4
∴ △ABD=3a=3_4=12 (cm¤ )
C B
D a
4a 2a 2a A
O B
A D h
O
3
25 2 45
2 45
2 2
1
원뿔 모양으로 물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비 가 3：5이므로 부피의 비는 3‹ ：5‹ =27：125
즉, (물의 부피)：250=27：125
∴ (물의 부피)=54 (cm‹ ) 높이가 1 m인 막대기의 그림 자의 길이가 1m일 때, 피라 미드의 높이를 xm라 하면 1：x=1：(20+30)
∴ x=50
따라서 피라미드의 높이는 50 m이다.
1 m 1 m x m
(20+30)m
5 4
교과서 확인과 응용 P. 134~137
1 cm 2 ③ 3 ⑤ 4 cm 5 4 cm
6 cm 7 8 cm 8 ④ 9 ④ 10 12
11 25 12 54 cm¤ 13 12 cm 14 24 cm 15 ③ 16 12 cm 17 12 cm 18 ⑴ cm ⑵ 72 cm¤
19 ③ 20 ④ 21 18 cm¤ 22 12 cm¤ 23 66 cm¤
24 36p cm¤ 25 ⑴ 4：9 ⑵ 8：27 26 ⑤ 27 10 cm, 과정은 풀이 참조
28 8 cm¤ , 과정은 풀이 참조
;3*;
:™7¶:
:¡3º:
;2#;
△ABC에서 BC”//DE”이므로
6：(6+DB”)=8：10 ∴ DB”= (cm)
∠A=∠E(엇각)이므로 AB”//DE”
5：7=x：y, 7x=5y ∴ x= y
마름모 DBFE의 한 변의 길이를 x cm라 하면 AD”=(16-x)cm
△ABC에서 DE”//BC”이므로 (16-x)：16=x：12 ∴ x=
∴ EF”= cm
△ABC에서 BC”//DE”이므로 AE”：EC”=AD”：DB”=3：2
△AFC에서 BE”//FC”이므로 AB”：BF”=AE”：EC”=3：2
즉, 5：BF”=3：2 ∴ BF”=10(cm) 3 4
48 7
48 7 3
5 7 2
3 2 1
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
AD”//EF”가 되도록 CD” 위에 점 F를 잡으면 △CAD에서
`EF”：AD”=1：3이므로 EF”：BD”=1：3 또 BD”//EF”이므로
EF”：BD”=PE”：PB”에서 PE”：PB”=1：3
∴ PE”= BE”= _16=4 (cm)
AD”는 ∠BAC의 이등분선이므로 AB”：AC”=3：2 9：AC”=3：2 ∴ AC”=6 (cm)
BE”는 ∠ABC의 이등분선이므로 B’A”：BC”=AE”：CE”=9：5
A’E”：(6-AE”)=9：5 ∴ AE”= (cm)
△AEDª△MEB(AA 닮음)이므로 AD”：MB”=DE”：BE”에서 DE”：BE”=2：1
∴ BE”= BD”= _24=8 (cm)
△ABEª△FCE(AA 닮음)이므로 AB”：FC”=BE”：CE”에서 AB”：FC”=3：2 즉, 6：CF”=3：2 ∴ CF”=4 (cm) AB”：AC”=BD”：CD”에서
BD”：CD”=9：6=3：2이므로 BC”：CD”=1：2 따라서 △ABC：△ACD=1：2이므로
△ABD=3△ABC=3_24=72 (cm¤ ) 10：8=15：x ∴ x=12
점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABF에서
AM”：AB”=MÚE”：BF”이므로 1：3=MÚE”：3 ∴ MÚE”=1
∴ MÚN”=MÚE””+EN”=1+24=25
동위각의 크기가 90˘로 같으므로 AB”//EF”//DC”
△ABEª△CDE(AA 닮음)이므로 BE”：ED”=AB”：CD”=2：3
△BCD에서 EF”：DC”=BE”：BD”=2：5 즉, EF”：15=2：5 ∴ EF”=6 (cm)
∴ △EBC= _18_6=54 (cm¤ )
PQ”+QR”+PR”= AC”+ AB”+ BC”
=1_(7+9+8)=12 (cm) 2
1 2 1 2 1 13 2
1 2 12
24 24
24 27 3
A D
B
M E N
F
C
11 10 9 8
1 3 1 3 7
27 7 6
1 4 1 4
A
D E
B
P F C
5 등변사다리꼴이므로 AC”=BD”=12 cm
PQ”=S’R’= AC”=6 (cm), P’SÚ=QR”= BD”=6 (cm) 따라서 네 변의 길이가 같으므로 PQRS는 마름모이다.
∴ ( PQRS의 둘레의 길이)=4_6=24(cm)
AB”의 삼등분점 중 나머지 하나를 F라 하고 FD”를 그으면
△BCE에서 FD”//EC”이므로
△AFD에서
FD”=2EP”=2_3=6 (cm) 따라서 △BCE에서
CE”=2FD”=2_6=12 (cm)
AD” //MÚN”이므로 △ABD에서
MÚE”= AD”= _6=3 (cm) ∴ EF”=MÚE”=3 cm MÚN”//BC”이므로 △ABC에서
BC”=2MÚF”=2_(3+3)=12 (cm)
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BF”=FC”
AG”：AF”=2：3이므로
2：3=4：FC” ∴ FC”=6 (cm)
∴ BC”=BF”+FC”=6+6=12 (cm)
⑴ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GD”= AD”= _12=4 (cm) 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GÆ’G'”= GD”= _4= (cm)
⑵ G’G'”：G’'D”=2：1이므로
△GG'C：△G'DC=2：1
∴ △GDC= △GG'C= _8=12 (cm¤ )
∴ △ABC=6△GDC=6_12=72 (cm¤ )
ㄷ. DF”=FG”이고 점 H는 DF”의 중점이므로 GF”：FH”=2：1
ㄹ. △AEG에서 점 H는 AE”의 중점이고, 중선 GH를 2：1로 나누는 점 F는 △AEG의 무게중심이다.
따라서 AI”는 중선, 즉 점 I는 GE”의 중점이다.
ㅁ. AF”=2FIÚ
④ GH”= DH”= AH”= _4=4(cm) 3 1 3 1
3 1
20 3 19
3 2 3
2
8 3 2 3 2 3
1 3 1
3 18
17
1 2 1
2 16
A
B C
E F
D 3 cm P
15
1 2 1
2 14
AD”가 중선이므로
△ABD=△ADC= △ABC
= _72=36 (cm¤ ) y`⁄
△ADC에서 AF”：FC”=AG”：GD”=2：1이므로
△ADF：△FDC=2：1
∴ △ADF= △ADC= _36=24 (cm¤ ) y`¤
△ADF에서 AG”：GD”=2：1이므로
△AGF：△GDF=2：1
∴ △GDF= △ADF=1_24=8 (cm¤ ) y`‹
3 1
3
2 3 2
3 1 2
1 2 28
정답과해설_ 개념편
점 P는 △ABC의 무게중심이므로
PMCO= △ABC= _{ ABCD}
= ABCD= _54=9 (cm¤ ) 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로
OCNQ= △ACD= _{ ABCD}
= ABCD= _54=9 (cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)= PMCO+ OCNQ
=9+9=18 (cm¤ ) 오른쪽 그림에서
△ABC™△CDA(SSS 합동)이고, 두 점 M, N은 각각 △ABC,
△CDA의 무게중심이므로
△MBQ=△MQC
=△MCO=△NOC
∴ MQCN=3△MBQ=3_4=12 (cm¤ )
△ABCª△ADE(AA 닮음)이고 닮음비가 14：8=7：4 이므로 넓이의 비는 7¤ ：4¤ =49：16
즉, △ABC：32=49：16 ∴ △ABC=98(cm¤ )
∴ DBCE=△ABC-△ADE=98-32=66(cm¤ ) 그림자의 반지름의 길이를 xcm라 하고,
주어진 상황을 원뿔의 단면의 일부로 나타 내면 오른쪽 그림과 같다.
10：20=3：x ∴ x=6
따라서 지면에 생기는 원 모양의 그림자의 넓이는 p_6¤ =36p (cm¤ )
닮음비가 4：6=2：3이므로
⑴ 겉넓이의 비는 2¤ ：3¤ =4：9
⑵ 부피의 비는 2‹ ：3‹ =8：27
겉넓이의 비가 1：9=1¤ ：3¤ 이므로 닮음비는 1：3 따라서 부피의 비는 1‹ ：3‹ =1：27
즉, B구슬 한 개를 녹이면 A구슬을 27개까지 만들 수 있다.
△ABC에서 AE”：AB”=EN”：BC”이므로
3：4=EN”：16 ∴ EN”=12 (cm) y`⁄
△ABD에서 BE”：BA”=E’M”：AD”이므로
1：4=E’M”：8 ∴ E’M”=2 (cm) y`¤
∴ MN”=EN”-E’M”=12-2=10 (cm) y`‹
27 26 25
10 cm
10 cm 3 cm x cm
24 23
A
B C
P D O
Q M
N
22
1 6 1
6
1 2 1 3 1
3
1 6 1
6
1 2 1 3 1
3 21
⁄ △ADC의 넓이 구하기
¤ △ADF의 넓이 구하기
‹ △GDF의 넓이 구하기
20%
40%
40%
채점 기준 배점
⁄ EN”의 길이 구하기
¤ EM”의 길이 구하기
‹ MN”의 길이 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
배
실제 에펠탑의 높이가 320 m이고, 에펠탑 미니어처의 높이 가 m이므로 실제 에펠탑과 에펠탑 미니어처의 닮음비 는 320： =15：1
따라서 부피의 비는 15‹ ：1‹ =3375：1이므로 에펠탑 미니 어처를 만들 때 필요한 재료의 양은 실제 에펠탑에 사용된 재 료의 양의 1 배이다.
3375 64
3 64
3 1 답 3375
P. 138
시험에 나오는 스토리텔링
1 ② 2 ③ 3 cm 4 ③ 5 ④
6 ② 7 cm 8 cm 9
10 과정은 풀이 참조 ⑴ 2 cm ⑵ 10 cm ⑶ 2Scm¤
11 cm12 PQ”= cm, BQ”= cm 13 ② 14 6 cm 15 16 16 cm, 과정은 풀이 참조 17 ② 18 ① 19 4 cm¤ 20 8 cm 21 4 cm¤
22 ④ 23 ④ 24 ② 25 ④ 26 54pcm‹
27 2500m¤ 28 10 m 14
3 16
5 12
5 15
4
12 5 25
2 15
4
5 2
P. 139~142
기출문제로단원마무리
개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
ㄱ, ㅁ, ㅂ의 3개이다.
△ABCª△ACD(AA 닮음)이므로 AB”：AC”=AC”：AD”에서
AB”：9=9：6 ∴ AB”= (cm)
△ABDª△ACE(AA 닮음)이므로 AB”：AC”=AD”：AE”에서
6：4=AD”：1 ∴ AD”= (cm)
∴ CD”=AC”-AD”=4- = (cm)
∠C=∑, ∠DAC=×로 나타내면
△ADC에서 ∑+×=90˘
이와 같이 ∑+×=90˘인 ∑, ×를 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ △ADCª△AEF
ª△BDFª△BEC(AA 닮음)
∠A=90˘, AD”⊥BC””이므로 AC”¤ =CD”_CB”
8¤ =CD”_10 ∴ CD”= (cm)
∠A=90˘, AD”⊥BC”이므로 AD”¤ =DB”_DC”
2¤ =DB”_1 ∴ DB”=4 (cm)
∠BED=∠BAC=90˘이므로 AC”//ED”
따라서 △BCA에서 AE”’：EB”=CD”：DB”=1：4 BC”// DE”이므로
△AQC에서 AP”：AQ”=PE”：QC”=5：8
△ABQ에서 DP”：BQ”=AP”：AQ”=5：8 DP”：6=5：8 ∴ DP”= (cm)
BC”：5=10：4 ∴ BC”= (cm)
AE”가 ∠A의 이등분선이므로 AB”：AC”=BE”：CE”
∴ BE”：CE”=6：4=3：2
△BCA에서 AC”//DE”이므로 BE”：BC”=DE”：AC”
즉, 3：(3+2)=x：4 ∴ x=
[다른 풀이]
△ADE에서 ∠DAE=∠CAE=∠DEA(엇각)이므로 DA”=DE”=x
△BCA에서 AC”//DE”이므로 BD”：BA”=DE”：AC”
(6-x)：6=x：4 ∴ x=12 5
12 5 9
25 8 2
15 4 7
6
32 5 5
C B
A
D E F
4
5 2 3 2
3 2 3
27 2 2
1 ⑴ AD”가 ∠A의 이등분선이므로
AB”：AC”=BD”：CD”에서 6：4=3：CD”
6CD”=12 ∴ CD”=2 (cm) y`⁄
⑵ AE”가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
AB”：AC”=BE”：CE”에서 6：4=(5+CE”)：CE”
6CE”=4(5+CE”) ∴ CE”=10 (cm) y`¤
⑶ △ABC와 △ACE는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변 의 길이의 비와 같다.
△ABC：△ACE=BC”：CE”이므로 S：△ACE=5：10, 5△ACE=10S
∴ △ACE=2S (cm¤ ) y`‹
△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 3：5이므로
△ABC에서 AO”：AC”=3：8 3：8=EO”：5 ∴ EO”= (cm)
△DBC에서 DO”：DB”=3：8 3：8=OF”：5 ∴ OF”= (cm)
∴ EF”=EO”+OF”= + = (cm)
AB”//DC”이므로 AP”：PC”=4：6=2：3
△CAB에서 PQ”：4=3：(3+2)
∴ PQ”= (cm)
CA”：PA”=CB”：QB”에서 5：2=8：BQ”
∴ BQ”= (cm)
점 D를 지나고 BC”에 평행한 직선 을 그으면 △ABE에서
AN”=NE”=12 cm
또 △DFN™△CFE(ASA 합동) 이므로
EF”=NF”= NE”=6 (cm)
△CEB에서 BE”//DF”이므로
△ADF에서 GE”= DF”= _4=2 (cm)
△CEB에서 BE”=2DF”=2_4=8 (cm)
∴ BG””=BE””-GE”=8-2=6 (cm) 1 2 1 2 14
1 2
A
D
B E
N
C F
13
16 5 12
5 12
15 4 15
8 15
8 15
8 15
8 11
10
⁄ CD”의 길이 구하기
¤ CE”의 길이 구하기
‹ △ACE의 넓이 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
정답과해설_ 개념편
AD”//MÚN”//BC”이므로 AC”를 그으면
MÚN”=MP”+PN”= BC”+ AD”
= (x+y)=8
∴ x+y=16
△CMD에서 DM” //BN”이므로
△ABN에서 BN”=x cm라 하면 PM”= BN”= x (cm)
또 △CMD에서 D’M”=2BN”=2x(cm)
DM”=DP”+PM”이므로 2x=7+ x y`⁄
x=7 ∴ x=
∴ BN”= cm y`¤
△ADHª△GDK(AA 닮음)이고 AG”：GD”=2：1이므로
AH”：GK”=AD”：GD”=3：1
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=2GD”
△FGHª△CGD(AA 닮음)이고 닮음비가 1：2이므로 GD”=2GH”=2_3=6 (cm)
∴ AD”=3GD”=3_6=18 (cm)
△DBE에서 BG”：GE”=2：1이므로
△DBG：△DGE=2：1
∴ △DGE= △DBG= _{ △ABC}
= △ABC= _48=4 (cm¤ )
두 점 D, E는 각각 B’M”, C’M”의 중 점이므로
DE”= BC”= _24=12 (cm)
△ADE에서
A’G¡”：AD”=AG”™”：AE”=2：3이고, A’G¡”：AD”=G¡ÚG™”：DE”이므로 2：3=G’¡G™”：12 ∴ G’¡G™”=8 (cm)
1 2 1 2
A
D M E B
G¡ G™
C 24 cm
20
1 12 1
12
1 6 1 2 1
2 19
18 17
14 3
14 3 3
2
1 2 1
2 1 2 16
1 2
1 2 1 2
A
B C
D P
M 8 N
y
15 x
⁄ 식 세우기
¤ BN”의 길이 구하기
60%
40%
채점 기준 배점
AG”를 그으면
△GAB=△GBC=△GCA
= △ABC
= _12=4 (cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△GAE+△GAF
= △GAB+ △GCA
= _4+ _4
=2+2=4 (cm¤ ) AC”를 그으면 두 점 P, Q는 각각
△ABC, △ACD의 무게중심이므로 AP”：AM”=AQ”：AN”=2：3
△AMN에서 2：3=6：MN”
∴ MN”=9 (cm)
△ABDª△CAD(AA 닮음)이고 닮음비가 6：8=3：4 이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16
OC”를 반지름으로 하는 원의 둘레의 길이를 x cm라 하면 OB”, OC”를 각각 반지름으로 하는 두 원의 닮음비가 2：3이 므로 4p：x=2：3 ∴ x=6p
세 원의 닮음비가 1：2：3이므로 넓이의 비는 1：4：9 따라서 두 원에 의해 나누어진 세 부분의 넓이의 비는 1：(4-1)：(9-4)=1：3：5
△ADE, △AFG, △ABC를 각각 1회전하여 생기는 세 원 뿔의 닮음비가 1：2：3이므로 부피의 비는 1：8：27 따라서 △ADE, DFGE, FBCG에 의해 생기는 입체 도형의 부피의 비는 1：(8-1)：(27-8)=1：7：19 넓이의 비가 9：16=3¤ ：4¤ 이므로 닮음비는 3：4이고, 부피의 비는 3‹ ：4‹```=27：64이다.
작은 컵의 부피를 xcm‹ 라 하면 x：128p=27：64 ∴ x=54p 따라서 작은 컵의 부피는 54p cm‹ 이다.
(축척)= = = 이므로
지도에서의 땅의 넓이와 실제 땅의 넓이의 비는 1¤ ：5000¤ =1：25000000
∴ (실제 넓이)=1 cm¤ _25000000=2500 m¤
△ABCª△DEC(AA 닮음)이므로
AB”：2=2000：4 ∴ AB”=1000(cm)=10(m) 따라서 실제 건물의 높이는 10 m이다.
28
1 5000 10 cm
50000 cm 10 cm
500 m 27
26 25 24 23
A D
N M
P Q 6cm
B C
22
1 2 1 2
1 2 1
2 1
3 1 3
B C
A
E G F
21
