도형의닮음

1 ^{도형의 닮음}

1 48p cm 2 15 3 5 4 32

1 단계 ^{P. 38~39}

1 ⑴ 2：3 ⑵ 3 ⑶ 2

3 ⑴ ∠EDC ⑵ △ABDª△DCE(AA 닮음) ⑶

4 cm 5 180˘-∠a 6

7 ⑴ 3 ⑵ △GBPª△DEP(AA 닮음) ⑶ 8 8 78

9 ⑴ 12 ⑵ ⑶ 10 15 cm 11

12 15 cm 4

8 3 84

25 25

6 7 56

49 9 27

4 9

2 단계 ^{P. 40~42}

⑴ AC”：DF”=4：6=2：3이므로

△ABC와 △DEF의 닮음비는 2：3 y`⁄

⑵ AB”：DE”=2：3에서

2：DE”=2：3 ∴ DE”=3 y`¤

⑶ BC”：EF”=2：3에서

3：EF”=2：3 ∴ EF”= y`‹

ABCDª BCFE이므로 닮음비는 AB”：BC”=16：12=4：3

즉, 12：CF”=4：3 ∴ CF”=9 y`⁄

ABCDª AEHG이므로 닮음비는 AB”：AE”=16：(16-9)=16：7

즉, 12：AG”=16：7 ∴ AG”= y`¤

∴ GD”=AD”-AG”=12- = y`‹

⑴ △ABD에서 ∠B+∠DAB=∠ADC

이때 ∠ADC=∠ADE+∠EDC이고 ∠B=∠ADE이

므로 ∠DAB=∠EDC y`⁄

⑵ △ABD와 △DCE에서

∠B=∠C, ∠DAB=∠EDC이므로

△ABDª△DCE(AA 닮음) y`¤

⑶ AB”：DC”=BD”：CE””이므로 9：8=4：CE”” ∴ CE”=32

9 3

27 4 21

4 21

4 2

9 2 1

두 원기둥 A, B의 닮음비는

34：51=2：3 y`⁄

원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면

16：r=2：3 ∴ r=24 y`¤

원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이가 24 cm이므로 밑 면의 둘레의 길이는 2p_24=48p(cm) y`‹

△ABC와 △DBA에서

AB”：DB”=BC”：BA”=2：1, ∠B는 공통이므로

△ABCª△DBA(SAS 닮음) y`⁄

AC”：DA”=2：1이므로

30：DA”=2：1 ∴ AD”=15 y`¤

△ABC와 △ADB에서

∠ACB=∠ABD, ∠A는 공통이므로

△ABCª△ADB(AA 닮음) y`⁄

AB”：AD”=AC”：AB”이므로

6：4=(4+DC”)：6 ∴ DC”=5 y`¤

△ABC와 △HBA에서

∠CAB=∠AHB=90˘, ∠B는 공통이므로

△ABCª△HBA(AA 닮음) y`⁄

AB”：HB”=BC”：BA”이므로

12：4=(4+CH”)：12 ∴ CH”=32 y`¤

4 3 2 1

⁄ 닮음비 구하기

¤ 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이 구하기

‹ 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이 구하기

30%

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ 닮음비 구하기

¤ DE”의 길이 구하기

‹ EF”의 길이 구하기

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ CF”의 길이 구하기

¤ AG”의 길이 구하기

‹ GD”의 길이 구하기

40%

20%

채점 기준 배점

⁄ △ABCª△DBA임을 알기

¤ AD”의 길이 구하기

60%

40%

채점 기준 배점

⁄ △ABCª△ADB임을 알기

¤ DC”의 길이 구하기

60%

40%

채점 기준 배점

⁄ △ABCª△HBA임을 알기

¤ CH”의 길이 구하기

60%

40%

채점 기준 배점

⑴ GB”= AB”= _6=3 y`⁄

⑵ △GBP와 △DEP에서

∠GBP=∠DEP(엇각), ∠GPB=∠DPE이므로

△GBPª△DEP(AA 닮음) y`¤

⑶ BE”=2AF”=2_6=12

GB”：DE”=1：2이므로 BP”：PE”=1：2

∴ PE”= BE”= _12=8 y`‹

△ABH와 △DAH에서

∠BHA=∠AHD=90˘,

∠ABH=90˘-∠BAH=∠DAH

∴ △ABHª△DAH(AA 닮음) y`⁄

AH”：9=4：AH” ∴ AH”=6 y`¤

△ABD= _BD”_AH”= _13_6=39 y`‹

∴ ABCD=2△ABD=2×39=78 y`›

△ABH와 △CAH에서

∠BHA=∠AHC=90˘,

∠ABH=90˘-∠BAH=∠CAH

∴ △ABHª△CAH(AA 닮음) y`⁄

⑴ AH”：9=16：AH” ∴ AH”=12 y`¤

⑵ 점 M은 직각삼각형의 빗변의 중점이므로 외심이다.

∴ AM”=BM”=CM”= y`‹

⑶ MH”=CM”-CH”= -9=

△AMH의 넓이에서

_ _12= _ _GH” ∴ GH”=84 y`›

25 25

2 1 2 7

2 1 2

7 2 25

2 25

2 9

1 2 1

2 8

2 3 2 3

1 2 1 7 2

Ⅲ.도형의닮음

정 답 과 해 설

∴ AE”=AC”-EC”=9- = y`‹

△ABC와 △AFE에서

∠A는 공통,

BC”// FE”이므로 ∠ABC=∠AFE(동위각)

∴ △ABCª△AFE(AA 닮음) y`⁄

BF”=FE”=x cm라 하면 AF”=(7-x) cm AB”：AF”=BC”：FE”이므로

7：(7-x)=8：x ∴ x=

∴ FB”= cm y`¤

△ABC와 △ADB에서

AB”：AD”=AC”：AB”=3：2, ∠A는 공통이므로

△ABCª△ADB(SAS 닮음) y`⁄

∴ ∠ACB=∠ABD y`¤

△ABD에서 ∠DAB+∠ABD=180˘-∠a이고

∠ACB=∠ABD이므로

∠BAC+∠ACB=180˘-∠a y`‹

AD”=AE”이므로 ∠AED=∠ADE

△AEC에서 ∠AED=∠CAE+∠ECA y`㉠

△BDC에서 ∠ADE=∠DBC+∠BCD y`㉡

㉠, ㉡에서 ∠CAE+∠ECA=∠DBC+∠BCD이고

∠ECA=∠BCD이므로

∠CAE=∠DBC y`⁄

△AEC와 △BDC에서

∠ECA=∠DCB, ∠CAE=∠CBD이므로

△AECª△BDC(AA 닮음) y`¤

EC”：6=6：7 ∴ EC”= y`‹

∴ DE”=DC”-EC”=6- =6 y`›

7 36

7 6

56 15

56 15 4

49 9 32

⁄ ∠DAB와 크기가 같은 각 찾기

¤ △ABDª△DCE임을 알기

‹ AE”의 길이 구하기

30%

40%

채점 기준 배점

⁄ GB”의 길이 구하기

¤ △GBPª△DEP임을 알기

‹ PE”의 길이 구하기

20%

40%

채점 기준 배점

⁄ △ABCª△ADB임을 알기

¤ ∠ACB=∠ABD임을 알기

‹ ∠BAC+∠ACB의 값을 ∠a를 사용하여 나타내기

30%

20%

50%

채점 기준 배점

⁄ △ABCª△AFE임을 알기

¤ FB”의 길이 구하기

50%

채점 기준 배점

⁄ ∠CAE=∠DBC임을 알기

¤ △AECª△BDC임을 알기

‹ EC”의 길이 구하기

› DE”의 길이 구하기

30%

20%

채점 기준 배점

⁄ △ABHª△DAH임을 알기

¤ AH”의 길이 구하기

‹ △ABD의 넓이 구하기

› ABCD의 넓이 구하기

30%

20%

채점 기준 배점

정답과해설

△ABC와 △ACD에서

∠BAC=∠CAD, ∠ABC=∠ACD=90˘이므로

△ABCª△ACD(AA 닮음) y`⁄

16：AC”=AC”：25 ∴ AC”=20 (cm) y`¤

△ACD=150 cm¤ 이므로

_CD”_20=150 ∴ CD”=15 (cm) y`‹

∠ABD=∠BDE=∠DEF=∠EFG(엇각)

△ABD와 △DEF에서

∠ABD=∠DEF, ∠BDA=∠EFD=90˘이므로

△ABDª△DEF(AA 닮음)

AB”：DE”=6：4=3：2이므로 BD”：EF”=3：2 y`⁄

△DBE와 △FEG에서

∠BDE=∠EFG, ∠BED=∠EGF=90˘이므로

△DBEª△FEG(AA 닮음)

DE”：FG”=DB”：FE”=3：2 y`¤

∴ FG”= DE”= _4= y`‹

∠DBC=∠PBH(접은 각), ∠PDB=∠DBC(엇각)이므로

∠PBH=∠PDB

따라서 △PBD는 이등변삼각형이므로`

BH”= BD”= _10=5(cm) y`⁄

△PBH와 △DBC에서

∠PBH=∠DBC, ∠BHP=∠BCD=90˘이므로`

△PBHª△DBC(AA 닮음) y`¤

PH”：6=5：8 ∴ PH”=15(cm) y`‹

4 1

2 1 2 12

8 3 2 3 2 3 11

1 2 10

1 ⑴ x= a ⑵ y=2a ⑶ 3：5 2 20a+12b 3 30 cm

6 5

3 단계 ^{P. 43}

⁄ △ABCª△ACD임을 알기

¤ AC”의 길이 구하기

‹ CD”의 길이 구하기

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ BD”：EF” 구하기

¤ DE”：FG” 구하기

‹ FG”의 길이 구하기

40%

20%

채점 기준 배점

⁄ BH”의 길이 구하기

¤ △PBHª△DBC임을 알기

‹ PH”의 길이 구하기

30%

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ △ABHª△CAH임을 알기

¤ AH”의 길이 구하기

‹ AM”의 길이 구하기

› GH”의 길이 구하기

30%

20%

채점 기준 배점

⑴ [그림 1]에서 인형과 그림자의 세로 길이의 비에 대한 식을 세우면

50：a=60：x ∴ x= a y`⁄

⑵ [그림 2]에서 인형과 그림자의 세로 길이의 비에 대한 식 을 세우면

30：a=60：y ∴ y=2a y`¤

⑶ ⑴, ⑵에 의하여 x：y= a：2a=3：5 y`‹

①, ②, ③, ④, ⑥, ⑧은 모두 직각이등변삼각형이므로 서로 닮은 도형이고, ②, ③, ⑧과 ④, ⑥은 각각 서로 합동이다.

①부터 ⑧까지의 각 도형의 둘레의 길이를 구하면

① : 2a+2a+2b=4a+2b

②, ③, ⑧ : 2a+b+b=2a+2b

④, ⑥ : a+a+b=2a+b

⑤ : 4_a=4a

⑦ : 2(a+b)=2a+2b y`⁄

따라서 ①부터 ⑧까지의 각 도형의 둘레의 길이의 합은 (4a+2b)+3(2a+2b)+2(2a+b)+4a+(2a+2b)

=20a+12b y`¤

축도기를 오른쪽 그림과 같이 나 타내면

△AOP와 △BOQ에서

∠OAP=∠OBQ, ∠O는 공통

이므로 △AOPª△BOQ(AA 닮음) y`⁄

닮음비는 OA”：OB”=20：40=1：2 y`¤

따라서 점 P를 15 cm 움직였을 때, 점 Q가 움직인 거리는

30 cm이다. y`‹

B A C

O P Q

3 2

6 5

6 5 1

⁄ x를 a에 관한 식으로 나타내기

¤ y를 a에 관한 식으로 나타내기

‹ x：y를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내기

40%

20%

채점 기준 배점

⁄ △AOPª△BOQ임을 알기

¤ 닮음비 구하기

‹ 점 Q가 움직인 거리 구하기

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ ①부터 ⑧까지의 각 도형의 둘레의 길이 구하기

¤ ①부터 ⑧까지의 각 도형의 둘레의 길이의 합 구하기

70%

30%

채점 기준 배점

Ⅲ.도형의닮음

정 답 과 해 설

12：20=x：30 ∴ x=18 y`⁄

12：20=21：y ∴ y=35 y`¤

△AMF와 △CME에서

∠AMF=∠CME, AM”=CM”,

∠FAM=∠ECM(엇각)이므로

△AMF™△CME(ASA 합동) y`⁄

△AMF™△CME이므로 AF”=CE”=5 y`¤

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

BE”=2AF”=2_5=10 y`‹

GG'”：G'D”=2：1이므로 G'D”= GG'”= _3=

∴ GD”=GG'”+G'D”=3+ = y`⁄

AG”：GD”=2：1이므로

AD”=3GD”=3_ = y`¤

입체도형 P와 처음 원뿔의 닮음비는 AA'”：BB'”=2：3이므로 부피의 비는

2‹ ：3‹ =8：27 y`⁄

따라서 입체도형 P와 입체도형 Q의 부피의 비는

8：(27-8)=8：19 y`¤

즉, 16：(입체도형 Q의 부피)=8：19

∴ (입체도형 Q의 부피)=38 (cm‹ ) y`‹

27 2 9 2

9 2 3 2 3 2 1 2 1

2 3

2 1

2 ^{닮음의 활용}

1 x=18, y=35 2 10 3 27 4 38 cm‹

1단계 ^{P. 44~45}

⁄ △AMF™△CME임을 알기

¤ AF”의 길이 구하기

‹ BE”의 길이 구하기

40%

20%

40%

채점 기준 배점

⁄ x의 값 구하기

¤ y의 값 구하기

50%

채점 기준 배점

⁄ GD”의 길이 구하기

¤ AD”의 길이 구하기

50%

채점 기준 배점

1 2 3 4 4 5

6 ⑴ 2 ⑵ 5：1：4 7 34 8 9 9 18 10 27 cm¤ 11 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 12 cm¤ ⑶ 3 cm¤

12 74p cm‹

100 49 32

3 24

5 52

2단계 ^{P. 46~48}

△ABQ에서 x：(x+4)=3：4

∴ x=12 y`⁄

△ABC에서 12：16=7：(4+y)

∴ y= y`¤

∴ x+y=12+ = y`‹

점 A를 지나고 BE”와 평행한 직선을 그어 BC”의 연장선과 만 나는 점을 F라 하면

∠AFB=∠EBC=∠EBA=∠FAB이므로 △AFB는 이 등변삼각형이다.

∴ BF”=BA”

△CAF와 △CEB에서

∠CAF=∠CEB, ∠C는 공통이므로

△CAFª△CEB(AA 닮음)

CB”：BF”=CE”：EA”에서 BF”=BA”이므로 BC”：BA”=CE”：EA”

즉, 12：BA”=4：4 ∴ BA”=12 y`⁄

같은 방법으로 CA”：CB”=AD”：BD”

즉, 8：12=AD”：(12-AD”)

∴ AD””= y`¤

△ABC와 △DAC에서

∠ABC=∠DAC, ∠C는 공통이므로

△ABCª△DAC(AA 닮음) y`⁄

AB”：DA”=BC”：AC””에서 AB”：AD”=3：2 y`¤

24 5

D E

F B C

12 4 4

52 3 16

3 16

3 1

⁄ x의 값 구하기

¤ y의 값 구하기

‹ x+y의 값 구하기

40%

20%

채점 기준 배점

⁄ 입체도형 P와 처음 원뿔의 부피의 비 구하기

¤ 입체도형 P와 입체도형 Q의 부피의 비 구하기

‹ 입체도형 Q의 부피 구하기

30%

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ BA”의 길이 구하기

¤ AD”의 길이 구하기

50%

채점 기준 배점

정답과해설

△ABE에서

∠AEC=∠ABE+∠BAE

=∠DAC+∠EAD=∠EAC 따라서 △AEC는 이등변삼각형이므로 EC”=AC”=12

∴ BE””=BC”-EC”=18-12=6 y`‹

△ABD에서 AE”는 ∠BAD의 이등분선이므로 AB”：AD”=BE”：DE””

즉, 3：2=6：DE” ∴ ED”=4 y`›

△AOD와 △COB에서

∠AOD=∠COB, ∠DAO=∠BCO(엇각)이므로

△AODª△COB(AA 닮음)

따라서 닮음비는 AD”：CB”=8：16=1：2 y`⁄

△ABD에서

EO”：8=2：3 ∴ EO”= y`¤

△ACD에서

OF”：8=2：3 ∴ OF”= y`‹

∴ EF”=EO”+OF”= + = y`›

점 E를 지나고 AB”에 평행한 직선을 그어 AC”와 만나는 점을 H라 하면

△CAB에서

CE”：CB”=HE”：AB”이므로 5：6=HE”：5 ∴ HE”=

y`⁄

△HEG와 △CDG에서

∠EGH=∠DGC, ∠HEG=∠CDG(엇각)이므로

△HEGª△CDG(AA 닮음) y`¤

EG”：DG”=HE”：CD”= ：4=25：24

△ECD에서

25：(25+24)=GF”：4 ∴ GF”=100 y`‹

49 25

6 25

D A

G H

E F

B1 C

5 4

32 3 16

3 16

3 4

⑴ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

EF”= BD”= _4=2 y`⁄

⑵ △EPF와 △CPD에서

∠EPF=∠CPD, ∠FEP=∠DCP(엇각)이므로

△EPFª△CPD(AA 닮음)

EF”：CD”=2：8=1：4이므로 FP”：PD”=1：4 AF”：FD”=1：1이므로

AF”：FP”：PD”=5：1：4 y`¤

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

△ABD에서 EH”= BD”= _16=8

△CDB에서 FG”= BD”= _16=8

△DAC에서 HG”= AC”= _18=9

△BCA에서 EF”= AC”= _18=9 y`⁄

따라서 EFGH의 둘레의 길이는

EH”+EF”+FG”+GH”=8 +9+8 +9=34 y`¤

AG”：GD”=2：1이므로

AG”=2GD”=2_6=12 y`⁄

△GBD와 △GFH에서

∠DGB=∠HGF, ∠GBD=∠GFH(엇각)이므로

△GBDª△GFH(AA 닮음) y`¤

DG”：GH”=BG”：GF”=2：1이므로

GH”= DG”= _6=3 y`‹

△ABD에서

AE”：EB”=AH”：HD”=1：1이므로

AH”=HD”=HG”+GD”=3+6=9 y`›

1 2 1 2 8

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1 2 7

1 2 1 2 6

⁄ △ABCª△DAC임을 알기

¤ AB”：AD” 구하기

‹ BE”의 길이 구하기

› ED”의 길이 구하기

30%

20%

30%

20%

채점 기준 배점

⁄ AG”의 길이 구하기

¤ △GBDª△GFH임을 알기

‹ GH”의 길이 구하기

› AH”의 길이 구하기

20%

30%

20%

30%

채점 기준 배점

⁄ EF”의 길이 구하기

¤ AF”：FP”：PD”를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내기 40%

60%

채점 기준 배점

⁄ HE”의 길이 구하기

¤ △HEGª△CDG임을 알기

‹ GF”의 길이 구하기

30%

40%

채점 기준 배점

⁄ △AOD와 △COB의 닮음비 구하기

¤ EO”의 길이 구하기

‹ OF”의 길이 구하기

› EF”의 길이 구하기

20%

30%

20%

채점 기준 배점

⁄ EH”, FG”, HG”, EF”의 길이 각각 구하기

¤ EFGH의 둘레의 길이 구하기

70%

30%

채점 기준 배점

Ⅲ.도형의닮음

정 답 과 해 설

△MG'G와 △MDA에서

MG'”：MD”=MG”：MA”=1：3, ∠M은 공통이므로

△MG'Gª△MDA(SAS 닮음) y`⁄

MG'”：MD”=GG'”：AD”에서

1：3=6：AD” ∴ AD”=18 y`¤

△ANM과 △ABD에서

AN”：AB”=AM”：AD”=1：2, ∠A는 공통이므로

△ANMª△ABD(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 1：2이므로 넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4

△ABD= ABCD= _72=36 (cm¤ )이므로

△ANM：△ABD=1：4에서

△ANM：36=1：4

∴ △ANM=9 (cm¤ ) y`⁄

AC”를 그으면 점 P는 △ABC의 무게 중심이고 점 Q는 △ACD의 무게중 심이므로

BP”：PQ”：QD”=1：1：1

∴ △CDQ= △CDB

= _ ABCD

= ABCD

= _72=12 (cm¤ ) y`¤

△PNB= △ABC

= _ ABCD

= ABCD

= _72=6 (cm¤ ) y`‹

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=△ANM+△CDQ+△PNB

=9+12+6=27(cm¤ ) y`›

1 12

1 2 1 6 1 6

1 6 1 6

1 2 1 3 1 3

M Q P N

D A

B C

1 2 1

2 10

⁄ △MG'Gª△MDA임을 알기

¤ AD”의 길이 구하기

60%

40%

채점 기준 배점

⁄ △ANM의 넓이 구하기

¤ △CDQ의 넓이 구하기

‹ △PNB의 넓이 구하기

› 색칠한 부분의 넓이 구하기

30%

10%

채점 기준 배점

⑴ △FGD와 △CGA에서 FG”：CG”=DG”：AG”=1：2,

∠FGD=∠CGA이므로

△FGDª△CGA(SAS 닮음) y`⁄

⑵ △CGA= △ABC= _36=12 (cm¤ ) y`¤

⑶ △FGD와 △CGA의 닮음비는 1：2이므로 넓이의 비는 1¤ ：2¤ =1：4

△FGD：△CGA=1：4에서

△FGD：12=1：4 ∴ △FGD=3 (cm¤ ) y`‹

모선의 연장선이 만나는 점을 A, 이 때 생기는 작은 원뿔을 V라 하자.

원뿔대의 두 밑면의 넓이가 각각 4p cm¤ , 16p cm¤ 이므로

BE”=2 cm, DG”=4 cm y`⁄

△ABE와 △ADG에서

∠ABE=∠ADG=90°,

∠BAE는 공통이므로

△ABEª△ADG(AA 닮음)

AB”：AD”=BE”：DG”=2：4=1：2이고 BC”：CD”=1：1이므로

AB”：AC”：AD”=2：3：4 y`¤

따라서 세 입체도형 V, P, Q의 부피의 비는

2‹ ：(3‹ -2‹ )：(4‹ -3‹ )=8：19：37 y`‹

입체도형 P의 부피가 38p cm‹ 이므로 38p：(입체도형 Q의 부피)=19：37

∴ (입체도형 Q의 부피)=74p (cm‹ ) y`›

Q C

D B

G E

12 A

1 3 1

3 11

⁄ △FGDª△CGA임을 알기

¤ △CGA의 넓이 구하기

‹ △FGD의 넓이 구하기

40%

30%

채점 기준 배점

⁄ 원뿔대의 두 밑면의 반지름의 길이 구하기

¤ AB”：AC”：AD” 구하기

‹ 세 입체도형 V, P, Q의 부피의 비 구하기

› 입체도형 Q의 부피 구하기

20%

30%

20%

채점 기준 배점

1 16：1 2 ⑴ 100：1 ⑵ 10000：1 ⑶ 8 m¤

3 ⑴ 144S ⑵ 1728V

3단계 ^{P. 49}

B0 용지의 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라 하면 각 용지 의 짧은 변의 길이와 긴 변의 길이는 다음 표와 같다.

문서에서 1 도형의 닮음 (페이지 33-39)

1 도형의 닮음

정 답 과 해 설

정 답 과 해 설

2 닮음의 활용

정 답 과 해 설

1 ^{도형의 닮음}

2 ^{닮음의 활용}